Logische Grundlagen. Junktoren. Dörthe Brachwitz

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1 Logische Grundlagen Junktoren Dörthe Brachitz

2 Was erartet Euch heute? Fachliches Wissen Deinitionen der Begrie Aussage, Aussageormen, Junktoren (Negation, Konjunktion, Disjunktion, Alternative, Subjunktion (Implikation), Bisubjunktion (Äquivalenz), Tautologie, Kontradiktion), aussagenlogische Gesetze Unterrichtsbezug Rahmenlehrplan der Heinrich-Hertz-Oberschule (Klasse 8) Vorstellung der Stoverteilung ür aussagenlogischen Teil (Ziele, Inhalte, Motivation/Einstieg, Verlau) Diskussion Behandlung des Stogebiets in allen Klassenstuen?

3 Aussagen, Aussageormen, Junktoren Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das vom Inhalt her ahr oder alsch ist. Eine Aussageorm ist ein sprachliches Gebilde, das mindestens eine Variable enthält und nach geeigneter Ersetzung in eine (ahre oder alsche) Aussage übergeht. Eine solche Ersetzung ird Belegung der Variablen genannt. Junktoren sind Worte oder Zeichen, die Teilaussagen so zu einer Gesamtaussage verknüpen, dass der Wahrheitsert der Gesamtaussage ausschließlich von den Wahrheitserten der beteiligten Teilaussagen abhängt. Zeichen:

4 in aussagenlogischen Ausdrücken kommen olgende Zeichen vor: Aussagevariablen, im Allg. mit kleinen lat. Buchstaben bezeichnet aussagenlogische Junktoren technische Zeichen, zu denen Klammern gehören illkürliche Kombinationen dieser Zeichen könnte zu sinnlosen Ausdrücken ühren um dies auszuschließen, erden olgende Regeln estgelegt: jede Aussagenvariable ist eine Aussageorm enn A eine Aussageorm ist, so ist auch A eine Aussageorm enn A und B Aussageormen sind, so sind auch A B, A B, A B, A B Aussageormen Konventionen: und binden stärker als und bindet stärker als und

5 Negation Die Negation A ist eine Aussagenverknüpung, die genau dann alsch ist, enn A ahr ist, und die genau dann ahr ist, enn A alsch ist. Wahrheitsertetabelle: A A Beispiel: A: 143 ist durch 13 teilbar. A: 143 ist nicht durch 13 teilbar

6 Konjunktion Die Konjunktion A B ist eine Aussagenverknüpung, die genau dann ahr ist, enn soohl A als auch B ahr sind. Wahrheitsertetabelle: A B A B Beispiel: 9 ist eine Quadratzahl, und 12 ist durch 4 teilbar

7 Disjunktion Die Disjunktion A B ist eine Aussagenverknüpung, die genau dann alsch ist, enn soohl A als auch B alsch sind. Wahrheitsertetabelle: A B A B Beispiel: Die Gerade g schneidet die Gerade h oder die Gerade l.

8 Alternative Die Alternative A B (Junktor mit einem Pünktchen versehen) ist eine Aussagenverknüpung, die genau dann ahr ist, enn A und B verschiedene Wahrheitserte haben. Wahrheitsertetabelle: A B A B Beispiel: Der Punkt P liegt enteder au dem Kreis k oder im Inneren des Kreises k.

9 Subjunktion Die Subjunktion A B ist eine Aussagenverknüpung, die genau dann alsch ist, enn A ahr und B alsch ist. Wahrheitsertetabelle: A B A B Beispiel: Wenn 4 ein Teiler von n ist, so ist auch 2 ein Teiler von n.

10 Implikation vs. Subjunktion Implikation ist ein metasprachlicher Ausdruck im Zusammenhang mit dem Folgerungsbegri und ird mit gekennzeichnet hingegen ist die Subjunktion eine Aussagenverknüpung und gehört zur Objektsprache man spricht von einer logischen Folgerung oder Implikation nur dann, enn sich aus einer ahren Aussage immer nur eine ahre Aussage ergibt A ist hinreichende Bedingung ür B bz. B ist notendige Bedingung ür A die Subjunktion ist aber auch erklärt, enn das Vorderglied A ahr und das Hinterglied B alsch ist Problematik mit Implikation (Voraussetzung und Behauptung)

11 Bisubjunktion Die Bisubjunktion A B ist eine Aussagenverbindung, die genau dann ahr ist, enn A und B die gleichen Wahrheitserte haben. Wahrheitsertetabelle: Beispiel: A A B Genau dann, enn ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b, c in C rechtinklig ist, so gilt ür die Seiten der Satz des Pythagoras. Bisubjunktion vs. Äquivalenz vgl. dazu Implikation vs. Subjunktion (A ist nicht nur hinreichende, sondern auch notendige Bedingung ür B) B

12 Tautologie Die Tautologie ist eine Aussageorm, die bei jeder Belegung der in ihr vorkommenden Aussagevariablen mit Wahrheitserten stets ahr ist. Kurz: A ( A) Wahrheitsertetabelle: A A A ( A) Beispiel: Wenn der Hahn kräht au dem Mist, so ändert sich das Wetter, oder es bleibt, ie es ist.

13 Kontradiktion Die Kontradiktion ist eine Aussageorm, die bei jeder Belegung der in ihr vorkommenden Aussagevariablen mit Wahrheitserten stets alsch ist. Kurz: A ( A) Wahrheitsertetabelle: A A A ( A)

14 Aussagenlogische Gesetze (Tautologien) Gesetz von der doppelten Negation ( A) A Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch (A A) Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten A A Gesetz von der Identität A A Erstes Gesetz von De Morgan (A B) A B (Negation einer Disjunktion) Zeites Gesetz von De Morgan (A B) A B (Negation einer Konjunktion) Negationsgesetz der Subjunktion (A B) A B Gesetz von der Kontraposition (A B) ( B A) ür Konjunktion und Disjunktion gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze, Idempotenzgesetze

15 Heinrich-Hertz-Gymnasium Schule mit besonderer pädagogischer Prägung mit mathematischnaturissenschatlichem Proil Ziele des Mathematikunterrichts: Herausorderung, Vertieung und Ereiterung der Fähigkeiten der Schüler Neben RLP ür Berlin gibt es Ergänzungsplan zur Weiterenticklung allg. Fähigkeiten ie: logische Strukturen analysieren und audecken können Aussagen logisch strukturieren und Beeisideen selbst inden können unktionale Abhängigkeiten entdecken und selbst ormulieren können.hhgym.de

16 Ergänzungsplan Klasse 7: Klasse 8: Elemente der Mengenlehre Elemente der mathematischen Logik Ergänzungen zur Geometrie Elemente der Teilbarkeitslehre Betragsgleichungen und unktionen Ergänzungen zur Geometrie Klasse 9: Vertieungen zu Gleichungssystemen Quadratische Funktionen Elemente der Kombinatorik Klasse 10: Beeisverahren vollständige Induktion Ausbau der Gleichungslehre Darstellung von Körpern

17 Unterrichtsplanung Thema: Aussagenlogik Zeitumang: 10 bis 15 Unterrichtsstunden Inhalte/Ziele: Vermittlung/Verständnis der Begrie, Deinitionen: Aussage, Aussageormen, Negation, Konjunktion, Disjunktion, Alternative, Implikation, Äquivalenz logische Bestandteile der Sprache der Mathematik richtig verstehen und gebrauchen z.b. nicht, kein, enn-so, enteder-oder, Kenntnis von Gesetzen und Formeln (aussagenlogische Gesetze z.b. ( A) A) und Beherrschung logischer Grundregeln Austellen von Wahrheitsertetabellen u.a. zum Beeisen von allgemeingültigen Äquivalenzen Schüler kennen Unterschied zischen Konjunktion und Disjunktion/Alternative Schüler kennen Unterschied zischen Implikation, Äquivalenzen Schüler können Ausdrücke mit gleicher logischer Struktur, aber unterschiedl. sprachl. Formulierung als gleichbedeutend erkennen Schüler können Aussagen bz. Aussageormen verneinen Schüler ist der Bezug zur Mengenlehre beusst (kennen Begrie: Schnitt-, Vereinigungs- und Lösungsmenge)

18 Unterrichtseinstieg/Motivation Einstieg: Umgangssprache vs. Sprache der Logik Besprechung von Aussagen zur Bedeutung der Wörter und und oder in der Umgangssprache KONFLIKT: Wie kann man in der Mathematik eindeutige Aussagen treen? Umgangssprache: kaum geeignet, Aussagen eindeutig und kurz zu ormulieren, da häuig unexakt und mehrdeutig Mathematische Logik: Einührung von Symbolen mit genau deinierter Bedeutung zur exakten und eindeutigen Formulierung von Aussagen Vereinachung durch Einührung von Regeln ür den Umgang mit Zeichen Unterscheidung von Objekt- und Metasprache

19 Unterrichtsverlau Einstieg/Motivation Begriseinührung: Aussage, Aussageorm, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Lösungsmenge und Übungen zur Festigung Einührung: Konjunktion, Disjunktion/Alternative von Aussagen/Aussageormen und Erassung in Wahrheitsertetabellen Einührung: Negation Einührung: Subjunktion vs. Implikation und Bisubjunktion vs. Äquivalenz Methoden: Lehrervortrag eigenständiges Üben zur Festigung der Begrie Memory: Gruppenarbeit abschließende Leistungskontrollen

20 Diskussion Sollte das Stogebiet Aussagenlogik verbindlich ür alle Klassen behandelt erden? Für elche anderen Stogebiete der Sekundarstue I ürden aussagenlogische Kenntnisse von Vorteil sein?

21 Literatur Bock/ Walsch: Zum logischen Denken im Mathematikunterricht. 1. Aulage. Berlin Schick, Karl: Aussagenlogik. Eine leichtverständliche Einührung in elementare Probleme der modernen Logik. Freiburg Müller-Fonara, Robert: Mathematik verständlich. München Schulbücher: Brennpunkt Algebra 8, Schroedel-Verlag PLUS Mathematisches Unterrichtserk +8, Schöningh-Verlag Mathematik 8. Schuljahr, Cornelsen-Verlag Senatsveraltung ür Bildung, Jugend und Sport Berlin: Rahmenlehrplan ür die Sekundarstue I. Mathematik. 1. Aulage. Berlin Internet: