5. AUSSAGENLOGIK: SEMANTIK

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1 5. AUSSAGENLOGIK: SEMANTIK 5.1 Charakteristische Wahrheitstaeln 5.2 Wahrheitsertzuordnung I 5.3 Die Konstruktion von Wahrheitstaeln 5.4 Wahrheit und Falschheit unter einer Wahrheitsertzuordnung 5.5 Wahrheitsbedingungen 5.6 Wahrheitsunktionale Wahrheit und das Wahrheitstaelverahren 5.7 Wahrheitsunktionale Falschheit und das Wahrheitstaelverahren 5.8 Wahrheitsunktionale Indeterminiertheit und das Wahrheitstaelverahren 5.9 Wahrheitsunktionale Äquivalenz und das Wahrheitstaelverahren 5.10 Wahrheitsunktionale Konsistenz und das Wahrheitstaelverahren 5.11 Wahrheitsunktionale Folgerung und das Wahrheitstaelverahren 5.12 Zur Entscheidbarkeit 5.13 Reduktion au ahrheitsunktionale Konsistenz 5.1 Charakteristische Wahrheitstaeln Wahrheitstaeln legen est, ie der Wahrheitsert eines ahrheitsunktional zusammengesetzten Satzes zu bestimmen ist, enn die Wahrheitserte seiner unmittelbaren Satzkomponenten gegeben sind. Die Wahrheitstaeln ür die ün Konnektive von AL sind uns mittlereile bekannt. Negation: Konjunktion: Disjunktion: A A A B A B A B A B materiales Konditional: A B A B 1

2 materiales Bikonditional: A B A B Wir ollen diese Wahrheitstaeln von nun an charakteristische Wahrheitstaeln nennen, da sie die Bedeutung der einzelnen Konnektive angeben. Wir heben sie durch diese Bennenung von den Wahrheitstaeln ab, die ir in späteren Abschnitten konstruieren erden, um z.b. einzelne Sätze von AL au ihre logischen Eigenschaten zu untersuchen. 5.2 Wahrheitsertzuordnung I Die Wahrheitserte atomarer Sätze erden durch Wahrheitsertzuordnungen ixiert: Eine Wahrheitsertzuordnung I ist eine Funktion, die jedem atomaren (!) Satz von AL einen der beiden Wahrheitserte oder zuordnet. Etas ormaler: I : S {, } Alternative Terminologie: Interpretation, Beertung. Einige Bemerkungen: 1. Der Begri der Wahrheitsertzuordnung ist der semantische Grundbegri von der Aussagenlogik. Mit Hile dieses Begris erden solche Begrie ie z.b. ahrheitsunktionale Wahrheit oder ahrheitsunktionale Folgerung deiniert. (Vgl. dazu die betreenden Deinitionen eiter unten.) 2. Eine Wahrheitsertzuordnung ordnet jedem atomaren Satz von AL einen Wahrheitsert zu. (Eine Wahrheitsertzuordnung erzeugt sozusagen eine vollständige und konsistente Zustandsbeschreibung einer (möglichen) Welt.) 3. Die atomaren Sätze von AL sind voneinander ahrheitsunktional unabhängig, d. h. der Wahrheitsert, der einem atomaren Satz zugeordnet ist, beeinlusst die Wahrheitserte, die anderen atomaren Sätzen zugeordnet orden sind, nicht. 4. Die Wahrheitserte ahrheitsunktional zusammengesetzter Sätze von AL erden gänzlich durch die Wahrheitserte bestimmt, die ihren atomaren Komponenten durch I zugeiesen orden sind (Wahrheitsunktionalität). 5. Aus den Bemerkungen 2 und 4 olgt, dass jeder ahrheitsunktional zusammengesetzte Satz von AL unter jeder Wahrheitsertzuordnung ebenalls einen Wahrheitsert hat. 2

3 5.3 Die Konstruktion von Wahrheitstaeln Das olgende Konstruktionsverahren erlaubt, Wahrheitstaeln so zu konstruieren, dass alle Kombinationen von Wahrheitserten von der Tael erasst erden. Damit ird eine lückenlose Ausertung von Sätzen von AL geährleistet. (Nur eine solche ist brauchbar, ie die ahrheitsunktionalen Deinitionen der logischen Eigenschaten und Relationen noch zeigen erden.) Schritt 1: Schritt 2: Schritt 3: Bestimmung der Anzahl n der verschiedenen Satzbuchstaben (d.h. der atomaren Sätze), die in A vorkommen. Wenn A eine Anzahl von n atomaren Komponenten hat, dann gibt es 2 n unterschiedliche Kombinationen von Wahrheitserten ür die atomaren Komponenten von A. Diese Kombinationen (bz. Fragmente von Wahrheitsertzuordnungen) erden durch die Zeilen der Wahrheitstael repräsentiert, die unter den Spalten ür die Beertung der Satzbuchstaben stehen. Alphabetische Aulistung der verschiedenen atomaren Komponenten von A links neben A. Beim Eintragen der Wahrheitserte in die Spalten, die sich unterhalb der atomaren Komponenten beinden, beolgt man am besten die olgende simple Regel, die au sicherem Wege zur Aulistung aller möglichen Wahrheitsertzuordnungen an die Atome von A ührt: Die erste Spalte ür eine Wahrheitstael mit n Satzbuchstaben besteht aus 2 n-1 s, die sich mit 2 n-1 s abechseln; die zeite aus 2 n-2 s, die sich mit 2 n-2 s abechseln. Wenn also n die Anzahl der Satzbuchstaben von A ist und i die Zahl, die von der Nummer der Spalte (von links nach rechts gezählt) bezeichnet ird, dann besteht die ite Spalte aus 2 n-i s, die sich mit 2 n-i s abechseln, obei 2 0 = 1. Beispiel: A B C ( B C) (A B) W 3

4 Schritt 4: Kopieren der Spalten ür die atomaren Komponenten von A unter ihre Vorkommnisse in der Spalte ür A. A B C ( B C) (A B) Schritt 5: Berechnung des Wahrheitserts von A mit Hile der charakteristischen Wahrheitstaeln ür die ahrheitsunktionalen Konnektive von AL. Die Berechnung ängt mit den ahrheitsunktional zusammengesetzten Sätzen der geringsten Komplexität an (d. h. mit den atomaren Komponenten) und endet mit dem ahrheitsunktional zusammengesetzten Satz mit der größten Komplexität (d. h. mit A selbst). Letzterer ist bekanntlich mit Hile des Hauptkonnektivs zusammengesetzt. A B C ( B C) (A B) (Die Vervollständigung der Tael sei Ihnen überlassen.) 5.4 Wahrheit und Falschheit unter einer Wahrheitsertzuordnung Deinition (Wahrheit unter einer Wahrheitsertzuordnung): Ein Satz ist ahr unter einer Wahrheitsertzuordnung I genau dann, enn er den Wahrheitsert unter dieser Wahrheitsertzuordnung hat. Formaler: Ein Satz A ist ahr unter I genau dann, enn I(A) =. 4

5 Deinition (Falschheit unter einer Wahrheitsertzuordnung): Ein Satz ist alsch unter einer Wahrheitsertzuordnung I genau dann, enn er den Wahrheitsert unter dieser Wahrheitsertzuordnung hat. Formaler: Ein Satz A ist alsch unter I genau dann, enn I(A) =. 5.5 Wahrheitsbedingungen der Sätze von AL Wenn I eine Wahrheitsertzuordnung ist, dann sind die Wahrheitsbedingungen ür die ahrheitsunktional zusammengesetzten Elemente von F(S) ie olgt deiniert: 1. I( A) = gd I(A) = 2. I(A B) = gd I(A) = und I(B) = 3. I(A B) = gd I(A) = oder I(B) = 4. I(A B) = gd I(A) = oder I(B) = 5. I(A B) = gd I(A) = und I(B) = oder I(A) = und I(B) = Die Abkürzung gd ist zu lesen als genau dann, enn. (Worin besteht der Unterschied zischen gd und?) Die Abschnitte 5.4 und 5.5 geben die Semantik ür die Sprache AL an. Wir kommen nun zum Wahrheitstaelverahren, das au dieser Semantik aubaut. 5.6 Wahrheitsunktionale Wahrheit und das Wahrheitstaelverahren Inormale Deinition der logischen Wahrheit mit Hile des etas vagen Begris der Möglichkeit. Deinition (logische Wahrheit): Ein Satz ist logisch ahr genau dann, enn es nicht möglich ist, dass der Satz alsch ist. Es olgt eine präzisere Deinition des Begris der logischen Wahrheit im Sinne der ahrheitsunktionalen Wahrheit mit Hile des präzisen Begris der Wahrheitsertzuordnung. 5

6 Deinition 5.6 (ahrheitsunktionale Wahrheit): Ein Satz A von AL ist ahrheitsunktional ahr genau dann, enn A unter jeder Wahrheitsertzuordnung ahr ist. Alternative Terminologie: allgemeingültiger Satz, Tautologie. Ermittlung ahrheitsunktionaler Wahrheiten mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Satz: Symb.: Wenn es in Tübingen schneit, dann schneit es in Tübingen T T Wahrheitstaelverahren: Schritt 1: Erstellung der Wahrheitstael ür T T T T T Schritt 2: Überprüung, ob die Spalte unter dem Hauptkonnektiv ausschließlich s enthält. Falls ja, dann ist der betreende Satz eine ahrheitsunktionale Wahrheit; andernalls nicht. 5.7 Wahrheitsunktionale Falschheit und das Wahrheitstaelverahren Vage: Deinition (logische Falschheit): Ein Satz ist logisch alsch genau dann, enn es nicht möglich ist, dass der Satz ahr ist. 6

7 Präzise: Deinition 5.7 (ahrheitsunktionale Falschheit): Ein Satz A von AL ist ahrheitsunktional alsch genau dann, enn A unter jeder Wahrheitsertzuordnung alsch ist. Alternative Terminologie: idersprüchlicher Satz, kontradiktorischer Satz, Selbstiderspruch. Ermittlung ahrheitsunktionaler Falschheiten mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Satz: Es ist nicht der Fall, dass es in Tübingen schneit, enn es in Tübingen schneit Symb.: (T T) Wahrheitstaelverahren: Schritt 1: Erstellung der Wahrheitstael ür (T T) T (T T) Schritt 2: Überprüung, ob die Spalte unter dem Hauptkonnektiv ausschließlich s enthält. Falls ja, dann ist der betreende Satz eine ahrheitsunktionale Falschheit; andernalls nicht. Beispiel: I J [(I J) (I J)] I 7

8 5.8 Wahrheitsunktionale Indeterminiertheit und das Wahrheitstaelverahren Vage: Deinition (logische Inteterminiertheit): Ein Satz ist logisch indeterminiert genau dann, enn er eder logisch ahr noch logisch alsch ist. Präzise: Deinition 5.8 (ahrheitsunktionale Indeterminiertheit): Ein Satz A von AL ist ahrheitsunktional indeterminiert genau dann, enn A eder ahrheitsunktional ahr noch ahrheitsunktional alsch ist. Alternative Terminologie: kontingenter Satz. Aus dieser Deinition olgt, dass ein ahrheitsunktional indeterminierter Satz unter mindestens einer Wahrheitsertzuordnung ahr ist und unter mindestens einer Wahrheitsertzuordnung alsch. Ermittlung ahrheitsunktional indeterminierter Sätze mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Satz: Symb.: Es schneit in Tübingen T Wahrheitstaelverahren: Schritt 1: Erstellung der Wahrheitstael ür T. T T Schritt 2: Überprüung, ob die Spalte unter dem Hauptkonnektiv (alls es eins gibt, ansonsten unter dem Atom) mindestens ein und mindestens ein enthält. Falls ja, dann ist der betreende Satz eine ahrheitsunktional indeterminierte Aussage; andernalls nicht. 8

9 5.9 Wahrheitsunktionale Äquivalenz und das Wahrheitstaelverahren Vage: Deinition 1.10 (logische Äquivalenz): Die Elemente eines Satzpaares sind logisch äquivalent genau dann, enn es nicht möglich ist, dass einer der Sätze ahr und der andere alsch ist. Präzise: Deinition 5.9 (ahrheitsunktionale Äquivalenz): Sätze A und B von AL sind ahrheitsunktional äquivalent genau dann, enn es keine Wahrheitsertzuordnung gibt, unter der A und B verschiedene Wahrheitserte haben. Ermittlung der ahrheitsunktionalen Äquivalenz eines Satzpaares mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Wie zu erarten ist, ist im ersten Schritt 1 eine (einzige) Wahrheitstael ür A und B zu erstellen. Im zeiten Schritt ird überprüt, ob die Spalten unter den Hauptkonnektiven von A und B denselben Wahrheitsert haben. Falls ja, dann sind A und B ahrheitsunktional äquivalent; andernalls nicht. Beispiele: a) Ein ahrheitsunktional äquivalentes Satzpaar (überzeugen Sie sich davon) M M M M M b) Ein ahrheitsunktional nicht äquivalentes Satzpaar N O P N O (O P) N < 9

10 5.10 Wahrheitsunktionale Konsistenz und das Wahrheitstaelverahren Vage: Deinition 1.8 (logische Konsistenz): Eine Menge von Sätzen ist logisch konsistent genau dann, enn es möglich ist, dass alle Elemente dieser Menge ahr sind. Eine Menge von Sätzen ist logisch inkonsistent genau dann, enn sie nicht logisch konsistent ist. Präzise: Deinition 5.10 (ahrheitsunktionale Konsistenz): Eine Menge Γ von Sätzen von AL ist ahrheitsunktional konsistent genau dann, enn es mindestens eine Wahrheitsertzuordnung gibt, unter der alle Elemente von Γ ahr sind. Eine Menge Γ von Sätzen von AL ist ahrheitsunktional inkonsistent genau dann, enn sie nicht ahrheitsunktional konsistent ist. Konsistenz ist also eine Eigenschat von Mengen. Wir schreiben {A, B C} statt { A, B C }. Ermittlung der ahrheitsunktionalen Konsistenz einer Menge mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Schritt 1: Erstellung einer einzigen Wahrheitstael ür alle Elemente von Γ. Schritt 2: Überprüung, ob es mindestens eine Zeile in der Wahrheitstael gibt, die in den Spalten, die sich unter den Hauptkonnektiven der Elemente von Γ beinden, den Wahrheitsert aueist. (Falls es kein Konnektiv gibt, ist der Wahrheitsert der atomaren Komponente zu nehmen.) Falls ja, dann ist die Menge Γ ahrheitsunktional konsistent; andernalls nicht. 10

11 Beispiele: a) konsistente Menge: {S, T, T U} S T U S T U T < b) inkonsistente Menge: {W, W V, V} V W W W V V 5.11 Wahrheitsunktionale Folgerung und das Wahrheitstaelverahren Deinition (ahrheitsunktionale Folgerung): Satz A olgt ahrheitsunktional aus einer Menge Γ von Sätzen von AL (ormal: Γ = A) genau dann, enn es keine Wahrheitsertzuordnung gibt, unter der jedes Element von Γ ahr ist und A alsch ist. Wenn A nicht ahrheitsunktional aus Γ olgt, schreiben ir Γ A. (Alle und nur die ahrheitsunktional ahren Sätze von AL olgen ahrheitsunktional aus der leeren Menge.) Ermittlung einer ahrheitsunktionalen Folgerungsbeziehung mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Wenn Γ eine endliche Menge ist, kann bestimmt erden, ob A aus Γ ahrheitsunktional olgt, indem eine Wahrheitstael ür die Elemente von Γ und ür A konstruiert ird. Wenn es eine Zeile in der Wahrheitstael gibt, in elcher alle Elemente von Γ den Wahrheitsert haben und A den Wahrheitsert hat, dann ist es nicht der Fall, dass A ahrheitsunktional aus Γ olgt. Wenn es keine solche Zeile gibt, dann olgt A ahrheitsunktional aus Γ. 11

12 Beispiel 1: {A, B C} = B A B C A B C B Beispiel 2: {E D, (E D)} = E D E E D (E D) E Beispiel 3: {F, G H} G F G H F G H G < Wir sind nun in der Lage, den vagen Begri der deduktiven Gültigkeit aus Kapitel 1 präzise zu deinieren. Deinition 1.5 (deduktive Gültigkeit): Ein Argument ist deduktiv gültig genau dann, enn es nicht möglich ist, dass die Prämissen ahr sind und die Konklusion alsch ist. Ein Argument ist deduktiv ungültig genau dann, enn es nicht deduktiv gültig ist. 12

13 Deinition (ahrheitsunktionale Gültigkeit): Ein Argument von AL ist ahrheitsunktional gültig genau dann, enn es keine Wahrheitsertzuordnung gibt, unter der alle Prämissen Γ ahr sind und die Konklusion A alsch ist. Ein Argument von AL ist ahrheitsunktional ungültig genau dann, enn es nicht ahrheitsunktional gültig ist. Somit ist ein Argument ahrheitsunktional gültig genau dann, enn die Konklusion aus der Menge, die aus den Prämissen des Arguments besteht, ahrheitsunktional olgt. Ermittlung der ahrheitsunktionalen Gültigkeit von Argumenten mit Hile des Wahrheitstaelverahrens: Das Verahren beläut sich au einen Test au ahrheitsunktionale Folgerung. Beispiel 1: (I K) (J K) K J J K g I J K (I K) (J K) K J J K Beispiel 2: L ( N M) M L L ug 13

14 L M N L ( N M) M L L W W < Wahrheitsunktionale Folgerung und das korrespondierende materiale Konditional Wenn Γ endlich viele Sätze von AL enthält, dann kann ür jede Folgerungsbeziehung Γ = A (und somit ür jedes Argument von AL, das eine endliche Anzahl von Prämissen hat) ein korrespondierendes materiales Konditional gebildet erden. Satz (Die ahrheits. Gültigkeit eines Arguments und die ahrheits. Wahrheit seines korrespondierenden materialen Kondonditionals): Das korrespondierende materiale Konditional eines Arguments von AL ist ahrheitsunktional ahr genau dann, enn das Argument ahrheitsunktional gültig ist. Es gilt somit: {A 1, A 2, A 3,..., A n } = B gd (((A 1 A 2 ) A 3 )... A n ) B ist ahrheits. ahr Bildung eines korrespondierenden materialen Konditionals: Schritt 1: Bildung einer iterierten Konjunktion (((A 1 A 2 ) A 3 )... A n ) aus den Sätzen A 1, A 2, A 3,..., A n. Beispiel: Sätze: iterierte Konjunktion: (N O), O P, N (( (N O) (O P)) N) Schritt 2: Bildung des korrespondierenden materialen Konditionals, indem ein materiales Konditional mit der iterierten Konjunktion der Prämissen als Vordersatz und der Konklusion des Arguments als Hintersatz geormt ird. Ein Beispiel: 14

15 Argument (in Standardorm): (N O) O P N P Folgerungsbehauptung: { (N O), O P, N } = P Korrespondierendes materiales Konditional: (( (N O) (O P)) N) P Da die Prämissen eines Arguments in mehr als einer Weise eingeklammert erden können, gibt es strenggenommen mehr als nur ein korrespondierendes materiales Konditional! Sie sind aber alle ahrheitsunktional äquivalent. Ermittlung der ahrheits. Gültigkeit von Argumenten mit Hile korrespondierender materialer Konditionale und des Wahrheitstaelverahrens: Beispiel 1: T T U U g T U (T (T U)) U Beispiel 2: (N O) O P N P ug 15

16 N O P (( (N O) (O P)) N) P Beeis von Satz ( ) Annahme: {A 1, A 2, A 3,..., A n } = B. Dann gibt es (nach Deinition 5.11) keine Wahrheitsertzuordnung I, unter der alle Elemente von {A 1, A 2, A 3,..., A n } ahr sind und B alsch ist. Nun hat (nach Deinition 5.5.4) ein materiales Konditional unter keiner Wahrheitsertzuordnung I den Wahrheitsert, unter der der Vordersatz ahr und der Hintersatz alsch ist. Da das ür alle Konditionale gilt, gilt es auch ür (((A 1 A 2 ) A 3 )... A n ) B. Dann gibt es (der Annahme entsprechend) keine I, unter der der Vordersatz (((A 1 A 2 ) A 3 )... A n ) ahr ird und der Hintersatz B alsch ird. Somit ist (nach Deinition 5.6) (((A 1 A 2 ) A 3 )... A n ) B ahrheitsunktional ahr. ( ) Man braucht nur den Beeis von ( ) von unten nach oben zu lesen, obei man die Konklusion dieses Beeises als Annahme annimmt und die Annahme dieses Beeises als Konklusion geinnt. (Siehe z.b. den Beeis von Satz unten.) Wahrheitsunktionale Äquivalenz und das korrespondierende materiale Bikonditional Wenn A und B Sätze von AL sind, dann ist A B das korrespondierende materiale Bikonditional dieses Satzpaares. Satz (ahrheits. Äquivalenz und die ahrheits. Wahrheit eines korrespondierenden materialen Bikondonditionals): Sätze A und B sind ahrheitsunktional äquivalent genau dann, enn das korrespondierende materiale Bikonditional dieses Satzpaares A B ahrheitsunktional ahr ist. 16

17 Beeis von Satz ( ) Annahme: A und B sind ahrheitsunktional äquivalent. Wenn A und B ahrheitsunktional äquivalent sind, dann haben (nach Deinition 5.9) A und B unter jeder Wahrheitsertzuordnung denselben Wahrheitsert. Nun hat (nach Deinition 5.5.5) ein materiales Bikonditional A B unter jeder Wahrheitsertzuordnung den Wahrheitsert, unter der seine unmittelbaren Satzkomponenten A und B denselben Wahrheitsert haben. Somit ist (der Annahme entsprechend) A B unter jeder Wahrheitsertzuordnung ahr und deshalb (nach Deinition 5.6) ahrheitsunktional ahr. ( ) Von unten nach oben Zur Entscheidbarkeit Mit Hile des Wahrheitstaelverahrens kann ür jeden Satz von AL in endlich vielen Schritten mechanisch estgestellt erden, ob dieser Satz ahrheitsunktional ahr ist oder nicht. Die Existenz eines solchen Verahrens garantiert den olgenden Satz: Satz 5.12 (Entscheidbarkeit und Wahrheitstaelverahren): Die ahrheitsunktionale Wahrheit eines Satzes von AL ist entscheidbar. Mutatis mutandis ür die übrigen logischen Eigenschaten und Beziehungen Reduktion au ahrheitsunktionale Konsistenz Die Begrie der - ahrheitsunktionalen Wahrheit, - ahrheitsunktionalen Falschheit, - ahrheitsunktionalen Indeterminiertheit, - ahrheitsunktionalen Äquivalenz, - ahrheitsunktionalen Folgerung (bz. Gültigkeit), können mit Hile des Begris der ahrheitsunktionalen Konsistenz erklärt erden; d.h., sie lassen sich au diesen Begri explanatorisch zurückühren (oder reduzieren). 17

18 Wahrheitsunktionale Falschheit und ahrheitsunktionale Konsistenz Satz (ahrheits. Falschheit und ahrheits. Konsistenz): Ein Satz A ist ahrheitsunktional alsch genau dann, enn {A} ahrheitsunktional inkonsistent ist. {A} ist die Einermenge von A. (Siehe dazu Kapitel 2.) Beeis von Satz ( ) Annahme: A ist ahrheitsunktional alsch. Dann gibt es (nach Deinition 5.7) keine Wahrheitsertzuordnung, unter der A ahr ist. Da A das einzige Element der Einermenge {A} ist, gibt es keine Wahrheitsertzuordnung, unter der jedes Element dieser Menge ahr ist. Somit ist {A} (nach Deinition 5.10) ahrheitsunktional inkonsistent. ( ) ( Von unten nach oben.) Annahme: {A} ist ahrheitsunktional inkonsistent. Dann gibt es (nach Deinition 5.10) keine Wahrheitsertzuordnung, unter der jedes Element von {A} ahr ist. Da A das einzige Element seiner Einermenge ist, gibt es keine Wahrheitsertzuordnung, unter der A ahr ist. Somit ist A (nach Deinition 5.7) ahrheitsunktional alsch Wahrheitsunktionale Wahrheit und ahrheitsunktionale Konsistenz Satz (ahrheits. Wahrheit und ahrheits. Konsistenz): Ein Satz A ist ahrheitsunktional ahr genau dann, enn { A} ahrheitsunktional inkonsistent ist. Beeis von Satz ( ) Annahme: A ist ahrheitsunktional ahr. Dann ist A (nach Deinition 5.6) unter jeder Wahrheitsertzuordnung ahr. Ein Satz ist unter einer Wahrheitsertzuordnung ahr genau dann, enn die Negation dieses Satzes unter dieser Wahrheitsertzuordnung alsch ist (nach Deinition 5.5.1). 18

19 Dann olgt aus der Annahme, dass A unter jeder Wahrheitsertzuordnung alsch ist. Dann gibt es keine Wahrheitsertzuordnung, unter der A ahr ist. Dann gibt es keine Wahrheitsertzuordnung, unter der jedes Element von { A} ahr ist. Somit ist { A} ahrheitsunktional (nach Deinition 5.10) inkonsistent. ( ) Von unten nach oben Wahrheitsunktionale Indeterminiertheit und ahrheitsunktionale Konsistenz Aus Satz und Satz olgt: Satz (ahrheits. Indeterminiertheit und ahrheits. Konsistenz): Ein Satz A ist ahrheitsunktional indeterminiert genau dann, enn eder { A} noch {A} ahrheitsunktional inkonsistent sind. Anders audgedrückt: Ein Satz A ist ahrheitsunktional indeterminiert genau dann, enn soohl { A} als auch {A} ahrheitsunktional konsistent sind. Es ird also behauptet, dass es mindestens eine Wahrheitsertzuordnung geben muss, unter der das Element von { A} ahr ird und dass es eine Wahrheitsertzuordnung geben muss, unter der das Element von {A} ahr ird. Es ird nicht behauptet, dass es eine (einzige) Wahrheitsertzuordnung geben müsse, unter der die Elemente von { A, A} ahr erden Wahrheitsunktionale Äquivalenz und ahrheitsunktionale Konsistenz Satz (ahrheits. Äquivalenz und ahrheits. Konsistenz): Sätze A und B sind ahrheitsunktional äquivalent genau dann, enn { (A B)} ahrheitsunktional inkonsistent ist. Wenn A und B Sätze von AL sind, dann ist A B das korrespondierende materiale Bikonditional dieses Satzpaares. 19

20 Beeis von Satz Wir nehmen Satz als Lemma (d.h. als Hilssatz) an. Lemma : Sätze A und B sind ahrheitsunktional äquivalent genau dann, enn ihr korrespondierendes materiales Bikonditional A B ahrheitsunktional ahr ist. Aus diesem Lemma und aus Satz (d.h. in diesem Fall aus) A B ist ahrheitsunktional ahr genau dann, enn { (A B)} ahrheitsunktional inkonsistent ist olgt Satz Sätze A und B sind ahrheitsunktional äquivalent genau dann, enn { (A B)} ahrheitsunktional inkonsistent ist. Die Menge { [( X Y) (X Y)]}, zum Beispiel, ist ahrheitsunktional inkonsistent, da es keine Wahrheitsertzuordnung gibt, unter der jedes Element der Menge ahr ist. X Y [( X Y) (X Y)] Wahrheitsunktionale Folgerung und ahrheitsunktionale Konsistenz Es sei zunächst an den Begri der Vereinigungsmenge erinnert, den ir in Kapitel 2 erläutert haben. a) Wenn Γ eine Menge von Sätzen von AL ist und A ein beliebiger Satz von AL, können ir eine Menge bilden, die A und alle Elemente von Γ enthält: Γ {A} lies: die Vereinigungsmenge von Γ und der Einermenge von A Beispiel: Γ: {A, A B} A: C Γ {A}: {A, A B} {C} = {A, A B, C} 20

21 b) Wenn A ein Element von Γ ist, dann Γ {A} = Γ. Beispiel: {A, A B} {A B} = {A, A B}. c) Wenn Γ =, dann Γ {A} = {A}. Satz (ahrheits. Folgerung (Gültigkeit) und ahrheits. Konsistenz): Für einen beliebigen Satz A und ür eine beliebige Menge von Sätzen Γ gilt: Γ = A genau dann, enn Γ { A} ist ahrheitsunktional inkonsistent. Beeis von Satz ( ) Annahme: Γ = A. Dann gibt es (nach Deinition ) keine Wahrheitsertzuordnung, unter der jedes Element von Γ ahr ist und A alsch ist. Aber A ist (nach Deinition 5.5.1) unter einer Wahrheitsertzuordnung ahr genau dann, enn A unter dieser Wahrheitsertzuordnung alsch ist. Dann olgt, der Annahme entsprechend, dass es keine Wahrheitsertzuordnung gibt, unter der jedes Element von Γ ahr ist und A ahr ist. Dann gibt es keine Wahrheitsertzuordnung, unter der jedes Element von Γ { A} ahr ist. Somit ist Γ { A} ahrheitsunktional inkonsistent (nach Deinition 5.10). ( ) Von unten nach oben. 21