SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER

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1 SE PHILOSOPHISCHE LOGIK WS 2014 GÜNTHER EDER

2 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? Aussagenlogik (AL) betrachtet Sätze / Argumente immer nur von ihrer aussagenlogischen Struktur her Ein Satz wie Jaime mag Cersai und Brienne ist aussagenlogisch komplex mit Struktur (p q) Die Teilsätze Jaime mag Cersai Jaime mag Brienne sind es aber nicht! Sie sind aussagenlogisch unzerlegbar

3 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? AL kann deshalb nur solche Schlüsse / Argumente angemessen repräsentieren, die sich schon aufgrund der AL-Struktur der beteiligten Sätze ergeben, etwa wie in: (P1) Tyrion mag Cersai oder Jaime p q (P2) Tyrion mag Cersai nicht p Also Also (C) Tyrion mag Jaime q

4 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? Folgende Schlüsse / Argumente können in AL nicht angemessen repräsentiert werden: (1) Jaime mag Cersai. Jaime mag Tyrion. Also mag irgendjemand sowohl Tyrion als auch Cersai. (2) Jeder, der Tyrion mag, mag auch Bronn. Jaime mag Tyrion. Also mag er auch Bronn. (3) Jon Snow mag sowohl Sansa, Arya als auch Robb. Also mag Jon Snow mindestens drei Personen. Der Grund liegt darin, dass 1. AL nicht fein genug ist! Wir haben keinen Zugriff auf die innere Struktur von aussagenlogisch unzerlegbaren Sätzen! 2. AL keine Möglichkeit bietet, quantifizierende Ausdrücke miteinzubeziehen (Alle / Jeder, Einige, Irgendjemand, etc.)

5 *EXKURS: VIELLEICHT DOCH NUR AUSSAGENLOGIK NÖTIG?! Was wenn wir die wahre logische Struktur der Konklusion des Arguments (1) (C) Irgendjemand mag sowohl Tyrion als auch Cersai. als endliche Disjunktion auffassen? D.h. als (C*) Tyrion mag sowohl Tyrion als auch Cersai oder Cersai mag sowohl Tyrion als auch Cersai oder Jaime mag sowohl Tyrion als auch Cersai oder Dann folgt (1) (bzw. (1*)) offenbar aufgrund aussagenlogischer Gesetze aus den Prämissen Jaime mag Tyrion und Jaime mag Cersai.

6 *EXKURS: VIELLEICHT DOCH NUR AUSSAGENLOGIK NÖTIG?! In ähnlicher Weise könnte man meinen, dass die echte logische Struktur allquantifizierter Sätze wie (A) Jeder, der Tyrion mag, mag Bronn endliche Konjunktionen sind. D.h. (A*) Wenn Tyrion Tyrion mag, mag Tyrion Bronn und wenn Jaime Tyrion mag, mag Jaime Bronn und wenn Cersai Tyrion mag, mag Cersai Bronn und Frage: Spätestens wo bricht so eine Analyse zusammen???

7 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? PL behebt genau diese Ausdrucksschwäche und trägt der Feinstruktur von Sätzen / Argumenten Rechnung! (1) Aussagenlogisch unzerlegbare Sätze können nun zerlegt werden in einfachere, subsententiale Bestandteile wie Individuenausdrücke (Namen, Variablen, Funktionsausdrücke) Prädikate verschiedener Stelligkeit (2) Ausserdem gibt es in der PL Symbole für quantifizierende Ausdrücke wie Alle/s, Jede/r/s, Einige / Mindestens ein/e/r

8 FORMALE SPRACHE DER PL Die erweiterte Sprache der PL (bzw. eine prädikatenlogische Sprache) enthält dementsprechend formale Gegenstücke für: Einfache Individuenterme, d.h. Individuenkonstanten/Konstantensymbolen a, b, c, und Individuenvariablen x, y, z, Funktionssymbole f, g, h, für 1-, 2-, 3-,. n-stellige Funktionen Prädikatssymbole P, Q, R, für 1-, 2-, 3-,. n-stellige Prädikate Ausserdem gibt es in der PL Symbole für quantifizierende Ausdrücke: Allquantor Alle/s / Jede/r/s Existenzquantor Einige / Mindestens ein/e/r

9 FORMALE SPRACHE DER PL Formal legen wir die Sprache der PL fest, indem wir zunächst rekursiv die Terme/Individuenterme definieren und dann wie in der AL die Klasse der Wohlgeformten Formeln:

10 PL-FORMALISIERUNG: BEISPIEL Der aussagenlogisch nicht weiter zerlegbare Satz (1) Jede/r, der/die die Mutter von Joffrey mag, der/die mag auch Tyrion kann nun zerlegt werden in verschiedene prädikatenlogisch relevante Teile: Singuläre Terme, quantifikatorische Ausdrücke inkl. Pronomen, Relationen/Prädikate Formalisierung von (1): (1*) x(m(x,m(j)) M(x,t)),

11 QUANTOREN UND VARIABLEN BEISPIELE Bei Formalisierungen von umgangsprachlichen Sätzen entsprechen den (manchmal nicht sichtbaren/hörbaren) Pronomen, die sich auf quantifikatorische Ausdrücke zurückbeziehen, immer Variablen! (1) Einige, die gern Bücher lesen, [die] mögen Dostojewski. ( x (Bx Mxd)) (2) Keiner, der/die schon einmal etwas von Wittgenstein gelesen hat, [der/die] wird jemals wieder glücklich sein können. ( x (Lxw Gx)) (3) Jemand (Jede/r), der/die irgendwen mag, der Frege mag, [der/die] kann kein schlechter Mensch sein. ( x( y (Mxy Myf) Sx)) (4) Keiner, der/die irgendwen mag, [der/die] hasst jeden. ( x ( y Mxy z Hxz)) Bei Übersetzungen von umgangsprachlichen Sätzen treten Variablen immer zusammen mit Quantoren auf (immer gebunden niemals frei )!

12 IDENTITÄT = Hat man singuläre Terme zur Verfügung, kann man sich auch Identitätsaussagen formulieren (etwa Hesperus = Phosophorus oder 2+2 = 4 ) Üblicherweise rechnet man auch die Identität = zu den logischen Konstanten. Punkt 1. in den Wohlformungsregeln von vorhin wird dann so abgewandelt: Sind t 1, t n Terme und P ein n-stelliges Prädikatssymbol dann sind sowohl P(t 1, t n ) als auch t 1 = t 2 wohlgeformte (atomare) Formeln Alternativ kann man (i) die Identität auch als nichtlogische Relation auffassen oder (ii) die Identität (bzw. etwas der Identität sehr ähnliches) für endliche Sprachen erster Stufe auch definieren ( W.V.O. Quine) x = y : (Fx Fy) z((rzx Rzy) (Rxz Ryz))

13 IDENTITÄT = Ein wichtiges Gesetz bzgl. Identität ist das sogenannte Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Gleichem ( indiscernability of identicals ) x y(x = y (φ(x) φ(y/x))) Idee: wenn zwei Dinge x und y identisch sind, ist alles, was von x wahr ist, auch von y wahr Das komplementäre Gesetz der Gleichheit von Ununterscheidbarem ( identity of indiscernibles ) lässt sich in Sprachen erster Stufe nicht ausdrücken In der klassischen PL gilt ausserdem das Prinzip der Substituierbarkeit von Gleichem ( substitutivity of identicals ), i.e. Für beliebige singuläre Terme t, s: s = t (φ(s) φ(t/s))

14 SINGULÄRE KENNZEICHNUNGEN (DEFINITE DESCRIPTIONS) Mit Hilfe der Identität lassen sich auch Aussagen in die Prädikatenlogik übersetzen, die singuläre Kennzeichnungen (SK) der / die / das enthalten (1) Der Sieger der Partie Österreich gegen Deutschland wird Europameister. (2) Der größte Mensch der Welt kommt aus China (3) Die Tennisspielerin mit den meisten Titeln ist eine Deutsche und heißt Steffi Graf Es gibt verschiedene Möglichkeiten, singuläre Kennzeichnungen in eine formale Sprache einzuführen. Wir werden im Wesentlichen Betrand Russell folgen.

15 IOTA-OPERATOR Grundidee von Russell besteht darin, singuläre Kennzeichnungen über eine Kontextdefinition einzuführen. Der Russell sche Kennzeichnungsoperator ιxφ(x) (umgedrehtes iota), der ein formales Gegenstück für die umgangssprachlichen bestimmten Artikel ( der/die/das φ ) sein soll, wird so eingeführt: ψ(ιxφ(x)) : x(φ(x) y(φ(y) y = x) ψ(x)) Man nennt das Kontextdefinition, weil wir erklären, wie dieser Operator in jedem beliebigen Kontext eliminiert werden kann zugunsten eines Satzes, der diesen Operator nicht mehr enthält

16 SINGULÄRE KENNZEICHNUNGEN (DEFINITE DESCRIPTIONS) Russell würde die wahre logische Struktur von (1) etwa so ausdrücken: (1 ) Es gibt einen und nur einen Sieger der Partie Österreich gegen Deutschland und wer auch immer diese Partie gewinnt wird Europameister. D.h. jede der drei Bedingungen (i) xs(x) (ii) y x(s(y) S(x) y = x) (iii) x(s(x) E(x)) Existenz Eindeutigkeit Prädikation muss erfüllt sein, damit (1) (bzw. (1 )) wahr ist und sobald eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, ist (1) (bzw. (1 )) falsch.

17 SINGULÄRE KENNZEICHNUNGEN (DEFINITE DESCRIPTIONS) Der Satz (1) kann also, via Analyse (1 ), so formalisiert werden: (1*) xs(x) y x(s(y) S(x) y = x) x(s(x) E(x)) (bzw.) (1**) x(s(x) y(s(y) y = x) E(x)) (bzw.) (1***) x y((s(y) y = x) E(x))

18 IDENTITÄT UND ANZAHLAUSSAGEN Mit Hilfe der Identität lassen sich weitere quantifizierende Ausdrücke, sogenannte numerisch definite Quantoren, definieren: Es gibt genau ein x, sodass A(x) =1 xa(x) := x 1 A(x 1 ) y x 1 (A(y) A(x 1 ) y=x 1 ) Es gibt genau zwei x, sodass A(x) =2 xa(x) := x 1 x 2 (A(x 1 ) A(x 2 ) x 1 x 2 ) y x 1 x 2 (A(y) A(x 1 ) A(x 2 ) y=x 1 y=x 2 x 1 =x 2 ) =n xa(x) :=???

19 INDIVIDUENKONSTANTEN UND FUNKTIONSZEICHEN ELIMINIEREN Mit Hilfe der Identität lassen sich Namen (Individuenkonstanten) und Funktionszeichen aus einer prädikatenlogischen Sprache zugunsten von Prädikaten / Relationen eliminieren (wieder W.V.O. Quine) Statt einer Individuenkonstante a zu verwenden, kann man ein primitives Prädikat A(x) einführen und einfach fordern, dass gilt: =1 xa(x) Statt eines 1-stelligen Funktionszeichens f zu verwenden, kann man ein 2-stelliges Relationszeichen F einführen und einfach fordern, dass gilt: x =1 yf(x,y)

20 ERINNERUNG: WAS TUT EINE FORMALE SEMANTIK? Eine Semantik legt fest welche Bedeutung / semantischen Werte wohlgeformte Zeichenreihen haben können Eine Semantik für eine formale Sprache gibt allgemeine Bedingungen an, die festlegen welche Bedeutung / semantischen Wert ein korrekt gebildeter Ausdruck hat gegeben, dass eine Bedeutung / semantischer Wert für seine einfachsten Bestandteile fixiert wurde Insbesondere wird so jedem (einfachen oder komplexen) Ausdruck ein(e) eindeutige(r) Bedeutung / semantischer Wert zugewiesen gegeben, dass die / der Bedeutung / semantischer Wert für die einfachsten Bestandteile fixiert wurde

21 SEMANTIK DER PL Wie auch im Fall der AL gilt: Die Semantik der PL legt Wahrheitsbedingungen für Sätze der Sprache der PL fest. D.h. wir geben Bedingungen an, wie der Wahrheitswert einer komplexen Aussage abhängt von den semantischen Werten einfacheren Bestandteile die im Satz vorkommen (Singuläre Terme, Prädikate, Relationen) der logisch-syntaktischen Struktur des Satzes relativ zu einer bestimmten Interpretation!

22 NOCH EINMAL: WIESO INTERPRETATIONEN? Alle Interpretationen sind relevant wenn es um logische Wahrheit und logische Folgerung geht!

23 SEMANTIK DER PL In der AL war eine Interpretation einfach eine Zuordnung von Wahrheitswerten w, f zu den atomaren, nicht weiter zerlegbaren Sätzen p, q, r, usw. Die Semantik der PL ist komplizierter, weil wir jetzt (1) subsententiale Bestandteile eines Satzes und (2) quantifikatorische Ausdrücke miteinbeziehen müssen.

24 SEMANTIK DER PL

25 WAS IST EINE PL- INTERPRETATION? Formal verstehen wir unter unter einer PL-Interpretation ein Paar (M, s), wobei M eine PL-Struktur ist und s eine Variablenbelegung Die PL-Struktur legt ein Diskursuniversum fest und stattet die nichtlogischen Konstanten der Sprache mit semantischen Werten bzgl. dieses Diskursuniversums aus Die Variablenbelegung sorgt für freie Variablen und hilft dabei die Wahrheitsbedingungen für quantifizierte Sätze adäquat zu formulieren

26 PL-STRUKTUR / VARIABLENBELEGUNG Eine PL-Struktur M besteht aus einer Domain U (Diskursuniversum, Universe of Discourse, Redebereich) Interpretationsfunktion I, die jedem nichtlogischen Zeichen einen semantischen Wert zuordnet, d.h. die jeder Individuenkonstanten a ein Objekt I(a) in U zuordnet jedem n-stelligen Funktionssymbol f eine Funktion f*: U n U jedem n-stelligen Prädikat P eine Menge von n-tupeln I(P) von Objekten aus U zuordnet Eine Variablenbelegung ordnet jeder Individuenvariablen x ein Objekt s(x) in U zu

27 WOZU PL-STRUKTUREN? Die Domain U spezifiziert auf welche Objekte ich mich mit den quantifikatorischen Ausdrücken alle, einige beziehe (Was heisst hier alle?! Alle Menschen? alle Lebewesen? alle Mengen? alle natürlichen Zahlen? ) Individuenkonstanten entsprechen natürlich-sprachlichen Namen, sollen also bestimmte Objekte einer gegebenen Domain bezeichnen Funktionssymbole entsprechen Funktionen, die (n-tupel von) Elemente(n) der Domain auf Elemente der Domain abbilden Prädikatssymbole (Relationssymbole) entsprechen natürlich-sprachlichen Prädikaten (Relationen, ), sollen also wahr von bestimmten Objekten (Tupeln, Triplen n-tupeln von Objekten) sein

28 WOZU VARIABLENBELEGUNGEN? In der formalen Sprache der PL (nicht aber in natürlichen Sprachen) kommen auch Formeln mit freien Variablen vor, d.i. Formeln, die Variablen beinhalten, die durch keinen Quantor gebunden sind x Rxy y kommt frei in x Rxy vor (Mxy x Rxx) y kommt frei in (Mxy x Rxx) vor; x kommt in (Mxy x Rxx) einmal frei, einmal gebunden vor Formeln mit freien Variablen haben solange keinen Wahrheitswert, solange nicht klar ist auf welche Objekte sich die freien Variablen beziehen sollen genau das fixiert eine Variablenbelegung!

29 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL Angenommen folgender Satz ist gegeben: (1) Irgendein Schauspieler mag Seth MacFarlane. Eine semi-formalisierte Variante von (1) könnte man so anschreiben: (1 ) Es gibt mindestens ein x, sodass x ein Schauspieler ist und x Seth MacFarlane mag. Die vollständig formalisierte Version von (1) ist dann: (1 ) x (Sx Mxm) Wenn wir (1 ) als Übersetzung in unsere formale Sprache der PL betrachten, verbinden wir mit (1 ) (so wie mit (1) selbst) eine ganz bestimmte Interpretation die sogenannte intendierte Interpretation

30 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL Die intendierte Interpretation I von (1 ) (bzw. (1)) bezieht sich auf folgende PL-Struktur M (die Variablenbelegung spielt hier keine Rolle, weil (1 ) keine freien Variablen enthält): U : = {x: x ist ein Mensch} = die Menge aller Menschen = {Max von Sydow, Bill Clinton, Esther Ramharter, } I(m) : = Seth MacFarlane I(S) : = {x: x ist ein Schauspieler} = die Menge aller Schauspieler = {George Clooney, Al Pacino, Peter Dinklage, } I(M) : = {(e,f): e mag f} = die Menge aller Paare von Menschen e und f, sodass e f mag = {(Quentin Tarantino, Uma Thurman),, (George Clooney, Seth MacFarlane), } Nehmen wir an, dass Seth MacFarlane tatsächlich von irgendeinem Schauspieler etwa George Clooney gemocht wird, dann ist (1 ) bzgl. dieser Interpretation I wahr!

31 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL Wie können wir nachprüfen, dass (1 ) wahr ist in der intendierten Interpretation? Wir gehen Schritt für Schritt, aber stur, einfach die Klauseln unserer Wahrheits- Definition (Wahrheit in einer Interpretation) durch!

32 DEFINITION: WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Erinnerung: Um beliebigen WFFs einen Wahrheitswert zuordnen zu können, brauchen wir eine (vollständige) Interpretation, d.i. eine PL- Struktur zusammen mit einer Variablenbelegung. Da es sich bei x (Sx Mxm) um einen Satz handelt (also eine WFF, die keine freien Variablen enthält), spielt die Variablenbelegung s keine Rolle. Um die Klauseln in der Wahrheitsdefinition anwenden zu können, fixieren dennoch eine Dummy-Variablenbelegung s, die der Variable x den Wert Henry Fonda zuordnet (d.h. s(x) = Henry Fonda) wie wir sehen werden, spielt s aber absolut keine Rolle im Folgenden!

33 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL (M, s) x (Sx Mxm) Klausel für existenzquantifizierte Sätze Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass (M, s ) Sx Mxm Klausel für Konjunktionen Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass Klausel für atomare Formeln (M, s ) Sx und (M, s ) Mxm Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass Für Variablen gilt I(x)=s (x) / I(m)=Seth MacFarlane I(x) I(S) und (I(x), I(m)) I(M) Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass s (x) I(S) und (s (x), Seth MacFarlane) I(M)

34 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL Nun müssen wir einfach nachchecken, ob gegeben unsere Interpretation I = (M, s) gilt: Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass s (x) I(S) und (s (x), Seth MacFarlane) I(M) Können wir also eine Variablenbelegung s für die Variable x finden, sodass sowohl s (x) I(S) = {George Clooney, Henry Fonda, } als auch (s (x), Seth MacFarlane) I(M) = {(Quentin Tarantino, Uma Thurman) (Seth MacFarlane, Brad Pitt), (George Clooney, Seth MacFarlane), } gilt!? JA! Wähle für s einfach die Variablenbelegung, für die gilt: s (x) = George Clooney!

35 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL II Die intendierte Interpretation I ist aber nicht die einzige relevante Interpretation für den PL-Satz x (Sx Mxm)! Wir könnten uns etwa die (Re-)Interpretation I* ansehen, die festlegt ist durch folgende Struktur M* (Variablenbelegung spielt wieder keine Rolle): U* : = {1,2,3,4} I*(m) : = 3 I*(S) : = {3,4} I*(M) : = {(e,f): e < f} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} x (Sx Mxm) sagt also bzgl. dieser Interpretation, dass irgendein Element der Menge {3,4} (echt) kleiner als 3 ist was offenbar falsch ist! Um zu nachzuprüfen dass x (Sx Mxm) tatsächlich falsch bzgl. I* ist, gehen wir wieder die Klauseln in der Wahrheitsdefinition durch.

36 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION BEISPIEL II (M*, s) x (Sx Mxm) Klausel für existenzquantifizierte Sätze Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass (M*, s ) Sx Mxm Klausel für Konjunktionen Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass Klausel für atomare Formeln (M*, s ) Sx und (M*, s ) Mxm Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass Für Variablen gilt I*(x)=s (x) / I(m)=3 I*(x) I*(S) und (I*(x), I*(m)) I*(M) Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass Nach Festlegung von M* s (x) I*(S) und (s (x), 3) I*(M) Es gibt eine Variablenbelegung s für x, sodass s (x) {3,4} und (s (x), 3) {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} Tatsächlich gibt es keine solche Variablenbelegung s! x (Sx Mxm) ist also wie erwartet falsch bzgl. I*!

37 WIESO ÜBERHAUPT INTERPRETATIONEN? Alle Interpretationen sind relevant wenn es um logische Wahrheit und logische Folgerung geht!

38 WIESO ÜBERHAUPT INTERPRETATIONEN? Um zu überprüfen, ob ein Satz A logisch wahr / allgemeingültig ist, müss(t)en wir nachprüfen, dass A in jeder Interpretation wahr ist Um nachzuweisen, dass ein Satz nicht logisch wahr / nicht allgemeingültig ist, müssen wir nur eine Gegeninterpretation / ein Gegenmodell finden Um zu überprüfen, dass ein Satz A logisch / semantisch aus einer Menge von Sätzen S folgt, müss(t)en wir checken, dass A in allen Interpretation wahr ist, in denen auch alle Sätze in S wahr sind Um nachzuweisen, dass ein Satz A nicht logisch / semantisch aus einer Menge von Sätzen S folgt, müssen wir nur eine Gegeninterpretation finden, d.h. eine Interpretation in der alle Sätze in S wahr sind, aber A falsch

39 BEISPIEL I: GEGENMODELL Wir wollen zeigen, dass gilt: x Bx x Gx x ( Bx Gx ) Folgende Gegeninterpretation bestätigt dies: U : = I(G) : = I(B) : = {Troy, Dave, Josh, Nick} {Troy, Dave, Josh} {Nick} Man stelle sich vor B stehe in diesem Modell für das Prädikat Bass zu spielen und G für das Prädikat Gitarre zu spielen; dann sagt die Prämisse Irgendjemand spielt Bass und irgendjemand spielt Gitarre und die Konklusion Irgendjemand spielt sowohl Bass als auch Gitarre. Die Prämisse ist in diesem Modell also wahr aber die Konklusion offenbar falsch!

40 BEISPIEL I: GEGENMODELL Oft ist es auch nützlich, sich Interpretation durch Bildchen darzustellen: Troy I(G) Josh Dave I(B) Nick Domain U: Auf jeden Fall muss aus der Darstellung der Interpretation klar ersichtlich sein, was die Domain ist, welche Prädikate auf welche Individuen zutreffen und welche Relationen zwischen welchen Individuen der Domain bestehen!

41 BEISPIEL II: GEGENMODELL Wir wollen zeigen, dass folgender Satz nicht logisch wahr / allgemeingültig ist: (1) x ymxy x ymxy Folgende/s Gegeninterpretation / Gegenmodell I zeigt genau das: U : = I(M) : = {Josh, Troy, Dave, Brant} {(Josh, Troy), (Troy, Dave), (Dave, Josh), (Brant, Dave)} Man stelle sich vor, M würde in diesem Modell für die Relation des Mögens stehen dann sagt (1): Wenn jeder (der vier Leute in U) jemanden (der vier Leute) mag, mag einer (der vier Leute) alle (vier Leute). Das Antezedens x ymxy ist wahr in dieser Interpretation, aber das Konsequens x ymxy ist falsch d.h. der ganze Satz ist falsch in dieser Interpretation; also ist (1) nicht logisch wahr.

42 BEISPIEL II: GEGENMODELL In Bildchen-Form: Domain U: Troy Brant Josh Dave

43 BEISPIEL III: GEGENMODELL Das Gegenmodell / die Gegeninterpretation zeigt offenbar auch, dass x ymxy x ymxy D.h. aus dem Satz x ymxy folgt der Satz x ymxy nicht logisch / semantisch aus dem Satz x ymxy! Es gibt eine Interpretation (nämlich dieselbe wie vorhin), in der die Prämisse x ymxy wahr ist, aber die Konklusion x ymxy falsch.

44 SYNTAKTISCHE BEWEISBEGRIFFE FÜR DIE PL Wie für die klassischen Aussagenlogik kann man auch für die klassische PL Kalküle aufstellen Anders als im Fall der Aussagenlogik ist die Existenz korrekter und vollständiger Kalküle in der Prädikatenlogik vom theoretischen Standpunkt aber ungleich wichtiger! Um zu zeigen, dass ein AL-Argument (mit endlich vielen Prämissen) semantisch gültig ist, können wir eine Wahrheitstafel machen und so in endlicher Zeit zu einer Entscheidung kommen (Man sagt: AL ist entscheidbar) Was tun wir aber im Fall eines PL-Arguments? Wir können in endlicher Zeit nicht unendliche viele Interpretationen durchchecken! Wir können aber (manchmal) in endlicher Zeit eine Ableitung in einem Kalkül finden!

45 AXIOMATISCHER KALKÜL FÜR DIE PL Einen Axiomatischen Kalkül für die PL erhält man sehr einfach, indem man den Axiomatischen Kalkül für die AL um folgendes Axiomenschema / folgende Regel erweitert: Universelle Instantiierung (UI): xφ(x) φ(t/x) Universelle Generalisierungsregel (UG): Falls φ ψ(x), dann schließe auf φ xψ(x) (sofern x nicht frei in φ vorkommt) φ(t/x) entsteht hier aus φ indem wir überall in φ die Variable x durch t ersetzen Wie für den axiomatischen Kalkül in der AL gilt auch hier: Ableitungen sind sehr mühsam und in der Regel sehr unnatürlich!

46 DEFINITION ABLEITUNG / ABLEITBARKEIT Eine Ableitung im axiomatischen Kalkül für die PL von α aus S ist eine endliche Folge von Sätzen, deren letzter Satz α ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt, dass er entweder Element von S ist Instanz eines der Axiomenschemata (1) (3) oder (UI) ist durch MP oder UG aus früheren Folgengliedern folgt Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im axiomatischen Kalkül) aus S, in Zeichen S AX α, wenn es eine Ableitung im axiomatischen Kalkül von von α aus S gibt. Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } AX α, dann sagen wir, dass α ein PL-Theorem ist (und schreiben einfach AX α).

47 BEISPIEL FÜR ABLEITUNG IN AX KALK FÜR PL (1) (5) Px Px (6) (Px Px) (D (Px Px)) (7) D (Px Px) (8) D x(px Px) (9) D (10) x(px Px)

48 BEISPIEL FÜR ABLEITUNG IN AX KALK FÜR PL In der Ableitung stehen die Punkte am Anfang für die Ableitung von (p p) für p := Px D für ein beliebige Instanz eines unserer Axiomenschemata stehen, die die Variable x nicht enthält Zeile (6) ist eine Instanz des ersten AL-Axiomenschemas; Zeile (8) ergibt sich aus der Generalisierungsregel aus Zeile (7) Offenbar handelt es sich um eine sehr umständliche Art die Trivialität x(px Px) zu beweisen! Deshalb

49 GESETZE FÜR DIE IDENTITÄT Sofern man die Identität als logische Konstante auffasst, nimmt man auch noch folgende Gesetze mit dazu: x(x = x) x y(x = y (φ(x) φ(y/x)) Indiscernability of Identicals (ID) Aus ID folgt sofort auch das Prinzip der Substituierbarkeit von Gleichem (wie?!), i.e. Für beliebige singuläre Terme t, s: s = t (φ(s) φ(t/s))

50 METATHEOREME Wie auch für die AL gelten auch für den auf PL erweiterten axiomatischen Kalkül (auch inkl. Identität) sowohl Deduktionstheorem als auch Korrektheits- und Vollständigkeitssatz. D.h. es gelten wieder: Wenn S {α} AX β, dann S AX α β (Deduktionstheorem) Wenn S AX α, dann S α (Korrektheit) Wenn S α, dann S AX α (Vollständigkeit)

51 METATHEOREME Zwei weitere wichtige Metatheoreme sind der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim-Skolem Kompaktheitssatz: Wenn S α, dann gibt es eine endliche Teilmenge S 0 S, sodass S 0 α (Wie folgt der Kompaktheitssatz aus dem Vollständigkeitssatz?) Satz von Löwenheim-Skolem ( downward ): Wenn S ein unendliches Modell hat, dann hat S ein abzählbares Modell (Auch der Satz von Löwenheim-Skolem ist eine Folge des Vollständigkeitssatzes)

52 KALKÜL DES NATÜRLICHEN SCHLIEßENS FÜR PL Auch der Kalkül des natürlichen Schließens für die PL entsteht durch Erweiterung des KNS für die AL Es werden zum KNS für die AL folgende Regeln dazugenommen: Einführungsregel für den Allquantor Beseitigungsregel für den Allquantor Einführungsregel für den Existenzquantor Beseitigungsregel für den Existenzquantor

53 BESEITIGUNGSREGEL FÜR Sollte klar sein: Wenn jeder Game of Thrones mag, dann auch Günther

54 EINFÜHRUNGSREGEL FÜR Idee: Wenn wir zeigen können, dass ein Satz von einem beliebigen Individuum wahr ist, dann sollten wir zeigen können, dass der Satz von allen Dingen wahr ist.

55 BESEITIGUNGSREGEL FÜR Idee: Wenn wir zeigen wollen, dass ein Satz γ aus einer reinen Existenzbehauptung xp(x) folgt, zeigen wir, dass γ aus einer typischen Instanz P(a/x) der Existenzbehauptung folgt ( verallgemeinerte Fallunterscheidung / Oder- Beseitigung )

56 EINFÜHRUNGSREGEL FÜR Sollte wieder klar sein: Wenn Günther Game of Thrones mag, dann mag irgendjemand Game of Thrones

57 BEISPIEL ABLEITUNG Hier ein Beispiel das zeigt, dass { x yrxy} y xrxy

58 EINFÜHRUNGSREGEL FÜR = Hoffentlich klar

59 BESEITIGUNGSREGEL FÜR = Die Beseitigungsregel ist im wesentlichen eine Regelvariante von ID vom axiomatischen Kalkül

60 BEISPIEL Wir wollen im KNS zeigen, dass folgendes Argument gültig ist: (1) Neil Armstrong hat den Mond zuerst betreten (2) Nur eine Person kann den Mond zuerst betreten haben (3) Neil Armstrong ist nicht Buzz Aldrin (C) Also hat Buzz Aldrin den Mond nicht zuerst betreten Wir müssen also zeigen: {Ma, x y(mx My x = y), a b} Mb

61 BEISPIEL Folgende Ableitung zeigt {Ma, x y(mx My x = y), a b} Mb

62 METATHEOREME Alle Metatheoreme, die für den axiomatischen Kalkül für die PL gelten, gelten natürlich mutatis mutandis auch für den Kalkül des natürlichen Schließens, insbesondere ist er korrekt vollständig