SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN WS 2015/16 ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

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1 SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN WS 2015/16 ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

2 QUANTIFIZIERTE MODALLOGIK Bisher haben wir uns ausschließlich mit modallogischen Erweiterungen der (klassischen) Aussagenlogik beschäftigt Quantifizierte Modallogik (QML) kombiniert Prädikatenlogik erster Stufe, die Logik der Quantoren und, mit der Logik der Modaloperatoren und. Das wirft sowohl technische als auch philosophische Probleme auf (bzgl. Existenz, Identität, essentielle Eigenschaften etc.), vor allem wenn man die Modaloperatoren und alethisch liest (so wie wir das im folgenden in der Regel tun werden)!

3 QUANTIFIZIERTE MODALLOGIK Die erste und wichtigste Entscheidung, die man treffen muss, ist, wie man die Quantoren verstehen will, sobald Modaloperatoren mit Quantoren kombiniert vorkommen. Man betrachte etwa folgende Sätze: (1) Es ist möglich, dass Günther (obwohl er tatsächlich nur zwei Geschwister hat) auch drei Geschwister hätte haben können. (2) Es ist möglich, dass Günther (obwohl er tatsächlich zwei Geschwister hat) nur ein Geschwister hätte haben können. Die Wahrheit von (1) / (2) setzt voraus, dass es mögliche Welten gibt, in denen zusätzliche / weniger Entitäten existieren. Zwei logisch-philosophische Positionen, die dieser Intuition auf verschiedene Arten gerecht zu werden versuchen sind der Aktualismus und der Possibilismus, die jeweils zu verschiedenen Semantiken, und also auch verschiedenen Logiken, für QML führen.

4 AKTUALISMUS VS. POSSIBILISMUS Possibilisten wollen mit Hilfe der Quantoren und immer über alle Dinge, die es überhaupt gibt sprechen (alle Possibilia : den Weihnachtsmann, das geflügelte Pferd Pegasus etc.), trennen aber Existenz von den Quantoren. Man sagt auch: Die Quantoren haben keinen existential import. (Poss) Es gibt Dinge, die nicht existieren Possibilisten verwenden daher in der Regel ein zusätzliches primitives Existenzprädikat E!, dessen Extension von möglicher Welt zu möglicher Welt variieren kann ( There are more things in heaven and earth, Horatio, than are dreamt of by your quantifiers. Melvin Fitting, First Order Modal Logic). Das führt zur sogenannten Constant Domain Semantics. Aktualisten wollen mit Hilfe der Quantoren und immer (nur) über alle Dinge sprechen, die in der (jeweils) aktualen Welt existieren. An die Quantoren ist immer Existenz gebunden. Die Quantoren haben existential import. (Akt) Es gibt nichts, das nicht existiert Aber in verschiedenen Welten existieren verschiedene Entitäten. Das führt zur sogenannten Varying Domain Semantics.

5 SPRACHE DER QUANTIFIZIERTEN MODALLOGIK Die Sprache, mit der wir uns im folgenden beschäftigen, besteht aus dem üblichen Zeug aus der klassischen Prädikatenlogik minus Funktionszeichen, Individuenkonstanten (keine wesentliche Einschränkung wegen Eliminierbarkeit von beidem) und (vorerst) Identität plus Modaloperatoren und Die Sprachen, die wir uns ansehen werden, beinhalten also nur aussagenlogische Junktoren,,, ; Klammern ( und ); beliebig viele Prädikats- und Relationszeichen P, Q, R, von beliebiger Stelligkeit; Individuenvariablen x, y, z, ; die Quantoren und und die Modaloperatoren und. Wenn man possibilistische Semantik verwendet, benutzt man in der Regel auch noch ein primitives Existenzprädikat E!

6 SEMANTIK FÜR QML I: CONSTANT DOMAIN SEMANTICS Wie immer wenn wir eine Semantik für eine bestimmte Sprache angeben, geben wir zunächst an, worin eine Interpretation / ein Modell für so eine Sprache besteht um dann Wahrheitsbedingungen für so eine Sprache anzugeben. Wie im Fall der aussagenlogischen Modallogik legen wir dazu zunächst fest, was ein Frame ist und worin ein Modell, basierend auf so einem Frame, besteht. Auf diesen Begriffen aufbauend können wir dann analog zum aussagenlogischen Fall definieren, wann ein Satz wahr in einem Modell (relativ zu einer bestimmten möglichen Welt) ist, wann ein Satz gültig in einem Modell ist, wann ein Satz gültig in einem Frame ist und wann ein Satz gültig in einer bestimmten Klasse von Frames ist.

7 SEMANTIK FÜR QML I: CONSTANT DOMAIN SEMANTICS Definition: Ein Erweiterter Constant Domain Frame (ECD-Frame) ist ein Tripel W, R, D, wobei W eine nicht-leere Menge von möglichen Welten, R eine Teilmenge von W W eine darauf definierte Zugänglichkeitsrelation und D eine nicht-leere Menge von Objekten ist. Definition: Ein Constant Domain Modell (CD-Modell) ist ein Quadrupel W, R, D, I, wobei W, R, D ein ECD-Frame ist und I eine Familie von Interpretationsfunktionen I w (eine für jede Welt w W), die jedem n-stelligen Relationssymbol P eine Teilmenge von D n zuordnet.

8 SEMANTIK FÜR QML I: CONSTANT DOMAIN SEMANTICS Wie in der aussagenlogischen ML müssen wir, um ein Modell zu spezifizieren, zunächst einen Frame festlegen, d.h. eine Menge von möglichen Welten W und eine auf W definierte Zugänglichkeitsrelation R. Das einzige was dazukommt ist die Menge D, die Domain des Frames / Modells. Quantoren werden immer bzgl. der gesamten Domain D (der Menge aller Possibilia, i.e. aller tatsächlichen und der möglichen Objekte) interpretiert. Jede Welt enthält dieselben Individuen (deshalb constant domain ). Um ein vollständiges CD-Modell anzugeben muss man dann, analog zum aussagenlogischen Fall (wo wir in jeder Welt Wahrheitswerte für die atomaren Sätze verteilt haben), für jede einzelne mögliche Welt Extensionen für die Prädikate und Relationen angeben, die sich ebenfalls von Welt zu Welt unterscheiden können.

9 BEISPIEL FÜR EINEN ECD-FRAME Hier ein Beispiel für einen ECD-Frame mit W = {w 1, w 2,w 3 }, R = { w 1, w 2, w 1, w 3, w 2, w 3, w 3, w 2, w 1, w 1 } und D = {Pegasus, Günther, Herbert} w 2 Günther Herbert Pegasus w 3 w 1 Günther Herbert Pegasus Günther Herbert Pegasus

10 BEISPIEL FÜR EIN ECD-MODELL Hier ein Beispiel-Modell für eine Sprache, die ein primitives Existenzprädikat E! sowie eine zweistellige Relation K enthält, mit dem Frame von vorhin und den Festlegungen I w1 (E!)={G, H}= I w2 (E!), I w3 (E!)={H, P} und I w1 (K)={ G,H, G,P, P,H }= I w3 (K), I w2 (K)={ H,P, G,P, H,G } w 2 Günther Herbert Pegasus w 3 w 1 Günther Herbert Pegasus Günther Herbert Pegasus

11 BEISPIEL FÜR EIN ECD-MODELL Im Modell von vorhin existieren also Günther und Herbert in Welt w 1 und w 2, während Pegasus dort jeweils zu den nichtaktualisierten Possibilia gehört. In Welt w 3 andererseits ist Pegasus verwirklicht, während der arme Günther dort nicht existiert. Die Welten w 1 und w 3 unterscheiden sich nicht bzgl. der (Extension der) Relation K (Günther steht in der Relation K zu Herbert und Pegasus), während die Welt w 1 sich von den anderen Welten bzgl. K unterscheidet (Herbert steht dort in der Relation K zu Günther und Pegasus und Günther steht ebenfalls in der Relation K zu Pegasus)

12 WAHRHEIT IN EINER WELT Um den Begriff der Wahrheit in einer Welt (wie üblich rekursiv) zu definieren, brauchen wir (wie in der klassischen Prädikatenlogik) zunächst den Begriff der Variablenbelegung und der Variante einer Variablenbelegung. Die Definitionen beinhalten keine wesentlichen Überraschungen (was dafür sorgen wird, dass die QML mit CD-Semantik recht einfach ist) Definition: Eine Variablenbelegung ist eine Funktion s: {x, y, z } D Definition: Eine x-variante einer Variablenbelegung s ist eine Variablenbelegung s, die für alle Werte ausser x gleich wie s ist und nur für die Variable x (möglicherweise) einen anderen Wert als s annimmt

13 WAHRHEIT IN EINER WELT (i) Klausel für atomare Formeln: M, w, s Px 1 x n gdw s(x 1 ), s(x n ) I w (P) (ii) Klauseln für Wahrheitsfunktionale Operatoren / Junktoren (wie in der AL): M, w, s α gdw. M, w, s α M, w, s (α β) gdw. M, w, s α und M, w, s β etc. (iii) Klauseln für die Modaloperatoren (wie in der AL): M, w, s α gdw. Für alle v W, für die Rwv, gilt: M, v, s α M, w, s α gdw. Es gibt ein v W, sodass Rwv, und M, v, s α (iv) Klauseln für die Quantoren: M, w, s xα gdw. Für alle x-varianten s von s, gilt: M, w, s α M, w, s xα gdw. Es gibt eine x-variante s von s, gilt: M, w, s α

14 GÜLTIGKEIT IN CD-MODELLEN / FRAMES / KLASSEN VON FRAMES Wenn α ein Satz ist (d.h. ein Formel, die keine freien Variablen enthält), dann schreiben wir M, w α falls für alle Variablenbelegungen s gilt, dass M, w, s α Ein allquantifizierter Satz xα wahr in einer Interpretation M und einer Welt w, falls für alle Variablenbelegungen s gilt, dass M, w, s α Analog gilt für existenzquantifizierte Sätze xα, dass M, w xα falls es irgendeine Variablenbelegung s gibt, sodass M, w, s α

15 WAHRHEIT IN EINEM MODELL: BEISPIEL Wenn wir uns das Modell von vorhin ansehen, können wir uns z.b. fragen, ob für die Variablenbelegung s(x) = Günther und s(y) = Herbert gilt: M, w 1, s Kxy (richtig) M, w 2, s Kxy (falsch) Wir können uns auch fragen ob bzgl. derselben Variablenbelegung gilt: M, w 2, s xkxx (falsch) M, w 1, s x Kxx (richtig) M, w 1, s x E!x (richtig) M, w 1, s x E!x (richtig)

16 GÜLTIGKEIT IN CD-MODELLEN / FRAMES / KLASSEN VON FRAMES Die verschiedenen Gültigkeitsbegriffe können wir dann, wieder analog zur AL, folgendermaßen definieren Definition: α ist gültig im CD-Modell M gdw. für alle alle w W gilt: M, w α Definition: α ist gültig im CD-Frame F gdw. α gültig in jedem Modell ist, das auf F basiert Definition: α ist X-gültig gdw. α gültig in allen CD-Frames der Klasse X ist Wobei X hier wieder für eine Klasse von Frames steht, deren Zugänglichkeitsrelation irgendwelche Bedingungen erfüllt (reflexiv, transitiv, etc.)

17 INTERAKTION VON MODALOPERATOREN UND QUANTOREN Ein wichtiges feature der QML ist, dass wir nun Sätze formulieren können, in denen Quantoren und Modaloperatoren interagieren; insbesondere können wir von aussen in einen modalen Kontext hineinquantifizieren (man spricht auch von quantifying in ) Man betrachte etwa irgendein Zwei-Spieler-Spiel bei dem auf jeden Fall einer der beiden Spieler gewinnt. Dann gibt es offenbar einen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Behauptungen (Gx für x gewinnt und Existenzquantor auf die beiden Spieler beschränkt) (1) xgx (2) x Gx

18 INTERAKTION VON MODALOPERATOREN UND QUANTOREN Ein wichtiges feature der QML ist, dass wir nun Sätze formulieren können, in denen Quantoren und Modaloperatoren interagieren; insbesondere können wir von aussen in einen modalen Kontext hineinquantifizieren (man spricht auch von quantifying in ) Man betrachte etwa irgendein Zwei-Spieler-Spiel bei dem auf jeden Fall einer der beiden Spieler gewinnt. Dann gibt es offenbar einen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden Behauptungen (Gx für x gewinnt und Existenzquantor auf die beiden Spieler beschränkt) (1) Es ist notwendig, dass es einen Spieler gibt, der gewinnt xgx (2) Es gibt einen Spieler, der notwendigerweise gewinnt x Gx Quantoren und Modaloperatoren können also im Allgemeinen nicht vertauscht werden! (Eine Tatsache, die klar sein sollte wenn wir uns an die Wahrheitsbedingungen der Modaloperatoren erinnern!) Eine wichtige Frage in der QML ist also: welche Quantoren können mit welchen Modaloperatoren vertauscht werden (wenn das überhaupt möglich ist)?

19 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN FORMELN Eine besondere Art Formeln, die die Vertauschung von Quantoren und Modaloperatoren betreffen und die in der Frühphase der QML heftig diskutiert wurden sind die Barcan-Formeln (BF) und die konversen Barcan- Formeln (CBF) (benannt nach der Pionierin der QML Ruth Barcan-Marcus) (BF) xα x α (bzw. äquivalent x α xα) (CBF) x α xα (bzw. äquivalent xα x α) Beide Formeln zusammen haben zur Folge, dass wir und (bzw. und ) vertauschen können. Eines der charakteristischen Features der CD-Semantik ist, dass bzgl. dieser Semantik sowohl (BF) als auch (CBF) allgemeingültig sind.

20 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN FORMELN Beweis. (BF) Angenommen M ist ein beliebiges CD-Modell und w eine beliebige Welt des Modells, in der xα wahr ist. Gemäß unseren Wahrheitsbedingungen gilt dann M, w xα gdw. es eine von w aus zugängliche Welt, etwa u, gibt sodass M, u xα. M, u xα gilt gdw. es eine Belegung s für die Variable x gibt, sodass M, u, s α. D.h. es gibt eine von w aus zugängliche Welt u sodass M, u, s α und damit gilt M, w, s α. Weil es eine Belegung gibt, sodass M, w, s α, folgt, dass auch M, w x α gilt. Da das CD-Modell M und die Welt w beliebig gewählt waren, ist xα x α gültig in jedem CD-Modell. Beweis. (CBF) Analog.

21 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN FORMELN Es gibt verschiedene Gründe, warum die Barcan-Formeln interessant sind (später mehr dazu). Einer der Gründe, warum sie so kontrovers sind, ist, weil es einfache Gegenbeispiele gegen sie zu geben scheint! Ein typisches Gegenbeispiel gegen die Gültigkeit BF wäre folgender Satz: (1) Wenn es möglich ist, dass es fliegende Pferde gibt, dann gibt es etwas, das möglicherweise ein fliegendes Pferd ist. Das Antezedens scheint halbwegs plausibel zu sein, wenn es besagt, dass es mögliche Welten gibt, in denen fliegende Pferde existieren. Das Konsequens ist aber falsch, wenn wir davon ausgehen, dass es tatsächlich keine fliegenden Pferde gibt. Wer oder was sollte so ein Objekt sein, das in einer alternativen möglichen Welt ein fliegendes Pferd ist?!

22 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN FORMELN Als Gegenbeispiel gegen die Gültigkeit von CBF werden oft Sätze der folgenden Art zitiert (z.b. von Kripke): (2) Wenn es etwas gibt, das möglicherweise nicht existiert, dann ist es möglich, dass irgendetwas nicht existiert. Wieder scheint das Antezedens wahr zu sein: ich z.b., Günther Eder, hätte auch nicht existieren können. Sollten wir deshalb aber akzeptieren, das es mögliche Welten gibt, in denen es nicht-existierende Dinge gibt?

23 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN FORMELN UND EXISTENZ Possbilisten meinen dass beide Gegenbeispiele nicht genuin sind. Der erste Satz (1) ist mehrdeutung zwischen zwei Lesarten: (1 ) xex x Ex gültig, aber unproblematisch, weil Quantoren keinen existential import haben (1 ) x(e!x Ex) x(e!x Ex) falsch, aber auch keine Barcan-Formel mehr Der zweite Satz (2) ist wahr, aber ebenfalls unproblematisch, weil nach possibilistischer Auffassung das Konsequenz in (2 ) nur sagt, dass es möglich ist, dass es Dinge gibt, die nicht existieren. Aber das ist gerade das was den Possibilismus im Gegensatz zum Aktualismus auszeichnet!

24 SEMANTIK FÜR QML II: VARYING DOMAIN SEMANTICS Aktualisten lehnen die possibilistische These, dass es nicht-existierende Dinge gibt, ab und wollen mit den Quantoren immer nur über die wirklich existierenden Objekte (einer Welt) sprechen. Aktualisten sehen sich oft in der Tradition von W. V. O. Quine und lehnen es ab einen Unterschied zwischen Es gibt ein x, sodass und Es existiert ein x, sodass zu machen (auch wenn sie viele andere Ansichten Quines zu Modalitäten nicht teilen). Quine in On what there is: We have all been prone to say, in our common-sense usage of exist, that Pegasus does not exist, meaning simply that there is no such entity at all.

25 SEMANTIK FÜR QML II: VARYING DOMAIN SEMANTICS Quine selbst lehnt nicht nur Wyman s slum of possibles und possibilistische Semantik für (alethische) Modallogik ab (Wyman ist eine A. Meinong nachempfundene Figur in On what there is), sondern Modallogik überhaupt! Aktualisten wollen Modallogik und MW-Semantik behalten, aber ohne damit auf einen ontologischen slum festgelegt zu sein, den es auch in unserer, der aktualen Welt, geben würde, wenn wir Possibilisten wären. Insbesondere wollen auch Aktualisten nicht auf die Intuition verzichten, dass es in verschiedenen möglichen Welten verschiedene Dinge geben kann. In der Varying Domain Semantik (VD-Semantik) wird diese Intuition aber nicht mit Hilfe eines primitiven Existenzprädikats implementiert, das aus einer Gesamtdomain D die jeweils aktualen Objekte aussondert, sondern indem man zulässt, dass die Domains sich von Welt zu Welt unterscheiden.

26 SEMANTIK FÜR QML II: VARYING DOMAIN SEMANTICS Definition: Ein Erweiterter Varying Domain Frame (EVD-Frame) ist ein Tripel W, R, d, wobei W eine nicht-leere Menge von möglichen Welten, R eine Teilmenge von W W eine darauf definierte Zugänglichkeitsrelation und d eine Familie von nicht-leeren Mengen D w von Objekten (für jede Welt w W eine) ist. Charakteristisch für die VD-Semantik ist also, dass jede Welt w ihre eigene Domain D w hat. Die Gesamtheit aller Objekte D = w W D w nennt man wieder die Domain des Frames / Modells. Definition: Ein Varying Domain Modell (VD-Modell) ist ein Quadrupel W, R, d, I, wobei W, R, d ein EVD-Frame ist und I eine Familie von Interpretationsfunktionen I w (eine für jede Welt w W), die jedem n-stelligen Relationssymbol P eine Teilmenge von D n zuordnet. Offenbar sind alle ECD-Frames / CD-Modelle auch EVD-Frames / VD-Modelle (mit D w = D v für alle w, v W)

27 EXKURS: HABEN NICHT-EXISTIERENDE OBJEKTE EIGENSCHAFTEN? Achtung: Dem aufmerksamen Beobachter wird aufgefallen sein, dass wir in der Definition eines VD-Modells festgelegt haben, dass Prädikats- und Relationssymbole in jeder Welt w durch Teilmengen von D n (und nicht D n w ) interpretiert werden! Objekte können also auch in Welten Eigenschaften haben in denen sie nicht existieren! Wieso ist das so? Wie kann ein Prädikat in einer Welt w auf ein Objekt a zutreffen, in dem a gar nicht existiert? Muss man das so machen? Die Antwort ist: man muss nicht, aber der Preis für eine Vermeidung dieses Umstands sind weitere Komplikationen! (H. Hodes führt z.b. Wahrheitswertlücken i.e. dreiwertige Logik ein; T. Jager & A. Plantinga führen eine Unterscheidung zwischen Individuen und Individuen-Essenzen, die verhindern soll, dass nicht-existierende Objekte Eigenschaften haben.) Die verschärfte Form des Aktualismus, die bestreitet, dass ein Objekt Eigenschaften haben kann ohne zu existieren, nennt man auch strengen oder ernsthaften Aktualismus ( strict bzw. serious actualism ).

28 BEISPIEL FÜR EINEN EVD-FRAME Hier ein Beispiel für einen EVD-Frame mit W = {w 1, w 2,w 3 }, R = { w 1, w 2, w 1, w 3, w 2, w 3, w 3, w 2, w 1, w 1 } und D w1 = D w2 = {G, H} und D w3 = {G, P} w 2 Günther Herbert w 3 w 1 Günther Herbert Günther Pegasus

29 NICHT-EXISTIERENDE OBJEKTE MIT EIGENSCHAFTEN Hier ein Beispiel-Modell für eine Sprache, die nur eine zweistellige Relation K enthält mit dem Frame von vorhin und den Festlegungen I w1 (K)={ G,H, G,P, P,H }= I w3 (K), I w2 (K)={ H,P, G,P, H,G } w 2 Günther Herbert Pegasus w 3 w 1 Günther Herbert Herbert Günther Pegasus Pegasus

30 SEMANTIK FÜR QML II: VARYING DOMAIN SEMANTICS Um eine aktualistische Semantik für unsere QML zu erhalten müssen wir den Begriff der x-variante leicht abändern; Variablenbelegungen sind wie üblich definiert Definition: Eine Variablenbelegung ist eine Funktion s: {x, y, z } D Wichtig: freie Variablen können also Werte aus der Gesamtdomain D eines Modells annehmen! Definition: Eine x-variante einer Variablenbelegung s in w ist eine Variablenbelegung s, die (i) für alle Werte ausser x gleich wie s ist und nur für die Variable x (möglicherweise) einen anderen Wert als s annimmt (ii) und für die ausserdem gilt dass s (x) D w.

31 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION (i) Klausel für atomare Formeln: M, w, s Px 1 x n gdw s(x 1 ), s(x n ) I w (P) (ii) Klauseln für Wahrheitsfunktionale Operatoren / Junktoren (wie in der AL): M, w, s α gdw. M, w, s α M, w, s (α β) gdw. M, w, s α und M, w, s β etc. (iii) Klauseln für die Modaloperatoren (wie in der AL): M, w, s α gdw. Für alle v W, für die Rwv, gilt: M, v, s α M, w, s α gdw. Es gibt ein v W, sodass Rwv, und M, v, s α (iv) Klauseln für die Quantoren: M, w, s xα gdw. Für alle x-varianten s von s in w gilt M, w, s α M, w, s xα gdw. Es gibt eine x-variante s von s in w gilt M, w, s α

32 WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Die entscheidenden Klauseln sind natürlich die für die Quantoren, die sicherstellen sollen, dass die Quantoren immer nur über die in einer bestimmten Welt w existierenden Objekte D w laufen sollen Analog zu früher ist ein Satz wahr in einer Interpretation M und einer Welt w, M, w α, falls für alle Variablenbelegungen s in w gilt, dass M, w, s α Insbesondere ist ein allquantifizierter Satz xα wahr in einer Interpretation M und einer Welt w, falls für alle Variablenbelegungen s in w gilt, dass M, w, s α

33 BEISPIEL: WAHRHEIT IN EINER INTERPRETATION Wir legen z.b. M so fest, dass W = {w 1, w 2 }, R = { w 1, w 2 } und I w1 (R)={ a,a } und I w2 (R)={ b,b, a,a, a,c } w 1 w 2 b a a b c Dann gilt M, w 1 x Rxx, denn M, w 1 x Rxx gdw. Für jede x-belegung s in w 1 gilt M, w 1, s Rxx gdw. Für jede x-belegung s in w 1 und jede von w 1 aus zugängliche Welt w gilt: M, w, s Rxx und das ist so! (denn die einzigen x-belegungen in w 1 sind diejenigen, die x a oder b zuordnen und die einzige von w 1 aus zugängliche Welt ist w 2.)

34 GÜLTIGKEIT IN VD-MODELLEN / FRAMES / KLASSEN VON FRAMES Die verschiedenen Gültigkeitsbegriffe können wir dann, wieder analog zur AL, folgendermaßen definieren Definition: α ist gültig im VD-Modell M gdw. für alle alle w W gilt: M, w α Definition: α ist gültig im VD-Frame F gdw. α gültig in jedem VD-Modell ist, das auf F basiert Definition: α ist X-gültig gdw. α gültig in allen VD-Frames der Klasse X ist Wobei X hier wieder für eine Klasse von Frames steht, deren Zugänglichkeitsrelation irgendwelche Bedingungen erfüllt (reflexiv, transitiv, etc.)

35 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN- FORMELN IN VD-SEMANTIK Anders als in der CD-Semantik sind in der VD-Semantik sowohl die Barcan- ( xα x α) als auch die konversen Barcan-Formeln ( x α xα) nicht mehr allgemeingültig Das soll natürlich so sein, weil die Quantoren jetzt existential import haben: Aus der Möglichkeit der Existenz eines fliegenden Pferdes, sollte nicht die (aktuale) Existenz eines Objektes folgen, das möglicherweise ein fliegendes Pferd ist; genauso wenig sollte aus dem Umstand, dass Dinge existieren, die möglicherweise nicht existieren hätten können, folgen, dass es möglich ist, dass nicht-existierende Dinge existieren! Sieht man sich konkrete VD-Gegenmodelle zur Barcan- (bzw. der konversen Barcan-) Formel an, sieht man auch warum die beiden Formeln nicht in allen EVD- Frames / VD-Modellen gültig sind. Man sieht auch, dass es sehr einfache semantische Bedingungen gibt, die man an einen EVD-Frame stellen muss, damit sie gültig werden.

36 VD-GEGENMODELL ZU BARCAN- FORMEL Hier ein einfaches Gegenmodell zu (BF), xpx x Px. Die Festlegungen bzgl. W und R sind offensichtlich; D w1 = {a} und D w2 = {a, b}; I w1 (P) = {} und I w2 {P} = {b} w 1 w 2 a a b Es gilt: M, w 1 xpx aber es gilt auch M, w 1 x Px Wir konnten ein Gegenmodell erzeugen, weil es in der von w 1 aus zugänglichen Welt w 2 ein Objekt gibt, das die Wahrheit von xpx in w 1 bezeugt, das aber in w 1 nicht existiert! Sobald man fordert, dass von einer Welt zur nächsten keine Objekte dazukommen, können solche Gegenbeispiele nicht mehr vorkommen!

37 VD-GEGENMODELL ZU KONVERSER BARCAN-FORMEL Hier ein einfaches Gegenmodell zu (CBF) x Px xpx. Die Festlegungen bzgl. W und R wie vorhin; D w1 = {a, b} und D w2 = {a}; I w1 (P) = {} und I w2 {P} = {b} w 1 w 2 a b a b Es gilt: M, w 1 x Px aber es gilt auch M, w 1 xpx Wir konnten ein Gegenmodell erzeugen, weil in w 1 ein Objekt existiert (nämlich b) das die Wahrheit von x Px in w 1 bezeugt, das aber in w 2 nicht existiert! Sobald man fordert, dass von einer Welt zur nächsten keine Objekte verschwinden, können solche Gegenbeispiele nicht mehr vorkommen!

38 BARCAN- UND KONVERSE BARCAN- FORMELN IN VD-SEMANTIK Diese Gegenbeispiele motivieren folgende Begriffe: Definition: Ein EVD-Frame F heisst monoton, wenn für alle w, v W für die Rwv gilt, auch gilt: D w D v ( Objekte verschwinden nicht! ) Definition: Ein EVD-Frame F heisst anti-monoton, wenn für alle w, v W für die Rwv gilt, auch gilt: D v D w ( Objekte kommen nicht dazu! ) Es gilt folgendes: Theorem: (i) Die Barcan-Formeln sind gültig in F gdw. F anti-monoton ist (ii) Die konversen Barcan-Formeln sind gültig in F gdw. F monoton ist

39 IDENTITÄT UND (NOCHEINMAL) EXISTENZ Die Gleichheit fordert das Nachdenken heraus durch Fragen, die sich daran knüpfen und nicht ganz leicht zu beantworten sind. (G. Frege, Über Sinn und Bedeutung) Sowohl in der CD- als auch in der VD-Semantik wird das Gleichheitssymbol = durch die wirkliche Gleichheit interpretiert, d.h. in der Klausel für atomare Sätze in den jeweiligen Definitionen von Wahrheit in einem Modell M in einer Welt w nimmt man einfach folgenden Unterpunkt dazu: M, w, s x = y gdw. s(x) = s(y) Insbesondere ist also sowohl in CD- als auch VD-Semantik x (x=x) allgemeingültig Aufgrund der unterschiedlichen Interpretationen der Quantoren sehen die Logiken, die sich aus der Hinzunahme der Identität ergeben, trotzdem sehr verschieden aus!

40 IDENTITÄT UND (NOCHEINMAL) EXISTENZ Nach possibilistischer Lesart haben die Quantoren keinen existential import, d.h. ein existenzquantifizierter Satz xα bedeutet nur dass es ein Objekt gibt, sodass α. Dieses Objekt muss aber nicht unbedingt existieren. Nach aktualistischer Sichtweise haben die Quantoren existential import, d.h. xα bedeutet Es existiert ein x, sodass α In der VD-Semantik (nicht aber in der CD-Semantik) können wir deshalb mit Hilfe der Quantoren und der Identität ein Existenzprädikat E(x) definieren: E(x) := y(x = y) In der CD-Semantik ist E(x) für jedes Objekt trivial erfüllt (während die Extension des primitiven Existenzprädikats E!(x) dort von Welt zu Welt variieren kann). In der VD-Semantik ist y(x = y) allerdings nicht immer wahr, (obwohl es x y(x = y) schon ist! Wieso?!) Das hat weitreichende Konsequenzen!

41 IDENTITÄT UND (NOCHEINMAL) EXISTENZ Ein wichtiges Prinzip ist das z.b. Prinzip der notwendigen Existenz (NE) x y(x = y) Nach possibilistischer (i.e. CD-) Lesart drückt (NE) nur die triviale Tatsache aus, dass alles notwendigerweise irgendetwas ist ( Für jedes Objekt gilt notwendigerweise, dass es irgendetwas gibt, das es ist ) und ist tatsächlich CD-allgemeingültig. Nach aktualistischer (i.e. VD-) Lesart sagt (NE) aber dass jedes Objekt notwendigerweise existiert (d.h. x E(x)) und ist nicht VDallgemeingültig.

42 IDENTITÄT UND (NOCHEINMAL) EXISTENZ Ein VD-Gegenmodell M zu x y(x = y) könnte z.b. so aussehen w 1 w 2 a b a In Welt w 1 von M ist x y(x = y) falsch, weil es in w 1 ein Objekt gibt (nämlich b), das in der einzig zugänglichen Welt w 2 mit keinem (dort) existierenden Objekt identisch ist! Wem das Modell bekannt vorkommt, der/die hat Recht! Es ist einfach das Gegenmodell von vorhin, das gezeigt hat, dass die konverse Barcan-Formel nicht VD-gültig ist. Das ist kein Zufall!

43 IDENTITÄT, (NOCHEINMAL) EXISTENZ UND (NOCHEINMAL) BARCAN Wie man leicht sieht, ist x y(x = y) immer dann (und nur dann) gültig in einen Frame / Modell, wenn dort auch die konverse Barcan-Formel gültig ist. D.h. wir haben folgendes Theorem: Folgende Aussagen sind äquivalent (i) F ist ein monotoner Frame. (ii) Die konversen Barcan-Formeln sind gültig in F. (iii) x y(x = y) ist gültig in F.

44 IDENTITÄT, (NOCHEINMAL) EXISTENZ UND (NOCHEINMAL) BARCAN Beweis. Die Äquivalenz von (i) und (ii) haben wir uns schon überlegt. (ii) (iii). Sei F ein beliebiger VD-Frame. Man beachte zunächst, dass x y(x = y) in jeder Welt jedes Modells jedes Frames gültig ist. Daraus folgt, dass auch x y(x = y) in jedem VD-Frame gültig ist. Angenommen die konversen Barcan-Formeln xα x α seien allesamt gültig in F. Eine Instanz dieses Schemas ist x y(x = y) x y(x = y). Da x y(x = y) in F gültig ist und Modus Ponens die Gültigkeit erhält muss auch x y(x = y) gültig in F sein. (iii) (i). Angenommen F sei wieder ein beliebiger VD-Frame in dem x y(x = y) gültig sei. Sei weiters M ein beliebiges auf F basierendes Modell und w eine beliebige Welt von M. Angenommen M, w x y(x = y). Dann muss für jedes a D w gelten: M, w, s y(x = y), wenn s(x)=a, d.h. in jeder von w aus zugänglichen Welt v muss gelten: M, v, s y(x = y). D.h. in jeder zugänglichen Welt v muss das Objekt s(x)=a existieren, i.e. es muss s(x) = a = D v sein. Kurz: Wenn a D w, dann a D v oder einfach D w D v.

45 NOCHEINMAL BARCAN Während x y(x = y) aus der Sicht des Possibilisten also eine Trivialität ausdrückt, drückt derselbe Satz für den Aktualisten ein substantielle These aus, nämlich die (falsche) These, dass Objekte von einer Welt zu einer anderen Welt nicht verschwinden können, d.h. dass alles (und das heisst für den Aktualisten immer, alles was existiert), notwendigerweise existiert! Letzeres Statement gibt uns ausserdem noch eine weitere Bedingung, die ebenfalls äquivalent zu (i) (iii) ist, nämlich die Gültigkeit der Formel E(x) E(x). D.h. wir haben die Äquivalenzen: (i) F ist ein monotoner Frame. (ii) Die konversen Barcan-Formeln sind gültig in F. (iii) x y(x = y) ist gültig in F. (iv) E(x) E(x) ist gültig in F.

46 UNIVERSELLE INSTANTIERUNG / EXISTENZIELLE GENERALISIERUNG Eine weitere Tatsache über die Logik, die sich aus der VD-Semantik ergibt, ist dass bestimmte Gesetze der klassischen Logik nicht mehr allgemeingültig sind Ein wichtiges, klassischerweise gültiges, Gesetz, das in der QML mit VD-Semantik nicht mehr gilt, ist das Gesetz der universellen Instantiierung (UI) xα(x) α(z) D.h. was für alle Individuen gilt, gilt für beliebige Individuen. Ein einfaches Gegenbeispiel dazu ist z.b. die Formel x y(x = y) y(z = y). (Andererseits ist z( x y(x = y) y(z = y))) wieder gültig!)

47 UNIVERSELLE INSTANTIERUNG / EXISTENZIELLE GENERALISIERUNG Punkt ist: die Wahrheit (in einer Welt w) von xα(x) ist kein Garant dafür dass auch α(z) (in w) wahr ist, weil quantifizierte Variablen immer nur über die Domain D w der Welt w laufen, während freie Variablen Werte aus der gesamten Domain D des Modells annehmen dürfen und es im allgemeinen keine Garantie dafür gibt, dass Objekte nicht verschwinden. Analog dazu gibt es keine Garantie dafür, dass das Prinzip der existenziellen Generalisierung (EG), d.h. α(z) xα(x) gültig ist. z kann in der Welt w ein Objekt bezeichnen, das nicht im Bereich des Quantors ist, d.h. α(z) kann wahr sein, obwohl xα(x) falsch ist.

48 UNIVERSELLE INSTANTIERUNG / EXISTENZIELLE GENERALISIERUNG Wir können also im Allgemeinen nicht von xα(x) auf α(z) bzw. von α(z) auf xα(x) schließen. Folgende eingeschränkte Schemata der universellen Instantiierung / existentiellen Generalisierung sind aber auch bzgl. VD-Semantik wieder allgemein gültig: (EUI) (EEG) xα(x) E(z) α(z) α(z) E(z) xα(x) Die Logik, die sich aus diesen Einschränkungen ergibt hat auch einen eigenen Namen, Free Logic, und wurde aus ähnlichen Gründen wie die QML entwickelt (Diskurs über fiktionale Entitäten, ohne diesen Entitäten Existenz zusprechen zu müssen und ohne existential import der Quantoren aufgeben zu müssen)

49 PRINZIP DER NOTWENDIGEN IDENTITÄT Eine weiteres wichtiges (und sowohl bzgl. CD- als auch VD-Semantik gültiges) Prinzip, das mit Identität zu tun hat (und das in den Anfängen der QML für einige Verwirrung gesorgt hat) ist das Prinzip der notwendigen Identität, das folgendermaßen ausgedrückt wird (NI) x = y (x = y) bzw. in der quantifizierten Variante (NI ) x y(x = y (x = y)) Das Prinzip scheint zu besagen, dass jede wahre Identitätsaussage notwendigerweise wahr ist. Aber das scheint schlicht falsch zu sein: Auch wenn es tatsächlich wahr ist, dass Heinz Fischer der 8. Präsident zweiten Republik ist, so scheint das sicherlich keine notwendige Wahrheit zu sein! (Es hätte auch anders kommen können )

50 PRINZIP DER UNUNTERSCHEIDBARKEIT DER GLEICHEN Für ähnliche Verwirrung hat das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Gleichem ( Indiscernability of Identicals ) gesorgt (das ebenfalls bzgl. CD- als auch VD-Semantik gültig ist), d.h. das Prinzip (ID) x = y (α(x) α(y)) bzw. wieder in der quantifizierten Form (ID ) x y(x = y (α(x) α(y))) Gibt es nicht offensichtliche Ausnahmen von diesem Gesetz? Die Anzahl der Planeten ist gleich 8. Aber obwohl es notwendigerweise wahr ist, dass 8 größer als 7 ist (mathematische Wahrheiten sind vermutlich notwendigerweise wahr), ist es ziemlich sicher keine notwendige Wahrheit, dass die Anzahl der Planeten notwendigerweise größer als 7 ist. (Es hätte ja )

51 NOTWENDIGE EXISTENZ UND UNUNTERSCHEIDBARKEIT VON GLEICHEM Um diese Verwirrung aufzulösen ist es entscheidend, sich den Unterschied zwischen quantifizierbaren Individuenvariablen x, y, z und Individuentermen (die in unserer offiziellen Sprache noch gar nicht vorkommen) in Erinnerung zu rufen: Das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Gleichem ist nicht mit dem (metatheoretischen, klassischerweise gültigen, aber in der QML ungültigen) Prinzip der Substituierbarkeit von Gleichem zu verwechseln (SG) Für beliebige Individuenterme s, t gilt: s = t (α(s) α(t)) Wollen wir also z.b. Individuenterme (Namen und/oder Kennzeichnungen) in unsere Sprache einführen, wird demgemäß das Prinzip der Subsituierbarkeit von Gleichem verletzt werden, während das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Gleichem immer noch gültig sein sollte

52 NOTWENDIGE EXISTENZ UND UNUNTERSCHEIDBARKEIT VON GLEICHEM Analog darf man das Prinzip der notwendigen Existenz (NI) nicht mit dem (metatheoretischen, in der QML ungültigen) Prinzip (NI*) verwechseln: (NI*) Für beliebige Individuenterme s, t gilt: s = t (s = t) Wieder gilt: Wollen wir Individuenterme in unsere Sprache einführen, wird das Prinzip (NI*) im allgemeinen verletzt werden, während das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Gleichem immer noch gelten sollte. (S. Kripke argumentiert in Naming and Necessity dafür, dass umgangssprachliche Namen wie Günther Eder wie sogenannte starre Designatoren ( rigid designators ) funktionieren, d.h. dass wir uns mit echten Namen in jeder möglichen Welt auf dasselbe Objekt beziehen. Unter diesen Voraussetzungen verhalten sich Namen wie Variablen und (NI*) bzw. (SG) gelten deshalb auch für Namen.)

53 DE RE UND DE DICTO MODALITÄTEN Die Beispiele von vorhin weisen auf eine weitere wichtige Unterscheidung hin, der Unterscheidung zwischen de re und de dicto Modalitäten Die Unterscheidung kann man sich an zwei verschiedenen Lesarten des Satzes von vorhin veranschaulichen. (1) Die Anzahl der Planeten ist notwendigerweise größer als 7. (1 DD ) Es ist eine notwendige Wahrheit, dass die Anzahl der Planeten größer als 7 ist. (1 DR ) Es ist notwendig von der Anzahl der Planeten (nämlich der Zahl 8), dass diese Zahl größer als 7 ist. Unter der de dicto Lesart (1 DD ) von (1) bezieht sich der Notwendigkeitsoperator auf den ganzen Satz (auf das dictum ) und ist falsch, während sich der Notwendigkeitsoperator unter der de re Lesart (1 DR ) von (1) auf das Objekt selbst (die Zahl 8, die res ) bezieht und wahr ist

54 DE RE UND DE DICTO MODALITÄTEN Aber wie kann sich ein Operator wie die Box auf Objekte beziehen? Ist die Box nicht per definitionem ein Operator, der sich auf Sätze bezieht? Das stimmt nicht ganz. In der QML kann eine Box (oder ein Diamond ) auch vor Formeln α(x) mit freien Variablen stehen. Das liefert uns die Möglichkeit, uns mittels Variablen / Quantoren direkt auf die Objekte selbst zu beziehen. Der Unterschied zwischen de re und de dicto Modalität wird sich dann als Unterscheidung des Bereichs ( scope ) des jeweiligen Modaloperators betrifft, erweisen. Bevor wir uns die Sache ansehen, müssen wir uns aber noch über singuläre Terme (Namen und definite descriptions) Gedanken machen, die ja bisher in unserer Sprache nicht vorgekommen sind.

55 DE RE UND DE DICTO MODALITÄTEN Um Sätze wie (1) angemessen zu formalisieren (und zu disambiguieren), brauchen wir eine Möglichkeit mit Namen und vor allem singulären Kennzeichnungen ( der / die / das α ) umzugehen. So eine Möglichkeit kennen wir aber schon: Russells Theorie der singulären Kennzeichnungen erlaubt uns einerseits Ausdrücke der Form der / die / das α per Kontextdefinition einzuführen und statt Namen a, b, c, können wir Prädikate A, B, C, verwenden (wenn wir sicherstellen dass es jeweils ein und nur ein A, B, C, gibt). Russells Kennzeichnungstheorie ist in der QML besonders hilfreich und nicht-extensionale Kontexte waren tatsächlich einer der Gründe wieso Russell seine Kennzeichnungstheorie für so grossartig hielt.

56 DE RE UND DE DICTO MODALITÄTEN Zur Erinnerung: Sätze, die singuläre Kennzeichnungen enthalten, wie (i) Der Frontmann der Pixies ist glatzköpfig werden nach Russell so analysiert (ii) Es gibt einen und nur einen Frontmann der Pixies, und der ist glatzköpfig bzw. in formaler Notation (iii) x (Fx y(fy y = x) Gx) oder, kürzer, so (iv)!x(fx Gx) angeschrieben.

57 DE RE UND DE DICTO MODALITÄTEN Aber wie eliminiert man die singuläre Kennzeichnung die Anzahl der Planeten im Satz (1) von vorhin? Antwort: das hängt davon ab, was man mit (1) sagen will! Favorisiert man die de dicto Lesart von (1), dann bezieht sich die Box auf den ganzen Die Anzahl der Planeten ist größer als 7. Dementsprechend besagt (1) (semi-) formalisiert: (1 DD )!x(x ist Anzahl der Planeten x > 7) (1 DD )!x(ax Gx) Favorisiert man andererseits die de re Lesart von (1), dann besagt der Satz, dass es eine und nur Objekt gibt, das die Anzahl der Planeten ist und es gilt von diesem Objekt (nämlich der Zahl 8) notwendigerweise, dass sie größer als 7 ist. Dementsprechend (semi-) formalisieren wir den Satz so: (1 DR )!x(x ist Anzahl der Planeten (x > 7)) (1 DR )!x(ax Gx) Man sagt auch, dass die Box in (1 DD ) weiten scope hat, während sie in (1 DR ) engen scope hat (Achtung: manche drehen hier die Terminologie um und nennen (1 DD ) narrow-scope reading und (1 DR ) wide scope reading, weil sie den scope der Kennzeichnung betrifft.)

58 DE RE UND DE DICTO MODALITÄTEN Dieselbe Unterscheidung gibt es auch bei den doxastischen und den epistemischen Modalitäten (und diese waren tatsächlich Russells eigentliche Motivation; siehe sein author-of-waverly-beispiel) Wir können jetzt zwischen zwei Lesarten des Satzes (2) unterscheiden (2) Mimi glaubt, dass der Erstbesteiger des Mt. Everest ein schlechter Mensch war. (2 DD )Mimi glaubt, dass der Erstbesteiger des Mt. Everest (wer auch immer das gewesen sein mag), ein schlechter Mensch war. B M (!x(ex Sx)) (2 DR )Mimi glaubt vom Erstbesteiger des Mt. Everest (nämlich Edmund Hillary), dass er ein schlechter Mensch war.!x(ex B M Sx)

59 QUINES ARGUMENT GEGEN DEN ARISTOTELISCHEN ESSENTIALISMUS Eine ähnliche Unterscheidung betrifft Sätze wie: (1) Mathematiker sind notwendigerweise rational. der ambig ist zwischen (mindestens) zwei Lesarten: (i) x(mx Rx) (ii) x(mx Rx) Sowohl (i) und (ii) haben in CD- als auch VD-Semantik verschiedene Wahrheitsbedingungen; sie sagen verschiedene Dinge; und das sollte auch so sein! Nicht-Unterscheiden zwischen (i) und (ii) kann selbst große Philosophen in die Irre führen ( Modal Fallacy )!

60 QUINES ARGUMENT GEGEN DEN ARISTOTELISCHEN ESSENTIALISMUS W. V. O. Quine z.b. argumentiert in Word and Object gegen die Sinnhaftigkeit der QML, weil sie seiner Meinung nach zu aristotelischem Essentialismus führt (der These, dass einige Eigenschaften einem Individuum essentiellerweise zukommen, und andere bloß kontingenterweise), der wiederum zu Absurditäten führe: Perhaps I can evoke the appropriate sense of bewilderment as follows. Mathematicians may conceivably be said to be necessarily rational and not necessarily two-legged; and cyclists necessarily two-legged and not necessarily rational. But what of an individual who counts among his eccentricities both mathematics and cycling? Is this concrete individual necessarily rational and contingently two-legged or vice versa? Just insofar as we are talking referentially of the object, with no special bias toward a background grouping of mathematicians as against cyclists or vice versa, there is no semblance of sense in rating some of his attributes as necessary and others as contingent. Frage: Ist Quine s Argument, dass Essentialismus zu Absurditäten führt korrekt? Worin genau besteht die Absurdität? Wie müssen die relevanten Prämissen gelesen werden, damit das Argument korrekt ist, und sind diese Lesarten jeweils plausibel?