ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER

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1 ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER

2 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? Aussagenlogik (AL) betrachtet Sätze / Argumente immer nur bezüglich ihrer aussagenlogischen Struktur. Ein Satz wie (1) Jaime mag sowohl Cersai als auch Brienne. ist aussagenlogisch komplex. Die Teilsätze (2) Jaime mag Cersai. (3) Jaime mag Brienne. sind es aber nicht! Sie sind aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar.

3 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? AL kann deshalb nur solche Schlüsse / Argumente angemessen repräsentieren, die sich schon aufgrund der aussagenlosichen Struktur der beteiligten Sätze ergeben: (P1) Tyrion mag Cersai oder Jaime. p q (P2) Tyrion mag Cersai nicht. p Also Also (C) Tyrion mag Jaime. q

4 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? Vom Standpunkt der AL haben die Sätze Tyrion mag Jaime und Tyrion mag Cersai haben nichts an Struktur gemeinsam! Offenbar haben beide Sätze aber etwas gemeinsam: beide sagen etwas über dieselbe Person (Tyrion) in beiden wird behauptet, dass diese Person in einer bestimmten Relation zu einer anderen Person steht. Für die Gültigkeit vieler Argumente ist genau diese Feinstruktur von (aussagenlogisch nicht mehr zerlegbaren) Sätzen relevant!

5 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? Folgende Argumente können in AL nicht angemessen repräsentiert werden: (A1) Jaime mag Cersai. Jaime mag Tyrion. Also mag irgendjemand sowohl Tyrion als auch Cersai. (A2) Jeder, der Tyrion mag, mag auch Bronn. Jaime mag Tyrion. Also mag er auch Bronn. (A3) Jon Snow mag sowohl Sansa, Arya als auch Robb. Also mag Jon Snow mindestens drei Personen. Der Grund liegt darin, dass 1. AL nicht fein genug ist! Wir haben keinen Zugriff auf die innere Struktur von atomaren (aussagenlogisch nicht weiter zerlegbaren) Sätzen! 2. AL keine Möglichkeit bietet, quantifizierende Ausdrücke miteinzubeziehen (alle, jede/r, einige, irgendjemand, mindestens drei, etc.)

6 WOZU PRÄDIKATENLOGIK (PL)? PL behebt genau diese Ausdrucksschwäche und trägt der Feinstruktur von Sätzen / Argumenten Rechnung! (1) Aussagenlogisch unzerlegbare Sätze können nun zerlegt werden in einfachere, subsententiale Bestandteile wie Individuenausdrücke: Namen / Variablen Prädikate (1-, 2-, 3-,. n-stellige Prädikate) (2) Ausserdem gibt es in der PL Symbole für quantifizierende Ausdrücke wie Alle/s, Jede/r/s, Einige / Mindestens ein/e/r

7 FORMALE SPRACHE DER PL Unsere Sprache der PL enthält dementsprechend (neben den schon aus der AL bekannten Junktoren und Klammern) formale Gegenstücke für: Individuenterme: a) Individuenkonstanten: a, b, c, b) Individuenvariablen: x, y, z, (Funktionssymbole: f, g, h, für 1-, 2-, 3-, n-stellige Funktionen) Prädikatssymbole: P, Q, R, für 1-, 2-, 3-, n-stellige Prädikate Symbole für quantifizierende Ausdrücke: Allquantor Alle/s / Jede/r/s Existenzquantor Mindestens ein/e/r

8 FORMALE SPRACHE DER PL Wie auch im Fall der AL, gibt hat auch für die PL eine bestimmte Grammatik, die (rekursiv) festlegt, wann eine endliche Zeichenfolge wohlgeformt ist: Def. (Individuenterme) (i) Alle Individuenvariablen und Individuenkonstanten sind Individuenterme. (ii) Wenn t 1,, t n Individuenterme sind und f ein n-stelliges Funktionszeichen, dann ist auch ft 1 t n ein Individuenterm. Def. (Wohlgeformte Formeln) (i) Wenn t 1,, t n Individuenterme sind und P ein n-stelliges Prädikatssymbol, dann ist Pt 1 t n eine (atomare) wohlgeformte Formel. (ii) Wenn α und β wohlgeformte Formeln sind, dann auch α, (α β), (α β), (α β), (α β). (iii) Wenn α eine wohlgeformte Formel ist und x ein Individuenvariable, dann sind auch x α und x α wohlgeformte Formeln.

9 FORMALISIERUNGEN Individuenkonstanten sollen Eigennamen einer natürlichen Sprache repräsentieren: Günther Eder, Max Power, die Donau, Wien, 2, π, etc. n-stellige Prädikatssymbole sollen n-stellige Prädikate einer natürlichen Sprache repräsentieren: [ 1 spielt Gitarre (einstellig), [ 1 mag [ 2 (zweistellig), [ 1 liegt zwischen [ 2 und [ 3 (dreistellig), etc. (Funktionssymbole sollen n-stellige Funktionen repräsentieren: die Mutter von x (einstellig), mathematische Funktionen wie x! (einstellig), x +y (zweistellig), etc.) Allquantor und Existenzquantor sind offenbar wechselseitig definierbar: xα(x) := x α(x) xα(x) := x α(x)

10 STELLENANZEIGER [ 1, [ 2, [ 3, sind metasprachliche Ausdrücke, die die Stelligkeit eines Prädikats / einer Relation kenntlich machen (sog. Stellenanzeiger ). Stellenanzeiger sind auch wichtig um die Richtung einer Beziehung zu fixieren. (Setzen wir etwa fest, dass M [ 1 [ 2 die Relation [ 1 mag [ 2 übersetzt so ist der PL-Satz Mjt eine Formalisierung von Jaime mag Tyrion. Setzen wir andererseits fest, dass M [ 1 [ 2 die Relation [ 2 mag [ 1 übersetzt, so ist Mjt eine Formalisierung von Tyrion mag Jaime.)

11 FORMALISIERUNG (BEISPIELE) Um Sätze einer natürlichen Sprache in unsere formale Sprache zu übersetzen, empfiehlt es sich (wie auch in der Aussagenlogik) ein Übersetzungsverzeichnis anzulegen. Beispiel 1. Wir wollen etwa folgenden deutschen Satz prädikatenlogisch formalisieren: (1) Jaime mag Tyrion Der Satz (1) enthält zwei Namen und ein zweistelliges Prädikat. Wir legen also folgendes Übersetzungsverzeichnis an: Jaime Tyrion j t [ 1 mag [ 2 M [ 1 [ 2 Die Formalisierung sieht dann so aus: (1 ) Mjt

12 FORMALISIERUNG (BEISPIELE) Beispiel 2. Wir wollen folgenden Satz prädikatenlogisch formalisieren: (2) Alle, die Tyrion mögen, mögen auch Bronn. Wir können den Satz semi-formal folgendermaßen paraphrasieren: (2 ) Für alle Personen x gilt: wenn x Tyrion mag, dann mag x auch Bronn. Der Satz (2) enthält zwei Namen und ein zweistelliges Prädikat. Wir legen also folgendes Übersetzungsverzeichnis an: Tyrion Bronn t b [ 1 mag [ 2 M [ 1 [ 2 Die vollständige Formalisierung von (2) wird dann so angeschrieben: (2 ) x(mxt Mxb)

13 FORMALISIERUNG (BEISPIELE) Bei Übersetzungen von umgangsprachlichen Sätzen entsprechen den (manchmal nicht sichtbaren/hörbaren) Pronomen, die sich auf quantifikatorische Ausdrücke zurückbeziehen, immer Variablen! (3) Einige, die gern Bücher lesen, [die] mögen Dostojewski. (4) Keiner, der schon einmal etwas von Wittgenstein gelesen hat, [der] wird jemals wieder glücklich sein. (5) Jeder, der irgendwen kennt, der/die Frege mag, [der/die] kann kein schlechter Mensch sein. (6) Keiner, der irgendwen mag, [der] hasst jeden.

14 FORMALISIERUNG (BEISPIELE) (3) Einige, die gern Bücher lesen, [die] mögen Dostojewski. (3 ) x (Bx Mxd) (4) Keiner, der schon einmal etwas von Wittgenstein gelesen hat, [der] wird jemals wieder glücklich sein. (4 ) x (Lxw Gx) (5) Jeder, der irgendwen mag, der/die Frege mag, [der] kann kein schlechter Mensch sein. (5 ) x( y (Mxy Myf) Sx) (6) Keiner, der irgendwen mag, [der] hasst jeden. (6 ) x ( y Mxy z Hxz)

15 FORMALISIERUNG (BEISPIELE) Nicht allen Pronomen der natürlichen Sprache entsprechen aber in einer Formalisierung Variablen unserer formalen Sprache! (7) Sansa hasst Cersai und die wiederum hasst Tyrion (1 ) Hsc Hct (8) Alle, die Tyrion kennen, [die] mögen ihn auch (2 ) x (Kxt Mxt) Manchmal verwendet man Pronomen also auch als Abkürzungen für Namen (singuläre Terme)!

16 QUANTOREN UND VARIABLEN Ein weiterer wichtiger Punkt bzgl. umgangssprachlicher Sätze, die Quantoren beinhalten, wird aus den Beispielen ersichtlich: Bestimmte sprachliche Strukturen werden immer gleich übersetzt: Umgangssprachlicher Satz: Übersetzung: Alternativübersetzung: Alle A s sind B s x (Ax Bx) x (Ax Bx) Einige A s sind B s x (Ax Bx) x (Ax Bx) Kein A ist ein B x (Ax Bx) x (Ax Bx) Einige A s sind nicht B x (Ax Bx) x (Ax Bx) (Diese vier Satzformen sind in der aristotelischen Syllogistik grundlegend.)

17 QUANTOREN UND VARIABLEN Die A s und B s in diesen Übersetzungsschemata können auch komplexe Prädikate / Bedingungen sein wie in (5) Jeder, der irgendwen mag, der Frege mag, [der] kann kein schlechter Mensch sein. (5 ) x( y (Mxy Myf) Sx) x( Bx Ax ) Bx y (Mxy Myf) Ax Sx

18 QUANTOREN UND VARIABLEN Alle A s sind B s x (Ax Bx) Einige A s sind B s x (Ax Bx) Kein A ist ein B x (Ax Bx) Einige A s sind keine B s x (Ax Bx)

19 KLASSISCHES LOGISCHES QUADRAT Verhältnisse zwischen den Satzformen stellt man oft im sog. logischen Quadrat dar: A Alle A s sind B s konträr Kein A ist ein B E subaltern kontradiktorisch subaltern I Einige A s sind B s subkonträr Einige A s sind keine B s O

20 KLASSISCHES LOGISCHES QUADRAT Zwei Satzformen sind kontradiktorisch, wenn sie einander widersprechen. Eine Satzform ist einer anderen subaltern, wenn sie von ihr impliziert wird. Zwei Satzformen sind konträr, wenn sie nicht gemeinsam wahr (aber gemeinsam falsch) sein können. Zwei Satzformen sind subkonträr, wenn sie nicht gemeinsam falsch (aber gemeinsam wahr) sein können. Die Labels A, E, I, O (die eine wichtige Rolle in der Syllogistik spielen) kommen vom lateinischen affirmo (ich bejahe) bzw. nego ( ich verneine ); A steht für allgemein bejahend ; I für partikulär bejahend ; E für allgemein verneinend ; und O für partikulär verneinend.