Logische Strukturen 7. Vorlesung

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1 Logische Strukturen 7. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 18. Mai 2010 Kapitel 2 Prädikatenlogik Was ist das? Logik und Strukturen Natürliches Schließen Normalformen Herbrand-Theorie Prädikatenlogische Resolution FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS Beispiele Konkrete Situation Grundmenge: Die Studierenden und die Lehrenden in Veranstaltungen zur Theoretischen Informatik im Sommersemester Teilmengen: Studierende, wissenschaftliche Mitarbeiterinnen, Professoren. S(x): x ist Studierender. LS(x): x ist in der Veranstaltung Logische Strukturen anwesend. AuD(x): x ist in der Veranstaltung Algorithmen und Datenstrukturen anwesend. Pr(x): x ist Professor. WM(x): x ist wissenschaftliche(r) Mitarbeiter(in). Relation: J(x, y): x ist jünger als y. Funktion: f(x): Studierender/Mitarbeiter/Professor aus dem genannten Kreis, mit dem x am besten über Informatik diskutieren kann. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS

2 Aussagen, die man in der Aussagenlogik nicht formulieren kann (können stimmen oder nicht): Für alle x gilt: (S(x) WM(x)). Für alle x gilt: (S(x) Pr(x)). Für alle x und y gilt: (S(x) Pr(y) J(x, y)). Es gibt ein x mit: (LS(x) AuD(x)). Es gibt ein x mit: (( LS(x) AuD(x)) WM(x)). Für alle x gilt: (S(x) J(x, f(x))). Aus der Analysis: Konvergenz Dort werden Grundbereiche N und R betrachtet, wobei man N R annimmt. Eine Funktion f : N R nennt man eine (unendliche) Folge. (f(0),f(1),f(2),...) Diese Folge heißt konvergent, falls a R ε >0 m N n m: f(n) a ε. Abkürzung: (für alle), (es gibt). Klar: Nächstes Jahr kann man mit der gleichen Notation eine andere Situation beschreiben. Aussagenlogik genügt nicht, um solche Sachverhalte auszudrücken. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS Grundbereich: R. Teilmenge davon: N. : zweistellige Relation auf R. 0: ein festes Element von R, Konstante. Funktion f, beliebig. Absolutbetrag: Funktion R R. Allquantor, Existenzquantor. Logische Zeichen (hier noch versteckt, s.u.). Für N: (einstelliges) Relationszeichen N: N(x) soll heißen: x N. Für : (zweistelliges) Relationszeichen LE: LE(x, y) soll heißen: x y. LE(x, y) steht dann für x>y. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS

3 Die Null wird durch ein Zeichen 0 benannt. Für : (einstelliges) Funktionszeichen abs und zweistelliges Funktionszeichen sub: Dann: abs(x) soll heißen: x ; sub(x, y) soll heißen: x y; a ε ( LE(ε, 0) m (N(m) n (N(n) LE(m, n) LE(abs(sub(f(n),a)),ε)))) Wir wollen in der Lage sein, über Sachverhalte in Strukturen (reelle Zahlen, Gruppen, Präordnungen,... ) zu sprechen. Dabei soll es Relationen geben dürfen, durch die Enthaltensein in einer Teilmenge oder Beziehungen zwischen Objekten ausgedrückt werden können. Beispiel: N(x), LE(x, y), S(x), J(x, y). Einstellige Relationen: Teilmengen. Oft benutzt, um spezielle Sorten auszusondern. Nullstellige Relationen? (Später.) Weiter Funktionen, durch die Objekte (oder Tupel von Objekten) auf andere Objekte abgebildet werden. Beispiel: f, abs, sub. Nullstellige Funktionen (ohne Argument): Konstante. Beispiel: FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS Beispiel: Gruppen Zu einer Gruppe gehört eine Grundmenge G, ein neutrales Element e G, und eine Operation : G G G, so dass eine Reihe von Gesetzen ( Axiome ) erfüllt sind: FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS

4 Assoziativgesetz: x y z :(x y) z = x (y z). (Formal:... ( (x, y),z)= (x, (y, z)).) Neutrales Element: x: x e = e x = x. Inverses Element: x y : x y = y x = e. Prä-Halbordnungen Eine Menge M zusammen mit einer zweistelligen Relation R über M heißt eine Prä-Halbordnung, wenn für alle x, y, z M gilt: wenn xry yrz gilt, dann auch xrz. Axiome, Grundaussagen, von denen man ausgeht. Wenn eine Struktur (G,,e) die Axiome erfüllt, nennen wir sie eine Gruppe. Beispiel: In(R,, 1) gilt nicht x y : x y = y x = e. Also ist dies keine Gruppe. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS Beispiele für Modelle : (N, ), (Q, ), (R, ). (C, ), wobei x y gilt wenn x y. (Z, ), wobei x y gilt, wenn es ein z Z mit xz = y gibt ( Teilbarkeitsrelation ). Die Formel x y z(xry yrz xrz) ist in all diesen Modellen sinnvoll, und gilt dort. Ebenso sinnvoll ist die Formel x y(xry yrx). Sie gilt in den ersten vier Strukturen, nicht aber in (Z, ). Nach welchen Regeln bildet man korrekte Formeln/Aussagen? Was ist ein Modell, was ist eine Struktur? Wann hat eine Aussage in einem Modell/einer Struktur eine Bedeutung (ist dort sinnvoll )? Wann gilt eine Aussage in einem Modell/einer Struktur? Gibt es Formeln, die in allen Modellen/Strukturen gelten? Kann man solche Formeln algorithmisch identifizieren? Gibt es einen Beweiskalkül?... Prädikatenlogik. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS

5 2.2 Syntax der Prädikatenlogik Formeln der Prädikatenlogik sind aus folgenden Bausteinen aufgebaut: (a) (Individuen-)Variable (sprechen von Objekten): x 1,x 2,x 3,... Wir schreiben oft x, y, z, u,... für Variable. (b) Funktionssymbole f 1,f 2,f 3,... Jedes Funktionssymbol hat eine Stelligkeit, das ist die Anzahl der Argumente, meist implizit mitgeteilt ( f 6 (x, y, z) : dreistellig). Wir schreiben oft f, g, h,... für Funktionssymbole. Es gibt auch nullstellige Funktionssymbole: c [statt c()], Konstante. (c) Prädikat- oder Relationssymbole: P 1,P 2,P 3,... Jedem P i ist eine Stelligkeit zugeordnet: P 1 (x, z), P 4 (x 2 ) usw. Wir schreiben oft P,Q,R,... für Relationssymbole. Nullstellige Prädikatsymbole: P = P (), keine Argumente. (Spielen Rolle von Aussagevariablen). (d) Quantoren,, logische Verknüpfungssymbole,,,, Klammern. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS Terme werden induktiv definiert. Idee: Geschachtelte Funktionszeichen, Variablen. Beispiele: f(x, y), c (nullstellig), f(g(x, x, x), h(y, f(z, c))),... Formal: Beispiel Gruppen: f[= ] zweistellig; e nullstellig. Terme: f(x, y), f(f(x, y),z), f(x, f(y, z)), f(e, f(y, e)),... Hat mit Gruppen noch wenig zu tun: Bedeutungslose Texte. (i) Jede Variable x 1,x 2,... ist ein Term. (ii) Wenn f i ein k-stelliges Funktionszeichen ist und t 1,...,t k Terme sind, dann ist auch f i (t 1,...,t k ) ein Term. Wenn f i nullstellig ist, schreibe f i anstelle von f i (). FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS

6 Definition der Primformeln ( atomic formulas ): Wenn t 1,...,t k Terme sind und P i ein k-stelliges Relationszeichen ist, dann ist P i (t 1,...,t k ) eine Primformel. Beispiel für Primformel: f einstellig, c nullstellig, R zweistellig. R(f(x 1,x 2 ),f(f(x 3,x 1 ),c)). Wenn R ein nullstelliges Relationszeichen ist, dann ist R (anstelle von R()) eine Primformel. Induktive Definition der (prädikatenlogischen) Formeln: (i) Jede Primformel ist eine Formel. (ii) Wenn F Formel ist, dann auch F. (iii) Wenn F und G Formeln sind, dann sind auch (F G), (F G), (F G) Formeln. (iv) Wenn F Formel ist und x Variable ist, dann sind auch xf und xf Formeln. Bemerkung: Wir lassen F G hier weg, es gilt als Abkürzung für (F G) (G F ). FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS Beispiele: (Für x, y,... kann man beliebige echte Variable einsetzen.) Prähalbordnung: x y (R(x, y) z(r(x, z) R(z, y))). Gruppen: Kleines Problem: In Formeln gibt es kein Gleichheitszeichen. Ausweg: Benutze Relationssymbol EQ, zweistellig, für Gleichheit. x y (EQ(f(x, y),e) EQ(f(y, x),e)). Nützliche Formalitäten: Präzedenzen:, x, x binden am stärksten. Typisch also: x (...) und x (...), es sei denn, der Quantor bezieht sich nur auf eine Primformel. und binden stärker als. Beispiel: x R(x, y) zr(x, z) P (x) entspricht (( ( x R(x, y)) zr(x, z)) P (x, y, z)) Problem: x steht im Wirkungsbereich verschiedener Quantoren, und einmal gar nicht im Wirkungsbereich eines Quantors. Verwirrend! FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS

7 Definition Eine Teilformel einer Formel F ist eine Formel, die beim induktiven Aufbau von F vorkommt. Formal: (i) Eine Primformel F hat nur F als Teilformel. (ii) Eine Formel F = x G, F = x Goder F = G hat F und die Teilformeln von G als Teilformeln. (iii) Eine Formel F =(G H), F =(G H) oder F =(G H) hat F und die Teilformeln von G und H als Teilformeln. Definition Eine Kopie einer Variablen x in F ist frei (man sagt: das Vorkommen von x ist frei), wenn dieses x in F an einer Stelle steht, die nicht zu einer Teilformel x Goder x Ggehört. Beispiel: ( x (R(x, y) z R(x, z) ) P (x, y, z). Die beiden ersten Vorkommen von x sind nicht frei (rosa Teilformel), das dritte ist frei. Das erste Vorkommen von z ist nicht frei (grüne Teilformel), das zweite ist frei. Alle Vorkommen von y sind frei. FV(F ) ist die Menge aller Variablen, die in F frei vorkommen. Wenn FV(F )=, heißt F geschlossen. FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen LS