Modellierung von Wissen

Transkript

1 Martin LMU 9. Mai 2011

2 Schmutzige Kinder Eine Anzahl Kinder, manche haben eine schmutzige Stirn vom Spielen, manche nicht. Kein Kind kann seine eigene Stirn sehen und auch nicht befühlen. Kann ein Kind herausfinden, ob es eine schmutzige Stirn hat, oder nicht? Offensichtlich nicht!

3 Schmutzige Kinder Eine Anzahl Kinder, manche haben eine schmutzige Stirn vom Spielen, manche nicht. Kein Kind kann seine eigene Stirn sehen und auch nicht befühlen. Kann ein Kind herausfinden, ob es eine schmutzige Stirn hat, oder nicht? Offensichtlich nicht! Ein Vater kommt und sagt immer wieder mit etwas Abstand dazwischen: Manche von Euch haben eine schmutzige Stirn.. Wer von Euch weiß sicher, dass er oder sie eine schmutzige Stirn hat?. Nach den ersten n 1 Fragen (n=zahl der Kinder mit schmutziger Stirn) sagen jeweils alle Kinder: Ich weiß es nicht. Nach der n-ten Frage aber meldet sich ein Kind und sagt: Ich weiß jetzt, dass ich eine schmutzige Stirn habe. Wie ist das möglich, wenn man annimmt, dass alle Kinder intelligent sind und immer die Wahrheit sagen?

4 Nur zwei Kinder Fall a Wenn eines der Kinder eine saubere Stirn hat, dann sieht das andere Kind das und kommt aufgrund der Ansage des Vaters zu dem Schluss, dass es selber eine schmutzige Stirn haben muss.

5 Nur zwei Kinder Fall a Wenn eines der Kinder eine saubere Stirn hat, dann sieht das andere Kind das und kommt aufgrund der Ansage des Vaters zu dem Schluss, dass es selber eine schmutzige Stirn haben muss. Fall b Haben beide eine schmutzige Stirn, dann können beide Kinder nach der ersten Runde schließen, dass Fall a nicht vorliegt, sonst hätte sich ja das andere Kind sofort gemeldet. Nach der zweiten Frage wissen also beide, dass sie eine schmutzige Stirn haben und melden sich.

6 Drei Kinder Fall a Eine schmutzige Stirn. Wie bei zwei Kindern.

7 Drei Kinder Fall a Eine schmutzige Stirn. Wie bei zwei Kindern. Fall b Zwei schmutzige Stirnen. Ein Kind mit schmutziger Stirn kann nach der zweiten Frage argumentieren: Hätte ich keine schmutzige Stirn, so läge Fall a vor und jemand hätte sich gemeldet. Fall c Drei schmutzige Stirnen. Jedes Kind kann argumentieren. Hätte ich keine schmutzige Stirn, so läge Fall b vor und jemand hätte sich nach der zweiten Frage gemeldet.

8 Viele Kinder Durch Induktion über Zahl t der Kinder mit schmutziger Stirn. all t = 1 Nur eine schmutzige Stirn. Wie bei zwei Kindern. all t > 1 Mehr als eine schmutzige Stirn. Ein Kind mit schmutziger Stirn sieht n 1 schmutzige Stirnen. Meldet sich nach der n 1-ten Frage kein Kind, so kann es sich jetzt getrost melden.

9 Wissenslogik Ziel: Formalisierung dieses Arguments analog zur Formalisierung von Logikpuzzeln in Aussagenlogik. Für jeden Agenten (Kind) i einen Modaloperator K i. Die Formel K i φ bedeutet dann Agent i weiß φ. Bsp.: Peter weiß, dass Jana weiß, dass mindestens ein Kind eine schmutzige Stirn hat (X ) wird zu K P K J X. Weitere Modaloperatoren: C φ für φ ist allgemein bekannt (common knowledge, geteiltes Wissen) Dφ für φ ist verteiltes Wissen (kann aus dem gemeinsamen Wissen aller Agenten geschlossen werden, distributed knowledge)

10 Syntax der Wissenslogik Gruppe von Agenten 1,..., n. Menge Φ von primitiven Aussagen(variablen). Z.B.: Kind 1 hat schmutzige Stirn könnte in Φ sein. Formeln werden aus Φ mit den einstelligen Operatoren (Negation) und K 1,... K n (Agent i weiß) und dem zweistelligen Operator (Konjunktion) gebildet. (noch kein common und distributed knowledge) Beispiel: φ ::= Φ φ K i φ φ 1 φ 2 φ ψ = ( φ ψ) φ ψ = φ ψ φ ψ = (φ ψ) (ψ φ) K 1 K 2 p K 2 K 1 K 2 p Agent 1 weiss, dass Agent 2 p weiss und es außerdem nicht der Fall ist, dass 2 weiss, dass 1 weiss, dass er, also 2, p weiß.

11 Möglichkeit und Nichtwissen K i φ bedeutet Agent i hält φ für möglich. K i φ K i φ bedeutet Agent i weiß nicht ob φ. Ein konkretes Beispiel: Dean doesn t know whether Nixon knows that Dean knows that Nixon knows that McCord burgled O Brien s office at Watergate. Formalisiert: K 1 (K 2 K 1 K 2 p) K 1 ( K 2 K 1 K 2 p)

12 Kripkestrukturen Eine Kripkestruktur (Rahmen) für n Agenten über einer Menge Φ von primitiven Aussagen besteht aus einer Menge S von möglichen Welten oder Zuständen, für jede Welt s S eine Interpretation π s : Φ {true, false} der primitiven Aussagen sie gibt für jede Welt s und primitive Aussage φ an, ob sie in der Welt gilt (true) oder nicht (false), für jeden Agenten i (wobei i {1,..., n}) eine Äquivalenzrelation K i auf S, also eine Menge von Paaren (s, t) mit s, t S, wobei stets (s, s) K i (Reflexivität), mit (s, t) K i auch (t, s) K i und mit (s, t) K a, (t, u) K i auch (s, u) K i (Transitivität) Jeder Zustand bezeichnet eine mögliche Situation, z.b., gibt es den Zustand in dem Peter und ich eine schmutzige Stirn haben und auch die, in der keiner von uns eine schmutzige Stirn hat, etc. Ist (s, t) K a, so soll das bedeuten, dass a in der Welt s die Welt t für möglich hält.

13 Semantik von Formeln M = (S, π, K 1,..., K n ) Kripkestruktur. s S und φ eine Formel. Wir definieren, wann eine Formel φ in einem Zustand s gilt, i.z.: M, s = φ: M, s = p π s (p) = true (hier ist p primitive Aussage) M, s = ψ ψ M, s = ψ und M, s = ψ M, s = ψ M, s = ψ M, s = K i ψ M, t = ψ für alle t mit (s, t) K i

14 Beispiel n = 2, S = {s, t, u}, Φ = {p}, K 1 = {(s, s), (t, t), (u, u), (s, t), (t, s)}, K 2 = {(s, s), (t, t), (u, u), (t, u), (u, t)}, π s (p) = π t (p) = true, π u (p) = false. In der Welt t wird p von Agent 1 gewusst, aber Agent 2 weiß p in Welt t nicht, da er ja die Welt u für möglich hält, in der eben p nicht gilt. Es gilt auch M, s = p K 1 p K 2 p K 1 K 2 p

15 Beispiel mit Spielkarten Zwei Agenten 1, 2 und drei Karten A, B, C. Die Agenten erhalten jeder eine Karte; die dritte bleibt verdeckt liegen. Es gibt die folgenden sechs Welten (A, B), (A, C), (B, A), (B, C), (C, A), (C, B). Die Welt (A, B) bedeutet z.b., dass Agent 1 die Karte A hat und Agent 2 die Karte B, somit Karte C liegenbleibt. In dieser Welt hält Agent 1 die Welten (A, B) und (A, C) für möglich; insgesamt bildet die Kripkestruktur grafisch dargestellt ein Sechseck. Primitive Aussagen: 1A (1 hält Karte A), 1B, 1C, 2A, 2B, 2C. Folgende Aussagen gelten: M c, (A, B) = 1A 2B M c, (A, B) = K 1 (2B 2C) M c, (A, B) = K 1 K 2 (1A)

16 Geteiltes Wissen (common knowledge) Sei G ein Teilmenge der Agenten. Wir führen den Operator E G mit folgender Semantik ein: M, s = E G φ M, s = K i φ für alle i G Also gilt E G φ i G K iφ. Mit E k G φ bezeichnen wir E G E G... E G φ (k Anwendungen). Der Operator C G für geteiltes Wissen innerhalb von G wird dann wie folgt definiert: M, s = C G φ M, s = EG k φ für k = 1, 2, 3,...

17 Geteiltes Wissen, semantisch Welt t ist von Welt s aus in k Schritten G-erreichbar, wenn es Welten t 0, t 1,..., t k gibt mit s = t 0 und t k = t und (t j, t j+1 ) i G K i für j = 0,..., k 1. Ist dies für irgendein k der Fall, so ist t von s aus G-erreichbar.

18 Geteiltes Wissen, semantisch Welt t ist von Welt s aus in k Schritten G-erreichbar, wenn es Welten t 0, t 1,..., t k gibt mit s = t 0 und t k = t und (t j, t j+1 ) i G K i für j = 0,..., k 1. Ist dies für irgendein k der Fall, so ist t von s aus G-erreichbar. Satz: Es gilt M, s = EG k φ M, t = φ für alle t, die von s in k Schritten G-erreichbar sind. M, s = C G φ M, t = φ für alle t, die von s aus G-erreichbar sind.

19 Verteiltes Wissen Wir definieren den Operator D G (verteiltes Wissen) durch M, s = D G φ M, t = φ für alle t, sodass (s, t) i G K i Alle Welten, die auch nur einer der Agenten in G für ausgeschlossen hält, werden also nicht einbezogen. Beachte: je weniger Welten möglich sind, desto mehr Wissen.

20 Verteiltes Wissen Wir definieren den Operator D G (verteiltes Wissen) durch M, s = D G φ M, t = φ für alle t, sodass (s, t) i G K i Alle Welten, die auch nur einer der Agenten in G für ausgeschlossen hält, werden also nicht einbezogen. Beachte: je weniger Welten möglich sind, desto mehr Wissen. Im Beispiel mit den Karten (G = {1, 2}) gilt: M c, (A, B) = C G (1A 1B 1C) M c, (A, B) = C G (1B (2A 2C)) M c, (A, B) = D G (1A 2B)

21 Kripkestruktur für die schmutzigen Kinder n Agenten (die Kinder) und 2 n Zustände der Form (x 1,..., x n ) wobei die x i {0, 1} sind und besagen, ob das Kind i eine schmutzige Stirn hat. Möglicher Zustand bei n = 3: Das erste und dritte Kind haben eine schmutzige Stirn; das zweite nicht. Formal (1, 0, 1). In dieser Situation ( Welt ) hält das Kind 1 sowohl (1, 0, 1) (Reflexivität), aber auch (0, 0, 1) für möglich. Es hält aber z.b. (1, 1, 1) nicht für möglich.

22 Kripkestruktur für die schmutzigen Kinder n Agenten (die Kinder) und 2 n Zustände der Form (x 1,..., x n ) wobei die x i {0, 1} sind und besagen, ob das Kind i eine schmutzige Stirn hat. Möglicher Zustand bei n = 3: Das erste und dritte Kind haben eine schmutzige Stirn; das zweite nicht. Formal (1, 0, 1). In dieser Situation ( Welt ) hält das Kind 1 sowohl (1, 0, 1) (Reflexivität), aber auch (0, 0, 1) für möglich. Es hält aber z.b. (1, 1, 1) nicht für möglich. K i ((x 1,..., x n ), (y 1,..., y n )) x j = y j für alle j i Primitive Aussagen: Φ = {p 1,..., p n } π x (p i ) = true x i = 1 π x (p i ) = false x i = 0 p := p 1 p n

23 Beispiel M 0, (1,..., 1) = Ep M 0, (1, 1, 0,..., 0) = Ep M 0, (1, 0,..., 0) = p Ep M 0, (0,..., 0) = p

24 Veränderung des Wissens durch den Vater Durch die Ankündigung des Vaters gehen wir in eine neue Kripkestruktur M 1 über, in der (0,..., 0) fehlt. Es gilt: M 1, s = C G p M 1, (1, 0,..., 0) = K 1 p 1 M 1, (0, 1,..., 0) = K 1 p 1 Antworten also alle ich weiß es nicht, so geht man in eine neue Kripkestruktur M 2 über, in der alle Zustände mit genau einer 1 fehlen. Nach k Runden sind dann alle Zustände mit weniger als k Einsen eliminiert und somit bleibt nach der n-ten Frage nur noch die Welt (1,..., 1) übrig.

25 Eigenschaften des Wissens Gültigkeit: Schreibe M = φ wenn M, s = φ für alle s. Allgemeingültigkeit: Schreibe = φ, wenn M = φ für alle M. Es gelten die S5-Axiome : = K i φ K i (φ ψ) K i ψ (Distributionsaxiom) Wenn M = φ dann M = K i φ (Generalisierungsregel) = K i φ φ (Wahrheitsaxiom) = K i φ K i K i φ (positive Introspektion) = K i φ K i K i φ (negative Introspektion)

26 Eigenschaften des verteilten Wissens Für die weiteren Operatoren gilt das Folgende: Wenn G G dann = C G φ C G φ = E G φ i G K iφ = C G φ E G (φ C G φ) (Fixpunktax Wenn M = φ E G (ψ φ) dann M = φ C G ψ (Induktionsr Wenn G G dann = D G φ D G φ = D {i} φ K i φ Außerdem erfüllen D G und C G alle S5 Regeln. Das geteilte Wissen ist durch die beiden Regeln Fixpunktaxiom und Induktionsregel bereits eindeutig charakterisiert.

27 Ereignisbasierte Modellierung Man kann auch ohne Syntax auskommen und Aussagen als Mengen von Zuständen definieren, statt sie durch solche zu interpretieren. Man nennt solch eine Zustandsmenge Ereignis. Die Äquivalenzrelationen K i kann man auch als Partitionen der Zustandsmenge in disjunkte Ereignisse deuten. Eine Menge von primitiven Ereignissen und für jeden Agenten eine Partition der Zustandsmenge heißt Aumannstruktur. Aumannstrukturen und Kripkestrukturen sind letztendlich äquivalent. Es fehlt aber eine formalisierte Syntax. Z.B. ist K i ein Operator auf Ereignissen gegeben durch K i (e) = {s S P i (s) e} wobei P i (s) die Teilmenge der Partition P i bezeichnet, in der s liegt.

28 Zusammenfassung Wissenslogik als spezielle Modallogik mit reflexiven, symmetrischen, transitiven Rahmen. (Kripkestruktur) Geteiltes Wissen wird als unendliche Konjunktion interpretiert. Jeder weiß es, jeder weiß, dass jeder es weiß, jeder weiß, dass jeder weiß, dass jeder weiß, dass es jeder weiß, etc. Jeweils eine Runde des Schmutzige Kinder Puzzle kann als Kripkestruktur modelliert werden. Syntaxfreie Präsentiation der Wissenslogik ist als Aumannstruktur oder Ereignisbasierte Modellierung bekannt.