Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker Wintersemester 2007/08 Thomas Schwentick Teil C: Nichtklassische Logiken 9. Temporallogiken Version von: 4. Februar 2008(11:55)

2 Inhalt 9.1 Vorüberlegungen 9.2 Lineare Zeit: LTL 9.3 Verzweigende Zeit: CTL Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 1

3 Nochmal: Ein Drucker und zwei Nutzer 0 end 1 end 2 i 1, i 2 Vorüberlegungen (1/3) 6 beg beg 2 7 p 1, i 2 w 1, i 2 i 1, w 2 i 1, p 2 end 2 req 1 req 2 req 2 req w 1, p 2 beg 2 beg 1 end 1 5 w 1, w 2 p 1, w 2 req 2 req 1 In der Informatik ist es oft interessant, Aussagen über das Verhalten von Transitionssystemen zu machen In der Modallogik können wir solche Eigenschaften im Prinzip ausdrucken: p 1 drückt aus, dass es möglich ist, dass nach zwei Systemübergängen der Drucker einen Job für Nutzer 1 druckt Aber: jede ML-Formel F kann höchstens über md(f) viele Schritte des Systems sprechen Interessante Systemeigenschaften beziehen sich aber auf unbeschränkte oder sogar unendliche Berechnungen Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 2

4 Vorüberlegungen (2/3) Statt Kripkestrukturen betrachten wir im folgenden Transitionssysteme: Statt Welten sagen wir: Zustände Zusätzlich: Menge I von initialen Zuständen Eine Möglichkeit, um über längere Berechnungen zu sprechen: Betrachte statt der Kantenrelation des Transitionssystems ihren transitiven Abschluss E : Also: (u, v) E : es gibt einen Weg von u nach v Dann bedeutet F, dass die Formel F irgendwann in der Zukunft gilt Dies ist der Weg, der auch in [Kreuzer/Kühling] eingeschlagen wird Im Bereich der Automatischen Verifikation wird jedoch meistens anders vorgegangen: Die Kanten des Transitionssystems entsprechen Ein-Schritt-Übergängen Dafür werden neue logische Operatoren verwendet, die über ganze Berechnungen sprechen können Dabei werden vor allem zwei verschiedene Logiken verwendet: LTL kann Aussagen über Eigenschaften aller Berechnungen machen CTL kann Aussagen über den Baum der möglichen Berechnungen machen Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 3

5 Vorüberlegungen (3/3) Notation: Um eine Verwechslung mit den temporallogischen Operatoren F, G, U, X zu vermeiden, werden in diesem Kapitel AL-Variablen mit kleinen Buchstaben wie p, q bezeichnet und Formeln mit kleinen griechischen Buchstaben wie oder ψ Beispiel 1 a 2 a, b 4 3 a Eine Berechnung eines Transitionssystems T = (V, E, P, I) ist eine Folge s 0, s 1, s 2,... von Zuständen mit (s i, s i+1 ) E, für jedes i Berechnungen können endlich oder unendlich sein: 1, 2, 3, 2, 3, 2, 3,... 1, 4, 4, 4, 3, 2 Eine Berechnung heißt initial, wenn ihr erster Zustand initial ist Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 4

6 Inhalt 9.1 Vorüberlegungen 9.2 Lineare Zeit: LTL 9.3 Verzweigende Zeit: CTL Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 5

7 Lineare Zeit: Grundbegriffe Jede Berechnung π = s 0, s 1, s 2,... induziert einen Trace ( Spur ) P(π) = P(s 0 ), P(s 1 ), P(s 2 ),... Die Linearzeitlogik LTL macht Aussagen über die möglichen Traces eines Systems Einige typische Aussagen: Jeder Druckjob von Nutzer 1 wird irgendwann gedruckt Es kommt nicht vor, dass ein Job für Nutzer 1 und einer für Nutzer 2 gleichzeitig gedruckt werden Jederzeit kann einer der beiden Nutzer in einem Schritt zum Warten übergehen Dazu verwendet LTL die folgenden Operatoren: F: irgendwann in der Zukunft gilt G: immer in der Zukunft (und schon jetzt) gilt X: es gibt einen Ein-Schritt-Übergang, nach dem gilt U ψ: irgendwann in der Zukunft gilt ψ und bis dahin gilt Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 6

8 (a)? (b)? (c)? (d)? (e) Illustration der LTL-Operatoren Beispiel F gilt "!? F gilt F gilt F gilt nicht F gilt nicht Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 7

9 Illustration der LTL-Operatoren (Forts.) Beispiel (a)? G gilt? G gilt (b) (c)? G gilt nicht (d)? G gilt nicht (e)?! " G gilt nicht Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 8

10 (a)? (b)? (c)? (d)? (e) Illustration der LTL-Operatoren (Forts.) Beispiel X gilt "!? X gilt nicht X gilt nicht X gilt nicht X gilt nicht Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 9

11 (a) (b)? (c) ψ? Illustration der LTL-Operatoren (Forts.) Beispiel? ψ ψ ψ? ψ ψ U gilt ψ ψ ψ, ψ ψ U gilt ψ U gilt ψ U gilt (d)? ψ ψ ψ U gilt nicht (e)? (f) $ψ # %ψ &ψ 'ψ "! (ψ )ψ ψ U gilt nicht Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 10

12 LTL: Beispielformeln Jeder Druckjob von Nutzer 1 wird irgendwann gedruckt: G(w 1 Fp 1 ) Es kommt nicht vor, dass ein Job für Nutzer 1 und einer für Nutzer 2 gleichzeitig gedruckt werden G (p 1 p 2 ) Jederzeit kann einer der beiden Nutzer in einem Schritt zum Warten übergehen GX(w 1 w 2 ) Es wird unendlich oft gedruckt GF(p 1 p 2 ) Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 11

13 LTL: Formal Definition (LTL: Syntax) Für jedes p AV ist p eine LTL-Formel Sind und ψ LTL-Formeln, so auch, ψ und ψ Ist eine LTL-Formel, so auch F, G und X Sind und ψ LTL-Formeln, so auch ψ U Für eine Berechnung π = s 0, s 1, s 2 bezeichne π i die Berechnung s i, s i+1,... Bindungsstärke der Operatoren: Am stärksten unär:, F, G, X Dann: U Dann:, Dann: Also: p U q r (p U q) r Definition (LTL: Semantik) Sei T ein Transitionssystem, π eine Berechnung von T und sei P(π) = l 0 l 1 l 2 Wir definieren π = induktiv wie folgt: π = p, falls p l 0 π =, falls π = π = ψ, falls π = und π = ψ π = ψ, falls π = oder π = ψ π = F, falls π i =, für ein i 0 π = G, falls π i =, für alle i 0 π = X, falls π 1 = π = ψ U, falls es ein j gibt, so dass π j = und für alle i, 0 i < j gilt π i = ψ T = : für alle initialen Berechnungen π von T gilt π = Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 12

14 Inhalt 9.1 Vorüberlegungen 9.2 Lineare Zeit: LTL 9.3 Verzweigende Zeit: CTL Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 13

15 Ein Transitionssystem T erfüllt eine Linearzeit-Eigenschaft, wenn alle initialen Berechnungen eine bestimmte Bedingung erfüllen Damit lassen sich viele interessante Eigenschaften von Systemen beschreiben, aber nicht alle Das System im Beispiel hat die Eigenschaft, dass von jedem Zustand aus noch ein Zustand mit o erreicht werden kann das kann nicht von einer LTL-Formel ausgedrückt werden Linare und verzweigende Zeit B,C 1 o A C B A 2 o B,C Beispiel B Beispiel C 3 o A A 4 o Jetzt betrachten wir eine Logik, deren Aussagen sich stärker auf den Berechnungsbaum beziehen CTL: Computation Tree Logic B C A B C A C B A Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 14

16 CTL: Zutaten In CTL ist es möglich über Berechnungen zu quantifizieren: E: es gibt einen Pfad... A: für alle Pfade... Aber: hinter E und A muss sich direkt ein temporaler Operator befinden: EF, EG, EX, E U AF, AG, AX, A U Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 15

17 CTL: EFblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 16

18 CTL: EGblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 17

19 CTL: EXblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 18

20 CTL: E(rot U blau) Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 19

21 CTL: AFblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 20

22 CTL: AGblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 21

23 CTL: AXblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 22

24 CTL: A(rot U blau) Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 23

25 CTL: Definition Definition (CTL: Syntax) Sei P eine Menge von Propositionen und sind CTL-Formeln Für jedes p P ist p eine CTL-Formel Sind und ψ CTL-Formeln, so auch, ψ und ψ Ist eine CTL-Formel, so auch EF, EG und EX Ist eine CTL-Formel, so auch AF, AG und AX Sind und ψ CTL-Formeln, so auch E(ψ U ) und A(ψ U ) LTL-Formeln sind Pfad-Formeln CTL-Formeln sind Zustands-Formeln Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 24

26 CTL: Definition (Forts.) Definition (CTL: Semantik) Sei T ein Transitionssystem und s ein Zustand T, s =, T, s = T, s = p, falls p P(s) T, s = ψ falls T, s = oder T, s = ψ ( und analog) T, s = EF, falls es einen Weg s, s 1, s 2,... und i 0 gibt mit T, s i = T, s = EG, falls es einen Weg s, s 1, s 2,... gibt so dass für alle i 0 gilt T, s i = T, s = EX, falls es einen Weg s, s 1, s 2,... gibt mit T, s 1 = T, s = E( U ψ), falls es einen Weg s, s 1, s 2,... und i 0 gibt mit T, s i = ψ und für alle j < i: T, s j = Definition (CTL: Semantik) [Forts.] T, s = AF, falls es für jeden Weg s, s 1, s 2,... ein i 0 gibt mit T, s i = T, s = AG, falls für jeden Weg s, s 1, s 2,... und jedes i 0 gilt: T, s i = T, s = AX, falls für jeden Weg s, s 1, s 2,... gilt: T, s 1 = T, s = A( U ψ), falls es für jeden Weg s, s 1, s 2,... ein i 0 gibt mit T, s i = ψ und für alle j < i: T, s j = Für T = (V, E, P, I) gilt T =, falls für alle s I gilt: T, s = Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 25

27 CTL-Eigenschaften: EFAGblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 26

28 CTL-Eigenschaften: EGAFblau Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 27

29 CTL: Typische Eigenschaften Es ist ein Zustand erreichbar, in dem Prozess A druckt: EFp A Wenn Prozess A drucken will, wird er irgendwann drucken: AG(w A AFp A ) Prozess A druckt in jeder Berechnung unendlich oft: AGAFp A In jeder Berechnung kann Prozess A irgendwann nie wieder drucken: AFAG p A Von jedem Zustand aus ist es möglich den kritischen Zustand zu erreichen: AGEFk B druckt in keiner Berechnung vor A: E( p A U(p B p A )) Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 28

30 CTL: Weitere Beispiele Beispiel 1 b 2 a, b 4 3 a Welche Formeln gelten in welchen Zuständen? 1. EXa 2. AXa 3. EFa 4. AFa 5. EGa 6. AGa 7. E(a U b) 8. A(a U b) 9. A(a U[EGa A(a U b)]) Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 29

31 LTL und CTL: Eigenschaften Die Ausdrucksstärke von LTL und CTL sind unvergleichbar (also keine mindestens so ausdrucksstark wie die andere): Die LTL-Formel Fp Fq hat kein Pendant in CTL Die CTL-Formel AGEFp hat kein Pendant in LTL Gegeben ein Transitionssystem T und eine LTL-Formel kann in Zeit O( T 2 ) entschieden werden, ob T = gilt Erfüllbarkeit von LTL-Formeln kann mit polynomiellem Speicherplatz getestet werden Gegeben ein Transitionssystem T und eine CTL-Formel kann in Zeit O( T ) entschieden werden, ob T = gilt (Aber: viele Eigenschaften lassen sich in LTL kompakter ausdrücken als in CTL) Erfüllbarkeit von CTL-Formeln kann in exponentieller Zeit getestet werden, aber im schlimmsten Fall (beweisbar!) nicht besser Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 30

32 Literatur und Ausblick Weitere Informationen zur Temporallogik finden sich beispielsweise in den Büchern von Huth und Ryan und im Buch von Ben-Ari Außerdem in der Vorlesung Grundlagen des Model Checking Weitere Veranstaltungen, in denen Logik eine wichtige Rolle spielt Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen Informationssysteme Formale Methoden des Systementwurfs Datenbanktheorie Logik und Komplexität Weitere Veranstaltungen, in denen Logik vorkommt: Softwarekonstruktion Einführung in die Computational Intelligence Commonsense Reasoning Algebraische Grundlagen der Softwaretechnik Natürlichsprachliche Systeme Logik für Inf. / Schwentick / WiSe 07/08 C: 9. Temporallogiken Folie 31