Mathematik-Vorkurs für Informatiker Formale Sprachen 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik-Vorkurs für Informatiker Formale Sprachen 1"

Transkript

1 Christian Eisentraut & Julia Krämer Mathematik-Vorkurs für Informatiker Formale Sprachen 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen: (a) Unterschied zwischen natürlichen und formalen Sprachen (b) Syntax (c) Semantik (d) Sprache der binären Bäume in Backus-Naur-Form (e) Sprache der arithmetischen Ausdrücke in Backus-Naur-Form (f) die (inhaltlich) korrekte Semantikabbildung zu arithmetischen Ausdrücken Aufgabe 2. (Metavariablen) Kategorie 2 Erklären Sie den Unterschied zwischen Metavariablen und Variablen der Menge V. Beantworten Sie dabei auch die folgenden Fragen: Weshalb brauchen wir Variablen in arithmetischen Ausdrücken? Benötigen wir Metavariablen unbedingt, um arithmetische Ausdrücke bzw. binäre Bäume zu definieren? Metavariablen sind im Gegensatz zu den Variablen der Menge V kein Teil der Sprache der arithmetischen Ausdrücke, d.h. egal welchen Ausdruck wir bilden, die Metavariablen φ und ψ werden nie darin auftauchen. Dahingegen taucht die Variable x, die für eine (natürliche Zahl) und nicht direkt für einen arithmetischen Ausdruck steht, in einem arithmetischen Ausdruck auf, da sie selbst ein arithmetischer Ausdruck ist. Da wir unendliche Mengen von Wörter definieren brauchen wir Metavariablen. Sie erlauben es uns, Bildungsregeln anzugeben anstatt alle Wörter der Sprache auflisten zu müssen. Aufgabe 3. (Wiederholung - einmal anders) Kategorie 2 Versuchen Sie, Ihren Großeltern zu erklären, was eine informatische Sprache ist. 1 Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer ( ist inklusive aller darin vorkommenden Texte und Bilder lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Nicht-kommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Weitere Hinweise finden Sie unter http: //creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. 1

2 Ein möglicher Ansatz: Eine informatische Sprache hat wie jede andere Sprache auch Wörter, aus denen sie besteht und die eine Bedeutung haben. Aber während z.b. Wörter wie Bank im Deutschen viele verschiedene Bedeutungen haben können, hat jedes Wort einer informatischen Sprache nur genau eine Bedeutung. Auch ist jeder grammatikalisch korrekte Satz einer informatischen Sprache auch gültig das ist im Deutschen ja nicht der Fall, z.b. Die Bank ist ein Baum ist ein grammatikalisch korrekter Satz, hat jedoch keine sinnvolle Bedeutung. Aufgabe 4. (Sinn einer Grammatik) Kategorie 2 Diskutieren Sie die folgende Frage: Wozu ist eine Grammatik gedacht und wie verwendet man Sie? Überlegen Sie sich dazu: Wie würden Sie die Sprache der Aussagenlogik notieren ohne die Definition der Vorlesung zu verwenden? Wie bestimmen Sie, ob ein Ausdruck zu einer Sprache gehört oder nicht? Gruppenaufgabe Eine Grammatik dient dazu die korrekten Wörter bzw. Sätze einer Sprache vollständig und korrekt zu beschreiben. Die Sprache, die im Vorkurs betrachtet wird, ist die Sprache der aussagenlogischen Ausdrücke, d.h. eine Grammatik muss keine natürliche Sprache wie Deutsch oder Englisch beschreiben. Die Grammatiken, die in der Informatik betrachtet werden, können dies für natürliche Sprachen gar nicht leisten. Vollständig und korrekt heißt hier, wie sehr häufig in der Informatik, dass alle Ausdrücke, die es in der Aussagenlogik gibt, mit Hilfe der Grammatik ableitbar sind und dass man keine Ausdrücke ableiten kann, die nicht in der Aussagenlogik zu finden sind. Das Wort Ableiten beschreibt den Vorgang, wie man eine Grammatik benutzt. Grob gesagt ist eine Grammatik ein Ersetzungsystem, man fängt auf der obersten Ebene an, bei den aussagenlogischen Formeln z.b. mit φ, dann entscheidet man sich φ z.b. durch eine Ausdruck mit einem und zu ersetzen, d.h. man hat nun φ ψ und kann nun sowohl für φ als auch für ψ so verfahren, also die beiden Metavariablen rekursiv so lange weiterersetzen bis man bei, oder einer Aussagenvariable angelangt ist. Aufgabe 5. (Backus-Naur-Form (1)) Benutzen Sie eine Grammatik in Backus-Naur-Form, um die induktiv definierte Sprache Listen über den Zeichen o und zu definieren. Die Sprache Liste enthält Wörter, die nach folgendem Schema aufgebaut sind: o, o. o, φ ::= o φ 2

3 Aufgabe 6. (Backus-Naur-Form (2)) Benutzen Sie eine Grammatik in Backus-Naur-Form, um die induktiv definierte Sprache N über dem Zeichen zu definieren. Die Sprache N enthält Wörter, die nach folgendem Schema aufgebaut sind:, { }, {{ }}, φ ::= {φ} Aufgabe 7. (Backus-Naur-Form umgekehrt) Welche Sprache B beschreibt die folgende Backus-Naur-Form? Entwicklen Sie eine aussagekräftige Aufzählung von Wörten, d.h. geben Sie so viele Wörter der Sprache an, wie notwendig sind, damit man das Schema, welches hinter der Sprache steht, vollständig erkennen kann. B φ ::= ab aφb Die Backus-Naur-Form beschreibt die Sprache {a n b n n N}, wobei a n die n-fache Wiederholung des Buchstaben a beschreibt. Hinweis: Wir greifen hier eine bestimmte Schreibweise für Mengen die prädikative Schreibweise voraus. Aufgabe 8. (Arithmetische Ausdrücke - nicht korrekt geklammert) Dieser Aufgabe liegt die folgende Grammatik arithmetischer Ausdrücke zugrunde: C φ, ψ ::= φ + ψ φ ψ φ ψ phi ψ n wobei n N, also n eine natürliche Zahl ist. Welche der folgenden Ausdrücke gehören zur Sprache der arithmetischen Ausdrücke C? Erkären Sie für alle inkorrekten Ausdrücke, warum diese inkorrekt sind, und finden Sie für alle korrekten Ausdrücke einen entsprechenden Syntaxbaum. (a) (4 + (3 (2 9))) (b) ( 2) (c) (7 + ((1 (3 9)) 9)) (d) ((2 0) + 7 2) 3

4 (a) Dieser Ausdruck ist gültig (b) Dieser Ausdruck ist nicht gültig, da Minus nur als binärer Operator (also als Opertor mit zwei Unterknoten) in unserer Grammatik vorkommt. (c) Der gültige Ableitungsbaum ist: : (d) Dieser Ausdruck ist ebenfalls nicht gültig aber nicht, weil durch 0 geteilt wird, sondern weil er nicht ausreichend geklammert ist. Aufgabe 9. (Verwenden von Semantikklammern) Verwenden Sie die (inhaltlich) korrekte Definition der Semantik arithmetischer Ausdrücke, um die Semantik der folgenden Ausdrücke zu berechnen. Achten Sie dabei auf die korrekte Klammerung und lassen Sie keinen Zwischenschritt aus. Beispiel = = = = 1 6 (a) (4 + 7) (3 4) (b) (c)

5 (a) (4 + 7) (3 4) = = ( ) ( 3 4 ) = (4 + 7) (3 4) = 11 ( 1) = 11 (b) = = ( ) 6 = (( 3 4 ) 5) 6 = ((3 4) 5) 6 = 360 (c) = = = 3 + ( 4 5 ) 6 7 = 3 + (4 5) 6 7 = Aufgabe 10. (Modellieren mit Sprachen (1)) Kategorie 4 Bestimmen Sie die Sprache aller ternären Bäume, d.h. der Bäume, deren Knoten entweder genau drei oder keine Kinder haben. Geben Sie dazu eine Backus-Naur-Form an, die die Menge aller ternären Bäume beschreibt. Der folgende Baum ist zum Beispiel ein ternärer Baum. Eine mögliche korrekte Grammatik in Backus-Naur-Form ist die folgende: T phi, ψ, χ ::= φ ψ χ Als Semantik können wir z.b. wieder die Größe oder eine lineare Darstellung angeben: Sei T die Menge aller ternären Bäume. Seien φ, ψ und χ Elemente von T. Dann ist die Abbildung T induktiv wie folgt definiert: (a) T = 1 (b) Hier definieren wir die Semantikabbildung mit sich selbst. Da die Bäume, die betrachtet werden, aber kleiner werden, bekommen wir insgesamt ein Ergebnis: T = φ T + ψ T + χ T + 1 φ ψ χ Sei T die Menge aller ternären Bäume. Seien φ, ψ und χ Elemente von T. Dann ist die Abbildung T induktiv wie folgt definiert: 5

6 (a) = [ ] (b) Hier definieren wir die Semantikabbildung mit sich selbst. Da die Bäume, die betrachtet werden, aber kleiner werden, bekommen wir insgesamt ein Ergebnis: T = [ φ T, ψ T, χ T ] φ ψ χ Aufgabe 11. (Modellieren mit Sprachen (2)) Kategorie 4, 5, 6 Stellen Sie sich vor, Sie sind nicht nur Informatiker, sondern auch Gärtner. Um sich schon dem eigentlichen Aussähen sicher sein zu können, dass Ihr Blumenbeet so aussieht, wie Sie sich das vorstellen, möchten Sie ein Blumenbeet als Sprache modellieren. (a) Geben Sie eine Sprache an, die eine einzelne Blumenbeetreihe beschreibt. Berücksichtigen Sie dabei Gänseblümchen, Tulpen und Narzissen. (b) Nun möchten Sie ein Beet mit beliebig vielen Blumenbeetreihen modellieren. Erweitern Sie Ihre Definitionen dazu um eine weitere Backus-Naur-Form, die auf der Definition für Blumenbeetreihen aufbaut. (c) Entwerfen Sie sich eine Semantik für Blumenbeete (Möglichkeiten: Gesamtgröße, Wasserverbrauch Anzahl an verschiedenen Blumen, ) Aufgabe 12. (Über den Tellerrand) Kategorie 5 Beurteilen Sie, ob Sie mithilfe einer oder mehrerer Backus-Naur-Formen die Sprache aufschreiben können, bei der auf jedes a ein b oder ein e folgt, auf jedes b die Zeichenkette ef, auf e entweder b, f oder a und auf f ein a folgt. Wie sieht Ihre Beurteilung aus, wenn auf jeden der Buchstaben auch nichts folgen darf? Erläutern Sie jeweils, warum es nicht möglich ist, solch eine Sprache mit Hilfe von BNFs zu modellieren bzw. geben Sie eine BNF an, die genau diese Sprache beschreibt. Im Folgenden wir Tulpe mit T, Gänseblümchen mit G und Narzisse mit N abgekürzt. Es gibt viele Möglichkeiten zur Modellierung, wir geben hier nur eine an. (a) R φ ::= T N G φt φn φg (b) Sei φ, ψ R. B χ ::= φ ψ Zäunchen χ (c) Eine Tulpe nimmt 4 Größeneinheiten ein, ein Gänsebümchen 2 und eine Narzisse 3, pro fertiger Reihe mit einem Zäunchen braucht man nochmals 5 Größeneinheiten. Dann sieht unsere Semantik einer Reihe von Blumen wie folgt aus (für φ R): (i) T R = 4 (ii) N R = 3 (iii) G R = 2 (iv) φg R = φ R + 2 (v) φn R = φ R + 3 (vi) φt R = φ R + 4 6

7 Und für Blumenreihen: (i) φ B = φ R (ii) φ Zäunchen χ = φ R χ B Aufgabe 13. (Über den Tellerrand) Kategorie 6 Wählen Sie einen geeigneten Ausschnitt der realen Welt aus und entwerfen Sie ein Modell davon mithilfe von formalen Sprachen. Ja, wenn man mehr als eine Grammatik verwendet: A φ ::= b ψ e χ B ψ ::= ef ρ E χ ::= b ψ f ρ a φ F ρ ::= a φ Auch, wenn nach jedem Buchstaben nichts folgen darf, gibt es kein Problem: A φ ::= b ψ e χ b e B ψ ::= ef ρ ef E χ ::= b ψ f ρ a φ b f a F ρ ::= a φ a 7

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen

Mehr

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 2. Übungsstunde Aussagenlogische Modellierung Die Mensa versucht ständig, ihr Angebot an die Wünsche

Mehr

7. Formale Sprachen und Grammatiken

7. Formale Sprachen und Grammatiken 7. Formale Sprachen und Grammatiken Computer verwenden zur Verarbeitung von Daten und Informationen künstliche, formale Sprachen (Maschinenspr., Assemblerspachen, Programmierspr., Datenbankspr., Wissensrepräsentationsspr.,...)

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

Einführung Grundbegriffe

Einführung Grundbegriffe Einführung Grundbegriffe 1.1 Der Modellbegriff Broy: Informatik 1, Springer 1998 (2) Die Modellbildung der Informatik zielt auf die Darstellung der unter dem Gesichtspunkt einer gegebenen Aufgabenstellung

Mehr

4. Induktives Definieren - Themenübersicht

4. Induktives Definieren - Themenübersicht Induktives Definieren 4. Induktives Definieren - Themenübersicht Induktives Definieren Natürliche Zahlen Operationen auf natürlichen Zahlen Induktive Algorithmen Induktiv definierte Mengen Binärbäume Boolesche

Mehr

Variablen und Datentypen

Variablen und Datentypen Programmieren mit Python Modul 1 Variablen und Datentypen Selbstständiger Teil Inhaltsverzeichnis 1 Überblick 3 2 Teil A: Geldautomat 3 2.1 Einführung.................................. 3 2.2 Aufgabenstellung...............................

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung. 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie

Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung. 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie Gliederung 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.1. 2.2. Reguläre Sprachen 2.3. Kontextfreie Sprachen 2/1, Folie 1 2015 Prof. Steffen

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

es gibt viele gute Info-I-Lehrbücher ( Einführung in die Informatik ).

es gibt viele gute Info-I-Lehrbücher ( Einführung in die Informatik ). LITERATUR ZUR VORLESUNG es gibt viele gute Info-I-Lehrbücher ( Einführung in die Informatik ). zu den einzelnen Themen gibt es ebenfalls viele gute Bücher (u.a. zu Java, Algorithmen und Datenstrukturen

Mehr

Alphabet, formale Sprache

Alphabet, formale Sprache n Alphabet Alphabet, formale Sprache l nichtleere endliche Menge von Zeichen ( Buchstaben, Symbole) n Wort über einem Alphabet l endliche Folge von Buchstaben, die auch leer sein kann ( ε leere Wort) l

Mehr

Induktive Beweise und rekursive Definitionen

Induktive Beweise und rekursive Definitionen Induktive Beweise und rekursive Definitionen Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 1. Übungsstunde Beweis durch vollständige Induktion über N Aufgabe 1 Zeige, dass für alle n N gilt: n 2 i = 2 n+1

Mehr

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft

Mehr

Grammatiken und ANTLR

Grammatiken und ANTLR Grammatiken und ANTLR Zusatzfolien zu Algo Blatt 6 Author: Henry Schaefer http://www.majeeks.de/folien_blatt6.pdf Grammatik Definition: syntaktische Beschreibung einer Sprache (H.S.) Definiton Grammatik

Mehr

Induktive Definitionen

Induktive Definitionen Induktive Definitionen Induktive Definition: Konstruktive Methode zur Definition einer Menge M von Objekten aus Basisobjekten mittels (Erzeugungs-) Regeln Slide 1 Rekursion über den Aufbau: Konstruktive

Mehr

Mathem.Grundlagen der Computerlinguistik I, WS 2004/05, H. Leiß 1

Mathem.Grundlagen der Computerlinguistik I, WS 2004/05, H. Leiß 1 Mathem.Grundlagen der Computerlinguistik I, WS 2004/05, H. Leiß 1 1 Vorbemerkungen Mathematische Begriffe und Argumentationsweisen sind in vielen Fällen nötig, wo man über abstrakte Objekte sprechen und

Mehr

Empfehlenswerte Referenzen

Empfehlenswerte Referenzen Wenn Google etwas nicht finden kann, fragen sie Jack Bauer. ("Fakten über Jack Bauer") Inhalt Empfehlenswerte Referenzen...1 0 Wozu reguläre Ausdrücke?...1 1 Die Elemente regulärer Ausdrücke...2 2 Ein

Mehr

1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen

1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen 6 Kombinatorik Jörn Loviscach Versionsstand: 2. Dezember 2011, 16:25 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.j3l7h.de/videos.html This work

Mehr

Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung)

Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung) Musterbeispiele: Aussagenlogik (Lösung) 3.0 VU Formale Modellierung Lara Spendier, Gernot Salzer WS 2011 Aufgabe 1 Gegeben seien die folgenden Aussagen: A: Es ist eiskalt. B: Es schneit. Drücken Sie die

Mehr

MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER MUSTERLÖSUNG 3. TEST

MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER MUSTERLÖSUNG 3. TEST Privatdozent Dr. C. Diem diem@math.uni-leipzig.de http://www.math.uni-leipzig.de/ diem/wiwi MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER MUSTERLÖSUNG 3. TEST Es folgt eine Musterlösung zusammen mit Anleitungen

Mehr

Mathematik. Februar 2016 AHS. Kompensationsprüfung 1 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten

Mathematik. Februar 2016 AHS. Kompensationsprüfung 1 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten Name: Datum: Klasse: Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Februar 2016 Mathematik Kompensationsprüfung 1 Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten Hinweise

Mehr

Kombinatorik. Jörn Loviscach. Versionsstand: 31. Oktober 2009, 17:22. 1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen

Kombinatorik. Jörn Loviscach. Versionsstand: 31. Oktober 2009, 17:22. 1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen Kombinatorik Jörn Loviscach Versionsstand: 31. Oktober 2009, 17:22 1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen Die Kombinatorik ein recht kleines Gebiet der Mathematik befasst sich mit dem Abzählen von

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14. Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14. Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen ARBEITSBLATT 14 Systeme linearer Ungleichungen in einer Variablen Zunächst einmal können wir die Lösungen einer Ungleichung auf mehrere Arten angeben. Man kann wählen zwischen einer Ungleichungskette,

Mehr

Algorithmen und Formale Sprachen

Algorithmen und Formale Sprachen Algorithmen und Formale Sprachen Algorithmen und formale Sprachen Formale Sprachen und Algorithmen Formale Sprachen und formale Algorithmen (formale (Sprachen und Algorithmen)) ((formale Sprachen) und

Mehr

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER FORMALE SPRACHEN Bevor wir anfangen, uns mit formaler Logik zu beschäftigen, müssen wir uns mit formalen Sprachen beschäftigen Wie jede natürliche Sprache,

Mehr

Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13)

Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13) Berlin, 21. Februar 2013 Name:... Matr.-Nr.:... Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ Bearbeitungszeit: 90 min. max. Punktezahl:

Mehr

Automaten und Formale Sprachen

Automaten und Formale Sprachen Automaten und Formale Sprachen Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2011/12 WS 11/12 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien

Mehr

Grammatiken. Einführung

Grammatiken. Einführung Einführung Beispiel: Die arithmetischen Ausdrücke über der Variablen a und den Operationen + und können wie folgt definiert werden: a, a + a und a a sind arithmetische Ausdrücke Wenn A und B arithmetische

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Java für Anfänger Teil 2: Java-Syntax. Programmierkurs Manfred Jackel

Java für Anfänger Teil 2: Java-Syntax. Programmierkurs Manfred Jackel Java für Anfänger Teil 2: Java-Syntax Programmierkurs 06.-10.10.2008 Manfred Jackel 1 Syntax für die Sprache Java public class Welcome { } Schlüsselworte Reservierte Worte Keywords Wortsymbol Syntax: griech.

Mehr

Variablen in MATLAB. Unterschiede zur Mathematik: Symbolisches und numerisches Rechnen. Skriptdateien. for-schleifen.

Variablen in MATLAB. Unterschiede zur Mathematik: Symbolisches und numerisches Rechnen. Skriptdateien. for-schleifen. Variablen in MATLAB. Unterschiede zur Mathematik: Symbolisches und numerisches Rechnen. Skriptdateien. for-schleifen. Wir wollen uns heute dem Thema Variablen widmen und uns damit beschäftigen, wie sich

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Einführung in die Informatik I (autip)

Einführung in die Informatik I (autip) Einführung in die Informatik I (autip) Dr. Stefan Lewandowski Fakultät 5: Informatik, Elektrotechnik und Informationstechnik Abteilung Formale Konzepte Universität Stuttgart 24. Oktober 2007 Was Sie bis

Mehr

(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen

(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen (Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen (siehe auch bei den Aufgaben zu endlichen Automaten) 1) Eine Grammatik G sei gegeben durch: N = {S, A}, T = {a, b, c, d}, P = { (S, Sa), (S, ba), (A, ba), (A, c),

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays

Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays Übungspaket 23 Mehrdimensionale Arrays Übungsziele: Skript: Deklaration und Verwendung mehrdimensionaler Arrays Kapitel: 49 Semester: Wintersemester 2016/17 Betreuer: Kevin, Matthias, Thomas und Ralf Synopsis:

Mehr

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h SS 2011 20. April 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April 2011 10:00h 1. Aufgabe: [strukturelle Induktion, Übung] Zeigen Sie mit struktureller Induktion über

Mehr

Programmiersprachen und Übersetzer

Programmiersprachen und Übersetzer Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 22.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

Die Folgerungsbeziehung

Die Folgerungsbeziehung Kapitel 2: Aussagenlogik Abschnitt 2.1: Syntax und Semantik Die Folgerungsbeziehung Definition 2.15 Eine Formel ψ AL folgt aus einer Formelmenge Φ AL (wir schreiben: Φ = ψ), wenn für jede Interpretation

Mehr

Theoretische Informatik Mitschrift

Theoretische Informatik Mitschrift Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=

Mehr

Berechenbarkeit und Komplexität

Berechenbarkeit und Komplexität Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter

Mehr

Binärzahlen. Vorkurs Informatik. Sommersemester Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

Binärzahlen. Vorkurs Informatik. Sommersemester Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Binärzahlen Vorkurs Informatik Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2016 Gliederung 1 Das Binärsystem Einleitung Darstellung 2 Umrechen Modulo und DIV Dezimal in

Mehr

6 F O R M A L E S P R A C H E N. 6.1 formale sprachen

6 F O R M A L E S P R A C H E N. 6.1 formale sprachen 6.1 formale sprachen 6 F O R M A L E S P R A C H E N Eine natürliche Sprache umfasst mehrere Aspekte, z. B. Aussprache und Stil, also z. B. Wortwahl und Satzbau. Dafür ist es auch notwendig zu wissen,

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 2. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN. 1. Kürzen von Bruchtermen

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 2. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN. 1. Kürzen von Bruchtermen Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT BRUCHTERMEN 1. Kürzen von Bruchtermen Zunächst einmal müssen wir klären, was wir unter einem Bruchterm verstehen. Definition:

Mehr

4 Zahlenbereiche. 1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen

4 Zahlenbereiche. 1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen 4 Zahlenbereiche Jörn Loviscach Versionsstand: 21. September 2013, 15:53 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html This work

Mehr

Grammatik Prüfung möglich, ob eine Zeichenfolge zur Sprache gehört oder nicht

Grammatik Prüfung möglich, ob eine Zeichenfolge zur Sprache gehört oder nicht Zusammenhang: Formale Sprache Grammatik Formale Sprache kann durch Grammatik beschrieben werden. Zur Sprache L = L(G) gehören nur diejenigen Kombinationen der Zeichen des Eingabealphabets, die durch die

Mehr

Induktive Definitionen

Induktive Definitionen Priv.-Doz. Dr.rer.nat.habil. Karl-Heinz Niggl Technische Universität Ilmenau Fakultät IA, Institut für Theoretische Informatik Fachgebiet Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen J Induktive Definitionen

Mehr

kontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung

kontextfreie Grammatiken Theoretische Informatik kontextfreie Grammatiken kontextfreie Grammatiken Rainer Schrader 14. Juli 2009 Gliederung Theoretische Informatik Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. Juli 2009 1 / 40 2 / 40 Beispiele: Aus den bisher gemachten Überlegungen ergibt sich: aus der Chomsky-Hierarchie bleiben

Mehr

Algorithmen und Berechnungskomplexität II Prof. Dr. Rolf Klein

Algorithmen und Berechnungskomplexität II Prof. Dr. Rolf Klein Algorithmen und Berechnungskomplexität II Prof. Dr. Rolf Klein Veranstaltungsbewertung der Fachschaft Informatik 29. November 2016 Abgegebene Fragebögen: 61 1 Bewertung der Vorlesung 1.1 Bitte beurteile

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen inkl. der 0 ganzen Zahlen rationalen

Mehr

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3 Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende

Mehr

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 10. Übungsblatt

Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 10. Übungsblatt Dr. M. Weimar 3.06.206 Elemente der Stochastik (SoSe 206) 0. Übungsblatt Aufgabe (2+2+2+2+3= Punkte) Zur zweimaligen Drehung des nebenstehenden Glücksrads (mit angenommener Gleichverteilung bei jeder Drehung)

Mehr

Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge

Mütze und Handschuhe trägt er nie zusammen. Handschuhe und Schal trägt er immer zugleich. (h s) Modellierung als Klauselmenge Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,

Mehr

In diesem Dokument sind folgende Bilder verwendet: Darstellungen der Katze Mia: Cliparts aus dem Angebot von

In diesem Dokument sind folgende Bilder verwendet: Darstellungen der Katze Mia: Cliparts aus dem Angebot von Mathe mit Mieze Mia Mathe mit Mieze Mia Mia lernt die Uhr - 1 Dieses Lernheft habe ich für meinen eigenen Unterricht erstellt und stelle es auf meiner privaten Homepage www.grundschule.cc zum absolut kostenlosen

Mehr

4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren:

4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren: 4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX 4.1 Objektsprache und Metasprache 4.2 Gebrauch und Erwähnung 4.3 Metavariablen: Verallgemeinerndes Sprechen über Ausdrücke von AL 4.4 Die Sprache der Aussagenlogik 4.5 Terminologie

Mehr

Kapitel 3: Berechnungstheorie Gliederung

Kapitel 3: Berechnungstheorie Gliederung Gliederung 0. Motivation und Einordnung 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 3.1. Einordnung 3.2. Berechnungsmodelle 3.3. Diskussion 3.4. Ergebnisse und

Mehr

Klausur Informatik B April Teil I: Informatik 3

Klausur Informatik B April Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 1 von 8 Klausur Informatik B April 1998 Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 2 von 8 Aufgabe 1: Fragekatalog (gesamt 5 ) Beantworten Sie folgende Fragen kurz in ein oder zwei Sätzen.

Mehr

Kapitel 2. Methoden zur Beschreibung von Syntax

Kapitel 2. Methoden zur Beschreibung von Syntax 1 Kapitel 2 Methoden zur Beschreibung von Syntax Grammatik, die sogar Könige zu kontrollieren weiß... aus Molière, Les Femmes Savantes (1672), 2. Akt 2 Ziele Zwei Standards zur Definition der Syntax von

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 2 Sprache als Symbolketten Wir knüpfen an die Überlegungen der ersten Vorlesung an, ob es eine Maschine (einen Computer,

Mehr

Das erste C++ Programm

Das erste C++ Programm Das erste C++ Programm // Program: power8.c // Raise a number to the eighth power. #include int main() { // input std::cout > a; // computation int

Mehr

Programmierung 1 (Wintersemester 2012/13) Erklärung 5 (Prä- und Postordnung)

Programmierung 1 (Wintersemester 2012/13) Erklärung 5 (Prä- und Postordnung) Fachrichtung 6. Informatik Universität des Saarlandes Tutorenteam der Vorlesung Programmierung 1 Programmierung 1 (Wintersemester 01/13) Erklärung (Prä- und Postordnung) Hinweis: Dieses Blatt enthält eine

Mehr

Strukturelle Rekursion und Induktion

Strukturelle Rekursion und Induktion Kapitel 2 Strukturelle Rekursion und Induktion Rekursion ist eine konstruktive Technik für die Beschreibung unendlicher Mengen (und damit insbesondere für die Beschreibung unendliche Funktionen). Induktion

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik klassische Aussagenlogik: Syntax, Semantik Äquivalenz zwischen Formeln ϕ ψ gdw. Mod(ϕ) = Mod(ψ) wichtige Äquivalenzen, z.b. Doppelnegation-Eliminierung, DeMorgan-Gesetze,

Mehr

1 Syntax von Programmiersprachen

1 Syntax von Programmiersprachen 1 Syntax von Programmiersprachen Syntax ( Lehre vom Satzbau ): formale Beschreibung des Aufbaus der Worte und Sätze, die zu einer Sprache gehören; im Falle einer Programmier-Sprache Festlegung, wie Programme

Mehr

Vorlesung. Vollständige Induktion 1

Vorlesung. Vollständige Induktion 1 WS 015/16 Vorlesung Vollständige Induktion 1 1 Einführung Bei der vollständigen Induktion handelt es sich um ein wichtiges mathematisches Beweisverfahren, mit dem man Aussagen, die für alle natürlichen

Mehr

Kontextfreie Grammatiken

Kontextfreie Grammatiken Kontextfreie Grammatiken Bisher haben wir verschiedene Automatenmodelle kennengelernt. Diesen Automaten können Wörter vorgelegt werden, die von den Automaten gelesen und dann akzeptiert oder abgelehnt

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.

Mehr

Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten

Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten Universität Freiburg PD Dr. A. Jakoby Sommer 27 Übungen zum Repetitorium Informatik III Übungsaufgaben zu Formalen Sprachen und Automaten. Untersuchen Sie das folgende Spiel: A B x x 2 x 3 C D Eine Murmel

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige

Mehr

Kapitel 2. Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen

Kapitel 2. Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen Natürliche und ganze Zahlen Inhalt 2.1 2.1 Teiler 12 12 60 60 2.2 2.2 Primzahlen 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 11, 13, 13,...... 2.3 2.3 Zahldarstellungen 17 17 = (1 (10 0 0 1) 1) 2 2 2.4 2.4 Teilbarkeitsregeln

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Mengen und Mengenoperationen (Teil II) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents 1 2 3 Definition Mengenfamilie Eine Menge, deren sämtliche Elemente selbst wiederum

Mehr

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter

Mehr

6. Induktives Beweisen - Themenübersicht

6. Induktives Beweisen - Themenübersicht 6. Induktives Beweisen - Themenübersicht Ordnungsrelationen Partielle Ordnungen Quasiordnungen Totale Ordnungen Striktordnungen Ordnungen und Teilstrukturen Noethersche Induktion Anwendung: Terminierungsbeweise

Mehr

Handout zu Beweistechniken

Handout zu Beweistechniken Handout zu Beweistechniken erstellt vom Lernzentrum Informatik auf Basis von [Kre13],[Bün] Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Beweis? 2 2 Was ist Vorraussetzung, was ist Behauptung? 2 3 Beweisarten 3 3.1

Mehr

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen.

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Betrachtungen zu Sprache, Logik und Beweisen Sprache Wir gehen von unserem Alphabet einigen Zusatzsymbolen aus.

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.

Mehr

Folgen und Reihen. 1. Folgen

Folgen und Reihen. 1. Folgen 1. Folgen Aufgabe 1.1. Sie kennen alle die Intelligenztests, bei welchen man zu einer gegebenen Folge von Zahlen die nächsten herausfinden soll. Wie lauten die nächsten drei Zahlen bei den folgenden Beispielen?

Mehr

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Für eine Grammatik G = (N, T, P, S) führen wir die folgenden drei Komplexitätsmaße ein: Var(G) = #(N), Prod(G) = #(P ), Symb(G) = ( α + β + 1). α β

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition N N 0 Z Q Z + + Q 0 A = {a 1,, a n } Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

1. Aufgabenblatt: Lösungen

1. Aufgabenblatt: Lösungen Mathematik Bachelor Brückenkurs Mathematik Dozent: Oellrich 1. Aufgabenblatt: Lösungen Aufgabe 1.4 (Zahlen, Mengen) 1. Welche Rolle (Nummer, Quantität, Mischform) spielen die jeweiligen Zahlen in den folgenden

Mehr

Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen:

Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen: 5 Koordinatensysteme Zoltán Zomotor Versionsstand: 6. August 2015, 21:43 Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen: http://www.z5z6.de This work is based on the works of Jörn Loviscach

Mehr

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch

Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert werden durch 1.2 Mengenlehre Grundlagen der Mathematik 1 1.2 Mengenlehre Definition: Menge, Element, Variablenraum Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit. Eine Menge kann definiert

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

Bisher. minimale DNF. logischen Formeln Booleschen Funktionen Schaltungen

Bisher. minimale DNF. logischen Formeln Booleschen Funktionen Schaltungen Bisher Klassische Aussagenlogik (Syntax, Semantik) semantische Äquivalenz von Formeln äquivalentes Umformen von Formeln (syntaktisch) Normalformen: NNF, DNF, CNF, kanonische DNF und CNF Ablesen kanonischer

Mehr

Selbstdiagnosebogen zu Exponentialfunktionen

Selbstdiagnosebogen zu Exponentialfunktionen Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. www.mued.de Klasse 10 04/2009 Selbstdiagnosebogen zu Eponentialfunktionen A) Kreuze deine Einschätzung an. Ich kann 1. zu einem Wachstumsprozentsatz den

Mehr

Übung zu Grundbegriffe der Informatik. Simon Wacker. 15. November 2013

Übung zu Grundbegriffe der Informatik. Simon Wacker. 15. November 2013 Übung zu Grundbegriffe der Informatik Simon Wacker 15. November 2013 Vollständige Induktion über die Wortlänge Es sei B ein Alphabet. Dann ist B = n N 0 B n. Für jedes Wort w B sei A w eine Aussage, die

Mehr

1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen

1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen 1. Formale Sprachen 1.2 Grammatiken formaler Sprachen Die Regeln zur Bildung korrekter Wörter einer Sprache kann man in einer natürlichen Sprache formulieren. Da dies jedoch wieder Mehrdeutigkeiten mit

Mehr

Objektorientierte Programmierung. Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln

Objektorientierte Programmierung. Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln Stefan Brass: OOP (Java), 3. Syntaxdiagramme und Grammatikregeln 1/32 Objektorientierte Programmierung Kapitel 3: Syntaxdiagramme und Grammatikregeln Stefan Brass Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Mehr

Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , ,

Folgen und Reihen. Zahlenfolgen , , 97 Wegener Math/5_Reihen Mittwoch 04.04.2007 8:38:52 Folgen und Reihen Zahlenfolgen Eine Zahlenfolge a besteht aus Zahlen a,a 2,a 3,a 4,a 5,... Die einzelnen Zahlen einer Folge heißen Glieder oder Terme.

Mehr