Kapitel 6 Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Logik. 2. Juni 2005

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1 Kapitel 6 Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Logik 2. Juni 2005

2 Übersicht Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, Eigenschaften, Lukasiewicz-Fuzzy-Logik, McNaughtons Theorem, Nichtstetige Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Logik.

3 Vagheit und Unsicherheit Die Rose auf dem Tisch ist rot Wahrheitsgrad: Grad auf die Zugehörigkeit der Farbe der Rose zum unscharfen Prädikat rot Unsicherheit:die Farbe der Rose ist entweder Rot oder Nicht-Rot, kann aber nicht festgestellt werden. Der Grad gibt an, wie sehr ich glaube, daß die Rose rot ist. wahrheitsfuntionale Fuzzy-Logik beschäftigt fragt nach Korrektheit von Schlüssen bei Vagheit, Wahrheitsfuntionale Semantik: Wahrheitswerte der Formeln werden allein von den Wahrheitswerten ihrer Komponenten bestimmt.

4 Alphabet und Sprache - eine abzählbare Menge von Variablen {x 1, x 2..., y 1, y 2,...}, - eine endliche Menge von Junktoren, - evtl. Symbole für Konstanten, sowie Klammernsymbole. Menge F L der wohlgeformten Formeln über L - jede Variable ist eine Formel, - wenn h ein k-stelliger Junktor ist und ϕ 1,..., ϕ k Formeln sind, dann ist h(ϕ 1,..., ϕ k ) ebenfalls eine Formel.

5 Interpretation der Junktoren Jeder k-stellige Junktor h wird durch eine entsprechende k-stellige Funktion h auf [0, 1] interpretiert, sd. (i) jede der Operationen h ist bezüglich jeder Variablen entweder ordnungserhaltend oder ordnungsumkehrend, (ii) die Interpretationen und für, sind Fortsetzungen der klassischen Interpretationen (iii) die Interpretation : [0, 1] [0, 1] von ist ordnungsumkehrend und es gilt 1 = 0 und 0 = 1, (iv) die Interpretationen von und sind ordnungserhaltend, (v) falls als Junktor auftritt, so ist die zugehörige Interpretationsfunktion h ordnungserhaltend in der zweiten und ordnungsumkehrend in der ersten Variablen.

6 Wahrheitsfunktionale Belegungen Definition Die Menge [0,1] zusammen mit den Operationen {h} zur Interpretation der Junktoren heißt Bewertungsstruktur. Definition Gegeben sei eine Bewertungsstruktur. Eine wahrheitsfunktionale Belegung der Formeln in F L ist eine Fuzzy-Menge m F(F L ), so daß m(h(ϕ 1,..., ϕ k )) = h(m(ϕ 1 ),..., m(ϕ k )) für jeden Junktor h und jedes k-tupel (ϕ 1,..., ϕ k ) F k L.

7 Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik Die Klasse M der wahrheitsfunktionalen Belegungen der Formeln in F L über einer Bewertungsstruktur ist eine abstrakte Fuzzy-Semantik, da u M. Tatsächlich hätte man sonst wegen Bedingung (ii) und (iii) Definition 1 = u 1 (x x) = u 1 (x) u 1 (x) = min{0, 1} = 0. Sei M die Klasse der wahrheitsfunktionalen Belegungen einer Bewertungsstruktur. Dann heißt M wahrheitsfunktionale Fuzzy- Semantik. Falls alle Junktoren durch stetige Funktionen h interpretiert werden, heißt M stetige Fuzzy-Semantik.

8 Axiomatisierbarkeit zu jeder wahrheitsfunktionalen Semantik M läßt sich ein logischer Konsequenzoperator J M : F(F L ) F(F L ) definieren, Existenz eines formalen Deduktionsapparates für JM, Ist eine gegebene Semantik M adäquat axiomatisierbar? Es gibt viele Fuzzy-Semantiken, bei denen die Antwort negativ ist 1979 Pavelka: residuale Verbände als Bewertungsstrukturen.

9 Wahrheitsfunktionale Fortsetzung und Fuzzy-Theorie v : VAR [0, 1] eine Belegung der Variablen, es existiert genau eine wahrheitsfunktionale Belegung mv der Formeln, sd. m v (x i ) = v(x i ) für alle x i VAR, (wahrheitsfunktionalen Fortsetzung von v) u F(FL ) mit supp(u) = VAR, v = u VAR : J M (u) m v Beispiel: Sei u = u 0. Für jedes i gibt es ein m i M, v m i sd. m i (x i ) = 1 und daher m i ( x i ) = 0. Daher J M (u)( x i ) = 0. Variablenbelegung: v mit v(x i ) = 0 für alle i, wahrheitsfunktionale Fortsetzung von v: m v ( x i ) = (m v (x i )) = 0 = 1.

10 Wahrheitsfunktionale Fortsetzung und Fuzzy-Theorie II Satz Sei, die Interpretationsfunktion von, injektiv. Sei v : VAR [0, 1] eine Belegung der Variablen. Mit v bezeichnen wir die folgende Fortsetzung von v auf F L : v(x i ), falls ϕ = x i ; v (ϕ) = (v(x i )), falls ϕ = x i ; 0, sonst. Dann ist J M (v ) = m v und v ist eine kategorische Anfangsbelegung, deren einziges Modell m v ist.

11 Axiomatisierung von Fuzzy-Semantik Satz Sei M eine wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik. Seien taut(m) und contr(m) die zugehörigen Fuzzy-Mengen der Tautologien bzw. Kontradiktionen. Dann gilt 1. taut(m)(ϕ) = 0, falls ϕ keine klassische Tautologie ist und 2. contr(m)(ϕ) = 0, falls ϕ keine klassische Kontradiktion ist.

12 Bewertungsstruktur L enthalte,, &, und. Junktor Interpretation a b = min(a, b) a b = max(a, b) (a) = 1 a & et(a, b) = t 2 (a, b) = min{0, a + b 1} seq(a, b) = max{1, 1 a + b} Residuumbedingung: et(a, b) c genau dann, wenn a seq(b, c).

13 Eigenschaften von M L Satz Sei M L die Menge der wahrheitsfunktionalen Belegungen der Formeln über der angegebenen Bewertungsstruktur. Dann gilt: 1. M L ist stetig. 2. Der von M L induzierte logische Konsequenzoperator ist logisch kompakt. 3. M L ist vollständig und korrekt axiomatisierbar. Der zu dem in Kapitel 4 angegebenen Fuzzy-Hilbert-Beweissystem S gehörende Deduktionsoperator D S stimmt mit J ML überein. 4. Sei u eine Anfangsbelegung und ϕ F L eine Formel, dann existiert ein Modell m M L mit m u, so daß J M (u)(ϕ) = m(ϕ).

14 Sei m M L. Korrektheit von D S m(λ 1 (ϕ, χ, ψ)) = m(ϕ (ψ ϕ)) = min{1, 1 m(ϕ) + m(ψ ϕ)} = min{1, 1 m(ϕ) + (min{1, 1 m(ψ) + m(ϕ)})} Fall m(ψ) < m(ϕ) Fall m(ψ) m(ϕ) m(λ 1 (ϕ, χ, ψ)) = min{1, 1 m(ϕ) + 1} = 1. m(λ 1 (ϕ, χ, ψ)) = min{1, 1 m(ϕ) + 1 m(ψ) + m(ϕ)} = 1. taut(λ 1 ) = inf{m(λ 1 ) m M L } = 1

15 Korrektheit von r MP zu zeigen: m(ϕ) a und m(ϕ ψ) b impliziert m(ψ) et(a, b). seq ist Residuum zu et, d.h. et(a, b) c gdw. a seq(b, c) b m(ϕ ψ) = seq(m(ϕ), m(ψ)) gdw. et(m(ϕ), b) m(ψ). a m(ϕ), Monotonie von et: b m(ϕ ψ), a m(ϕ) impliziert et(a, b) m(ψ).

16 Charakterisierung der Wahrheitswertfunktionen Definition ϕ(x 1,..., x n ) Formel in n Variablen f ϕ : [0, 1] n [0, 1] heißt Wahrheitswertfunktion von ϕ gdw. für a 1,..., a n [0, 1] f ϕ (a 1,..., a n ) = x i falls ϕ = x i für 1 i n, f ϕ (a 1,..., a n ) = h(f ϕ1 (a 1,..., a n ),..., f ϕk (a 1,..., a n )) falls ϕ = h(ϕ 1,..., ϕ k ). Beispiel ϕ = ( x) y, ψ = (x y) f ϕ (a 1, a 2 ) = max{f x (a 1, a 2 ), f y (a 1, a 2 )} = max{(1 a 1 ), a 2 } f ψ (a 1, a 2 ) = seq(a 1, a 2 ) = min{1, 1 a 1 + a 2 }

17 Definition Darstellung von Modellklassen Sei ϕ 1, ϕ 2,...,.. eine vollständige Aufzählung aller Formeln. Für u F(F L ) ist Satz M(u) = {(a 1,..., a n ) [0, 1] n f ϕ1 (a 1,..., a n ) u(ϕ 1 ) f ϕ2 (a 1,..., a n ) u(ϕ 2 ). } 1. mod = (u) = {m M L m = m v, v(x 1,..., x n ) M(u)}. 2. Falls mod = (u), dann gilt J ML (u)(ϕ) = Inf {f ϕ (a 1,..., a n ) (a 1,..., a n ) M(u)}.

18 Verwendung von M(u) semantische Äquivalenz von Fuzzy-Mengen, Tautologieprüfung, Berechnung von JM.

19 McNaughtons Theorem Satz (McNaughton) Sei ϕ F L eine Formel in n Variablen, sei f ϕ die zugehörige Wahrheitswertfunktion. Dann ist f ϕ : [0, 1] n [0, 1] stetig und es gibt eine rationale Zerlegung = {D 1,... D k } von [0, 1] n, so daß die Einschränkung von f ϕ auf D i eine lineare Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Dabei ist eine rationale Zerlegung von [0, 1] n eine endliche Menge = {D 1,... D k }, mit 1. jedes D i ist ein Simplex, d.h. es existieren lineare Funktionen gj i : [0, 1] n [0, 1] und rationale Zahlen rj i, j = 1,... t i, so daß D i = {(a 1,... a n ) gj i(a 1,... a n ) rj i für alle 1 j t i }, 2. die Koordinaten der Kanten der D i sind rational, 3. je zwei der Simplices haben höchstens eine gemeinsame Kante, 4. die Vereinigung aller Simplices ergibt ganz [0, 1] n.

20 McNaughtons Theorem-Beispiel und Umkehrung Beispiel Sei ϕ = x y. Dann ist f ϕ (a, b) = min{1, 1 a + b}. Die rationale Zerlegung ergibt sich aus: D 1 = {(a, b) (b a) 0} f ϕ D1 (a, b) = 1 D 2 = {(a, b) (a b) 0} f ϕ D2 (a, b) = 1 a + b Umkehrung des McNaughton-Theorems liefert eine vollständige Charakterisierung der Wahrheitswertfunktionen in der Lukasiewicz-Fuzzy-Logik. Satz Sei f : [0, 1] n [0, 1] eine stetige und stückweise lineare Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann gibt es eine Formel ϕ F L, so daß f = f ϕ.

21 McNaughton-Theorem Folgerung McNaughton läßt sich konstruktiv beweisen, rationale Partitionen sind effektiv berechenbar, mit Hilfe der Partitionen läßt sich M(u) berechnen, JML (v)(ψ) ist das Minimum von f ψ über einer Menge von Simplexen.

22 Berechnung von M(u) Satz Sei u F(F L ), supp(u) = {ϕ 1,... ϕ s }. Dann gibt es eine rationale Partition = {D 1,..., D k } und lineare Funktionen g 1 1,... g 1 s..., g k 1,... g k s, so daß M(u) = E 1... E k. Dabei ist für alle 1 i k die Menge E i der Simplex, der durch die Gleichungen g i 1 (a 1,... a l ) u(ϕ 1 ) g i 2 (a 1,... a l ) u(ϕ 2 ). g i s(a 1,... a l ) u(ϕ s ) erzeugt wird, wobei (a 1,... a l ) D i.

23 Berechnung von J ML (v)(ψ) Satz Sei u F(F L ) eine Anfangsbelegung mit rationalen Werten und endlichem Träger. Dann gibt es für jede Formel ψ F L ein (effektiv berechenbare) Klasse = {E 1,..., E s } von Simplices und lineare Funktionen g 1,..., g t, so daß J M (u)(ψ) = min (a 1,...,a l ) E 1 {g 1 (a 1,..., a l )}... min (a 1,...,a l ) E s {g s (a 1,..., a l )}.

24 Stetige Fuzzy-Semantik Satz Sei M eine stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik. Dann gilt: 1. M ist logisch kompakt, 2. Jedes Modell m M ist enthalten in einem maximalen Modell,

25 Axiomatisierbarkeit Fuzzy-Inferenzregeln in Fuzzy-Hilbert-Beweissystemen erfüllen folgende Bedingung: r (a 1,..., a j = sup i I b i,..., a k ) = sup r (a 1,..., b i,..., a k ) i I Satz Sei S = (LAX, R), bestehend aus LAX F L einer Fuzzy-Menge von logischen Axiomen und einer Menge R von Fuzzy-Inferenzregeln ein Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil. Dann ist der zu S = (LAX, R) gehörende Fuzzy-Deduktionsoperator Operator D S : F(F L ) F(F L ) mit stetig. D S (u)(ψ) = sup{val(π, u) π ist ein Beweis für ψ}

26 Axiomatisierbarkeit Umkehrung: Satz Sei D S : F(F L ) F(F L ) ein stetiger Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann existiert ein Fuzzy-Beweissystem S = (LAX, R) im Hilbert-Stil, so daß D = D S. Ist eine wahrheitsfunktionale Semantik M axiomatisierbar? Gibt es ein Fuzzy-Beweissystem S mit J M = D S?

27 Axiomatisierbarkeit Satz Sei M eine stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, dann ist J M ist stetig und logisch kompakt. Satz Sei M eine logisch kompakte, wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, so daß M axiomatisierbar ist. Falls injektiv und für jede Formel ψ gilt, daß f ψ in jeder Variablen entweder ordnungserhaltend, oder ordnungsumkehrend ist, dann ist f ψ stetig.