Kapitel 3 Fuzzy-Mengen und Relationen. 12. Mai 2005

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1 Kapitel 3 Fuzzy-Mengen und Relationen 12. Mai 2005

2 Rückblick Darstellung unscharfer Konzepte mit Hilfe von Fuzzy-Mengen, Definition von Fuzzy-Mengen, Fuzzy-Mengen über einem festen Universum bilden einen Verband, Alternative Schnitt- und Vereinigungsoperatoren.

3 Paare von t-normen und t-konormen die Weber-Familie (umfaßt die von beschränktem Produkt, Produkt und drastischem Produkt erzeugten Paare): t λ (a, b) = max{0, a + b 1 + λab } für λ ( 1, ), 1 + λ s λ (a, b) = min{1, a + b λab } für λ ( 1, ), 1 + λ die Yager-Familie(umfaßt die von drastischem Produkt und Minimum erzeugten Paare): t p (a, b) = 1 min{1, [(1 a) p + (1 b) p ] 1 p } für p [0, ), s p (a, b) = min{1, [a p + b p )] 1 p } für p [0, ), Archimedische t-normen und t-konormen.

4 Archimedische t-normen Definition Seien t : [0, 1] 2 [0, 1] und s : [0, 1] 2 [0, 1] zwei Funktionen. 1. t heißt archimedische t-norm genau dann, wenn t stetige t-norm ist und für alle a (0, 1) die Ungleichung t(a, a) < a gilt. 2. s heißt archimedische t-konorm genau dann, wenn s stetige t-konorm ist und für alle a (0, 1) die Ungleichung s(a, a) > a gilt.

5 Darstellung von Archimedischen t-normen und t-konormen Satz Eine Funktion t : [0, 1] 2 [0, 1] ist genau dann eine archimedische t-norm, wenn eine streng monoton fallende Funktion f : [0, 1] [0, ] existiert mit f (1) = 0 und t(a, b) = f 1(f (a) + f (b)), wobei f 1 die Pseudoinverse von f ist mit { f 1 x [0, 1] f (x) = y, falls y [0, f (0)]; (y) = 0, falls y [f (0), ]. Für f (0) = ist t streng monoton wachsend in beiden Argumenten.

6 Beispiel Archimedische t-normen Sei f : [0, 1] [0, 1] mit f (x) = 1 x. Dann gilt: f (0) = 1, f 1 (y) = { 1 y, falls y [0, f (0)] 0, sonst. t(x, y) = max{0, a + b 1} (beschränkte Summe) die im Satz auftretende Funktion f ist eindeutig bis auf Multiplikation mit einer positiven reellen Konstanten, f heißt additiver Generator von t, eine archimedische t-norm heißt nilpotent, wenn f (0) <.

7 Beispiele für Archimedische t-normen II f p : [0, 1] [0, 1], f p (x) = (1 x) p, p [0, ) t(a, b) = f 1 (f (a) + f (b)) = f 1 ((1 a) p + (1 b) p ) = 1 ((1 a) p + (1 b) p ) 1 p definiert die Yager-Familie.

8 Beispiel für Archimedische t-normen III f : [0, 1] [0, 1], f (x) = { ln(x), falls x [0, 1],, fallsx = 0. t(a, b) = f 1 (f (a) + f (b)) = f 1 ( ln(a) ln(b)) = e ln(a)+ln(b) = a b definiert das algebraische Produkt.

9 Literatur zu t-normen Ling,C.-H. Representations of associative functions, Publucations Mathematicae Debrece, 12: , 1965 H.Bandemer, S.Gottwald: Einführung in Fuzzy-Methoden, Akademie-Verlag, Berlin, 4.Auflage, 1993, S.Gottwald: A Treatise on Many-Valued Logic, Studies in Logic and Computation 9, Research Studies Press, Baldock, 2000, G. Klir, T.A. Folger: Fuzzy-Sets, Uncertainty, and Information, Prentice Hall, 1988

10 α-schnitte von Fuzzy-Mengen bisher wurden Fuzzy-Mengen u ausschließlich durch die sie charakterisierende Zugehörigkeitsfunktion dargestellt: vertikale Repräsentation, ein Experte muß dazu für jedes Element x aus dem Referenzbereich M einen Wert u(x) bestimmen, horizontalen Repräsentation durch Niveau-Mengen. Definition Sei u F(M) und α [0, 1]. Die Menge heißt α-schnitt von u. C(u, α) = {x M u(x) α}

11 Beispiel α-schnitte Interpretation des Begriffes jung-sein durch die Fuzzy-Menge u(x) = e 1/1000x 0.5 Schnitt von u besteht aus den Jahreszahlen, für die wir (entsprechend unserer Modellierung) sagen würden, daß ein Mensch in diesem Alter mindestens zum Grad 0.5 als jung bezeichnet werden kann Alter C(u, 0.5) 0.5-Schnitt der Fuzzy-Menge u(x) = e 1/1000x

12 Eigenschaften von α-schnitten Satz Sei u F(M), α, β [0, 1]. Dann gilt: 1. C(u, 0) = M, 2. für α < β gilt: C(u, α) C(u, β), 3. α α<β C(u, α) = C(u, β).

13 Offene α-schnitte Definition Ein offener α-schnitt einer Fuzzy-Menge u wird definiert durch: O(u, α) = {x M u(x) > α} Im obigen Beispiel ist der offene 0.5-Schnitt das rechtsseitig halboffene Intervall [0,26.6). für alle u F(M) gilt: O(u, 1) =. O(u, 0) heißt Träger der Fuzzy-Menge u. Falls O(u, 0) nur ein einziges Element enthält, dann heißt u Fuzzy-Einermenge.

14 Eigenschaften abgeschlossener α-schnitte Satz 1. Die Familie der abgeschlossenen α-schnitte einer Fuzzy-Menge ist sup-umkehrend, d.h. für eine Menge {α i } i I [0, 1] gilt: C(u, sup α i ) = C(u, α i ). i I i I 2. Für eine Menge {u i } i I F(M) von Fuzzy-Mengen gilt außerdem: C( u i, α) = C(u i, α). i I i I

15 Eigenschaften offener α-schnitte Satz 1. Die Familie der offenen α-schnitte einer Fuzzy-Menge ist inf-umkehrend, d.h. für eine Menge {α i } i I gilt: O(u, inf α i) = O(u, α i ). i I i I 2. Für eine Menge {u i } i I F(M) von Fuzzy-Mengen gilt: O( u i, α) = O(u i, α). i I i I

16 α-schnitte zur Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Sei α [0, 1], X M, u α (x) := α für alle x M. Bezeichnung: α X = u α χ X α X = u α χ X Satz Für jede Fuzzy-Menge u F(M) gilt: u = u = α [0,1] α [0,1] (α C(u, α)) und u = α [0,1] (α C(u, α)) und u = α [0,1] (α O(u, α)), (α O(u, α)).

17 Extensionsprinzip bisher Möglichkeit der Verallgemeinerung mengentheoretischer Operationen auf Fuzzy-Mengen, Erweiterung von Funktionen f : X n Y zu Abbildungen ˆf : F(X ) n F(Y ), v Interpretation des Begriffes Jung, u Interpretation des Begriffes ungefähr 20, man interpretiert u(22) als Grad der Akzeptanz, daß die Aussage 22 ist ungefähr 20 korrekt ist, u v(22) ist der Zugehörigkeitsgrad von 22 zum vagen Begriff ungefähr 20 und jung, Akzeptanzgrade stellen verallgemeinerte Wahrheitsgrade dar, Wie operiert man auf solchen Akzeptanzgraden?

18 Beispiel + : R R R Addition auf den reellen Zahlen. Ziel: eine Additionsoperation auf Intervallen Seien A 1, A 2 R reele Intervalle. ˆ+ : P(R) P(R) P(R). A 1 ˆ+A 2 = {x 1 + x 2 mit x 1 A 1, x 2 A 2 }.

19 Verallgemeinerung auf Mengen Für f : X n Y ergibt sich ˆf : (P(X )) n P(Y ), mit ˆf (A 1,..., A n ) = {y Y (x 1,..., x n ) A 1... A n : f (x 1,... x n ) = y} Der Akzeptanzgrad acc(y gehört zum Bild von (A 1,..., A n )) = { acc ( (x 1,..., x n ) A 1... A n : f (x 1,... x n ) = y) 1, falls (x 1,..., x n ) A 1... A n : f (x 1,... x n ) = y) = 0, sonst.

20 Verallgemeinerung auf Fuzzy-Mengen Erweiterung von f : X n Y auf ˆf : (F(X )) n F(Y ) Der Akzeptanzgrad acc(y gehört zum Bild von (v 1,..., v n )) v i F(X ) ist dann = acc( (x 1,..., x n ) X n f (x 1,... x n ) = y x 1 gehört zu v 1 und x 2 gehört zu v 2 und. x n gehört zu v n.) =sup (x1,...,x i ) X n,y=f ((x 1,...,x i )){min{v 1 (x 1 ),... v n (x n )}}

21 Extension Definition Sei f : X n Y eine Abbildung, die Extension von f ist gegeben durch ˆf : (F(X )) n F(Y ) mit ˆf (v 1,... v n )(y) = sup{min{v 1 (x 1 ),... v n (x n )} (x 1,..., x i ) X n und y = f (x 1,..., x n )}

22 Fuzzy-Relationen Definition Eine Fuzzy-Relation S über U 1,..., U n ist eine Abbildung S : U 1,..., U n [0, 1].

23 Beispiel Relation n m: die natürliche Zahl n ist viel kleiner als m, läßt sich im klassischen Sinn einer Relation nicht definieren, als Fuzzy-Relation: S(n, m) = { 0 falls m n 1 1 n m sonst. es gibt kein absolutes viel kleiner d.h. es existiert kein Paar (n, m) so daß S(n, m) = 1. die Werte von S(m, n) konvergieren aber für (m n) gegen 1

24 Beispiel andere Definition: S x (n, m) = { 0 falls m n (1 1 n m )x sonst. man erhält damit eine (allerdings der Intuition nicht besonders gut entsprechende) scharfe Relation, wenn man für x = 0 einsetzt, welche Definitionen im konkreten Fall verwendet wird, ist keine mathematische Frage, sondern hängt vom Anwendungszweck ab.

25 t-ähnlichkeitsrelationen Definition Sei t eine t-norm. Eine Fuzzy-Relation R : U U [0, 1] über dem Universum U heißt t-ähnlichkeitsrelation, wenn für alle x, y, z U gilt:, (i) R(x, x) = 1 (ii) R(x, z) t(r(x, y), R(y, z)) (iii) R(x, y) = R(y, x) (Reflexivität) (Transitivität) (Symmetrie) Falls x, y U gilt R(x, y) {0, 1} dann ist R charakteristische Funktion einer klassischen Äquivalenzrelation.

26 Beispiel Thriller Krimi SciFi Fantasy Thriller Krimi SciFi Fantasy R ist t 2 -und t 4 -Ähnlichkeitsrelation aber keine t 1 -oder t 3 -Ähnlichkeitsrelation. R(K, T )t 1 R(T, S) = min(0.8, 0.7) = 0.7 R(K, S) = 0.5 R(K, T )t 3 R(T, S) = = 0.56 R(K, S) = 0.5

27 Produkt von Relationen Definition Seien R U 1,..., U n, W und S W, V 1,..., V m Relationen. Das Produkt R S zweier Relationen ist gegeben durch: (x 1,..., x n, y 1,... y m ) R S, gdw. z W, so daß (x 1,..., x n, z) R und (z, y 1,... y m ) S.

28 Produkt von Fuzzy-Relationen Fuzzy-Relationen sind Fuzzy-Mengen, nämlich über dem entsprechenden kartesischen Produkt, die schon definierten Operationen,, lassen sich auf Paare von Fuzzy-Relationen anwenden, das Produkt von Fuzzy-Relationen läßt sich nicht mit Hilfe der verallgemeinerten Mengenoperationen darstellen.

29 Standardprodukt von Fuzzy-Relationen Definition Seien S 1 : U 1... U n W [0, 1] und S 2 : W V 1... V m [0, 1] zwei unscharfe Relationen. Das Standardprodukt S 1 S 2 : U 1... U n V 1... V m [0, 1] wird definiert durch: S 1 S 2 ((x 1,..., x n, y 1,... y m )) = sup{min(s 1 ((x 1,..., x n, z)), S 2 ((z, y 1,... y m ))) z W }. Verwendet man anstelle von sup nur max, so ist S1 S 2 eventuell nur partiell definiert. Andere Produkte von Fuzzy-Relationen als das Standardprodukt erhält man, wenn man min durch eine andere t-norm ersetzt.

30 Abstrakte Ähnlichkeitslogik (Ying, 1994) Logik für approximatives Schließen auf der Basis von Fuzzy-Relationen, Ableitungsregeln können auch dann anwendet werden, wenn die Prämissen den Antezenten nur annähernd erfüllen, Gegeben sei folgende Inferenz: x ist ein Thriller x gefällt mir, y ist ein Krimi, Thriller ist ähnlich zu Krimi, y gefällt mir.

31 Abstrakte Ähnlichkeitslogik II Die Relation ähnlich zu ist eine Fuzzy-Relation. Eine Fuzzy-Logik sollte einen Zusammenhang zwischen dem Grad der Ähnlichkeit und dem Grad, zu dem wir die Konklusion als gültig anerkennen, herstellen. Der Grad der Konklusion y gefällt mir sollte groß sein, wenn wir annehmen wollen, daß der Grad der Ähnlichkeit zwischen Krimi und Thriller groß ist.

32 Transitive Hülle unter einer Fuzzy-Ähnlichkeitsrelation Sei R : F L F L [0, 1]. Beispiel SIM(u)(ϕ) = sup{t 2 (R(ϕ, ψ), u(ψ)) ψ F L }. Sei R die t2 Ähnlichkeitsrelation von oben, u mit u(t ) = 0.8, u(f ) = 0.9 Charakterisierung einer spannenden Fantasy-Geschichte, SIM(u)(T ) = 0.8, SIM(u)(K) = 0.6 SIM(u)(S) = 0.7, SIM(u)(F ) = 0.9

33 Transitive Hülle unter einer Fuzzy-Ähnlichkeitsrelation II SIM(u) ist eine Art transitive Hülle, es gilt: 1. SIM(u)(ϕ) u(ϕ) (Inklusion) 2. für u v gilt SIM(u) SIM(v) (Monotonie) 3. SIM(SIM(u)) = SIM(u) (Idempotenz)

34 Abstrakte Ähnlichkeitslogik Für den Schluß y gefällt mir brauchen wir noch einen Abschlußoperator D, der das logische Schließen übernimmt. D : F(F L ) F(F L ), Abschlußoperator auf Fuzzy-Mengen K = D SIM v SIM(v) D(SIM(v)) SIM(D(SIM(v)))... D R (v) D R (v) = n N K n (v).