Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

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1 Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 008/009

2 Übung am..008 Übung 4 Einleitung Zuerst soll auf den aktuellen Übungsblatt und Stoff der Vorlesung eingegangen werden. Dazu werden Fragen gestellt, um nachzuhacken, wo die Studenten Schwierigkeiten beim Verständnis haben. Es soll darauf hingewiesen werden, daß es notwendig ist, die Vorlesung stets nachzuarbeiten. Eventuell auftretende Fragen zum Übungsblatt sollen beantwortet werden. Dazu ist es erforderlich, sich auf mögliche Fragen vorzubereiten. ˆ Obere/untere Schranke? inf? sup? max? min? ˆ Vollständigkeitsaxiom? ˆ Sätze von der Existenz von sup/inf? ˆ reelle Zahlen? ˆ geometrische Summe? ˆ binomische Formel?

3 Übung am..008 Aufgaben Aufgabe Zeigen Sie, daß für alle n N mit n 4 gilt: n < n! Der Beweis wird mittels V. I. geführt: ˆ I. A.: Für n 4 ist die Aussage wahr, denn 4 6 < 4 4! ˆ I. V.: n < n! gelte für gewisse n N, n 4. ˆ I. B.: Es gilt die Aussage, wenn wir n überall durch n + ersetzen, d.h. die Aussage n+ < (n + )! ist wahr. ˆ I. S.: n n +. n+ n < n! < n! (n + ) (n + )! nach I. V. n 4 gilt: <n+ ˆ Wir schließen: n < n! gilt für alle n N, n 4. Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe der Aufgabe und der geometrischen Summenformel, q k qn+ q, q R \ {0}, n N 0, ( ) daß die Menge nach oben beschränkt ist. M : { } n N Wegen Aufgabe gilt k 4: < k ( ) k. ( ) 3

4 Übung am..008 Damit folgt: Somit stellt c 67 4 gilt für alle x M: x < c. Aufgabe 3 Seien 3 + k k4 8 ( ) k < ( ) 3 + k4 8 ( ) k ( ( ) 4 + ( n+ ) 67 ( ) n 4 k4 3 ( ) k ) k ( eine obere Schranke für M dar, denn, wegen n N : 67 ( ) n 4 < 67 4, A : B : {( ) n n + n N }, { } n + n N. Zeigen Sie, daß das Supremum und Infimum von A und B existieren und bestimmen Sie diese explizit. Existiert auch Maximum/Minimum? Möglichst ausführlich gilt: ) i) A ist nach oben durch c 3 x A : x [ 0, ] 3. und nach unten durch d 0 beschränkt, denn 4

5 Übung am..008 a) Annahme: x A mit x < 0. Dann folgt: n N mit ( ) n + < 0. Dann n unterscheiden wir Fälle: ) n gerade. Dann folgt: < > n. n ) n ungerade. Dann folgt: < > n. n In beiden Fällen stoßen wir auf einen Widerspruch zu Eigenschaften von N. b) Annahme: x A mit x > 3. Dann folgt: n N mit ( )n n + > 3. Dann unterscheiden wir Fälle: ) n gerade. Dann folgt: > n <. n ) n ungerade. Dann folgt: > > n. n In beiden Fällen stoßen wir auf einen Widerspruch zu Eigenschaften von N. Somit existieren wegen des Vollständigkeitsaxioms und Satzes.6.5 sup A und inf A. Desweiteren gilt: inf A 0 und sup A 3. a) Sei inf A 0. Wegen (ia) kann dann nur der Fall auftreten, daß inf A 0 + h, h > 0, h R. Im Widerspruch dazu existiert aber ein x A mit x < h h > 0, nämlich x ( ) + 0. b) Sei nun sup A 3. Wegen (ib) kann nur der Fall auftreten, daß sup A 3 h, h > 0, h R. Im Widerspruch dazu existiert aber ein x A mit x > 3 h h > 0, nämlich x ( ) + 3. Hieraus folgt auch, daß max A und min A existieren und max A 3, min A 0 gilt. ii) B ist nach oben durch c und nach unten durch d beschränkt, denn x B : x [, ]. a) Annahme: x B mit x <. Dann folgt: n N mit + < < n n 0 n < 0. Dies ist ein Widerspruch zu Eigenschaften von N. Satz.4.(4) b) Annahme: x B mit x >. Dann folgt: n N mit n + > n > n <. Dies ist ein Widerspruch zu Eigenschaften von N. Desweiteren gilt: inf B und sup B. 5

6 Übung am..008 a) Sei inf B. Wegen (iia) kann dann nur der Fall auftreten, daß inf B + h, h > 0, h R. Im Widerspruch dazu existiert aber ein x B mit x < + h h > 0, nämlich gilt wegen archimedischer Anordnung reeller Zahlen: h R n N mit n > h. b) Sei nun sup B. Wegen (iib) kann nur der Fall auftreten, daß sup B h, h > 0, h R. Im Widerspruch dazu existiert aber ein x B mit x > h h > 0, nämlich x +. Es folgt sofort, daß max B, aber es existiert kein min B, denn x B gilt: x, weil die folgende Äquivalenzumformung einen Widerspruch liefert: n + 0 n. Somit existiert kein n N mit n +. Aufgabe 4 Beweisen Sie für alle n N 0 : i) k N 0, k n: ( ) n k n k ( ) ii) ( + n) n Die des ersten Teils ist einfach, hier können sogar zwei smöglichkeiten angegeben werden. Die des zweiten Teils ist noch einfacher und benutzt die binomische Formel und den ersten Teil. i) Die erste Möglichkeit sagt auf direktem Wege aus, daß ( ) eine wahre Aussage ist, die zweite benutzt die V. I. zum Beweis der Aussage. a) Mit der Definition der Binomialkoeffizienten folgt: ( ) n k n n! k (n k)! n k n! (n k)! n k n (n ) (n ) (n k + ) }{{} k Faktoren n } n {{ n n } k mal n k n k 6

7 Übung am..008 b) Nun mit der V. I. (über k N): ˆ I. A.: Für k 0 ist die Aussage wahr, denn ( ) n 0 n 0 0! ˆ I. V.: ( ) n gelte für gewisse k N. k n k ˆ I. B.: Es gilt die Aussage, ( wenn wir k überall durch k + ersetzen, d.h. die Aussage n ) ist wahr. k+ n k+ (k+)! ˆ I. S.: k k +. ( ) n k + n n! k+ (n k )!(k + )! n k+ n! (n k) (n k)! (k + ) n k n n! n k (n k)! n k k + n ( ) n n k k n k k + n n k I. V k + n n k (k + )! n k n: n k n (k + )! Wir schließen: ( ) n ist wahr k N k n k 0, k n. Weiterhin gilt die Aussage auch für alle n N, denn die rechte Seite hängt nicht von n ab. ii) Es gilt: ( + n) n binom. Formel ( ) ( k n n k k n) ( ) n k n k (i) 7