HM I Tutorium 2. Lucas Kunz. 31. Oktober 2018

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1 HM I Tutorium 2 Lucas Kunz 31. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie Körper und Gruppen Konstruktion der reellen Zahlen Natürliche Zahlen Beweise durch vollständige Induktion Ganze und Rationale Zahlen Formeln und Rechenregeln Wurzeln und Exponenten Konstruktion der komplexen Zahlen Rechenregeln für komplexe Zahlen Polynome Beispiel Aufgaben 9 1

2 1 Theorie 1.1 Körper und Gruppen Ein Körper K ist im mathematischen Sinne definiert als eine Menge mit zwei Verknüpfungen Plus + : K K K und Mal : K K K definiert, die jeweils zwei Elemente aus K auf ein drittes abbilden, das ebenfalls in K liegt. Weiterhin nehmen wir insgesamt 9 Axiome als gegeben an: 1. Assoziativgesetz der Addition: a, b, c R : (a + b) + c a + (b + c). 2. Neutrales Element der Addition: 0 R a R : a + 0 a. 3. Inverses Element der Addition: a R a R : a + ( a) Kommutativgesetz der Addition: a, b R : a + b b + a. 5. Assoziativgesetz der Multiplikation: a, b, c R : (a b) c a (b c). 6. Neutrales Element der Multiplikation: 1 R a R : a 1 a. 7. Inverses Element der Multiplikation: a R \ {0} a 1 R : a a Kommutativgesetz der Multiplikation: a, b R : a b b a. 9. Distributivgesetz: a (b + c) a b + a c. Diese neun Axiome bezeichnet man als die Körperaxiome. Es fällt hierbei auf, dass die Axiome 1-4 und 5-8 jeweils identische Aussagen für die beiden Unterschiedlichen Verknüpfungen + und darstellen. Diese Aussagen bilden die Grundlage für die Definition einer Gruppe: Es sei G eine Menge und : G G G eine beliebige Verknüpfung zweier Elemente dieser Menge, wobei das Ergebnis wieder in G liegt. Es sei darauf hingewiesen dass in diesem Fall nicht die Verkettung zweier Funktionen, sondern eine gewöhnliche Rechenoperation wie + oder meint. Dann nennt man (G, ) eine Gruppe, wenn: Assoziativgesetz: a, b, c G : (a b) c a (b c). Neutrales Element: 0 G a G : a 0 a. Inverses Element: a G a G : a ( a) 0. Gilt zudem das Kommutativgesetz a, b G : a b b a, so bezeichnet man die Gruppe als abelsche Gruppe. Ein Beispiel für eine nicht abelsche Gruppe sind die quadratischen Matrizen einer beliebigen Größe n in Kombination mit der Matrix-Multiplikation. Gruppen wie diese sind in der Physik äußerst wichtig, da sie z.b. Drehungen des Koordinatensystems oder Lorentz-Transformationen beschreiben. Man sieht dass ein Körper also nichts weiter ist als die Kombination zweier abelscher Gruppen (einmal mit Verknüpfung +, einmal mit Verknüpfung ), welche zusätzlich das Distributivgesetz erfüllt. 2

3 1.2 Konstruktion der reellen Zahlen Die reellen Zahlen R sind die Grundmenge der Analysis. Auf dieser Menge sind zwei Verknüpfungen Plus + : R R R und Mal : R R R definiert, die jeweils zwei Elemente aus R auf ein drittes abbilden, das ebenfalls in R liegt. Bezüglich dieser beiden Verknüpfungen verhält sich R als Körper (siehe Kapitel 1.1). Über die 9 Körperaxiome hinaus gelten für R weiterhin die sogenannten Anordnungsaxiome. Diese beziehen sich auf die auf R definierte Ordnungsrelation : 10. a, b R : a b oder b a. 11. Aus a b und b a folgt stets a b. 12. Aus a b und b c folgt stets a c. 13. Aus a b folgt a + c b + c c R. 14. Aus a b und a c folgt a c b c. Das letzte der 15 Axiome der reellen Zahlen ist das sogenannte Vollständigkeitsaxiom. Dieses lautet folgendermaßen: 15. Ist M R und ist M nach oben beschränkt, so existiert das Supremum sup M. Analog existiert für nach unten beschränkte Mengen M das Infimum inf M. Zunächst müssen nun natürlich die darin auftauchenden Begriffe erläutert werden. Eine Menge heißt nach oben beschränkt, wenn γ R : x γ x M. In diesem Fall bezeichnet man γ als obere Schranke von M. Da man beliebig viele dieser Zahlen γ finden kann (sind alle Elemente von M kleiner al 10, dann sind sie auch kleiner als 11,12,13,...) ist nur die kleinste von Bedeutung. Diese kleinste obere Schranke einer Menge nennt man ihr Supremum. Liegt dieses γ innerhalb der Menge selbst, dann bezeichnet man es auch als ihr Maximum. Ganz analog wird die größte untere Schranke als Infimum und das kleinste Element von M als Minimum bezeichnet. Es gilt immer inf M sup M und entsprechend auch min M max M. Weiterhin gilt: Ist B A R und A ist nach oben/unten beschränkt, dann ist auch B nach oben/unten beschränkt und es gilt sup B sup A bzw. inf B inf A. Ist A nach oben beschränkt und γ eine obere Schranke von A, dann ist γ sup A ɛ > 0 x A mit x > γ ɛ. Die Werte x A kommen dem Supremum also beliebig nahe, allen anderen oberen jedoch Schranken nicht. Ist A nach unten beschränkt und γ eine untere Schranke von A, dann ist γ inf A ɛ > 0 x A mit x < γ + ɛ. Die Werte x A kommen dem Infimum also beliebig nahe, allen anderen unteren jedoch Schranken nicht. Um mit den so definierten reellen Zahlen rechnen zu können bedarf es noch der Definition sogenannter Intervalle: Geschlossenes Intervall: [a, b] : {x R : a x x b}. Rechtsseitig offenes Intervall: [a, b) : {x R : a x x < b}. Linksseitig offenes Intervall: (a, b] : {x R : a < x x b}. 3

4 Offenes Intervall: (a, b) : {x R : a < x x < b}. Ist die eine Seite eines Intervalls offen (bis ), dann schreibt man dies als [a, ) : {x R : a x}. Analog verläuft dies mit (, b] : {x R : x b}. Darüber hinaus benötigt man den Betrag einer Zahl. Für ein beliebiges x R ist dieser bekanntlich definiert als { x falls 0 x x x falls x < 0. (1.1) Sind a, b, c R wobei 0 c, dann gehorcht diese Operation den folgenden Regeln: a 0, a 0 a 0 a b a b a a, a a a c c a c Dreiecksungleichung: a + b a + b umgekehrte Dreiecksungleichung: a b a b 1.3 Natürliche Zahlen Eine Menge A wird als Induktionsmenge bezeichnet, wenn 1. 1 A und 2. aus n A immer folgt, dass n + 1 A. Sei a : {A R : A ist eine Induktionsmenge} die Menge aller solchen Induktionsmengen. Beispiele für solche Mengen sind Intervalle wie [1, ) oder ganz R. Man definiert die natürlichen Zahlen wie folgt: N : A a A : {B a : B A A a}. (1.2) Die natürlichen Zahlen sind also der Schnitt aller Induktionsmengen, also das, was in jeder dieser Mengen A enthalten ist. Dadurch sind sie selbst auch die kleinstmögliche Induktionsmenge. Aufgrund der zweiten Anforderung an Induktionsmengen ist N nicht nach oben beschränkt bzw. die Folge 1 mit n N kommt der 0 beliebig nahe. n 1.4 Beweise durch vollständige Induktion Es sei A(n) eine Aussageform in Abhängigkeit der Variablen n mit den Eigenschaften, dass einerseits A(1) wahr ist und andererseits aus der Wahrheit von A(n) immer folgt, dass auch A(n + 1) wahr ist. In diesem Fall ist A wahr für alle n N. Um dies zu zeigen muss man also nur das Anfangselement A(1) betrachten (Induktionsanfang) und diese Aussage auf Wahrheit überprüfen sowie für ein beliebiges (allgemeines) wahres A(n) (z. B. jenes für n 1, Induktionsvoraussetzung) zeigen, dass daraus auch folgt, dass A(n+1) wahr ist (Induktionsschluss oder -schritt). Beispiele zu diesem Vorgehen finden sich auf den Übungsblättern. Sehr einfach ist die Anwendung dieser Beweisart bei rekursiv definierten Rechenvorschriften wie beispielsweise der Fakultät: 4

5 Die zu beweisende Annahme sei, dass ( ) n : k k! (n k)! 2n. Beweis. Dieser Beweis weicht ein wenig vom obigen Schema ab, da der Beginn aufgrund der unteren Grenze der Summe bei n 0 gesetzt werden muss, nicht bei n 1. Induktionsanfang: Es sei n 0, dann ist k! (n k)! 0! 0! (0 0)! Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass k! (n k)! 2n. Induktionsschluss: Zu zeigen ist, dass daraus folgt n+1 (n + 1)! k! (n + 1 k)! 2n+1. Dies machen wir durch geschicktes Umschreiben der Summe und der Fakultäten: n+1 (n + 1)! k! (n + 1 k)! IV 2 n + (n + 1)! k! (n + 1 k)! + (n + 1)! (n + 1)! (n + 1 (n + 1))! (n + 1) k! (n k)! (n + 1 k) + 1 k! (n k)! n + 1 k + k n + 1 k k! (n k)! ( 1 + k n + 1 k + 1 ) + 1 k k! (n k)! (n + 1 k) + 1. An dieser Stelle muss der verbleibende Summenterm genauer betrachtet werden: k k! (n k)! (n + 1 k) 0 + k1 k1 k k! (n k)! (n + 1 k) (k 1)! (n + 1 k)!. Hierbei wurde verwendet, dass der Term mit k 0 wegfällt. Als nächstes führt man einen Index-Shift durch: l : k 1. Die Summe lautet dann k k! (n k)! (n + 1 k) n 1 l0 l! (n l)! 5 l0 l! (n l)! 1 IV 2 n 1.

6 Setzt man dies in obige Hauptrechnung ein, dann ergibt sich n+1 (n + 1)! k! (n + 1 k)! 2n + (2 n 1) n + 2 n 2 2 n 2 n Ganze und Rationale Zahlen Auf Basis der eben eingeführten natürlichen Zahlen lassen sich auch einige weitere häufig verwendete Zahlenmengen definieren: Natürliche Zahlen mit 0: N 0 : N {0}. Ganze Zahlen: Z : N 0 { n : n N}. Rationale Zahlen: Q : { p q : p Z, q N}. Da Z nicht kontinuierlich ist (man findet zwischen zwei beliebigen Zahlen aus Z nicht unendlich viele weiter Zahlen in Z) existiert bei Beschränkung nicht nur ein Supremum/Infimum, sondern auch immer ein Maximum/Minimum. Weiterhin existieren zwischen jeweils zwei Zahlen aus Z immer unendlich viele Zahlen in R und in Q. 1.6 Formeln und Rechenregeln Es seien a, b R und n N, dann: ( ) a n+1 b n+1 (a b) a n k b k. (1.3) Mit n 1 folgt daraus die aus der Schule bekannte dritte binomische Formel. Setzt man Hingegen a 1 und benennt b q 1, dann ergibt sich eine Möglichkeit zur Auswertung der geometrischen Reihe: q k 1 qn+1 1 q. (1.4) Die anderen beiden bekannten binomischen Formeln ergeben sich als Spezialfälle des binomischen Satzes für n 2: ( ) n (a + b) n a n k b k. (1.5) k Mit a b 1 erhält man den zuvor gezeigten Zusammenhang, dass die Summe der Binomialkoeffizienten 2 n ergibt. Ist x R und x 1 sowie n N, dann gilt weiterhin die Bernoulli sche Ungleichung: (1 + x) n 1 + n x. (1.6) 6

7 1.7 Wurzeln und Exponenten Der Exponent a n mit a R und n N ist definiert als a n : a } a {{... a}. (1.7) n Faktoren Die Umkehrung dessen ist die n-wurzel. Ist b a n, dann ist n b : a. Diese Wurzel ist zu jeder positiven Zahl existent und eindeutig bestimmt. Als Wurzel wird im reellen immer nur ein positiver Wert bezeichnet. Man definiert n x 0 und damit x2 : 2 x 2 : x. (1.8) Achtung: Die Lösungen quadratischer Gleichungen sind dennoch auch negative Zahlen. Ist z.b. x 2 1 0, dann ist x ± 1 ±1. Es ist jedoch 4 2 und 4 2. Im Falle rationaler Zahlen r p Q ist der Exponent folgendermaßen definiert: q a r a p q ( q a ) p. (1.9) Wie genau der Bruch p erweitert ist spielt dabei für das Ergebnis keine Rolle, z. B. ergibt q 5 das selbe wie 1. Ebenso ist es egal, ob man ( q a) p oder q (a 10 2 p ) berechnet. Was bei Exponenten weiterhin beachtet werden sollte ist ihr Grenzwertverhalten und ihr Einfluss auf die Ordnung ( ). Ist a > 1, dann strebt a n für n gegen. Ist hingegen a < 1, dann gilt a n 0 für n. Aus diesem Grund konvergiert die unendliche Reihe (n ) in Gleichung 1.4 nur für q < 1. Unabhängig von Grenzwertprozessen gilt aber für x, y R mit x y für alle n N, dass auch x n y n. Fürderhin existiert auch für beliebige n N eine Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel: n a1 a 2... a n a 1 + a a n. (1.10) n Die zweite dieser Methoden der Mittelwertbildung entspricht der aus Schulen bekannten. 1.8 Konstruktion der komplexen Zahlen Statt der einfachen reellen Zahlen R betrachtet man nun eine zweidimensionale Version. Auf dieser definiert man die Verknüpfungen + und wie folgt: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (1.11) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). (1.12) Die so definierte spezielle Variante des zweidimensionalen Raumes R 2 ist ein Körper (Axiome 1 bis 9 sind erfüllt, siehe Kapitel 1.1) und hat dann die besondere Eigenschaft, dass Vektoren (x, 0) sich verhalten wie die einfache Zahl x. Weiterhin wird eine weitere Gleichung erfüllt, welche die Grundlage zur Definition der komplexen Zahlen bildet: (0, 1) (0, 1) ( 1, 0). (1.13) Man definiert die Grundeinheit der zweiten Koordinate als komplexe Einheit i, welche aufgrund der eben erwähnten Gleichheit von (x, 0) und x beschrieben ist als i 2 1. (1.14) 7

8 Man schreibt daher auch x + i y statt (x, y) und somit C : {x + i y x, y R}. In dieser Darstellung bezeichnet man x als den Realteil (R) und y als Imaginärteil (I) der komplexen Zahl z : x + i y. Weiterhin nennt man z : x i y die komplex konjugierte Zahl zu z und z : x 2 + y 2 ihren Betrag, der immer rein reell ist. Diese stehen im folgenden Zusammenhang: 1.9 Rechenregeln für komplexe Zahlen z z z z x 2 + y 2 z 2. (1.15) Die zu komplexen Zahlen gehörigen Rechenoperationen gehorchen einigen Regeln: 1. z w Iz Iw Rz Rw, z 0 Iz Rz (z) z. 3. z z. 4. z + w z + w. 5. z w z w. 6. Rz 1 (z + z), Iz 1 (z z). 2 2i 7. Rz, Iz z Rz + Iz. 8. z w z w. 9. Dreiecksungleichung: z + w z + w. Allgemein: n k1 z k n k1 z k. 10. umgekehrte Dreiecksungleichung: z w z w. Nebst all diesen Besonderheiten ist eine Division durch komplexe Zahlen nicht möglich. Man muss den Bruch hierzu also erweitern um im Nenner eine reelle Zahl zu erzeugen: 1.10 Polynome 1 z z z z z z 2. (1.16) Ein Polynom ist - wie vermutlich bereits aus der Schulzeit bekannt - eine Funktion der Art p(z) a 0 + a 1 z + + a n z n. (1.17) Hierbei heißt der Exponent der höchsten Potenz von z (für den Fall a n 0 wäre das also n) der Grad des Polynoms. Ist p ein Polynom des Grades n, so existiert genau ein q des Gerades n 1 sodass p(z) q(z) (z z 0 ). (1.18) Hierbei ist z 0 eine Nullstelle des Polynoms p. Man bezeichnet (z z 0 ) dann als Linearfaktor von p. Ein Polynom vom Grad n besitzt genau n Linearfaktoren. Die Häufigkeit deren Auftretens in der sogenannten Linearfaktorzerlegung von p nennt man die Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle. Jedes beliebige Polynom hat mindestens eine Nullstelle in C, was auch als Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet wird. Weiterhin ist zu jeder Nullstelle z 0 auch die komplex konjugierte Zahl z 0 Nullstelle desselben Polynoms. 8

9 Beispiel Sei p(z) : (z 2 4z + 4) (z 2 + 1) z 4 4z 3 + 5z 2 4z + 4 ein Polynom des Grads 4. Seine Linearfaktorzerlegung lautet p(z) (z i) (z + i) (z 2) 2. Somit hat p die einfachen (und konjugierten) Nullstellen z 1 i und z 2 i sowie die doppelte Nullstelle z Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 8, 10 und 12 finden sich auf der Internetseite der Vorlesung unter 9