Kapitel 6 Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Logik. 10. Juni 2005

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1 Kapitel 6 Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Logik 10. Juni 2005

2 Zusammenfassung Wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik besteht aus Mengen aller wahrheitsfunktionalen Belegungen von Formeln, jedem Modell in M entspricht genau eine Belegung aller Variablen mit Werten aus [0, 1], spezielle Fuzzy-Logik: Lukasiewicz-Fuzzy-Logik, Darstellung aller möglichen Wahrheitswertfunktionen McNaughton Theorem: Wahrheitswertfunktionen sind stetig und stückweise linear mit ganzzahligen Koeffizienten, Modelle von Fuzzymengen lassen sich durch einfache geometrische Figuren darstellen, effiziente Berechnungsmethode für JM.

3 Plan für heute jede stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik ist axiomatisierbar, nichtstetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, Kapitel 7: Stratifizierte Operatoren, - Erweiterungen zweiwertiger Operatoren - von Fuzzy- zu zweiwertigen Operatoren, - stratifizierte Operatoren sind nicht wahrheitsfunktional.

4 Logische Kompaktheit, Kompaktheit und Stetigkeit Definition Ein Fuzzy-Deduktionsoperator D heißt logisch kompakt, wenn die Menge der D-konsistenten Fuzzy-Mengen induktiv ist, d.h. für jede gerichtete Menge von D-konsistenten Fuzzy-Mengen {u i } gilt, daß D( {u i }) u. Sei (F(F L ), D, M) eine abstrakte Fuzzy-Logik, D sei stetig. Falls contr(m), dann ist D = J M logisch kompakt.

5 Existenz maximalkonsistenter Theorien Sei D ein logisch kompakter Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann ist jede D-konsistente Information in einer maximalen Theorie enthalten. Sei M eine logisch kompakte Semantik. Dann hat jede erfüllbare Information ein maximales Modell, oder äquivalent dazu, jedes Modell ist in einem maximalen Modell enthalten.

6 Kriterium für logische Kompaktheit Sei M F(F L ). Falls eine abgeschlossene Relation R [0, 1] k und partielle Operationen p 0,..., p k mit p i : (F L ) n F L existiert, so daß für alle m M dann gilt: R(m(p 0 (ϕ 1,..., ϕ n )),..., m(p k (ϕ 1,..., ϕ n ))), 1. M ist logisch kompakt. 2. Für eine Anfangsbelegung u und für jede Formel ψ F L gibt es ein Modell m M, m u mit J M (u)(ψ) = m(ψ).

7 Stetige Fuzzy-Semantik Sei M eine stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik. Dann gilt: 1. M ist logisch kompakt, 2. Jedes Modell m M ist enthalten in einem maximalen Modell. Beweis über Konstruktion einer geeigneten Relation R...

8 Fuzzy-Hilbert-Operatoren sind stetig Bedingung für Fuzzy-Inferenzregeln: r (a 1,..., a j = sup i I b i,..., a k ) = sup r (a 1,..., b i,..., a k ) i I Sei S = (LAX, R): Fuzzy-Beweissystem im Hilbert-Stil. Der Fuzzy- Deduktionsoperator Operator D S mit ist stetig. D S (u)(ψ) = sup{val(π, u) π ist ein Beweis für ψ}

9 Stetige Fuzzy-Deduktionsoperatoren sind axiomatisierbar Sei D S : F(F L ) F(F L ) ein stetiger Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann existiert ein Fuzzy-Beweissystem S = (LAX, R) im Hilbert-Stil, so daß D = D S. Frage Ist eine wahrheitsfunktionale Semantik M axiomatisierbar? Gibt es ein Fuzzy-Beweissystem S mit J M = D S?

10 Zweierlei Stetigkeit Sei M eine stetige wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, dann ist J M ist stetig und logisch kompakt. Sei M eine logisch kompakte, wahrheitsfunktionale Fuzzy-Semantik, und sei M axiomatisierbar ist. Falls injektiv und für jede Formel ψ gilt, daß f ψ in jeder Variablen entweder ordnungserhaltend, oder ordnungsumkehrend ist, dann ist f ψ stetig, d.h. M ist stetig.

11 Nichtstetige Semantik M 1 Unser Alphabet enthalte nur die Junktoren {,, }. Bewertungsstruktur: U 1 = ([0, 1], min, max, 1 ), wobei 1 definiert wird durch: { 1 falls a = 0 1 (a) = 0 sonst. Die zugehörige wahrheitsfunktionale Semantik M 1 ist nicht stetig. Es gelten die folgenden Aussagen:

12 Nichtstetige Semantik M 1 (i) für jedes m M 1 ist die Fuzzy-Menge m definiert durch: { m 0 falls m(ϕ) = 0 (ϕ) = 1 sonst. ein maximales scharfes Modell für m. (ii) Die maximalen Modelle von M 1 stimmen mit der Menge der Modelle der klassischen Logik überein. (iii) Für jede klassische Kontradiktion ψ gilt in contr(m 1 )(ψ) = 1. (iv) Für jede klassische Kontradiktion ψ gilt taut(m 1 )( 1 (ψ)) = 1.

13 Klassische Tautologien sind keine M 1 -Tautologien Nicht jede klassische Tautologie ist zum Grad 1 in taut(m 1 ) enthalten. Gegenbeispiel: x x taut(m 1 )(x x) = inf {max{a, 1 (a)} a [0, 1]} inf {max{a, 0} a (0, 1]} inf {a (0, 1]} = 0.

14 Nichtstetige Semantik M 2 Sei U 2 = ([0, 1], min, max, 2 ), mit 2 (a) = { 0 falls a = 1 1 sonst. (i) M 2 ist nicht stetig. { (ii) m 1 falls m(ϕ) = 1 (ϕ) = ist ein minimales Modell in 0 sonst. M 2 und m m. (iii) Die minimalen Modelle von M 2 sind Modelle der klassischen Logik. (iv) Für ψ Cn( ) gilt taut(m 2 )(ψ) = 1 und contr(m 2 )( 2 (ψ)) = 1.

15 Klassische Kontradiktionen sind keine M 2 -Kontradiktionen Nicht jede klassische Kontradiktion ist zum Grad 1 in contr(m 2 ) enthalten. Gegenbeispiel: x x contr(m 2 )(x x) = 1 sup{min{a, 2 (a)} a [0, 1]} 1 sup{min{a, 2 (a)} a [0, 1)} 1 sup{a [0, 1)} = 0.

16 Kapitel 7 Stratifizierte Operatoren

17 Motivation Kapitel 6: Aufbau von Fuzzy-Logik durch wahrheitsfunktionalen Semantik: Welten sind fuzzy Fuzzy-Logik durch Graduierung des Ableitbarkeit- Begriffs: - Extensionsprinzip, - Stratifizierte Fuzzy-Operatoren, - Zerlegung von Fuzzy-Deduktionsoperatoren in Familien von zweiwertigen Deduktionsoperatoren, - Fuzzy-Konsequenzrelationen.

18 Beispiel - gegeben: Σ = {(ϕ i /a i )} mit ϕ F L, a i [0, 1], - Bewertung der Aussagen erfolgt nach ihrer Zuverlässigkeit, - Was ist ableitbar aus Σ und zu welchem Grad? - Σ i = {ϕ j (ϕ j, a j ) Σ, a j a i } für jedes i [0, 1], - Zuverlässigkeitsgrad von ψ Cn(Σ i ) ist mind. a i, - intuitive Begründung: eine Aussage ist so zuverlässig, wie die schwächste ihrer Begründungen.

19 Kanonische Extensionen Definition D : P(F L ) P(F L ). Für u F(F L ), ϕ F L ist die kanonische Erweiterung D von D definiert durch: D (u)(ϕ) = sup{a [0, 1] ϕ D(C(u, a)), wobei bzw. D (u) = a [0,1] {a D(C(u, a))}. 1. D : F(F L ) F(F L ) ist eine Erweiterung von D. 2. D : F(F L ) F(F L ) ist ein Abschlußoperator, genau dann wenn D ein Abschlußoperator ist.

20 Andere Erweiterungen Beispiel 1: Sei C [0, 1] ein Abschlußsystem, mit 0, 1, a C. Sei Co(C) der zugehörige Operator mit: [Co(C)](u)(ϕ) = inf{a C a u(ϕ)}. -Co(C) ist nicht die identische Abbildung -Co(C) eingeschränkt auf P(F L ) ist die identische Abbildung -also ist Co(C) nicht durch kanonische Erweiterung entstanden. Beispiel 2: Sei J(u)(ϕ) = u(ϕ) a für ein beliebiges a [0, 1], J(u) ist keine Erweiterung eines zweiwertigen Operators.

21 Charakterisierung kanonischer Erweiterungen Sei (F(F L ), D ) eine Erweiterung eines zweiwertigen Deduktionssystems, d.h. D (χ X )(ϕ) {0, 1} für jedes X F L. Sei D die Einschränkung von D auf P(F L ). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. (F(F ), D ) ist die kanonische Erweiterung eines zweiwertigen Deduktionssystems, 2. O(D (u), a) = b>a {D(C(u, b)} für alle a [0, 1], 3. C(D (u), a) = b>a {D(O(u, b)} für alle a [0, 1].

22 Charakterisierung kanonischer Erweiterungen II (F(F ), D ) ist die kanonische Erweiterung eines Systems (P(F L ), D) genau dann, wenn: 1. jeder abgeschlossene a-schnitt einer D -Theorie eine D-Theorie ist, 2. für jede D-Theorie τ und jedes a [0, 1] gilt τ a ist eine D -Theorie.

23 Schichtweises Ableiten kanonische Erweiterung erlaubt Verarbeitung von Fuzzy-Information, d.h. Information die stratifiziert oder in Gültigkeitsniveaus geschichtet ist, stratifizierter Deduktionsapparat kann aber auch auf scharfe Information angewendet werden, es gibt verschiedene scharfe Deduktionsoperatoren, je nach Grad der Gültigkeit, für jedes a [0, 1] wird ein scharfer Deduktionsoperator Da definiert, Da (X ) ist die Menge der Formeln, die man aus X ableiten kann mit Hilfe von Argumenten, die zum Grad a plausibel sind, es kann sowohl die verfügbare Information als auch der Deduktionsoperator stratifiziert sein, in diesem Fall: D(u)(ϕ) = sup{a [0, 1] ϕ D a (C(u, a)).}

24 Stratifizierte Operatoren Definition 1. Sei {D a } a [0,1] eine Familie von zweiwertigen Operatoren. Sei für u F(F L ) und ϕ F L : D(u)(ϕ) = sup{a [0, 1] ϕ D a (C(u, a)).} D heißt der zur Familie {D a } a [0,1] gehörende Fuzzy-Operator. 2. Die Familie {D a } a [0,1] heißt Kette, wenn für jedes X F L die Menge {D a (X )} a [0,1] eine Kette ist, d.h. (i) D 0 (X ) = X, (ii) {D a } a [0,1] ist ordnungsumkehrend.

25 Stetige Ketten Für welche Familien {D a } a [0,1] ist D ein Abschlußoperator? Sei {D a } a [0,1] eine Familie von Abschlußoperatoren, dann ist D ein Fast-Abschlußoperator. Wenn die Familie {D a } a [0,1] eine stetige Kette ist, dann ist D ein Fuzzy-Abschlußoperator. {D a } a [0,1] heißt stetige Kette, wenn {D a } a [0,1] eine Kette ist und für alle X F L, b [0, 1] gilt:. D b (X ) = a<b{d a (X )}

26 Erzeugung stetiger Ketten Definition Sei {D a } a [0,1] eine Familie von Abschlußoperatoren auf P(F L ), dann heißt der von D erzeugte Fuzzy-Abschlußoperator D stratifizierter Fuzzy-Abschlußoperator. Falls {D a } a [0,1] eine stetige Kette ist, und daher D = D, dann heißt D wohl-stratifiziert. 1. Sei {D a } a [0,1] eine Kette, dann ist {D a} a [0,1] mit D a(x ) = b<a D b (X ) für jedes X F L und jedes a [0, 1], eine stetige Kette. 2. Der von D erzeugte Fuzzy-Abschlußoperator Co(Cs(D)) stimmt mit D überein.

27 Kanonische Erweiterungen als stratifizierte Operatoren Sei J ein Abschlußoperator auf P(F L ), sei {D a } a [0,1] die Familie von Abschlußoperatoren mit D a = J für alle a. Dann ist 1. die Familie {D a } a [0,1] eine stetige Kette, 2. die kanonische Extension von J stimmt mit dem zu {D a } a [0,1] gehörenden Fuzzy-Abschlußoperator D überein.

28 Beispiel Definition Eine Fuzzy-Relation Imp : F L F L [0, 1] heißt Fuzzy-Implikation, wenn für alle ϕ, ψ, ϑ F L gilt: 1. Imp(ϕ, ϕ) = 1 (Reflexivität) 2. Imp(ϕ, ψ) Imp(ψ, ϑ) Im(ϕ, ϑ) (Transitivität) J : F(F L ) F(F L ) wird definiert durch: J(u)(ϕ) = sup{u(ψ) Imp(ψ, ϕ) ψ F L }. J a (X ) = {ϕ F L ψ X mit Imp(ψ, ϕ) a} J ist wohlstratifiziert, aber falls Imp keine scharfe Relation ist, dann ist J keine kanonische Erweiterung eines zweiwertigen Operators.

29 Zerlegung von Fuzzy-Operatoren Läßt sich jeder Fuzzy-Abschlußoperator als stratifizierten Operator betrachten? Definition Sei D ein Fuzzy-Deduktionsoperator. Wir definieren {D a } a [0,1] durch: D a (X ) := C(D(a X ), a) für jede Menge X F L. Der zu {D a } a [0,1] gehörende Fuzzy-Operator D heißt stratifizierter Operator zu D. Die Bezeichnung D ist korrekt.

30 Zerlegung von Fuzzy-Operatoren Sei J ein klassischer Abschlußoperator, J T mit J T (u) = χ J(supp(u)) dessen triviale Erweiterung und J der zu {J T a } a [0,1] gehörende stratifizierte Operator. Dann gilt für alle u F L : J(u) = J (u). Beweis: J(u)(ϕ) = sup{a [0, 1] ϕ J T a (C(u, a)).}(nach Definition) J (u)(ϕ) = sup{a [0, 1] ϕ J(C(u, a))} = sup{a [0, 1] ϕ J(supp(a C(u, a), a))} = sup{a [0, 1] J T (a C(u, a))(ϕ) a} J ist kanonischen Extension von J, daher Abschlußoperator.

31 Mehrwertige wahrheitsfunktionale Logik Sei M wahrheitsfunktional, für X F L, a [0, 1], ϕ, ψ F L, : - m = a ϕ wenn m(ϕ) a, - m = a X wenn m(ϕ) a für alle ϕ X, - X = a ϕ wenn m = a ϕ für jedes m = a X. zu jedem Grad a [0, 1] wird ein zweiwertiger scharfen Operator festgelegt: Lc a (X ) = {ϕ F L X = a ϕ. Definition Sei M eine wahrheitsfunktionale Semantik, dann heißt der zur Familie {Lc a } a [0,1] gehörende Operator Lc mit Lc(u)(ϕ) = sup{a [0, 1] ϕ Lc a (C(u, a)).} der zu M gehörende stratifizierte Fuzzy-Deduktionsoperator.

32 Fuzzy-Logik ist keine mehrwertige Logik Sei M eine wahrheitsfunktionale Semantik mit dem induzierten logischen Konsequenzoperator J M und Lc der zu M gehörende stratifizierte Fuzzy-Deduktionsoperator. Dann ist J M Lc.