Fuzzy Logic & Control

Transkript

1 The more, the fuzzier... Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

2 Fuzzy Theorie Lofi Zadeh enwickelte 1967 die Fuzzy Theorie. Er erweiterte die klassische Mengenlehre um den Begriff der unscharfen Fuzzy Menge. Dies war notwendig, um Dinge unseres alltäglichen Lebens adäquat beschreiben zu können: Die Menge Groß der großen Menschen. Wann ist ein Mensch groß? Z.B. ab 1.80 m, was ist mit Menschen die 1.79 m groß sind? Gehören diese zur Menge Groß oder sind sie Normal? Mit klassischen scharfen Menge lässt sich diese Frage nicht vernünftig beantworten. 2

3 Scharf versus unscharf x = x = 1.75 Klein Normal Groß Klein Normal Groß Scharfe Einteilung erlaubt nur die Zugehörigkeit zu genau einer Menge. Fuzzy Logik erlaubt die Mitgliedschaft in mehreren Mengen gleichzeitig. Scharfe Klassifizierung führt zu Sprüngen... Fuzzy Klassifizierung u. U. zu Mehrdeutigkeiten, erlaubt jedoch stetige Übergänge... 3

4 Fuzzy Menge Eine Fuzzy Menge A über einer Grundgesamtheit wird beschrieben durch ihre Zugehörigkeitsfunktion A : [0,1], d.h. ein Element kann teilweise zur Menge A gehören, da nicht nur die Werte 0 und 1 angenommen werden. Zadeh führte für diskrete Mengen die Schreibweise A={ 1 / x 1,, m / x m } j / x j j=1 und für kontinuierliche, unendliche Mengen ein, wobei A /x nicht als Quotient zu lesen ist. A= x A x / x m 4

5 Einfache Fuzzy Mengen Gebräuchliche Fuzzy Mengen sind: FuzzyTriangle (Dreieck) FuzzyTrapezoid (Trapez) FuzzyS, Z und P (Parabeln) FuzzyBell (Gausskurve) Für diese lassen sich effiziente analytisch auswertbare Formeln angeben und codieren. 5

6 FuzzySet Darstellung Die Menge etwa 4.7 Die Zahl 4 gehört zu 0,75 dazu Fuzzy Mengen werden häufig graphisch dargestellt, durch ihre Zugehörigkeitsfunktion. Numerisch einfach sind Polygone: Triangle und Trapezoid, sowie Parabeln: FuzzyP, FuzzyZ, FuzzyS. 6

7 Fuzzy Mengen cont. Meist wird die Erweiterung von der zweielementigen Menge {0,1} auf das Einheitsinterval als Tupel angegeben und die Menge analytisch definiert: Häufig wird A direkt mit der Zugehörigkeitsfunktion identifiziert. A x A x Ähnlich wie Łukasiewicz und Gödel, musste Zadeh für seine Fuzzy Mengen die wichtigsten algebraische Eigenschaften neu definieren, wobei er sich vom Erweiterungsprinzip leiten ließ: Für die Belegungen 0 und 1 soll das klassische Ergebnis herauskommen. A = { x, A x x, 0 A x 1 } 7

8 Fuzzy Operationen Im Folgendem seinen A und B Fuzzy Mengen über derselben Grundgesamtheit. A heißt Teilmenge von B wenn entsprechend ist die Gleichheit definiert: A B A x B x x A B A x = B x x Durchschnitt und Vereinigung zweier Mengen A B x = min A x, B x x A B x = max A x, B x x 8

9 Bemerkung Diese Definitionen von Vereinigung und Durchschnitt sind nicht die einzig möglichen, viele andere sind je nach Verwendungszweck im Gebrauch. Mathematisch werden die fuzzyfizierten Junktoren durch drei Abbildungen beschrieben: (AND) durch eine T-Norm: [0,1] [0,1] [0,1]. (OR) durch eine S-Norm: [0,1] [0,1] [0,1]. durch das C-Komplement: [0,1] [0,1]. Fordert man, dass die De-Morganschen Gesetze gelten sollen, so sind hierbei nur zwei der drei Funktionen unabhängig T(x,y) = C(S(C(x),C(y))). 9

10 T- und S-Normen Wichtige algebraische Eigenschaften von Normen: Randbedingung: T(x,1) = x Kommutativität: T(x, y) = T(y, x) Monotonie: Für y 1 y 2 gilt T(x, y 1 ) T(x, y 2 ) Assoziativität: T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z) Randbedingung: S(x, 0) = x Kommutativität: S(x, y) = S(y, x) Monotonie: Für y 1 y 2 gilt S(x, y 1 ) S(x, y 2 ) Assoziativität: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) 10

11 Eigenschaften von Normen Mehrwertige Normen lassen sich auf Grund der Assoziativität rekursiv definieren: T x 1, x 2, x 3 :=T T x 1, x 2, x 3 T x 1,, x m :=T T x 1,, x m 1, x m S x 1, x 2, x 3 :=S S x 1, x 2, x 3 S x 1,, x m :=S S x 1,, x m 1, x m Normen sind wahrheitserhaltend (truth-functional), d. h. W(A B) = T(W(A),W(B)) sowie W(A B) = S(W(A),W(B)) 11

12 Wichtige Fuzzy Normen Zadeh MinMax Norm T m und S m : Algebraisches Produkt / Summe T p und S p : A B x = A x B x A B x = A x B x A x B x Beschränkte Differenz / Summe T L und S L : A B x = min A x, B x A B x = max A x, B x A B x = max 0, A x B x 1 A B x = min 1, A x B x In all diesen Fällen gilt A x = 1 A x 12

13 Übungen Zeigen Sie, dass wirklich C(A(x)) = 1 A(x) gilt. Zeigen Sie T L T P T m S m S P S L. Berechnen Sie T m und S m für mehr als 2 Argumente. Berechnen Sie T P und S P für mehr als 2 Argumente. Berechnen Sie T L und S L für mehr als 2 Argumente. Bemerkung: Im JEFIS Projekt sind verschiedene Normen bereits implementiert und alle Fuzzy Sets können damit parametrisiert werden. Schauen Sie sich die API an. 13

14 Fuzzy Basics Als Träger (engl. Support) einer Fuzzy Menge A wird die Menge bezeichnet. Ein α-schnitt ist die Niveau Menge Das 1-Niveau heißt Kern der Fuzzy Menge A. supp A = { x A x 0 } A = { x A x } kern A = { x A x =1 } A 1 Träger, Schnitt und Kern sind klassische, scharfe Mengen mit Zugehörigkeit 0 oder 1! 14

15 Fuzzy Zahlen Durch Fuzzy Mengen lassen sich unscharfe Fuzzy Zahlen definieren, wie z.b. etwa drei. Eine Fuzzy Zahl Φ hat eine konvexe Zugehörigkeitsfunktion, die genau in einem Punkt φ den Wert μ Φ (φ)=1 besitzt, d.h. der Kern kern(φ) hat eine scharfe Singularität an der Stelle φ. Der Träger supp(φ) beschreibt die Unschärfe um den Punkt φ. Fuzzy Zahlen sollen die selben arithmetischen Operationen erlauben, wie die reellen Zahlen, allerdings unter Berücksichtigung des Trägers. 15

16 Fuzzy Arithmetik Gegeben zwei Fuzzy Zahlen A und B, stellt sich die Frage der Berechnung von Addition: Subtraktion: Multiplikation: C = A B C = A B C = A B Division: C = A B Eine effiziente Approximation lässt sich mittels Fehlerfortpflanzung finden (hier nur symmetrisch): C±γ = (A±α) (B±β) = (A+B) ± (α+β) C±γ = (A±α) (B±β) = (A*B) ± (B*α+A*β) C±γ = (A±α) (B±β) = (A/B) ± (B*α+A*β)/B 2 16

17 Beispiele für Fuzzy Arithmetik Visualisierung der Fuzzy Zahlen Arithmetik, deutlich ist die Verbreiterung des Trägers zu erkennen, während der Kern den normalen Rechenregeln genügt. Die Fuzzy Arithmetik ist jedoch kein Körper, da i.a. A A

18 Fuzzy Vergleich Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist (ungefähr) gleich B, d.h. W(A B)? Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung von A und B. W A B = sup x A x B x Für eine Singleton-Menge A(x) δ(x 0 ) reduziert sich dies für jede(!) T-Norm zu: W x 0 B = sup x T x 0, B x =B x 0 18

19 Fuzzy Vergleich cont. Ist A kein Singleton so muss das Supremum der Norm explizit ausgewertet werden, z.b. für MinMax: W A B = sup x W A B = sup x A x B x min A x, B x = x 0 μ(x) 1 α(x 0 ) A B x 0 19

20 Übung Berechnen Sie für welche der drei Normen T m, T P und T L der Satz vom Widerspruch und der tertium non datur verletzt sind und für welche nicht. Wie lautet die Formel für den Vergleich wenn die Produkt Norm T P verwendet wird? Wie groß ist der Wahrheitswert α(x 0 ) für den Vergleich zweier gegebener Dreiecks Fuzzy Mengen A und B unter Verwendung der T m und T P Norm? 20