Fuzzy-Logik Kontext C mit Interpretation. A B

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1 Unexaktes Schlußfolgern Einführung Fuzzy-Mengen Fuzzy-Logik Formel. A B Kontext C mit Interpretation. A B Modifizierer von Fuzzy-Mengen Operationen auf Fuzzy-Mengen Fuzzy-Inferenz Defuzzifizierung C mit Interpretation zu Zeitpunkten t. t A B Situation: Die Regel A B gilt meistens. XI- Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-2 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Unexaktes Schlußfolgern Schlußfolgern mit unscharfen Beschreibungen Ansätze zur Verarbeitung von unsicheren Regeln : Fuzzy-Theorie dient zur qualitativen Beschreibung quantitativer Sachverhalte. MYCIN-Ansatz. Verarbeitung von unsicheren Ursache-Wirkungs-Beziehungen zur Diagnose mittels Konfidenzfaktoren. IF THEN Gewicht ist hoch Lebenserwartung ist gering Dempster-Shafer Theorie. Verarbeitung von Unwissenheit mittels bedingten Evidenzen. Data-Mining. Bewertung von Regeln mittels Support und Confidence innerhalb einer gegebenen Stichprobe. Bei der Fuzzy-Theorie geht es nicht um Unsicherheit bzw. Unwissenheit, sondern um Unschärfe. Wann hat man ein hohes Gewicht? Aussage Gewicht 8kg Gewicht ist hoch IF THEN Gewicht ist hoch Lebensqualität ist gering Die Lebensqualität läßt sich nicht quantitativ messen. XI-3 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-4 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

2 Geschichte Geschichte 92: erste Fuzzy-Systeme, vorgeschlagen von Lukasiewicz Beobachtung: Terme wie tall, old oder hot lassen sich nur schwer unter dem Aristotelischen Wahrheitsbegriff wahr oder falsch (,) fassen. Um 92. Lukasiewicz erweitert das System der Logik auf alle reellen Zahlen in [,]: Eine Zahl aus [,] beschreibt die Möglichkeit (possibility), ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Forschungen führten zur (inexakten) Schlußfolgerungstechnik der Possibilitätstheorie. 96. Zadeh entwickelt die Possibilitätstheorie zu einem formalen, logischen System. Ende der 8er. Japanische Industrie greift die Fuzzy-Theorie auf und verwendet Konzepte und Methoden in zahlreichen industriellen Anwendungen. Eine Prämisse der Fuzzy-Theorie ist die Unvereinbarkeit hoher Komplexität und hoher Präzision: Überall dort, wo eine Problemlösung Toleranzen in der Formulierung und Verarbeitung zuläßt, können diese Toleranzen ausgenutzt werden, um eine weniger exakte und dennoch ausreichende Lösung zu erreichen. Darüberhinaus ermöglicht die Fuzzy-Theorie/Logik, komplexe Zusammenhänge einfach (abstrakt, vom Prinzip her) zu beschreiben. insbesondere entstehen Konzepte zur Beschreibung und Verarbeitung von Ausdrücken der natürlichen Sprache. XI- Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-6 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Motivation: linguistische Variablen Motivation: Fuzzy-Regeln Fuzzy-Logik beschäftigt sich hauptsächlich mit der Quantifizierung und dem Schlußfolgern über vage bzw. unscharfe Ausdrücke der natürlichen Sprache. linguistische Variablen bzw. Fuzzy-Variablen. Fuzzy-Regeln schlußfolgern Informationen bzgl. einer linguistischen Variable in der Regelkonklusion ausgehend von einer linguistischen Variable in der Regelprämisse. linguistische Variable typische Werte IF THEN Speed is slow Make the acceleration high temperature hot, cold height speed short, medium, tall slow, creeping, fast IF AND THEN Temperature is low Pressure is medium Make the speed very slow Der Bereich möglicher Werte für eine linguistische Variable heißt Diskursbereich (universe of discourse) oder auch Grundbereich. Der Grundbereich von SPEED könnte [...] km/h sein. Einsatz von Fuzzy-Regeln: Fuzzy-Expertensystemen (Diagnose, Monitoring), Fuzzy-Reglern (Regelungstechnik) XI-7 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-8 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

3 Fuzzy-Mengen (Fuzzy Sets) Fuzzy-Menge Traditionelle Mengenlehre malt ein Schwarz-Weiß-Bild von der Welt: Gegeben eine Menge, dann ist ein Objekt entweder in der Menge oder nicht. Stichwort: scharfe Menge Ausweg: Fuzzy-Menge Eine Graduierung der Zugehörigkeit wird möglich mit Hilfe einer Zugehörigkeitsfunktion µ. Sei young eine Menge, die aus jungen Menschen besteht. Den Elementen in der Menge ist eine, den anderen eine zugeordnet. scharfe Menge "young" Wählt man das Alter als Objektmerkmal, so muß ab einem bestimmten Alter die Jugend schlagartig aufhören.. Fuzzy Menge "young" 2 age linguistische Variable: age Grundbereich:... Fuzzy-Menge: young XI-9 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI- Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Fuzzy-Menge Fuzzy-Menge Definition (Fuzzy-Menge, Zugehörigkeitsfunktion) Raumtemperatur Sei X ein Grundbereich mit Elementen x. Eine Fuzzy-Menge A von X ist beschrieben durch eine charakteristische Funktion (Zugehörigkeitsfunktion, Membership-Funktion) µ A (x), die jedem Element x X einen Zugehörigkeitswert aus A zuordnet. µ A : X [, ] x µ A (x) µ A (x) Zugehörigkeitsgrad ( x A ) Vergleich zur klassischen Menge: Sei X ein Grundbereich mit Elementen x. Die Zugehörigkeit eines Elementes x X zur Menge A kann durch eine charakteristische Funktion µ A beschrieben werden als: µ A : X {, }, µ A (x) =, für x A, sonst Zadeh: Fuzzy-Mengen sind Möglichkeitsverteilungen (possibility distribution functions). XI- Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-2 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

4 Bildung von Fuzzy-Mengen Bildung von Fuzzy-Mengen Gegeben ein Konzept A, daß als Fuzzy-Menge zu repräsentieren ist. Wie könnte eine Zugehörigkeitsfunktion µ A definiert werden? Parametrisierter Ansatz: µ(x; c,p)=[+c x x p ] c > ; p> Befragung von Leuten oder Experten nach ihrem Verständnis bzgl. A mit nachfolgender statistischer Weiterverarbeitung (Glättung, Regression, etc.). Alter von Menschen im Intervall X =[, ] µ jung (x) =, falls x 2 [ + ( x 2 ) 2 ], falls 2 <x µ (x) µ jung. 2 7 Jahre XI-3 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-4 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Bildung von Fuzzy-Mengen Schreibweise von Fuzzy-Mengen Vergröberung/Vereinfachung von Zwischenwerten durch lineare Interpolation. Größe von Menschen im Intervall X = [, 22] Sei X = {x,x 2,...,x n } ein Grundbereich und A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge. A definiert eine Zugehörigkeitsfunktion µ A (x). Vektorschreibweise (bei einer diskreten und geordneten Menge von Elementen): Linguistische Variable height A =(a,a 2,...,a n ), a i = µ A (x i ) Zugehörigkeits werte. short medium tall Oft auch geschrieben als: A =(a /x,a 2 /x 2,...,a n /x n ), a i = µ A (x i ) tall= (/7,.2/8,./9,.7/9,./2) height [cm] Verschiedene Fuzzy-Mengen über dem gleichen Grundbereich werden auch als Fuzzy-Untermengen (fuzzy subsets) bezeichnet. Hier: short, medium, tall Beachte: Ein Element des Grundbereichs kann Mitglied in mehreren Fuzzy-Mengen sein. Zadeh s Schreibweise: A = µ /x + µ2 2 /x µ n /x n = n µ A (x i )/x i bzw. falls X eine unendliche Menge ist: A = µ X A(x)/x i= XI- Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-6 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

5 Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Definition 2 (Träger, α-schnitt einer Fuzzy-Menge). Träger T (A) einer Fuzzy-Menge A: T (A) ={x x X, µ A (x) > } Definition 3 (Höhe, Kardinalität einer Fuzzy-Menge) 3. Höhe H(A) einer Fuzzy-Menge A: H(A) =supµ A (x) x X 2. α-schnitt A α einer Fuzzy-Menge A: A α = {x x X, µ A (x) α} Fuzzy-Mengen mit H(A) =heißen normalisiert (normal), Fuzzy-Mengen mit H(A) < heißen subnormal. Bemerkungen: Träger bzw. α-schnitt einer Fuzzy-Menge sind gewöhnliche Teilmengen des Grundbereichs. 4. Kardinalität C(A) einer Fuzzy-Menge A: C(A) = µ A (x) x X Der -Schnitt A (x) ={x x X, µ A (x) =} von A heißt Kern. Die Zugehörigkeitsfunktion kann mit Hilfe des α-schnitts defuzzifiziert werden: µ Aα (x) =, wenn µ A (x) α, wenn µ A (x) <α XI-7 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-8 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Modifizierer für Fuzzy-Mengen Acht Studenten x,x 2,...,x 8 haben in einer Prüfung folgende Punktzahlen erhalten: Student x x 2 x 3 x 4 x x 6 x 7 x 8 Punkte Im normalen Sprachgebrauch spielen Adverbien bei der Beschreibung von Konzepten eine wichtige Rolle: Sie modifizieren ein Verb, ein Adjektiv, ein anderes Adverb oder einen Satz. Bei einer Maximalpunktzahl von 7 Punkten könnte man folgende Fuzzy-Menge A = gut bestanden bilden: Student x x 2 x 3 x 4 x x 6 x 7 x 8 µ A Sprachliche Modifizierer : very, slightly, somewhat, viel, stark, sehr stark, ziemlich Fuzzy-Mengen können bzgl. interessierender Modifizierer neu konstruiert aber auch aus vorhandenen Fuzzy-Mengen konstruiert werden. Träger von A: T (A) ={x,x 2,x 3,x 4,x,x 6,x 7,x 8 }, α-schnitt von A für α =.6 und α =.9: A α=.6 = {x,x 3,x 4,x,x 8 }, A α=.9 = {x } Höhe von A: H(A) =sup{.92,.346,.693,.73,...} =.92, Kardinalität von A: C(A) = =.36 XI-9 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-2 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

6 Modifizierer für Fuzzy-Mengen Konstruktion modifizierter Fuzzy-Mengen linguistische Variable: height (Unter-)Fuzzy-Mengen: short, medium, tall Sei X ein Grundbereich und A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge mit Zugehörigkeitsfunktion µ A (x). Typische Modifizierer von A sind: Zugehörigkeits werte height short medium tall. Konzentration bzw. Verstärkung sehr (concentration very ): µ CON(A) (x) =(µ A (x)) Aufweichung ein bischen, etwas (dilation somewhat more or less ): very height [cm] µ DIL(A) (x) = µ A (x) 3. Intensivierung tatsächlich (intensification indeed ): µ INT(A) (x) = 2 (µ A (x)) 2, falls µ A (x). 2 ( µ A (x)) 2, falls. <µ A (x) modifizierte Fuzzy-Mengen: very short, very medium, very tall 4. extra Verstärkung sehr sehr, im höchsten Maße (power very very ): µ POW(A) (x) =(µ A (x)) n, n > 2 XI-2 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-22 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Konstruktion modifizierter Fuzzy-Mengen linguistische Variable: Alter Zugehörigkeitsfunktion: ( + ( x ) 2 ) Fuzzy-Menge: A alt = ( + ( x ) 2 ) /x Operationen auf Fuzzy-Mengen Sei X ein Grundbereich und A, B hierauf definierte Fuzzy-Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen µ A (x) bzw. µ B (x).. Teilmenge: A B µ A (x) µ B (x) x X Dann gilt: A sehr alt = (µ alt (x)) 2 /x = ( + ( x ) 2 2 ) /x 2. Gleichheit: A = B µ A (x) =µ B (x) x X A mehr-oder-weniger alt = A weniger alt = (µ alt (x)). /x = (µ alt (x)).2 /x = ( + ( x ) 2. ) /x ( + ( x ) 2.2 ) /x Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung werden als Verknüpfung der Zugehörigkeitsfunktionen µ A (x) und µ B (x) definiert. Grad µ alt µ sehr_alt µ A µ B µ mehr-oder-weniger alt.7. x Jahre XI-23 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-24 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

7 Operationen auf Fuzzy-Mengen Operationen auf Fuzzy-Mengen 3. Durchschnitt A B: µ A B (x) =min(µ A (x),µ B (x)) x X Schreibweise auch: µ A (x) µ B (x) 4. Vereinigung A B: µ A B (x) =max(µ A (x),µ B (x)) x X Schreibweise auch: µ A (x) µ B (x) µ A B µ A B x x XI-2 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-26 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 Operationen auf Fuzzy-Mengen Operationen auf Fuzzy-Mengen. Komplement A: µ A (x) = µ A (x) x X, µ A µ A x Bemerkungen: Verglichen mit der klassischen Mengenalgebra fehlen Eigenschaften des Komplements: A A =, gelten in der Fuzzy-Logik nicht. A A = X Sei µ A (x) =.3 dann ergibt sich z. B. für µ A A (x) : min(µ A (x), µ a (x)) = min(.3,.7) =.3 Es seien der Grundbereich X = {x,x 2,x 3,x 4,x } gegeben sowie drei Fuzzy-Mengen A, B, C über X durch: A =.7/x +.3/x 2 +.4/x 3 +.2/x 4 B =./x +.6/x 4 +/x C =.3/x +.2/x 3 +./x 4 Dann gilt: C ist eine Fuzzy-Teilmenge von A, B jedoch nicht. Weiter gilt: A = i= A B = ( µ A (x i )) x i =.7 x +.3 x x x 4 +. x =.3/x +.7/x 2 +.6/x 3 +.8/x 4 +/x i= max(µ A (x i ),µ B (x i )) x i = max(.7,.) x + max(.3,) x 2 + max(.4,) x 3 =.7/x +.3/x 2 +.4/x 3 +.6/x 4 +/x + max(.2,.6) x 4 + max(.,) x A B = i= min(µ A (x i ),µ B (x i )) x i =./x +.2/x 4 XI-27 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-28 Fuzzy Logic c STEIN 23/4

8 Struktureigenschaften und Mengenoperationen Erzeugung neuer Fuzzy-Mengen Für, und und für beliebige Fuzzy-Mengen A, B und C über einer gemeinsamen Grundmenge X gilt: Mit Hilfe der Modifikatoren und der Fuzzy-Mengenoperationen können neue Fuzzy-Mengen aus vorhandenen konstruiert werden. Kommutativität: Assoziativität: Idempotenz: A B = B A A B = B A A (B C) =(A B) C A (B C) =(A B) C A A = A A A = A Sei A die Fuzzy-Menge tall persons. Erzeugung der Fuzzy-Menge B very tall persons µ B (x) =(µ A (x)) 2 Distributivität: A (B C) =(A B) (A C) neutrales Element: A = A...und not very tall persons : µ B (x) = (µ A (x)) 2 Absorption: A (A B) =A de Morgan: (A B) = A B Seien A und B die Fuzzy-Mengen tall persons und short persons. Beweis des Satzes von de Morgan für Fuzzy-Mengen: µ (A B) (x) = max(µ A (x),µ B (x)) =min( µ A (x), µ B (x)) = µ A B (x) Menge C not very tall and not very short persons : µ C (x) =( (µ A (x)) 2 ) ( (µ B (x)) 2 ) XI-29 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-3 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-3 Fuzzy Logic c STEIN 23/4 XI-32 Fuzzy Logic c STEIN 23/4