Kapitel IX. Unscharfes Wissen. Unscharfes Wissen. IX Fuzzy Logic c Stein/Lettmann 2004/2005. IX. Fuzzy-Logik:

Transkript

1 Kapitel IX IX. Fuzzy-Logik: Einführung Fuzzy-Mengen Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Modifizierer von Fuzzy-Mengen Operationen auf Fuzzy-Mengen Fuzzy-Inferenz Defuzzifizierung Unscharfes Wissen Impräzision: Wissen besteht aus mehreren (präzisen) Alternativen. Herr Meier ist zwischen 2 und 3 Jahre alt. Unsicherheit (objektive Unschärfe): Die Wahrheit einer Aussage ist nicht klar. Sowohl präzise als auch unpräzise Aussagen können unsicher sein. Paderborn liegt (exakt) 2m über NN. Vagheit (subjektive Unschärfe): Die Aussage ist eher qualitativ. Das Büro E4.5 ist groß. 2 Unscharfes Wissen Nach einem zweitägigen Marsch ohne Wasser durch die Wüste treffen Sie einen Beduinen, der ihnen zwei Flaschen mit Getränken gibt zusammen mit folgender Information: Flasche enthält mit 9-prozentiger Wahrscheinlichkeit ein ungiftiges Getränk, aber die Flasche könnte auch ein tödliches Gift enthalten. Flasche 2 enthält ein Getränk, das mit dem Zugehörigkeitsgrad von maximal zu den tödlichen Giften gehört. Frage: Aus welcher Flasche trinken Sie? 3

2 Ursachen für Unschärfe Unwissenheit Default-Reasoning Fakten zwar nicht bekannt, aber Normalfall bekannt. Stochastik (Bayes) Häufigkeitsverteilung der möglichen Werte ist bekannt. Sicherheitsfaktoren, Evidenztheorie Häufigkeitsverteilung der möglichen Werte ist nicht bekannt. Ungenauigkeit, z.b. Meßungenauigkeiten Intervallarithmetik Qualitative Abstraktion Fuzzy-Logik Vagheit der Begriffe Fuzzy-Logik Theorie der groben Mengen Meinungsäußerung epistemische Logik 4 Unscharfes Schlußfolgern Formel. A B Kontext C mit Interpretation. A B C mit Interpretation zu Zeitpunkten t. t A B Situation: Die Regel A B gilt meistens. Ziel: Wissen über Wahrheit, Wahrscheinlichkeit, (Grad der) Möglichkeit von gegebenen Aussagen, Ereignissen, Zuständen etc. auf andere Aussagen, Ereignisse, Zustände etc. zu übertragen. 5 Unscharfes Schlußfolgern Ansätze zur Verarbeitung von unsicheren Regeln : MYCIN-Ansatz. Verarbeitung von unsicheren Ursache-Wirkungs-Beziehungen zur Diagnose mittels Konfidenzfaktoren. Dempster-Shafer Theorie. Verarbeitung von Unwissenheit mittels Evidenzen. Data-Mining. Bewertung von Regeln mittels Support und Confidence innerhalb einer gegebenen Stichprobe. Bei der Fuzzy-Theorie geht es nicht um Unwissenheit, sondern um Unschärfe (Vagheit und Ungenauigkeit). 6

3 Schlußfolgern mit unscharfen Beschreibungen Fuzzy-Theorie dient zur qualitativen Beschreibung quantitativer Sachverhalte. IF THEN Gewicht ist hoch Lebenserwartung ist gering Wann hat man ein hohes Gewicht? Aussage Gewicht 8kg Gewicht ist hoch IF THEN Gewicht ist hoch Lebensqualität ist gering Die Lebensqualität läßt sich nicht quantitativ messen. 7 Geschichte 92: Erste Fuzzy-Systeme, vorgeschlagen von Lukasiewicz. Beobachtung: Terme wie tall, old oder hot lassen sich nur schwer unter dem Aristotelischen Wahrheitsbegriff wahr oder falsch (,) fassen. Um 92: Lukasiewicz erweitert das System der Logik auf alle reellen Zahlen in [,]. Eine Zahl aus [,] beschreibt die Möglichkeit (possibility), ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Forschungen führten zur (unscharfen) Schlußfolgerungstechnik der Possibilitätstheorie. 965: Zadeh entwickelt die Possibilitätstheorie zu einem formalen, logischen System. Insbesondere entstehen Konzepte zur Beschreibung und Verarbeitung von Ausdrücken der natürlichen Sprache. 8 Geschichte Ende der 8er: Japanische Industrie greift die Fuzzy-Theorie auf und verwendet Konzepte und Methoden in zahlreichen industriellen Anwendungen. Eine Prämisse der Fuzzy-Theorie ist die Unvereinbarkeit hoher Komplexität und hoher Präzision: Überall dort, wo eine Problemlösung Toleranzen in der Formulierung und Verarbeitung zuläßt, können diese Toleranzen ausgenutzt werden, um eine weniger exakte und dennoch ausreichende Lösung zu erreichen. Darüberhinaus ermöglicht die Fuzzy-Theorie/Logik, komplexe Zusammenhänge einfach (abstrakt, vom Prinzip her) zu beschreiben. 9

4 Motivation: Linguistische Variablen Fuzzy-Logik beschäftigt sich hauptsächlich mit der Quantifizierung von vagen bzw. unscharfen Begriffen der natürlichen Sprache und dem Schlußfolgern über Aussagen mit diesen Begriffen. Linguistische Variablen bzw. Fuzzy-Variablen. linguistische Variable typische Werte temperature hot, cold height short, medium, tall speed slow, creeping, fast Der Bereich der quantitativen Werte, der einer linguistischen Variablen zu Grunde liegt, heißt Diskursbereich (universe of discourse) oder auch Grundbereich. Jedem der qualitativen Werte der linguistischen Variablen wird eine Fuzzy-Menge über dem Grundbereich zugeordnet. Motivation: Fuzzy-Regeln Fuzzy-Regeln schlußfolgern Informationen bzgl. einer linguistischen Variable in der Regelkonklusion ausgehend von einer linguistischen Variable in der Regelprämisse. IF Speed is slow THEN Make the acceleration high IF AND THEN Temperature is low Pressure is medium Make the speed very slow Der Grundbereich von SPEED könnte [...] km/h sein. Einsatz von Fuzzy-Regeln: Fuzzy-Expertensystemen (Diagnose, Monitoring), Fuzzy-Reglern (Regelungstechnik) Fuzzy-Mengen (Fuzzy Sets) Traditionelle Mengenlehre malt ein Schwarz-Weiß-Bild von der Welt: Gegeben sei eine Menge, dann ist ein Objekt entweder in der Menge oder nicht. Stichwort: scharfe Menge Sei age is young eine Menge, die aus jungen Menschen besteht. Den Elementen in der Menge ist eine, den anderen eine zugeordnet. Wählt man das Alter als Objektmerkmal, so muß ab einem bestimmten Alter die Jugend schlagartig aufhören. 2

5 Fuzzy-Mengen Ausweg: Fuzzy-Menge Eine Graduierung der Zugehörigkeit wird möglich mit Hilfe einer Zugehörigkeitsfunktion µ. Bemerkung: Der Grad der Zugehörigkeit zu einer zu einer Fuzzy-Menge darf nicht mit einer Wahrscheinlichkeit verwechselt werden. Der quantitative Wert aus dem Grundbereich der linguistischen Variablen ist fest..5 scharfe Menge "young" Nur die Zuordnung ist nicht festgelegt, wie der quantitative Wert auf Werte der linguistischen Variablen abbgebildet wird. Wenn beispielsweise von Personen, deren Auffassung man nachbilden will, insgesamt 25 das Alter 7 für jung halten, könnte man für die Fuzzy-Menge young als Zugehörigkeitswert,25 wählen. Fuzzy-Menge "young" 2 age linguistische Variable: age Grundbereich:... Fuzzy-Menge: age is young 3 Fuzzy-Mengen Definition (Fuzzy-Menge, Zugehörigkeitsfunktion) Sei X ein Grundbereich mit Elementen x. EineFuzzy-Menge A von X ist beschrieben durch eine charakteristische Funktion (Zugehörigkeitsfunktion, Membership-Funktion) µ A, die jedem Element x X einen Zugehörigkeitswert µ A(x) [, ] für A zuordnet. µ A : X [, ] x µ A(x) µ A(x)b= Zugehörigkeitsgrad für x in A Vergleich zur klassischen Menge: Sei X ein Grundbereich mit Elementen x. Die Zugehörigkeit eines Elementes x X zur Menge A kann durch eine charakteristische Funktion µ A beschrieben werden als: j, für x A µ A : X {, } µ A(x) =, sonst Zadeh: Fuzzy-Mengen sind Möglichkeitsverteilungen (possibility distribution functions). 4 Fuzzy-Mengen Raumtemperatur Membership Function Membership Function C C 3 Hot 2 Warm Cool Cold - Bivalente Mengen zur Charakterisierung der Raumtemperatur 3 Hot 2 Warm Cool Cold - Fuzzy-Mengen zur Charakterisierung der Raumtemperatur linguistische Variable: temperature mögliche Werte: cold, cool, warm, hot Grundbereich: [-,..., 3] Bivalente Mengen und Fuzzy-Mengen: temperature is cold,... 5

6 Bildung von Fuzzy-Mengen Gegeben ein Konzept A, das als Fuzzy-Menge zu repräsentieren ist. Wie könnte eine Zugehörigkeitsfunktion µ A definiert werden? Befragung von Leuten oder Experten nach ihrem Verständnis bzgl. A mit nachfolgender statistischer Weiterverarbeitung (Glättung, Regression etc.) 6 Bildung von Fuzzy-Mengen Parametrisierter Ansatz: µ(x; c,p)=[+c x x p ] c > ; p> Alter von Menschen mit Grundbereich X =[, ] (, falls x 25 µ (Alter = jung)(x) = h 2i, falls 25 <x +` x 25 5 µ (x) µ jung Jahre 7 Bildung von Fuzzy-Mengen Vergröberung/Vereinfachung von Zwischenwerten durch lineare Interpolation. Größe von Menschen mit Grundbereich X = [5, 22] Linguistische Variabl e height short medium tall Zugehrigkeits werte height [cm] Verschiedene Fuzzy-Mengen über dem gleichen Grundbereich werden auch als Fuzzy-Untermengen (Fuzzy Subsets) bezeichnet. Hier: short, medium, tall Beachte: Ein Element des Grundbereichs kann Mitglied in mehreren Fuzzy-Mengen sein. 8

7 Schreibweise von Fuzzy-Mengen Sei X = {x,x 2,...,x n} ein Grundbereich und A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge. A ist definiert durch eine Zugehörigkeitsfunktion µ A(x). Vektorschreibweise (bei einer diskreten und geordneten Menge von Elementen): A =(a,a 2,...,a n) mit a i = µ A(x i) Oft auch geschrieben als: A =(a /x,a 2/x 2,...,a n/x n) mit a i = µ A(x i) tall= (/7,.25/85,.5/9,.75/95,./2) 9 Schreibweise von Fuzzy-Mengen Sei X = {x,x 2,...,x n} ein Grundbereich und A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge. A ist definiert durch eine Zugehörigkeitsfunktion µ A(x). Zadeh s Schreibweise: A = µ /x + µ 2/x µ n/x n = bzw. falls X eine unendliche Menge ist: Z A = µ A(x)/x X nx µ A(x i)/x i i= 2 Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Definition 2 (Träger, α-schnitt, Höhe, Kardinalität einer Fuzzy-Menge). Träger T (A) einer Fuzzy-Menge A: T (A) ={x x X, µ A(x) > } 2. α-schnitt A α einer Fuzzy-Menge A: A α = {x x X, µ A(x) α} Der -Schnitt A (x) ={x x X, µ A(x) =} von A heißt auch Kern von A. 3. Höhe H(A) einer Fuzzy-Menge A: H(A) = supµ A(x) x X Fuzzy-Mengen mit H(A) =heißen normalisiert (normal), Fuzzy-Mengen mit H(A) < heißen subnormal. Bemerkungen: Träger bzw. α-schnitt einer Fuzzy-Menge sind gewöhnliche Teilmengen des Grundbereichs. Eine Fuzzy-Menge kann mit Hilfe des α-schnitts in eine gewöhnliche Menge umgewandelt (defuzzifiziert) werden: j, wenn µa(x) α µ Aα (x) =, wenn µ A(x) <α Jede Fuzzy-Menge läßt sich durch ihre α-schnitte charakterisieren: Sei A eine Fuzzy-Menge über dem Grundbereich X. Dann gilt für jedes x X µ A(x) =sup{min(α, χ Aα (x)) α [, ]} (χ M bezeichne hier die charakteristische Funktion einer klassischen Menge M.) Es gilt nämlich folgende Beziehung: j α falls µ(x) α min(α, χ Aα (x) = sonst 4. Kardinalität C(A) einer Fuzzy-Menge A: C(A) = X µ A(x) x X 2

8 Charakterisierung von Fuzzy-Mengen Acht Studenten x,x 2,...,x 8 haben in einer Prüfung folgende Punktzahlen bei einer Maximalpunktzahl von 75 erreicht: Student x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Punkte Die Fuzzy-Menge A für gut_bestanden wird definiert durch: Student x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 µ A Träger von A: T (A) ={x,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8} α-schnitt von A für α =.65 und α =.9: A (α=.65) = {x,x 3,x 4,x 5,x 8}, A (α=.9) = {x } Höhe von A: H(A) =sup{.92,.346,.693,.73,...} =.92 Kardinalität von A: C(A) = = Modifizierer für Fuzzy-Mengen Im normalen Sprachgebrauch spielen Adverbien bei der Beschreibung von Konzepten eine wichtige Rolle: Sie modifizieren ein Verb, ein Adjektiv, ein anderes Adverb oder einen Satz. Sprachliche Modifizierer : very, slightly, somewhat, viel, stark, sehr stark, ziemlich Für liguistische Variable mit Werten hierfür werden durch Kombination mit den Modifizierern neue Werte gebildet, für die passende Fuzzy-Mengen angegeben werden können. Fuzzy-Mengen können bzgl. interessierender Modifizierer neu konstruiert aber auch aus vorhandenen Fuzzy-Mengen konstruiert werden (modifizierte Fuzzy-Mengen). 23 Modifizierer für Fuzzy-Mengen Größe von Menschen mit Grundbereich X = [5, 22] linguistische Variable: height Fuzzy-Mengen (Fuzzy-Untermengen): short, medium, tall height short medium tall Zugehrigkeits werte height [cm] very modifizierte Fuzzy-Mengen: very short, very medium, very tall 24

9 Modifizierer für Fuzzy-Mengen Definition 3 (Verstärkung, Aufweichung, Intensivierung einer Fuzzy-Menge) Sei X ein Grundbereichund A eine hierauf definierte Fuzzy-Menge mit Zugehörigkeitsfunktion µ A(x). Typische Modifizierer von A mit den Berechnungsvorschriften für die Zugehörigkeitsfunktionen sind:. Konzentration bzw. Verstärkung sehr (concentration very ): µ CON(A) (x) =(µ A (x)) 2 2. Aufweichung ein bischen, etwas (dilation somewhat, more or less ): q µ DIL(A) (x) = µ A (x) 3. Intensivierung tatsächlich (intensification indeed ): j 2 (µa (x)) 2, falls µ µ INT(A) (x) = A (x).5 2 ( µ A (x)) 2, falls.5 <µ A (x) 4. extra Verstärkung sehr sehr, im höchsten Maße (power very very ): µ POW(A) (x) =(µ A (x)) n, n > 2 25 Modifizierer für Fuzzy-Mengen linguistische Variable: Alter Zugehörigkeitsfunktion: ( x 5 2 +` µ alt = 5 für 5 <x sonst X Fuzzy-Menge: A alt = x=5 +` x x Dann gilt: A sehr alt = A mehr-oder-weniger alt = A weniger alt = X (µ alt(x)) 2 /x = x=5 X (µ alt(x)).5 /x = x=5 X (µ alt(x)).25 /x = x=5 X x=5 X x=5 X x=5 +` x 5 5 +` x 5 5 +` x x 2.5. x x 26 Modifizierer für Fuzzy-Mengen Beispiel (Fortsetzung): linguistische Variable: Alter Grad µ alt µ mehr-oder-weniger alt µ sehr_alt Jahre 27

10 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Klassische Mengen A X: Aussagen: x A mit Bedeutung x hat Eigenschaft A Durchschnitt, Vereinigung, Komplement von Mengen entsprechen Konjunktion, Disjunktion, Negation solcher Aussagen, z.b. x A B : (x A und x B) Teilmengenbeziehung entspricht Implikation: A B : x X (x A x B) Fuzzy-Mengen A über X: Aussagen: x hat Eigenschaft A mit Grad µ A(x) Frage: Wie werden Fuzzy-Aussagen verknüpft? 28 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Definition 4 (Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen) Sei X ein Grundbereich und A, B hierauf definierte Fuzzy-Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen µ A(x) bzw. µ B(x). Alle Mengenoperationen für Fuzzy-Mengen werden als Verknüpfung der Zugehörigkeitsfunktionen µ A(x) und µ B(x) definiert.. Teilmengenbeziehung für Fuzzy-Mengen: A B µ A(x) µ B(x) für alle x X 2. Gleichheit von Fuzzy-Mengen: A = B µ A(x) =µ B(x) für alle x X Bemerkungen: Aufgrund der Definition ist die Teilmengenbeziehung selbst entweder wahr oder falsch, also eine scharfe Aussage. Auch hier ist eine Abschwächung möglich: Teilmengenbeziehungen gelten zu einem bestimmten Grad. Es gibt eine ganze Reihe unterschiedlicher Definitionen für Fuzzy-Implikationen, wir werden im Zusammenhang mit den Fuzzy-Regeln darauf zurückkommen. Auch die klassischen Mengenoperationen können über die zugehörigen charakteristischen Funktionen definiert werden. Klassische (scharfe) Mengen als Spezialfall der Fuzzy-Mengen sollen mit den entsprechenden Berechnungsvorschriften verarbeitet werden können: Seien A und B scharfe Teilmengen einer Menge X. Dann gilt χ A B =min(χ A,χ B) χ A B =max(χ A,χ B) χ A c = χ A µ A µ B x 29 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Fortsetzung der Definition Sei X ein Grundbereich und A, B hierauf definierte Fuzzy-Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen µ A(x) bzw. µ B(x). 3. Durchschnitt A B: µ A B(x) =min(µ A(x),µ B(x)) für alle x X µ A B Schreibweise auch: µ A(x) µ B(x) x 3

11 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Fortsetzung der Definition Sei X ein Grundbereich und A, B hierauf definierte Fuzzy-Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen µ A(x) bzw. µ B(x). 4. Vereinigung A B: µ A B(x) =max(µ A(x),µ B(x)) für alle x X µ A B x Schreibweise auch: µ A(x) µ B(x) 3 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Fortsetzung der Definition Sei X ein Grundbereich und A, B hierauf definierte Fuzzy-Mengen mit Zugehörigkeitsfunktionen µ A(x) bzw. µ B(x). 5. Komplement A: µ A(x) = µ A(x) für alle x X Bemerkung: Verglichen mit der klassischen Mengenalgebra fehlen Eigenschaften des Komplements: A A =, A A = X gelten in der Fuzzy-Logik nicht. Sei µ A(x) =.3 dann ergibt sich z. B. für µ A A(x) : min(µ A(x), µ a(x)) = min(.3,.7) =.3 µ A,5 µ A x 32 Exkurs: Die Wahl der hier vorgestellten Berechnungsvorschrift für Durchschnitt und Vereinigung ist nicht bindend. Allgemein wünscht man, daß die Mengenoperationen kompatibel zu den klassischen Mengenoperationen sind, da die klassischen Mengen einen Spezialfall der Fuzzy-Mengen darstellen. Ganz allgemein soll die Berechnungsvorschrift für das Komplement C :[, ] [, ] Zugehörigkeitsgrade auf Zugehörigkeitsgrade abbilden. Da scharfe Mengen spezielle Fuzzy-Mengen sind, muss auch für die Fuzzy-Komplementabbildung die folgenden Bedingungen gelten: Randbedingung: C() = und C() = Monotonie: Aus a b folgt C(a) C(b) (Involution: C(C(a)) = a) für alle a, b [, ]. Als Berechnungsvorschrift für das Komplement wählt man meist die in der Definition angegebene Vorschrift von Lukasiewicz: µ A(x) = µ A(x) für alle x X Die gewünschten Eigenschaften für Durchschnitt und Vereinigung definieren notwendige Eigenschaften für die Berechnungsvorschrift: Eine Abbildung T :[, ] [, ] [, ] heißt t-norm, wenn gilt Assoziativität: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b),c) Kommutativität: T (a, b) =T (b, a) Monotonie: Aus a b folgt T (a, c) T (b, c). Neutrales Element: T (a, ) = a (und T (a, ) = ) für alle a, b, c [, ]. Beispiele für t-normen sind Minimum-Norm: T min(a, b) := min(a, b) Lukasiewicz-Norm: T Luka (a, b) := max(,a+ b ) Algebraisches Produkt: T aprod (a, b) :=a b j falls {a, b} Drastisches Produkt: T dprod (a, b) := min(a, b) sonst Betrachtet man eine t-norm (Triangular Norm) als Figur im R 3, so beschreibt sie eine von (,,T(, )) nach (,,T(, )) ansteigende Fläche.

12 Eine Abbildung S :[, ] [, ] [, ] heißt s-norm oder t-conorm, wenn gilt Assoziativität: S(a, S(b,c)) = S(S(a, b),c) Kommutativität: S(a, b) =S(b,a) Monotonie: Aus a b folgt S(a, c) S(b, c). Neutrales Element: S(a, ) = a (und S(a, ) = ) für alle a, b, c [, ]. Beispiele für t-conormen sind Maximum-Alternative: S max(a, b) :=max(a, b) Lukasiewicz-Alternative: S Luka (a, b) := min(a + b, ) Algebraische Alternative: S aalt (a, b) := a + b ab j falls {a, b} Drastische Alternative: S dalt (a, b) := max(a, b) sonst Ist T eine t-norm, so ist T mit T (a, b) = T ( a, b) für alle a, b [, ] eine t-conorm und umgekehrt. Paare von t-normen und t-conormen, die so definiert sind, heißen dual zueinander. Für die mit dem meist verwendeten Paar von t-norm und t-conorm (T min,s max) definierten Durchschnitts- und Vereinigungsoperationen zusammen mit der Negation von Lukasiewicz gelten die Distributivgesetze, für andere Paare im allgemeinen jedoch nicht! T min und S max) sind die einzigen idempotenten Normen bzw. Conormen. Insgesamt wählt man aus praktischen Gründen für die Berechnungsvorschriften für Komplement, Durchschnitt und Vereinigung stetige Funktionen. t-normen werden zur Definition des Durchschnittes, t-conormen zur Definition der Vereinigung verwendet. Um die bekannten DeMorgan schen Gesetze zu erhalten, müssen t-norm und t-conorm zueinander passen. Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Es seien der Grundbereich X = {x,x 2,x 3,x 4,x 5} gegeben sowie drei Fuzzy-Mengen A, B, C über X durch: A =.7/x +.3/x 2 +.4/x 3 +.2/x 4 B =.5/x +.6/x 4 +/x 5 C =.3/x +.2/x 3 +./x 4 Dann gilt: C ist eine Fuzzy-Teilmenge von A, B jedoch nicht. Weiter gilt: P A = 5 ( µ A (x i ))/ x i i= =(.7)/x +(.3)/x 2 +(.4)/x 3 +(.2)/x 4 +(.)/x 5 =.3/x +.7/x 2 +.6/x 3 +.8/x 4 +/x 5 P A B = 5 max(µ A (x i ),µ B (x i ))/ x i i= =max(.7,.5)/x +max(.3, )/x 2 +max(.4, )/x 3 +max(.2,.6)/x 4 +max(., )/x 5 =.7/x +.3/x 2 +.4/x 3 +.6/x 4 +/x 5 P A B = 5 (min(µ A (x i ),µ B (x i ))/ x i i= =.5/x +.2/x 4 33 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Für, und und für beliebige Fuzzy-Mengen A,B und C über einer gemeinsamen Grundmenge X gilt: Kommutativität: A B = B A A B = B A Beweis des Satzes von de Morgan für Fuzzy-Mengen: µ (A B) (x) = max(µ A(x),µ B(x)) =min( µ A(x), µ B(x)) = µ A B(x) Assoziativität: Idempotenz: A (B C) =(A B) C A (B C) =(A B) C A A = A A A = A Distributivität: A (B C) =(A B) (A C) neutrales Element: A = A Absorption: A (A B) =A de Morgan: (A B) = A B 34

13 Mengenoperationen auf Fuzzy-Mengen Fuzzy-Mengen A über X, B über Y : Aussage: x hat Eigenschaft A mit Grad µ A(x) und y hat Eigenschaft B mit Grad µ B(y) Frage: Wie werden solche Fuzzy-Aussagen zu einer über (x, y) verknüpft? Fuzzy-Menge über kartesischen Produkten von Grundbereichen heißen Fuzzy-Relationen. Definition 5 (Zylindrische Extension, Projektion von Fuzzy-Mengen) Seien X, Y Grundbereiche, A eine Fuzzy-Menge über X mit Zugehörigkeitsfunktionen µ A(x) und B eine Fuzzy-Menge über X Y mit Zugeförigkeitsfunktion µ B(x, y).. Zylindrische Extension: cext(a) ist Fuzzy-Menge über X Y mit Zugeförigkeitsfunktion µ cext(a) (x, y) :=µ A(x) 2. Projektion: proj(b, X) ist Fuzzy-Menge über X mit Zugeförigkeitsfunktion µ proj(b,x) (x) :=sup{µ B(x, y) y Y } 35 Bildung von Fuzzy-Mengen Mit Hilfe der Modifikatoren und der Fuzzy-Mengenoperationen können neue Fuzzy-Mengen aus vorhandenen konstruiert werden. Sei A die Fuzzy-Menge tall_persons. Bildung der Fuzzy-Menge B very_tall_persons µ B(x) =(µ A(x)) 2...und not_very_tall_persons : µ B(x) = (µ A(x)) 2 Seien A und C die Fuzzy-Mengen tall_persons und short_persons. Fuzzy-Menge D not_very_tall_and_not_very_short_persons : µ D(x) = min(( (µ A(x)) 2 ), ( (µ C(x)) 2 )) 36

14 Fuzzy-Inferenz Prozeßsteuerung: Ein Fuzzy-Controller (Mamdani 977) besteht aus den folgenden vier Komponenten: Fuzzy-Regelbasis Menge von IF... THEN... (kausalen) Regeln über Fuzzy-Mengen Fuzzifizierer Umwandlung scharfer Eingangswerte in Fuzzy-Mengen Entscheidungslogik Abbildung vom Eingaberaum in den Ausgaberaum mittels Regelbasis Defuzzifizierer Umwandlung einer Fuzzy-Menge in einen scharfen Ausgangswert Dieser Fuzzy-Controller erzeugt zu Eingabedaten x =(x,..., x n),n N, mit Hilfe der oben benannten vier Bausteine Ausgabedaten y =(y,..., y m),m N. Regelbasis Input Fuzzyfizierer Entscheidungslogik Defuzzyfizierer Output 4 Fuzzy-Inferenz Klassische Logik: Aussagenlogische Atome a height_is_tall, b weight_is_heavy, Interpretationen in {, } Produktionsregelsystem D, R mit D = {a} und R = {a b} Schlußfolgern mit Forward-Chaining (Modus Ponens, MP): a (a b) b MP Klassische Logik hat i.d.r. keine kausale Interpretation der Regeln! Fuzzy-Logik: Linguistische Variablen height = {small, medium, tall} weight = {low, medium, heavy} A b= height_is_tall = {a,a 2,a 3 } = {.6/7cm,.8/8cm,.9/9cm} Bemerkungen: Im Sinne des Controllers der vorhergehenden Folie muß die obige Beispielregel lauten: IF height_is_tall(x) THEN weight_is_heavy(y) x und y bezeichnen scharfe Werte für Größe und Gewicht, nicht z.b. ein Objekt, dessen Größe und Gewicht betrachtet werden soll (z.größe,z.gewicht). Dies ist ähnlich wie bei den Atomen der Produktionsregelsysteme, die allgemein die Form objekt.attribut = value, z.b. z.größe =.75m haben. Komplexe Prämissen in Fuzzy-Regeln, d.h. Prämissen aus Konjunktionen, Disjunktionen und Negationen von Fuzzy-Aussagen können mit den Operatoren für Fuzzy-Mengen zu einer Fuzzy-Gesamtprämisse zusammengefaßt werden:. Zylindrische Extension aller Einzelaussagen zu Aussagen über kartesischem Produkt der Grundbereiche der Variablen in der Prämisse. 2. Zusammenfassung mit Hilfe von Komplement, Durchschnitt und Vereinigung. Für die Prämisse P der Regel IF x is A AND x 2 is A 2 THEN y is B ergibt sich so durch Umrechnung der Zugehörigkeitsgrad µ P (x,x 2 )=min(µ(x ),µ(x 2 )). Ähnlich einfache Ergebnisse erhält man auch für Disjunktion und Negation, so daß auf die zylindrische Extension quasi verzichtet wird. B b= weight_is_heavy = {b,b 2,b 3 } = {.5/6kg,.7/7kg,.9/8kg} A B b= IF height_is_tall THEN weight_is_heavy 5 Fuzzy-Inferenz Aussagenlogische Regel: a b Definiert einen Bezug zwischen zwei Aussagen. Aussagen stehen für Wahrheitswerte, d.h. klassische Mengen. Fuzzy-Regel: A B Definiert einen Bezug zwischen zwei Aussagen. Aussagen stehen für Fuzzy-Mengen. Syntax Kein Unterschied zwischen klassischer Logik und Fuzzy-Logik. Semantik Fuzzy-Logik: Information über die Prämisse ist unscharf. Kausale Beziehung zwischen Prämisse und Konklusion. Beziehung zwischen Prämisse und Konklusion ist unscharf. Frage: Welche Information resultiert für die Konklusion? Bemerkung: Für die Definition der unscharfen Implikation (Beachte: Die zuvor definierte Teilmengenbeziehung ist scharf!) gibt es verschiedene Ansätze, die die logische Repräsentation der Implikation bzw. ihre semantischen Eigenschaften in die Fuzzy-Logik übertragen: S-Implikation: a b a bund I(A, B) =S(C(A),B) QL-Implikation: a b a (a b) und I(A, B) =S(C(A),T(A, B)) R-Implikationen I(a b) =max{z {, } min(i(x), z) I(y)} und I(A, B) =sup{z [, ] T (A, z) B} Mit der Auswahl von C-dualen T-Normen T und T-Conormen S ergeben sich eine Vielzahl von unscharfen Implikationsdefinitionen. Wichtig ist, dass alle drei Definitionen extensional sind in dem Sinne, dass die Ergebnisse nicht von den konkreten (scharfen) Werten der Grundbereiche der Fuzzy-Mengen abhängig sind, sondern nur von den Werten für µ A und µ B. 6

15 Fuzzy-Inferenz Generalisierter Modus Ponens (GMP). Seien A,AFuzzy-Mengen über X und B,B Fuzzy-Mengen über Y. GMP: A AND (IF A THEN B) F uzzy B Problematik im diskreten Fall mit A A und B B: Sei A = {a 2,a 3 } A, Sei B = {b 2,b 3 } B, z. B. {.7/8cm,.8/9cm}. z. B. {.6/7kg,.8/8kg}.. Welcher Zusammenhang gilt zwischen A und B? a i b j, i,j {2, 3} 2. Zunächst: Welcher Zusammenhang gilt zunächst zwischen A und B? a i b j, i,j {, 2, 3} 3. In welchem Umfang (Stärke) gilt ein Zusammenhang? grad(a i b j) 7 Fuzzy-Inferenz Linguistische Variablen und Werte height = {small, medium, tall} weight = {low, medium, heavy} height_is_tall = {a,a 2,a 3} = {.6/7cm,.8/8cm,.9/9cm} weight_is_heavy = {b,b 2,b 3} = {.5/6kg,.7/7kg,.9/8kg} Regel: IF height_is_tall THEN weight_is_heavy Frage: Ist dann mit der Regel aus height_is_very_tall auch weight_is_very_heavy herleitbar? Frage: Kann mit der Regel auch aus height_is_small etwas hergeleitet werden? 8 Fuzzy-Inferenz GMP: A AND (IF A THEN B) Fuzzy B Grundlegende Idee: Eine Regel bestimmt einen funktionalen Operator, der die Fuzzy-Menge A (d.h. die Zugehörigkeitsfunktion µ A ) auf die Fuzzy-Menge B (d.h. auf die Zugehörigkeitsfunktion µ B ) abbildet. Eine Regel wird hier als Relation über X Y aufgefaßt B = A R wobei R die Fuzzy-Relation für die Regel bezeichnet. Zugehörigkeitsfunktionen für Relationen werden über den Minimum-Operator bestimmt. Definition 7 (Compositional Rule of Inference (CRI)) Für eine Regel IF A THEN B mit Fuzzy-Mengen A, A über X und B über Y wird die Fuzzy Menge B über Y definiert durch: B (y) :=sup{min(µ A (x), min(µ A(x),µ B(y))) x X} für y Y (Zadeh 973) Lokale Korrektheit (Wichtig für Inferenz!): Im Falle A = A ergibt sich B = B. Die lokale Korrektheit ist gegeben, falls z.b. sup{µ A(x) x X} = 9

16 Fuzzy-Inferenz Im diskreten Fall können wir die Fuzzy-Relation für die Regel R : IF A THEN B durch eine Matrix beschreiben. Aufstellung der Menge aller Paare für zwei Fuzzy-Mengen A =(µ A(x ),...) und B =(µ B(y ),...) über diskreten Grundbereichen X bzw. Y : µ R(x,y ) µ R(x,y 2)... M R µ R(x 2,y ) µ R(x 2,y 2)... A... µ R(x i,y j) ist der Grad, mit dem x i und y j über die Regel in Beziehung stehen. Mit Darstellung von A als Vektor und Regel R als Matrix ergibt sich B durch Fuzzy-Vektor-Matrix-Multiplikation. Statt des Supremum kann in der Definition CRI der Maximum Operator gewählt werden. Diese Art der Inferenz heißt daher auch Max-Min-Inferenz (Mamdani 977). 2 Fuzzy-Vektor-Matrix-Multiplikation Klassische Vektor-Matrix-Multiplikation: x A = y n n p p nx also y j = x i a ij i= Fuzzy-Vektor-Matrix-Multiplikation. paarweise Multiplikation paarweise Minimum-Bildung Summation Maximum-Bildung Für eine Regel IF A THEN B: A, A und B sind auf X bzw. Y definierte Fuzzy-Mengen A =(a,a 2,...,a n ); a i = µ A (x i ) A =(a,a 2,...,a ); n a = µ i A (x i) B =(b,b 2,...,b p ); b i = µ B (y i ) p-matrix: A M R = B mit b j =max{min(a, min(a i i,b j )) i n} 2 Fuzzy-Vektor-Matrix-Multiplikation Sei A =(.2,.4,.6, ) und M R = C A b = max{min{.2,.}, min{.4,.6}, min{.6,.8}, min{, }} = max{.,.4,.6, } =.6 b 2 = max{.2,.4,.6,.5} =.6 b 3 = max{.2,.4,.5,.5} =.5 22

17 Max-Min-Inferenz Als Implikations-Operator wird min verwendet: m ij = grad(a i b j)=min(a i,b j) Sind die Fuzzy-Mengen A, B und A über diskreten Grundbereichen gegeben, so kann der durch A induzierte Vektor B durch die Fuzzy-Vektor-Matrix-Multiplikation ermittelt werden: B = A M b j =max{min(ai,mij) i n} 23 Max-Min-Inferenz X sei Grundbereich für die Variable temperature. A = normal_temperature sei eine Fuzzy-Menge auf X. Y sei Grundbereich für die Variable velocity. B = medium_velocity sei eine Fuzzy-Menge auf Y. Fuzzy-Regel: IF temperature is normal THEN velocity is medium IF A THEN B A = normal_temperature =(/,.5/25, /5,.5/75, /2) B = medium_velocity =(/,.6/2, /3,.6/4, /5) 24 Max-Min-Inferenz Beispiel (Fortsetzung): M =(m ij )=`min{a i,b j } = = min{, } min{,.6} min{, } min{,.6} min{, } min{.5, } min{.5,.6} min{.5, } min{.5,.6} min{.5, } min{, } C A C A Weiterhin sei A =(/,./25, /5, /75, /2) A repräsentiert einen scharfen Temperaturwert von 25 Grad mit Zugehörigkeitswert.5 zur Fuzzy-Menge normal_temperature. 25

18 Max-Min-Inferenz Beispiel (Fortsetzung): Durch Vektor-Matrix-Multiplikation ergibt sich B = A M mit b j = max i n {min{a i,mij}} Man erhält: b =max{min{, }, min{., }, min{, }, min{, }, min{, }} b 2 = B =(/,.5/2,.5/3,.5/4, /5) Vektor-Matrix-Multiplikation führt das gewünschte aus: Konstruktion von B auf Basis von A und A B, speziell Konstruktion von B B auf Basis von A A und A B. 26 Max-Min-Inferenz Spezialfall: A gegeben durch scharfen (Meß-)Wert aus Grundbereich X. Die induzierte Fuzzy-Menge B ist eine abgeschnittene Kopie von B, dessen Höhe durch A definiert ist. Diskrete Situation: Regel: A B Temperaturwert Stetige Situation: Regel: A B Temperaturwert Das Abschneiden zur Bildung der induzierten Fuzzy-Menge ist charakteristisch für die Max-Min-Inferenz. 27 Max-Min-Inferenz A (A B) F uzzy B A M = B =(,.5,.5,.5, ) Bemerkungen: A =(,.,,, ) resultiert aus dem scharfen Wert 25. Besteht A aus einem scharfen (einzelnen) Wert x k, kann direkt die Fuzzy-Mengen-Repräsentation von B, µ B(y), benutzt werden, um B auszurechnen: B =(min(µ A(x k),µ B(y ))/y,...) µ A(25) =.5 B =(min{.5, }, min{.5,.6},...)=(,.5,.5,.5, ) 28

19 Max-Min-Inferenz Ist der Input A für die Regel IF A THEN B in unscharfer Form gegeben, so wird durch die Max-Min-Inferenz das Faktum A durch Durchschnittsbildung (Minimum b= Konjunktion) mit der Prämisse A der Regel verrechnet, das Supremum ein einzelner Wert ermittelt und zum Abschneiden der Zugehörigkeitsfunktion von B in der Regel verwendet. Regel: A B A A 29 Max-Produkt-Inferenz Anstelle der T-Norm min(x, y) für die Konjunktion kann auch das algebraische Produkt x y verwendet werden. Als Implikations-Operator wird wieder die Konjunktion verwendet, also ebenfalls das Produkt: m ij = grad(a i b j)=a i b j im Fall diskreter Grundbereiche. Sind die Fuzzy-Mengen A, B und A über diskreten Grundbereichen gegeben, so kann der durch A induzierte Vektor B durch die Fuzzy-Vektor-Matrix-Multiplikation ermittelt werden: B = A M b j =max{ai mij i n} 3 Max-Produkt-Inferenz A =(,.5,,.5, ) B =(,.6,,.6, ) M = (m ij ) = (a i b j ) = B.6.6 A Für einen scharfen Wert A =(,.,,, ) ergibt die Vektor-Matrix-Multiplikation dann B =(,.3,.5,.3, ). B ist eine verkleinerte Version von B. Regel: A B Temperaturwert Max-Produkt-Inferenz erhält mehr Information als Max-Min-Inferenz. 3

20 Max-Produkt-Inferenz Bemerkung auch hier: Besteht A aus einem scharfen (einzelnen) Wert x k, kann direkt die Fuzzy-Mengen-Repräsentation von B, µ B(y), benutzt werden, um B auszurechnen: B =(µ A(x k) µ B(y ))/y,...) µ A(25) =.5 B =.5 (,.6,,.6, ) = (,.3,.5,.3, ) Für die Zusammenfassung von komplexen Prämissen in Regeln muß nicht unbedingt das dazu passende duale Paar von T-Norm und T-Conorm für Konjunktion und Disjunktion, also T (x, y) =x y, S(x, y) =x + y x y gewählt werden. Auch die min und max sind möglich. 32 Multiple Regeln Gegeben sind n Fuzzy-Regeln mit den Fuzzy-Teilmengen A i über dem Grundbereich X und B i über Y in den Prämissen bzw. Konklusionen. Sei A über X die Fuzzy-Menge einer scharfen Eingabe resultierend z. B. aus einer Messung oder Beobachtung.. Jede Fuzzy Inferenz mit einer Regel R i liefert eine induzierte Fuzzy-Mengen B i. 2. Die Resultate der Regeln werden in B zusammengefaßt: Bemerkungen: Grundsätzlich kann nicht vorausgesetzt werden, daß alle Regeln nach derselben Inferenzmethode ausgewertet werden. Wir betrachten hier nur den Ansatz, mit einzelnen Regeln zu inferieren und die Ergebnisse zusammenzufügen. Lokale Inferenz Alternativ kann man auch die gesamte Regelmenge zu einer Super-Relation zusammenfügen und dann mit dem Input inferieren. Globale Inferenz B = ZB B 2... B n = max(µ B (x),µ B2 (x),...,µ Bn (x))/x X Eingabe: x A IF A THEN B IF A2 THEN B2... B B2 Ausgabe: B + Defuzzifizierung y IF An THEN Bn Bn Frage: Gibt es sinnvollere Methoden zur Zusammenfassung? 33 Multiple Regeln Zusammenfassung der Ergebnismengen einzelner Regeln: Winner takes it all! Vereinigung der induzierten Fuzzy-Mengen (Mamdani) One man, one vote! Punktweise beschränkte Summe der Zugehörigkeitswerte Regeln können ihrer Bedeutung entsprechend gewichtet werden. Die Gewichtung wird bei der Zusammenfassung berücksichtigt. 34

21 Multiple Regeln Regel: IF temperature is normal OR pressure is low THEN velocity is medium Regel2: IF temperature is normal AND pressure is normal THEN velocity is low Temperature (T) Pressure (P) Velocity normal l ow Max{T,P} medium Regel normal normal low Min{T,P} Regel2 Flchenschwerpunkt Inferenz-Operator ist im Beispiel die Max-Min-Inferenz. 35 Defuzzifizierung Generierung scharfer Werte einer induzierten Fuzzy-Menge B, Grundbereich Y. Folgende Möglichkeiten existieren:. Max-Methode: Wähle das (erste) y Y als scharfen Wert, für das µ B (y ) maximal ist. Bemerkung: Die Flächenschwerpunktmethode (COG Center of Gravity) wird mit der Vereinigung zur Aggrgierung der Ergebnisse mehrerer Regeln kombiniert. 2. Mittelwert-Max-Methode: Wähle als scharfen Wert das arithmetische Mittel der lokalen Maxima. 3. Flächenschwerpunkt-Methode: Wähle das y Y als scharfen Wert, das sich durch eine Projektion des Flächenschwerpunktes der Zugehörigkeitsfunktion µ B ergibt: Z y µ B (y)dy Y y = Z µ B (y)dy Y Defuzzifizierung spielt eine wichtige Rolle, wenn mehrere Regeln die gleiche linguistische Variable betreffen. 36 Fuzzy-Regler Fuzzy Control ist empfehlenswert... für sehr komplexe Prozesse, für die kein mathematisches Modell existiert, für hochgradig nichtlineare Prozesse, für den Fall, dass man sprachlich formuliertes Expertenwissen vearbeiten muß. Die Verwendung von Fuzzy Control mag eine schlechte Idee sein, wenn... die konventionelle Kontrolltheorie bereits zufriedenstellende Ergebnisse liefert, ein leicht lösbares mathematisches Modell bereits existiert, das Problem nicht lösbar ist. 37