Kapitel GWBS:III. III. Regeln mit Konfidenzen. Einführung. Verrechnung von Konfidenzen. Probleme des Ansatzes. Beispiel für ein Diagnosesystem

Transkript

1 Kapitel GWBS:III III. Regeln mit Konfidenzen Einführung Verrechnung von Konfidenzen Probleme des Ansatzes Beispiel für ein Diagnosesystem GWBS: III-1 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

2 Glaubwürdigkeit und Fragwürdigkeit Definition 1 (Glaubwürdigkeitsmaß, Fragwürdigkeitsmaß) Sei S ein Zusammenhang der Form Hypothese H i gilt unter der Voraussetzung, daß Annahme P gilt, kurz S = (H i P ). 1. Ein Glaubwürdigkeitsmaß (Measure of Belief) ist eine Abbildung µ B : S x [0; 1]. 2. Ein Fragwürdigkeitsmaß (Measure of Disbelief) ist eine Abbildung µ D : S x [0; 1]. GWBS: III-2 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

3 Bemerkungen: P ist meist komplexer zusammengesetzt, während H i eine einfache Aussage ist. Sowohl Glaubwürdigkeitsmaß als auch Fragwürdigkeitsmaß modellieren Unwissen über den exakten Zusammenhang und nicht Wahrscheinlichkeiten. µ B (H i P ) kann als (heuristisches) Gegenstück zu den (exakten) bedingten Wahrscheinlichkeiten angesehen werden. µ D (H i P ) ist ein Maß dafür, wie stark die Annahme von P gegen die Gültigkeit der Hypothese H i spricht. GWBS: III-3 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

4 Konfidenzfaktor Definition 2 (Konfidenzfaktor) Der Konfidenzfaktor (Certainty Factor) CF (H i P ) = µ B (H i P ) µ D (H i P ) ist ein Maß für die Zustimmung für H i unter P. Der Wert kann folgendermaßen interpretiert werden: CF (H i P ) CF (H i P ) CF (H i P ) > 0 Zustimmung = 0 Keine Aussage möglich < 0 Ablehnung GWBS: III-4 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

5 Bemerkungen: Die numerischen Werte können auf sprachliche Formulierungen abgebildet werden: 1 Wenn P gilt, gilt H i sicher nicht 0,9 Wenn P gilt, gilt H i höchstwahrscheinlich nicht 0,5 Wenn P gilt, gilt H i wahrscheinlich nicht 0,2 Wenn P gilt, gilt H i möglicherweise nicht 0 Wenn P gilt, wissen wir nichts über H i 0,2 Wenn P gilt, gilt H i möglicherweise auch 0,5 Wenn P gilt, gilt H i wahrscheinlich auch 0,9 Wenn P gilt, gilt H i höchstwahrscheinlich auch 1 Wenn P gilt, gilt H i sicher auch Ist in der Schreibweise CF (H P ) die Voraussetzung P sicher, schreibt man auch CF (H). GWBS: III-5 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

6 Konfidenzfaktor einer Regel Definition 3 (Konfidenzfaktor einer Regel) Für eine Regel der Form IF P THEN H mit Prämisse P und Konklusion H bezeichne CF (H P ) deren Konfidenzfaktor. Der Konfidenzfaktor einer Regel kann als Maß für die Gültigkeit der Regel angesehen werden. GWBS: III-6 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

7 Verrechnung der Konfidenzen bei Regelanwendungen Bei der Anwendung von Regeln müssen die Konfidenzfaktoren verrechnet werden, um die Glaubwürdigkeit der abgeleiteten Fakten einschätzen zu können. Definition 4 (Konfidenzfaktor bei Regelanwendung) Für eine Regel der Form IF P THEN H mit Prämisse P und Konklusion H ist CF (H) = CF (P ) CF (H P ) die Bewertung der Konklusion nach Anwendung der Regel. Dabei gilt für den Konfidenzfaktor CF (P ) der Prämisse: 1. Besteht P aus einem einzelnen Atom α, so ist CF (P ) = CF (α) mit einer initial vorgegebenen oder aus einer vorherigen Regelanwendung folgenden Bewertung CF (α). 2. Falls P = P 1 P 2, so ist CF (P ) = min(cf (P 1 ), CF (P 2 )). 3. Falls P = P 1 P 2, so ist CF (P ) = max(cf (P 1 ), CF (P 2 )). GWBS: III-7 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

8 Verrechnung der Konfidenzen bei Regelanwendungen Beispiel: Gegeben seien die folgenden Regeln: Wir formen die Schreibweise um: R 1 (0,7): IF (P 1 and P 2 ) or P 3 THEN K 1 R 2 (0,3): IF (P 1 and P 2 ) or P 3 THEN K 2 CF (K 1 (P 1 and P 2 ) or P 3 ) = 0,7 CF (K 2 (P 1 and P 2 ) or P 3 ) = 0,3 Für die Prämissen gelte: CF (P 1 ) = 0,6, CF (P 2 ) = 0,4 und CF (P 3 ) = 0,2. Damit ergibt sich CF (P 1 and P 2 ) = min(0,6; 0,4) = 0,4 CF ((P 1 and P 2 ) or P 3 ) = max(0,4; 0,2) = 0,4 CF (K 1 ) = 0,4 0,7 = 0,28 CF (K 2 ) = 0,4 0,3 = 0,12 Die beiden neuen Fakten K 1 und K 2 werden also mit 0,28 bzw. 0,12 bewertet. GWBS: III-8 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

9 Verrechnung der Konfidenzen bei Regelanwendungen Kann ein bereits bewertetes Faktum über eine weitere Regel hergeleitet werden, so müssen die jeweiligen Konfidenzfaktoren verrechnet werden. Es sei CF O (H) die vorhandene Bewertung für H. Über die (neue) Regel R: IF P THEN H sei nun eine zweite Bewertung CF R (H) herleitbar. Dann wird die neue gemeinsame Bewertung CF O R (H) wie folgt bestimmt: X + Y (X Y ) falls X, Y > 0 CF O R (H) = X + Y + (X Y ) falls X, Y < 0 mit X = CF O (H) und Y = CF R (H). X + Y 1 min( X, Y ) sonst. GWBS: III-9 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

10 Bemerkungen: Analog dazu lassen sich Bewertungen CF R1 (H) und CF R2 (H) aus Herleitungen über zwei unterschiedliche Regeln R 1 und R 2 zu einer gemeinsamen Bewertung CF R1 R 2 (H) verrechnen. GWBS: III-10 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

11 Gesetze für Konfidenzfaktoren 1. CF R1 R 2 (H) = CF R2 R 1 (H) 2. CF R1 (R 2 R 3 )(H) = CF (R1 R 2 ) R 3 (H) 3. CF R1 (H) = 0 CF R1 R 2 (H) = CF R2 (H) 4. 1 CF R1 (H) = CF R2 (H) CF R1 R 2 (H) = 0 5. CF R1 (H) = 1; CF R2 (H) = 1 CF R1 R 2 (H) nicht definiert GWBS: III-11 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

12 Bemerkungen: Die Kommutativität (Gesetz 1.) und die Assoziativität der Verrechnung (Gesetz 2.) sind wichtig, da sonst die Reihenfolge der Regelanwendung Einfluß auf das Ergebnis hätte. GWBS: III-12 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

13 Probleme des Ansatzes Wird ein Faktum durch zwei nur scheinbar unabhängige Regeln hergeleitet, erhöht sich der Gesamtfaktor, obwohl dieselbe Prämisse verwendet wurde. Beispiel: Die Regeln IF A THEN B, CF (B A) = 0,5 IF B THEN D, CF (D B) = 1 IF A THEN C, CF (C A) = 0,5 IF C THEN D, CF (D C) = 1 ergeben für D den Wert 0,75, wenn A sicher ist. Die gleichwertige Regel IF A THEN D ergäbe jedoch mit CF (D A) = 0,5 den Wert 0,5. Bei großen Regelmengen mit langen Ketten ist es nahezu unmöglich, solche Abhängigkeiten zu entdecken. GWBS: III-13 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

14 Probleme des Ansatzes Ein weiteres Problem sind Rekursionen der Form IF A THEN B und IF B THEN A. Ein solcher Kreislauf würde sich selbst hochschaukeln und die Konfidenzfaktoren konvergierten gegen 1. Beispiel: Sei CF (B A) = 0,3 und CF (A B) = 0,4, CF (A) = 0,7 und CF (B) = 0,3. Es ergibt sich zunächst der Zwischenwert für B: CF (B) = 0,3 0,7 = 0,21. Dieser muß nun mit dem alten Wert für B verrechnet werden: CF (B) = 0,21 + 0,3 0,21 0,3 = 0,447. Jetzt liefert die Regel IF B THEN A den Wert CF (A) = 0,447 0,4 = 0,1788. Mit dem alten Wert ergibt sich CF (A) = 0,7 + 0,1788 0,7 0,1788 = 0,75364, usw. A B 0, , , , , , , , , , , , GWBS: III-14 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

15 Beispiel für ein Diagnosesystem Gegeben seien die folgenden Regeln für die Diagnose einer nicht funktionierenden Zimmerleuchte: R 1 (0,9): IF kein-licht THEN Lampe-defekt R 2 (0,1): IF kein-licht THEN Schalter-defekt R 3 (0,3): IF kein-licht THEN Sicherung-defekt R 4 ( 0,9): IF Phasenprüfer-dunkel THEN Lampe-defekt R 5 (1,0): IF andere-leuchte-brennt THEN Strom-vorhanden R 6 ( 1,0): IF Strom-vorhanden THEN Sicherung-defekt R 7 ( 0,1): IF Schalter-defekt THEN kein-strom R 8 (1,0): IF Sicherung-defekt THEN kein-strom R 9 (0,8): IF Phasenprüfer-dunkel AND andere-leuchte-brennt THEN Schalter-defekt GWBS: III-15 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

16 Bemerkungen: Der Wert 1,0 bedeutet, daß die Regel mit Sicherheit zutrifft, der Wert 1,0 besagt, daß die betreffende Regel mit Sicherheit nicht zutrifft. Eine Regel IF A THEN B mit CF (B A) = 1, wobei B eine Aussage ist, kann umgeformt werden in IF A THEN B mit CF ( B A) = 1. Die Fakten X mit CF (X) = 1 können als Aussagen (im aussagenlogischen Sinne) gedeutet werden. GWBS: III-16 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

17 Beispiel für ein Diagnosesystem Es werden die Symptome kein-licht, Phasenprüfer-dunkel und andere-leuchte-brennt beobachtet. Die Symptome erhalten, da sie gesichert sind, die Konfidenzfaktoren 1. Die Konfidenzfaktoren können wie folgt verrechnet werden: (1) Phasenprüfer dunkel -0.9 Lampe defekt (0) min 0.8 Schalter defekt (0.82) -0.1 (1) kein Licht Sicherung defekt (-1) -1 1 kein Strom (-1) (1) andere Leuchte brennt 1 Strom vorhanden (1) Als Diagnose wird die Schlußfolgerung mit dem höchsten (End )Wert gewählt, d.h. Strom vorhanden. Ggf. könnte zusätzlich Schalter defekt ausgegeben werden. GWBS: III-17 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN

18 Bemerkungen: Für Lampe-defekt wird sowohl der Wert 0,9 als auch der Wert 0,9 über zwei verschiedene Regeln hergeleitet. Dies muß aber nicht unbedingt einen Widerspruch darstellen; vielmehr folgt daraus, daß keine verläßliche Aussage möglich ist. Dies zeigt auch der resultierende Wert 0. Können Fakten mit den Konfidenzfaktoren 1 bzw. 1 hergeleitet werden, setzen sich diese Werte unabhängig von den durch andere Regeln hergeleiteten Werten durch. Man beachte allerdings, daß ein Widerspruch auftritt, wenn sich für ein Faktum 1 und 1 ergibt. Dies entspricht dem aussagenlogischen Fall A und A. GWBS: III-18 Konfidenzen c BUBECK/LETTMANN