Formale Methoden 2 (Lehrstuhl I Logik in der Informatik)

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1 Formale Methoden 2 Gaetano Geck (Lehrstuhl I Logik in der Informatik) Blatt 3 Beispiellösung WS 2015/16 Aufgabe 1 [Wiederholung: Relationen] 3 Punkte Begründe jeden deiner Lösungsvorschläge. a) Wir definieren zwei Relationen auf der Menge M = {1, 2, 3,..., 12: 3 sei {(x, y) M 2 x und y haben bei Division duch 3 denselben Rest, 6 sei {(x, y) M 2 x und y haben bei Division duch 6 denselben Rest. Bestimme die durch 3 definierte Partition von M sowie die durch 6 definierte Partition von M. Ist 3 eine Verfeinerung von 6? Ist 6 eine Verfeinerung von 3? b) Wir definieren eine binäre Relation auf der Menge aller Mengen natürlicher Zahlen: R 1 = {(M 1, M 2 ) M 1 N 0, M 2 N 0, M 1 M 2. Gib drei verschiedene Mengen M, M, M an, sodass (M, M ) R 1 und (M, M ) R 1. Zeige, dass R 1 keine Äquivalenzrelation ist. c) Wir definiere eine weitere binäre Relation auf der Menge aller Mengen natürlicher Zahlen: R 2 = {(M 1, M 2 ) M 1 N 0, M 2 N 0, M 1 M 2. Gib drei verschiedene Mengen M, M, M an, sodass (M, M ) R 2 und (M, M ) R 2. Zeige, dass R 2 keine Äquivalenzrelation ist. Beispiellösung zu Aufgabe 1 a) Die beiden Quotienten sind: M/ 3 = { [0] 3, [1] 3, [2] 3 = { {3, 6, 9, 12, {1, 4, 7, 10, {2, 5, 8, 11 ; M/ 6 = { [0] 6, [1] 6, [2] 6, [3] 6, [4] 6, [5] 6 = { {6, 12, {1, 7, {. Die Äquivalenzrelation 6 ist eine Verfeinerung von 3 : Man kann für alle Wahlen von Elementen x und y aus M = {1,..., 12 davon überzeugen, dass wenn x 6 y gilt, dann auch x 3 y gilt. Eleganter ist es, diese Behauptung zu beweisen: Seien x, y M beliebig gewählt, sodass x 6 y gilt (wenn x 6 y gilt, so muss nichts gezeigt werden). Dann haben x und y bei Division durch 6 denselben Rest r {0, 1, 2, 3, 4, 5, lassen sich also schreiben als x = 6 m + r und y = 6 n + r, wobei m, n N 0. Nun ist 3 aber ein Teiler von 6, sodass wir gleichwertig schreiben können: x = 3 (2 m) + r und y = 3 (2 n) + r, wodurch ersichtlich ist, dass x und m auch bei Division durch 3 denselben Rest besitzen, nämlich r mod 3. Konkret an einem Beispiel illustriert: Es gilt Wir können schreiben 4 = = 3 (2 0) = = 3 (2 1) + 4 Dividiert man 4 und 10 durch 3, ergibt sich in beiden Fällen der Rest 4 mod 3 = 1.

2 Die Äquivalenzrelation 3 ist keine Verfeinerung von 6 : Wir geben ein Gegenbeispiel an. Es gilt etwa , aber nicht b) Wir wählen M = {1, M = {1, 2 und M = {1, 2, 3. Sei ferner N = {2. Wir zeigen, dass R 1 nicht transitiv ist. Es gilt M M = {1, also (M, M ) R 1 ; M N = {2, also (M, N) R 1. Nach Definition der Transitivität müsste deshalb auch (M, N) R 1 gelten. Tatsächlich ist aber M N = {1 {2 =, also (M, N) / R 1. c) Wir wählen M, M und M genauso wie in Teilaufgabe b). Wir zeigen, dass R 2 nicht symmetrisch ist. Es gilt M M, also (M, M ) R 1. Nach Definition der Symmetrie müsste deshalb auch (M, M ) R 1 gelten. Tatsächlich ist aber M = {1, 2 {1 = M, also (M, M ) / R 1. 2 / 5

3 Aufgabe 2 [Definitionen interpretieren] 2 Punkte Für die in der Vorlesung vorgestellten funktionsfreien Formeln definieren wir die Menge der freien Variablen. Dies geschieht induktiv 1, indem die Menge zunächst für die einfachsten Formeltypen, die Relationsatome, definiert wird. Im nächsten Schritt wird die Definition dann auf zusammengesetzte Formeln (Negation, Konjunktion, Disjunktion, existentielle und universelle Quantifikation) ausgedehnt. Wir setzen eine Datenbank (U, R 1,..., R n ) und eine Menge V von Variablen voraus. Sei ϕ eine funktionsfreie Formel, dann ist die Menge der freien Variablen von ψ definiert als free(ϕ) = {α 1,..., α k V, falls ϕ = R i (α 1,..., α k ) free(ϕ) = free(ψ), falls ϕ = ψ free(ϕ) = free(ψ 1 ) free(ψ 2 ), falls ϕ = (ψ 1 ψ 2 ) oder ϕ = (ψ 1 ψ 2 ) free(ϕ) = free(ψ) {x, falls ϕ = xψ oder ϕ = xψ Bestimme die Menge der freien Variablen für jede der folgenden Formeln. Setze dazu das Universum U = {1, 2, 3, 4, 5 und die Variablenmenge V = {x, y, z voraus. ϕ 1 = R(1, x, 2, y, y) ϕ 2 = ( S(x, y) T (y, z) ) ϕ 3 = zr(x, y, z) ϕ 4 = x yr(x, y) ϕ 5 = ( xt (x) R(x, y) ) (Beachte hierbei, dass xt (x) eine Teilformel ist, T (x) R(x, y) jedoch nicht.) Beispiellösung zu Aufgabe 2 free(ϕ 1 ) = free(r(1, x, 2, y, y)) = {1, x, 2, y V = {x, y free(ϕ 2 ) = free ( (S(x, y) T (y, z) ) = free(s(x, y)) free(t (y, z)) = {x, y {y, z free(ϕ 3 ) = free ( zr(x, y, z) ) = free(r(x, y, z)) {z = {x, y, z {z = {x, y free(ϕ 4 ) = free( yr(x, y)) {x = (free(r(x, y)) {y) {x = ({x, y {y) {x = {x {x = free(ϕ 5 ) = free( xt (x)) free(r(x, y)) = (free(t (x) {x) {x, y = {x, y = {x, y 1 Auf diese Vorgehensweise werden wir im weiteren Verlauf der Vorlesung noch genauer eingehen 3 / 5

4 Aufgabe 3 [Prädikatenlogik: Formeln auswerten] 3 Punkte Gegeben sei die Datenbank D = (U, Schueler, LK, B) mit dem Universum U = {Amelie, Johann, Vanessa, Mathematik, Informatik, Musik, Deutsch, der unären Relation (Menge) Schueler = {Amelie, Johann, Vanessa, der unären Relation (Menge) LK = {Mathematik, Informatik, Musik, Deutsch, der binären Relation B = {(Amelie, Mathematik), (Amelie, Informatik), (Johann, Informatik), (Johann, Musik), (Vanessa, Musik), (Vanessa, Deutsch). Bestimme den Wahrheitswert folgender Formeln unter der Belegung β, die nur für die Datenwerte im Universum U definiert ist. Beschreibe dazu zunächst kurz, welche Eigenschaft die Datenbank intuitiv erfüllen muss, damit die Formel wahr wird. Zeige dann mit geeigneten Belegungen, welcher Wahrheitswert sich ergibt. 1. x ( Schueler(x) B(x, Deutsch) ) 2. x ( Schueler(x) LK(x) ) 3. x ( Schueler(x) LK(x) ) Beispiellösung zu Aufgabe 3 1. Intuition: Die Formel wird genau dann wahr, wenn es einen Schüler gibt, der den Leistungskurs Deutsch belegt. Behauptung: Es gilt [ ( Schueler(x) B(x, Deutsch) ) ] β = 1. Begründung: Wir definieren β = β [x Vanessa], dann gilt [(Schueler(x) B(x, Deutsch))] β = 1, da [Schueler(x)] β = 1 und [B(x, Deutsch)] β = Intuition: Die Formel wird genau dann wahr, wenn es ist nicht so ist, dass eine Belegung β, die x einen Wert c U zuweist, existiert, die ( Schueler(x) LK(x) ) wahr macht. Behauptung: Es gilt [ ( Schueler(x) LK(x) ) ] β = 1. Begründung: Dies ist gleichbedeutend dazu, dass für jede solche Belegung β mindestens einer der beiden folgenden Fälle eintritt: [Schueler(x)] β = 0, ist erfüllt, wenn β (x) {Mathematik, Informatik, Musik, Deutsch; [LK(x)] β 0, ist erfüllt, wenn β (x) {Amelie, Johann, Vanessa. Da es keine anderen Datenwerte in U gibt, folgt die Behauptung. 3. Intuition: Die Formel wird genau dann wahr, wenn die Mengen Schueler und LK disjunkt sind, also keinen Datenwert gemeinsam haben. Behauptung: [ x ( Schueler(x) LK(x) ) ] β = 1. Begründung: Dies ist gleichbedeutend damit, dass für jede Belegung β der Variablen x (mit einem Wert aus U) einer der beiden Fälle eintritt (wie in bei vorhergehender Formel): [ Schueler(x)] β = 1, also [Schueler(x)] β = 0, ist erfüllt, wenn β (x) {Mathematik, Informatik, Musik, Deutsch; [ LK(x)] β = 1, also [LK(x)] β 0, ist erfüllt, wenn β (x) {Amelie, Johann, Vanessa. Da es keine anderen Datenwerte in U gibt, folgt die Behauptung. 4 / 5

5 Aufgabe 4 [Prädikatenlogik: Formeln erstellen] 2 Punkte Gegeben sei eine beliebige Datenbank D = (U, R) mit einer binären Relation R. Gib eine funktionsfreie Formel an, die genau dann den Wert wahr unter der Belegung β, die nur für die Datenwerte im Universum definiert ist, annimmt, wenn die Relation R symmetrisch ist. Beschreibe auch die Intuition deiner Formel. Beispiellösung zu Aufgabe 4 Eine Formel, die genau dann wahr wird, wenn die Relation R der Datenbank symmetrisch ist, ist beispielsweise ϕ = x y ( R(x, y) R(y, x) ) = x y ( R(x, y) R(y, x) ). Aufgabe 5 [Zusatzaufgabe] 2 Punkte Wir haben Abbildungen/Funktionen als rechtseindeutige Relationen definiert. Beispielsweise ist die Relation R = {(1, a), (3, a), (4, c), (5, b) zwischen X = {1, 2, 3, 4, 5 und Y = {a, b, c, d rechtseindeutig und kann als Abbildung r : X Y mit a, falls x = 1 oder x = 3 b, falls x = 5 r(x) = c, falls x = 4, sonst interpretiert werden. Aber auch eine Relation F X Y, die nicht rechtseindeutig ist, kann als Abbildung interpretiert werden. Dabei muss jedoch der Zielbereich anders gewählt werden: Anstatt Y wird die Potenzmenge P(Y ) verwendet. Die zugehörige Abbildung f : X P(Y ) ist dann definiert als Diese Abbildung ist sogar total. f(x) = {y (x, y) F. Bestimme für die Abbildung s, die auf diese Weise durch die Relation S = R {(1, b), (1, d), (5, a) zwischen den oben erwähnten Mengen X und Y definiert wird, den Wert für jedes Argument x X. Beispiellösung zu Aufgabe 5 Die Abbildung s : {1, 2, 3, 4, 5 P({a, b, c, d) ergibt sich wie folgt: 1 {a, b, d 2 { 3 {a 4 {c 5 {a, b 5 / 5