Mögliche Welten. Dr. Uwe Scheffler. Oktober [Technische Universität Dresden]

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Heidi Tiedeman
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1 Mögliche Welten Dr. Uwe Scheffler [Technische Universität Dresden] Oktober 2011

2 Eine Sprache für die Aussagenlogik Bedeutungstragende Zeichen sind p, p 1, p 2,... sie sind Aussagenvariablen und bezeichnen einfache Aussagen. Operatoren sind,,,,. Aussagen entstehen mit den üblichen Bildungsregeln. Dr. Uwe Scheffler 2

3 Eine Semantik für die Aussagenlogik Die Bewertungsfunktion V schreibt jedem Element π der Menge der Aussagenvariablen AV ein Element aus der Menge der Wahrheitswerte {t, f}. Die Ausweitung der Bewertungsfunktion auf die Menge der Aussagen zu einer Interpretation geschieht auf die übliche Weise: I(π) = t genau dann, wenn V(π) = t I( φ) = t genau dann, wenn I(φ) = f I(φ ψ) = t genau dann, wenn I(φ) = t und I(ψ) = t. Wahrheit ist Wahrheit in einer Interpretation. (Aussagen-)Logische Wahrheit ist Wahrheit in allen Interpretationen. Dr. Uwe Scheffler 3

4 Folgebeziehung Notation Die Aussage φ ist wahr in der Interpretation I: I = φ Folgebeziehung heißt Wahrheitsvererbung: Γ = φ genau dann, wenn für alle I gilt: Wenn I = ψ i für alle ψ i Γ, dann I = φ Semantisch äquivalent sind Aussagen, die gegenseitig auseinander Folgen: φ ψ genau dann, wenn φ = ψ und ψ = φ Dr. Uwe Scheffler 4

5 Ein Beispiel, wie es geht Frage: Ist (φ ψ) ( ψ φ) allgemeingültig? Angenommen, die Formel wäre nicht logisch wahr. Dann gäbe es eine Interpretation I so, daß gilt: 1. I = (φ ψ) ( ψ φ) 2. I = φ ψ und I = ψ φ 3. I = φ oder I = ψ, und I = ψ und I = φ 4. I = φ oder I = ψ, und I = ψ und I = φ Widerspruch! Frage: Ist (φ ψ) (ψ φ) allgemeingültig? Angenommen, die Formel wäre nicht logisch wahr. Dann gäbe es eine Interpretation I so, daß gilt: 1. I = (φ ψ) (ψ φ) 2. I = φ ψ und I = ψ φ 3. I = φ oder I = ψ, und I = ψ und I = φ Kein Widerspruch! Dr. Uwe Scheffler 5

6 Mögliche Welten der Anfang Sei W eine Menge von möglichen Welten (Bewertungspunkten). Die w n W sind Alternativen wie die Welt sein könnte : w 1 enthält p, q, r... w 2 enthält p, r... aber nicht q w 3 enthält p, q, r... nicht. w 4 w 2 w 6 w 3 w 1 w 5 I, w = α I, w(α) = t I, w = φ für alle w : I, w = φ I, w = φ I, w = φ I, w = φ für einige w : I, w = φ I, w = φ ψ I, w = φ und I, w = ψ Dr. Uwe Scheffler 6

7 Wie das funktioniert φ φ 1. I, w = φ φ 2. I, w = φ, und 3. I, w = φ 4. für alle w : I, w = φ Widerspruch zu 2. Dr. Uwe Scheffler 7

8 Und hier eine Regel = φ = φ (Wenn φ allgemeingültig ist, ist auch φ allgemeingültig.) 1. für alle I, w: I, w = φ und es gibt ein I, w so daß I, w = φ 2. es gibt ein w so daß I, w = φ Widerspruch zu 1. Dr. Uwe Scheffler 8

9 Eines, was nicht klappt φ φ 1. I, w = φ 2. I, w = φ 3. es gibt ein w : I, w = φ 4. es gibt ein w : I, w = φ Modell: I, w (p) = t, und I, w (p) = f Dr. Uwe Scheffler 9

10 Jetzt die Variation M = I, W, R I eine Belegung der AV mit Wahrheitswerten W eine Menge möglicher Welten R eine zweistellige Relation auf W: R W W w 4 w 2 w 6 w 3 w 1 w 5 I, w = φ dann und nur dann, wenn für alle w : wrw gilt I, w = φ. I, w = φ dann und nur dann, wenn für einige w : wrw gilt I, w = φ. Dr. Uwe Scheffler 10

11 Wahrheit in diesem Modell w 4 Sei w i = φ für irgendein i = 1 6. w 2 Dann ist w k = φ für alle w i Rw k. Da für alle w l mit w k Rw l gilt w i Rw l, gilt w l = φ. w 3 Somit ist w k = φ für alle w k, und also w i = φ. w 1 w 6 w 5 I, w = φ dann und nur dann, wenn für alle w : wrw gilt I, w = φ. I, w = φ dann und nur dann, wenn für einige w : wrw gilt I, w = φ. Dr. Uwe Scheffler 11

12 Nicht-Wahrheit in diesem Modell Sei w 5 = φ. Dann ist w 3 = φ und, angenommen, w 6 = φ. Damit ist w 3 = φ. Also w 5 = φ. w 4 w 2 w 6 w 3 w 1 w 5 I, w = φ dann und nur dann, wenn für alle w : wrw gilt I, w = φ. I, w = φ dann und nur dann, wenn für einige w : wrw gilt I, w = φ. Dr. Uwe Scheffler 12

13 Mögliche Welten Ein Modell M ist ein Tripel W, R, I mit einer Menge von möglichen Welten, einer Zugänglichkeitsrelation R W W einer Interpretationsfunktion für die Aussagenvariablen. Logisch wahr ist eine Formel, wenn sie wahr in allen Welten unter allen Interpretationen ist. Dr. Uwe Scheffler 13

14 T (M) Die Relation R ist reflexiv: Der Graph sieht etwa so aus: Dr. Uwe Scheffler 14

15 S4 Die Relation R ist reflexiv und transitiv: Der Graph sieht etwa so aus: Dr. Uwe Scheffler 15

16 Brouwer Die Relation R ist reflexiv und symmetrisch: Der Graph sieht etwa so aus: Dr. Uwe Scheffler 16

17 S5 Die Relation R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv: Der Graph sieht etwa so aus: Dr. Uwe Scheffler 17

18 Was ist das? Wittgenstein: Weltbeschreibung durch Werte für Propositionen Carnap: Zustandsbeschreibungen, ohne Relationen Prior: Zeitlogik parallel zur Modallogik, später als Montague: logisch notwendig heißt: wahr bei jeder Wertezuschreibung für die nichtlogischen Konstanten, Relationen zwischen Modellen Kanger::? Kripke: Welten und Erreichbarkeit, aber was erklären sie? Hintikka: Maximalkonsistente Satzmengen, Alternativitätsrelation (Beschreibungen von Kripkes Welten?) Montague, Quine: Mengen, beginnend von Barwise, Perry: Situationen Dr. Uwe Scheffler 18

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