4 Logik 4.1 Aussagenlogik

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1 4 Logik 4.1 Aussagenlogik Mod Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder alsch angesehen erden können. z. B.: Es regnet., Die Straße ist nass. aber Dieser Satz ist alsch. ist in sich idersprüchlich, ist keine Aussage. Junktoren verknüpen Aussagen: Es regnet nicht, oder die Straße ist nass. Aussagenlogische Formeln als Sätze einer ormale Sprache: z. B. regen straßenass regen straßenass Belegung der Aussagen mit Wahrheitserten: Interpretation der Formel lieert Wahrheitsert: Formales Schließen im Gegensatz zur empirischen Beurteilung, z. B. ob die Straße nass ist bei Pro. Dr. Ue Kastens Aus Wenn es regnet, ist die Straße nass. und Es regnet. olgt Die Straße ist nass. Aussagen in der Speziikation, in der Modellierung von Augaben Vorschau au Begrie Mod Aussagenlogische Formeln deiniert durch Signatur der booleschen Algebra Belegung von Variablen mit Wahrheitserten Interpretation aussagenlogischer Formeln Gesetze der booleschen Algebra zur Umormung von Formeln erüllbare und allgemeingültige Formeln logischer Schluss: Folgerung aus einigen Annahmen 2011 bei Pro. Dr. Ue Kastens

2 Beispiel: Aussagenlogik in der Speziikation Mod Unall durch ehlerhate Speziikation: Airbus A320, Warschau (1993). Der zuständige Rechner blockiert bei der Landung die Aktivierung von Schubumkehr und Störklappen, odurch das Flugzeug über das Landebahnende hinausschießt. Es herrschen starker Wind von schräg hinten und Aquaplaning au der Landebahn bei Pro. Dr. Ue Kastens Beabsichtigte Speziikation der Störklappenreigabe: Die Störklappen düren benutzt erden im Reise- und Sinklug (Bremsirkung) nach der Landung (Vernichtung des Autriebes und Bremsirkung) Sie düren nicht benutzt erden im Endanlug (geährlicher Autriebsverlust) Tatsächliche Speziikation der Störklappenreigabe: Stellung der Landeklappen < 35 Störklappen reigeben Räder schneller als 133 km/h (72 kt) Höhe < 3m oder und Geicht au linkem Fahrerk > x und Geicht au rechtem Fahrerk >x Aussagenlogische Formeln Mod Aussagenlogische Formeln sind korrekte Terme mit Variablen zur Signatur der booleschen Algebra: alse: -> Bool alsch, true: -> Bool ahr, : Bool x Bool -> Bool Konjunktion : Bool x Bool -> Bool Disjunktion : Bool -> Bool Negation Ereiterung: : Bool x Bool -> Bool Implikation p q ür p q : Bool x Bool -> Bool Äquivalenz p q ür (p q) (q p) Operatoren (Junktoren) in allender Präzedenz: 2011 bei Pro. Dr. Ue Kastens Variable, soie alse und true (Konstante) sind atomare Aussagen, die übrigen Formeln sind zusammengesetzt. Für Variable schreiben ir meist kleine Buchstaben p, q,... ür allgemeine Formeln große Buchstaben F, G, H,.... Die Deinition der Struktur der Formeln heißt Syntax der Aussagenlogik.

3 Interpretation aussagenlogischer Formeln Mod Eine passende Belegung ordnet allen Variablen, die in einer Menge von Formeln F vorkommen, jeeils einen Wahrheitsert oder (ür ahr oder alsch) zu. Die Belegung kann als Substitution angegeben erden, z.b. σ = [ p /, q / ]. Eine Interpretation I σ einer aussagenlogischen Formel F bildet F au einen Wahrheitsert ab: Für Variable ist die Interpretation I σ durch die Belegung σ deiniert. Für zusammengesetzte Formeln ird sie durch olgende Wahrheitstaeln ereitert: I(alse)= I(true)= I(F) I( F) I(F) I(G) I(F G) I(F G) I(F G) I(F G) 2011 bei Pro. Dr. Ue Kastens Eine Interpretation I σ mit einer Belegung σ ür eine Formel F bestimmt einen Wahrheitsert der Formel F: I σ (F) Wenn I σ (F) = gilt, heißt I σ auch ein Modell der Formel F. Vorsicht beim Formalisieren umgangssprachlicher Aussagen Mod-4.6 Vorsicht bei Implikationen; mit Belegungen prüen, as gemeint ist: 1. Wenn es regnet, benutze ich den Schirm. regnet schirm 2. Ich benutze den Schirm, enn es regnet. regnet schirm 3. Ich benutze den Schirm, nur enn es regnet. schirm regnet Oder kann ast immer in das nicht-ausschließende übersetzt erden: 4. Hast Du einen Euro oder zei Fünziger? euro zei50er 5. Morgen ahre ich mit dem Zug oder mit dem Auto nach Berlin. zug auto 6. x ist kleiner y oder x ist gleich y. x<y x=y 7. Der Händler gibt Rabatt oder ein kostenloses Autoradio. (rabatt radio) 2007 bei Pro. Dr. Ue Kastens Aussagen sind häuig kontext-abhängig: 8. Weil ich die GP-Klausur nicht bestanden habe, nehme ich am zeiten Termin teil. 9. Weil ich die Modellierungsklausur bestanden habe, nehme ich am zeiten Termin nicht teil. gp-k1 gp-k2 mod-k1 mod-k2 Klammern sind meist nur aus dem Kontext erkennbar: 10. Sie ollten nicht verlieren oder unentschieden spielen. (verlieren unentschieden)

4 Erüllbarkeit von Formeln Mod Eine Formel F heißt erüllbar, enn es eine Interpretation I σ mit einer Belegung σ gibt, so dass gilt I σ (F) =, sonst ist sie iderspruchsvoll (unerüllbar), d.h. ür alle Interpretationen I σ mit einer Belegung σ gilt I σ (F) =. z. B. p q ist erüllbar; p p ist iderspruchsvoll. Eine Formel F heißt allgemeingültig oder Tautologie, enn ür alle ihre Interpretationen I σ (F) = gilt. z. B. p p. Eine Formel F ist genau dann allgemeingültig, enn F iderspruchsvoll ist. iderspruchs- voll erüllbar aber nicht allgemeingültig allgemeingültig 2007 bei Pro. Dr. Ue Kastens F F Gesetze der booleschen Algebra Mod Zei Formeln F, G sind logisch äquivalent, F G, enn sie ür alle Interpretationen I dasselbe Ergebnis haben: I(F) = I(G) Für alle aussagenlogischen Fomeln X, Y, Z gelten olgende logische Äquivalenzen: (X Y) Z X (Y Z) (X Y) Z X (Y Z) Assoziativität X Y Y X X Y Y X Kommutativität X X X X X X Idempotenz X (Y Z) (X Y) (X Z) X (Y Z) (X Y) (X Z) Distributivität X (X Y) X X (X Y) X Absorption X alse alse X alse X Neutrale Elemente X true X X true true X X alse X X true Komplement 2011 bei Pro. Dr. Ue Kastens X X Involution (X Y) X Y (X Y) X Y De Morgan

5 Umormen mit Gesetzen der booleschen Algebra Mod-4.9 Beispiel: (A (B A)) (C (D C)) De Morgan (A ( B A)) (C (D C)) Kommutativität (A ( A B)) (C (D C)) Assoziativität ((A A) B) (C (D C)) (true B) (C (D C)) Komplement Kommutativität ( B true) (C (D C)) Neutrale Elemente true (C (D C)) Kommutativität (C (D C)) true Neutrale Elemente (C (D C)) Kommutativität 2007 bei Pro. Dr. Ue Kastens (C (C D)) Assoziativität ((C C) D) Idempotenz C D Logischer Schluss Mod Sei A eine Menge von Formeln und F eine Formel. Wenn ür alle Interpretationen I, die alle Formeln in A erüllen, auch I (F) gilt, dann sagen ir F olgt semantisch aus A A = F A = F heißt auch logischer Schluss, A Annahme oder Antezedent, F Folgerung oder Konsequenz. Die Korrektheit eines logischen Schlusses A = F mit A = {A 1,..., A n } kann man prüen: a. durch Prüen aller Interpretationen, die alle Formeln in A erüllen b. durch Wiederspruchsbeeis: A 1... A n F muss iderspruchsvoll sein. Beeise erden aus logischen Schlüssen augebaut. Beispiel: U: Wenn alle Menschen gleich sind, gibt es keine Privilegien bei Pro. Dr. Ue Kastens V: Es gibt Privilegien. W: Nicht alle Menschen sind gleich. nacheisen: { U, V } = W ist ein korrekter logischer Schluss.