Resolution mit allgemeinsten Unifikatoren. Elternklausel 1: L, A 1,..., A m σ ist allgemeinster Unifikator

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1 Resolution mit allgemeinsten Unifikatoren Elternklausel 1: L, A 1,..., A m σ ist allgemeinster Unifikator Elternklausel 2: L, B 1,..., B n von L, L mit σ(l) = σ(l ) Resolvente: σ(a 1,..., A m, B 1,..., B n ) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 1, 24. Mai2012

2 Beispiel: Resolution mit Unifikation Elternklausel 1: P (x, f(y)), Q(x, y) Elternklausel 2: P (z, z), R(z, f(u)) σ = z f(y), x f(y) ist allgemeinster Unifikator Resolvente: Q(f(y), y)), R(f(y), f(u)) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 2, 24. Mai2012

3 Beispiel: Resolution mit Unifikation Elternklausel 1: P (x, f(y)), Q(x, y) Elternklausel 2: P (z, z), R(z, f(u)) σ = z f(y), x f(y) ist allgemeinster Unifikator Resolvente: Q(f(y), y)), R(f(y), f(u)) Beachte: Elternklauseln müssen variablendisjunkt sein Klausel kann mit sich selbst resolvieren (mit einer umbenannten Kopie) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 3, 24. Mai2012

4 Der allgemeine Resolutionskalkül Resolutionskalkül: transformiert Klauselmengen C mit den Regeln: Resolvieren C C {R} wobei R eine Resolvente von zwei (nicht notwendig verschiedenen) Klauseln in C, und der zugehörige Unifikator allgemeinst ist. Faktorisieren C C {F } wobei F ein Faktor einer der Klauseln in C, und der Unifikator allgemeinst ist. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 4, 24. Mai2012

5 Zum Vollständigkeitsbeweis der allgemeinen Satz von Herbrand: Resolution Sei CS eine unerfüllbare Klauselmenge. Dann gibt es eine endliche und unerfüllbare Menge von Grundinstanzen von CS. Begriffe dazu: Grundtermalgebra Herbrand-Universum Herbrand-Interpretation = T (Σ, ): alle Grundterme Alle Grundinstanzen von Atomen Interpretation mit D = Grundtermalgebra Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 5, 24. Mai2012

6 Das Lifting Lemma Seien C und D zwei beliebige Klauseln ohne gemeinsame Variablen, C gr und D gr zwei Grundinstanzen von C und D. Für jede Resolvente R gr zwischen C gr und D gr gibt es eine entsprechende Resolvente R von (evtl. iterierten) Faktoren von C und D, so dass R gr eine Grundinstanz von R ist. C C gr und und (Faktor,*); Resolvente; (Faktor,*) D D gr Resolvente R g r R Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 6, 24. Mai2012

7 Widerlegungsvollständigkeit des Resolutionskalküls Satz Für jede unerfüllbare Klauselmenge gibt es einen Widerlegungsbeweis mittels Resolution und Faktorisierung. Der Resolutionskalkül ist widerlegungsvollständig Zur Begründung: Herbrand Theorem = es gibt eine endliche unerfüllbare Grundklauselmenge C gr Es ex Resolutionswiderlegung für C gr (wie in Aussagenlogik). Induktion nach der Anzahl der Grundresolutionen Lifting Lemma: für jede Grundresolutionen gibt es eine Folge von Faktorisierungen und Resolution mit allgemeinsten Unifikatoren, so dass die Resolvente allgemeiner ist als die Grundresolvente. Die letzte Grundresolvente hat als allgemeinere Klausel ebenfalls Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 7, 24. Mai2012

8 Beispiel: Hilbertkalkül(e) Hilbertkalkül für Aussagenlogik: MINI Syntax: Axiome Nur aussagenlogische Variablen und IMP (X IMP (Y IMP Z)) IMP ((X IMP Y ) IMP (X IMP Z)) Schlussregel: Modus Ponens X, (X IMP Y ) Y MINI operiert auf Mengen von Formeln, startet mit den Axiomen und fügt entsprechend der Schlussregel Modus ponens neue Formeln hinzu. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 8, 24. Mai2012

9 MINI: Instanziierung Variablen haben Doppelrolle: zb X, Y, Z in (X IMP (Y IMP X)) stehen für Formeln. Modus Ponens X 1, (X 2 IMP Y ) σ(y ) σ ist allgemeinster Unifikator von X 1, X 2 X 1, X 2, Y, Z stehen für MINI-Formeln. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 9, 24. Mai2012

10 Resolution zur Folgerung in MINI Beh: Im MINI-Kalkül ist (X IMP X) ableitbar P L 1 -Kodierung von MINI: ableitbar imp P L 1 -Terme P L 1 -Prädikatensymbol P L 1 -Funktionssymbol für IMP entsprechen MINI-Formeln Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 10, 24. Mai2012

11 Kodierter Hilbertkalkül MINI-Kalkül ist kodierbar durch folgende P L 1 -Formeln: F1: x, y : ableitbar(imp(x, imp(y, x))) F2: x, y, z : ableitbar(imp(imp(x, imp(y, z)), imp(imp(x, y), imp(x, z)))) F3: x, y : ableitbar(x) ableitbar(imp(x, y)) = ableitbar(y) Beh: folgende Formel folgt daraus B: x : ableitbar(imp(x, x)) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 11, 24. Mai2012

12 Kodierter Hilbertkalkül mit Resolution Die Klauselform von F 1 F 2 F 3 B ist C1 = ableitbar(imp(x 1, imp(y 1, x 1 ))) C2 = ableitbar(imp(imp(x 2, imp(y 2, z 2 )), imp(imp(x 2, y 2 ), imp(x 2, z 2 )))) C3 = ableitbar(x 3 ), ableitbar(imp(x 3, y 3 )), ableitbar(y 3 ) B = ableitbar(imp(c, c)) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 12, 24. Mai2012

13 Resolutionsherleitung C1 + C3, 1{x 3 imp(x 1, imp(y 1, x 1 ))} R1 = ableitbar(imp(imp(x 1, imp(y 1, x 1 )), y 3 )), ableitbar(y 3 ) R1 = ableitbar(imp(imp(x 4, imp(y 4, x 4 )), z 4 )), ableitbar(z 4 ) C2 + R1, 1{z 4 imp(imp(x 4, y 4 ), imp(x 4, x 4 )), x 2 x 4, y 2 y 4, z 2 x 4 } R2 = ableitbar(imp(imp(x 4, y 4 ), imp(x 4, x 4 ))) R2 = ableitbar(imp(imp(x 5, y 5 ), imp(x 5, x 5 ))) R2 + C3, 2{x 3 imp(x 5, y 5 ), y 3 imp(x 5, x 5 )} R3 = ableitbar(imp(x 5, y 5 )), ableitbar(imp(x 5, x 5 )) R3 = ableitbar(imp(x 6, y 6 )), ableitbar(imp(x 6, x 6 )) C1 + R3, 1{x 6 x 1, y 6 imp(y 1, x 1 )} R4 = ableitbar(imp(x 1, x 1 )) R4 = ableitbar(imp(x 7, x 7 )) B + R4 R5 = Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 13, 24. Mai2012

14 Löschregeln: Subsumtion, Tautologie und Isoliertheit Beobachtung: Manche Resolventen sind offensichtlich nutzlos oder redundant. Abhilfe: automatische Erkennung und Löschung dieser Klauseln Definition Isoliertes Literal D eine Klausel mit Literal L in Klauselmenge C L heißt isoliert, wenn es keine Klausel D C mit einem Literal L in D so dass L und L unifizierbar, und verschiedenes Vorzeichen haben Isoliertheits-Test: in Zeit O(n 3 log(n)) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 14, 24. Mai2012

15 Löschregeln: Isoliertheit ISOL: Löschregel für isolierte Literale Wenn D eine Klausel aus C mit einem isolierten Literal, dann lösche die Klausel D aus C. Die Regel ist korrekt : das isolierte Literal wird einen Nachfolger in allen Resolventen haben. Deshalb leere Klausel nicht mittels D herleitbar. Satz: Die Löschregel für isolierte Literale kann zum Resolutionskalkül hinzugenommen werden, ohne die Widerlegungsvollständigkeit zu verlieren. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 15, 24. Mai2012

16 Beispiel Betrachte die (unerfüllbare) Klauselmenge C1 : C2 : C3 : C4 : P (a) P (b) Q(b) P (x), Q(x) C1 + C4 ergibt Resolvente {Q(a)} Diese ist löschbar. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 16, 24. Mai2012

17 Subsumtion Klausel D subsumiert die Klausel E gdw. σ mit σ(d) E (als Menge). SUBS: Löschregel für subsumierte Klauseln Falls: D subsumiert E und D E, Dann: lösche die Klausel E Grund für Längenbedingung: Faktoren werden sonst gelöscht! Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 17, 24. Mai2012

18 Beispiele {P (x)} subsumiert {P (a), P (b), Q(y)}. P subsumiert {P, S}. {Q(x), R(x)} subsumiert {R(a), S, Q(a)} {E(a, x), E(x, a)} subsumiert {E(a, a)} (wird aber nicht gelöscht.) { P (x), P (f(x))} impliziert { P (x), P (f(f(x))} aber subsumiert nicht. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 18, 24. Mai2012

19 Korrektheit der Subsumtionslöschung Falls D subsumiert E, dann ist E redundant: Wenn eine Resolutionsableitung der leeren Klausel E benutzt, dann kann man darin E durch D ersetzen und evtl. dann redundante Resolutionsschritte weglassen Vorsicht Die Längenbedingung wird beim Nachweis der Korrektheit benötigt. Denn Klauseln subsumieren immer ihre Faktoren. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 19, 24. Mai2012

20 Subsumtion: Bemerkungen Vorwärts-Subsumtion: neu erzeugte (von alten subsumierte) Klauseln werden gelöscht Rückwärts-Subsumtion: Aufgrund der neuen Resolvente werden alte (subsumierte) Klauseln gelöscht. Ist manchmal nicht implementiert. Komplexität: Subsumtionstest ist N P-vollständig. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 20, 24. Mai2012

21 Verallgemeinerung der Subsumtion Vorsicht Die Implikation C = D für Klauseln ist eine Redundanz, aber eine entsprechende Löschregel macht Beweise nicht kürzer. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 21, 24. Mai2012

22 Tautologische Klauseln Definition Die Klausel D ist eine Tautologie gdw. D in allen Interpretationen wahr ist. Beispiele für Tautologien {P a, P a}, {Qa, P (f(x)), P (f(x), Qb} {P x, P x}. Keine Tautologien sind: {P x, P f(y)} { P (x, y), P (y, x)}. Tautologie-Test: D ist Tautologie, gdw. D zwei komplementäre Literale L, L enthält. Dieser Test kann in Zeit O(n 3 ) durchgführt werden. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 22, 24. Mai2012

23 Tautologie-Löschung Definition TAUT: Löschregel für tautologische Klauseln Wenn D eine tautologische Klausel ist, dann lösche D aus C. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 23, 24. Mai2012

24 Widerlegungsvollständigkeit der Löschregeln Satz Der Resolutionskalkül mit allgemeinsten Unifikatoren, mit Löschung subsumierter Klauseln, Löschung von Klauseln mit isolierten Literalen und Löschung von Tautologien ist widerlegungsvollständig Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 24, 24. Mai2012

25 Bemerkungen Die Prozedur von Davis und Putnam zum Entscheiden der Unerfüllbarkeit von aussagenlogische Klauselmengen kann man zusammenbauen aus Resolution Subsumtionsregel Isolationsregel Fallunterscheidung Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 25, 24. Mai2012

26 Einschränkung und Varianten der Resolution Set-of-Support UR-Resolution Hyper-Resolution Unit-Resolution Input-Resolution Lineare-Resolution SL-Resolution SL-Resolution für Hornklauseln Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 26, 24. Mai2012

27 Set-of-Support Aufteilung der Klauselmenge in: Klauseln aus den Voraussetzungen (widerspruchsfrei) Klauseln aus dem negierten Theorem SOS-Menge Set-of-Support = alle Klauseln, Resolventen, Faktoren, die eine Vorgängerklausel in SOS haben. Resolution: nur erlaubt, wenn eine Elternklausel in SOS ist. Faktorisierung: nur erlaubt, wenn die Klausel in SOS ist. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 27, 24. Mai2012

28 Beispiel Klauselmenge: {P, Q}, { P, Q}, {P, Q}, { P, Q} SOS {P, Q} Rest-Klauselmenge: { P, Q}, {P, Q}, { P, Q} Resolventen: SOS danach: {P, Q}, { P, Q} {Q} {P, Q}, {Q} Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 28, 24. Mai2012

29 Set-of-Support Allgemeiner: Beschränkung der Herleitung durch Modell M der Axiome. M darf kein Modell der Negation des Theorems sein. Nur Resolventen R mit M = R sind erlaubt Auswertung M = R muss einfach sein. SOS: M = R wird approximiert. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 29, 24. Mai2012

30 UR-Resolution (unit resulting resolution) Statt Resolutionsschritt: Simultane Resolution einer Klausel (n + 1 Literale) mit n Unit-Klauseln. Ergebnis: Eine Unit-Klausel Fakten: Zwischenresolventen werden nicht in die Klauselmenge aufgenommen Suche nach möglichen Resolutionsschritten kann exponentiell sein Nicht widerlegungsvollständig: {{P, Q}, {P, Q}, { P, Q}, { P, Q}} Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 30, 24. Mai2012

31 Hyperresolution simultaner Unifikator σ R 1 K 1... R n K n +L L n L n+1... L n+m Elektronen Nukleus σ( R 1... R n L n+1... L n+m ) Hyper- Resolvente Eingabe: Nukleus Klausel mit mind. einem positiven Literal Elektronen Klausel die nur negative Literale hat Ausgabe Hyperresolvente (Elektron) Simultane Resolution, so dass alle positiven Literale mit negativen Literalen eines Elektrons wegresolviert werden Faktorisierung wird mitberücksichtigt beim Berechnen der Unifikatoren Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 31, 24. Mai2012

32 Hyperresolution Es gibt Negative und Positive Hyperresolution (dual) Eigenschaft: Hyperresolution ist widerlegungsvollständig Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 32, 24. Mai2012

33 Unit-Resolution Bei jedem Resolutionsschritt muss mindestens eine Elternklausel eine Unit sein. Faktorisierung ist erlaubt. Nicht widerlegungsvollständig Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 33, 24. Mai2012

34 Eingaberesolution Bei jedem Resolutionsschritt muss mindestens eine Elternklausel aus der Eingabemenge sein. Eigenschaften: Eine Klauselmenge ist genau dann mit Unit-Resolution widerlegbar, wenn sie mit Inputresolution widerlegbar ist. D.h. Eingabe und Unit-Resolution sind äquivalent Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 34, 24. Mai2012

35 Beispiel: Unit-Resolution {{P (a)}, { P (x), P (f(x))}, { P (f(f(f(f(a)))))}}, mit Unit-Resolution P (a) P (f(a)) P (f(f(a))) P (f(f(f(a)))) P (f(f(f(f(a)))) P (x); P (f(x)) P (f(f(f(f(a)))) mit allgemeiner Resolution P (x); P (f(x)) P (x); P (f(x) P (x); P (f(f(x)) P (x); P (f(f(x)) P (x); P (f(f(f(f(x)))) P (a) P (f(f(f(f(a)))) P (f(f(f(f(a)))) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 35, 24. Mai2012

36 Lineare Resolution Definition Lineare Resolution Initial: Iterationsschritt: Klauselmenge; eine als Zentralklausel ausgewählt. Zentralklausel Z i + andere Klausel neue Zentralklausel Z i+1 implizite Faktorisierung vor dem Resolutionsschritt ist erlaubt D.h. Zentralklauseln sind Z i Z i entsteht aus Resolution von Z i 1 und einer Eingabeklausel oder einen Klausel Z j mit j < i 1. Eigenschaft: Lineare Resolution ist widerlegungsvollständig Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 36, 24. Mai2012

37 Lineare Resolution, Beispiel {P, Q}, { P, Q}, {P, Q}, { P, Q}, einmal mit linearer Resolution und Vorgängerschritt und einmal mit allgemeiner Resolution: P Q P Q P QP P Q Q P P Q P QP P Q P Q P Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 37, 24. Mai2012

38 Lineare Resolution, Beispiel Faktorisierung ist notwendig: {{P (x), P (y)}, { P (x), P (y)}}. Im Beispiel: Lineare Resolution ohne Faktorisierung ergibt immer eine Zentralklausel der Länge zwei, Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 38, 24. Mai2012

39 Hornklauselmengen Eine Hornklausel ist eine Klausel mit maximal einem positiven Literal. Eine definite Hornklausel ist eine Klausel mit genau einem positiven Literal. Eine negative Hornklausel, Anfrage ist eine Klausel ohne positive Literale. Eine Hornklauselmenge ist eine Klauselmenge die nur aus Hornklauseln besteht. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 39, 24. Mai2012

40 Hornklauselmengen Eigenschaften: definite Hornklauseln kann man schreiben als L 1... L n = L n+1 Klauseln ohne positive Literale sind Hornklauseln Eine unerfüllbare Hornklauselmenge enthält eine positive Unitklausel. Unerfüllbare Hornklauselmengen sind widerlegbar mittels Unit-Resolution. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 40, 24. Mai2012

41 SL-Resolution SL-Resolution = Lineare Resolution plus Selektionsfunktion D.h. Beschränkung der (für Resolution) erlaubten Literale Wir betrachten ab jetzt: SL-Resolution für Hornklauselmengen Annahme: Hornklauseln haben Reihenfolge der negativen Literale: Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 41, 24. Mai2012

42 SL-Resolution für Hornklauselmengen Vorgehen: Menge von initialen (definiten) Horn Klauseln Zielklausel (nur negative Literale Nächste Zielklausel = Resolvente aus Zielklausel und einer initialen Klausel Selektionsfunktion: Das letzte Literal wird zuerst wegresolviert Beispiel: Zielklausel initiale (passende Klausel): Resolvente: L 1,... L n K 1, K 2,... K m K 1 und L n sind Resolutions-Literale L 1,... L n 1, K 2,... K m Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 42, 24. Mai2012

43 SL-Resolution für Hornklauselmengen: Eigenschaften Widerlegungsvollständig für Hornklauseln, auch ohne Faktorisierung Die Gesamtsubstitution in die Anfrage bei Erfolg kann man als Antwort deuten. Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 43, 24. Mai2012

44 Beispiel SL-Resolution SL-Resolution mit Horn Klauseln Prolog Notation: Klausel Notation: C1: A(x, y) P (x, y) A(x, y) P (x, y) C2: A(x, z) P (x, y) A(y, z) A(x, z) P (x, y) A(y, z) C3: P (a, b) C4: P (b, c) C5: P (c, d) Theorem: v : A(a, v) P (v, d)? Negiertes Theorem: A(a, v) P (v, d) Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 44, 24. Mai2012

45 Suchraum für Selektionsfunktionen Beispiele für Selektionsfunktionen sind: 1. Das am stärksten instanziierte Literal zuerst 2. Das am wenigsten instanziierte Literal zuerst. Die zuletzt eingeführten Literale, die zuerst wegresolviert werden, sind unterstrichen. Suchstrategien: Tiefensuche mit Backtracking Breitensuche zu speicheraufwändig Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 45, 24. Mai2012

46 Am meisten instanziierte Literale zuerst P (a, v); P (v, d) C1 A(a, v); P (v, d) C2 P (a, y); A(y, v); P (v, d) v b;c3 y b;c3 P (b, d) A(b, v); P (v, d) C1 C2 Fehler P (b, v) P (v, d) v c;c4 P (c, d) C5 P (b, y ); A(y, v); P (v, d) y c;c4 A(c, v); P (v, d) C1 C2 Klausel: C1: A(x, y) P (x, y) C2: A(x, z) P (x, y) A(y, z) C3: P (a, b) C4: P (b, c) C5: P (c, d) Erfolg P (c, v); P (v, d) v d;c5 P (d, d) Fehler Rekursion Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 46, 24. Mai2012

47 Am wenigsten instanziierte Literale zuerst P (a, v); P (v, d) v b;c3 C1 A(a, v); P (v, d) C2 P (a, y); A(y, v); P (v, d) C1 P (b, d) P (y, v); P (a, y); P (v, d) y a,v b C3 C2 P (y, y ); A(y, v); P (a, y), P (v, d) C4 C5 y b,v c y c,v d Fehler P (a, a) P (b, d) Fehler P (a, b); P (c, d) P (a, c); P (d, d) Klausel: C1: A(x, y) P (x, y) C2: A(x, z) P (x, y) A(y, z) C3: P (a, b) C4: P (b, c) C5: P (c, d) C3 P (c, d) C5 Erfolg Fehler Deduktion, SS 10, F olien P L, Seite 47, 24. Mai2012