FO-Klauselmengen Abschnitt 5.1. Logik-Kalküle. Klauselmengen und universell-pränexe Sätze. Übersetzungs-Beispiel

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1 Teil 2: FO Beweiskalküle Logik-Kalküle syntaktische Beweiskalküle Beweise der Unerfüllbarkeit Resolution vergleiche Kalküle für AL Resolution bzw. der Widerlegungskalkül: Unerfüllbarkeitsbeweise wir behandeln: Allgemeingültigkeit Sequenzenkalkül Grundinstanzen-Resolution (GI-Resolution) Gegenstand: FO -Klauselmengen K (universelle FO -Satzmengen Φ) Beweisziel: Ableitung der (unerfüllbaren) leeren Klausel Korrektheit: ableitbar aus K K unerfüllbar. Vollständigkeit: K unerfüllbar ableitbar aus K. FGdI II Sommer 2010 M Otto 89/150 FO-Klauselmengen Abschnitt 5.1 universelle (skolemisierte) FO -Sätze in Klauselform: x 1... x k ξ x 1... x k C Terminologie C K q-fr. Kern in KNF ξ K für endliche Klauselmenge K über FO -Literalen FO -Literale: relationale Atome oder negierte relationale Atome λ, λ λ FO -Klauseln: endliche Mengen C von FO -Literalen für C = {λ 1,..., λ k }: C C = i=1,...,k λ i FO -Klauselmengen: Mengen K von FO -Klauseln FGdI II Sommer 2010 M Otto 90/150 Klauselmengen und universell-pränexe Sätze semantisch identifiziere Klauselmenge mit Satzmenge: K { } x 1... x }{{ n C : C K } alle Variablen in C ( x1... x n alle Variablen in K Korrespondenzen: endliche FO Klauselmengen C K C für endliches K ) universell-pränexe FO -Sätze FO Klauselmengen universell-pränexe FO -Satzmengen Übersetzungs-Beispiel ϕ = x y ( Rxy (Qx Qy) ) relevante Atome: α = Rxy, β 1 = Qx und β 2 = Qy ϕ = x y ( α (β 1 β 2 ) ) Kern von ϕ in KNF (z.b.): ( α β 1 β 1 ) 1 ( α β 1 β 2 ) ( α β 2 β 1 ) ( α β 2 β 2 ) 1 liefert K = { { α, β 1, β 2 }, { α, β 1, β 2 } } = { { Rxy, Qx, Qy}, { Rxy, Qy, Qx} } FGdI II Sommer 2010 M Otto 91/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 92/150

2 Grundinstanzen-Resolution (GI) Abschnitt 5.2 Idee: Übertragung von AL-Resolution gemäß Reduktionsansatz ähnlich wie schon für andere Erfüllbarkeitsargumente Grundinstanzen einer Klausel C über Literalen λ FO n: C(t 1 /x 1,..., t n /x n ) := {λ(t 1 /x 1,..., t n /x n ): λ C} mit t i T 0 (S) Grundinstanzenmenge einer Klauselmenge K: GI(K) := { C(t 1 /x 1,...): C K, t i T 0 (S) } es gilt K = GI(K). und aus dem Satz von Herbrand: K und GI(K) erfüllbarkeitsäquivalent. GI-Resolution: Resolventen C 1, C 2, C Klauseln von variablenfreien FO (S)-Literalen C ist Resolvente von C 1 und C 2 (bezüglich des Literals λ), wenn λ C 1, λ C 2, und C = (C 1 \ {λ}) (C 2 \ {λ}) C 1 = {λ 1,..., λ k, λ} C 2 = {λ 1,..., λ l, λ} C = {λ 1,..., λ k, λ 1,..., λ l } zu Klauselmenge K über variablenfreien FO (S)-Literalen: Res (K) = Abschluß von K unter Resolventenbildung FGdI II Sommer 2010 M Otto 93/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 94/150 Beispiel über Grundinstanzen von { Rxy, Qx, Qy}, { Rxy, Qx, Qy} und {Rxx, Rxffx}: { Rcc, Qc} { Rcc, Qc} { Rcc} {Rcc, Rcffc} {Rcffc} GI-Resolution: Resolutionssatz (Satz 5.7) Korrektheit und Vollständigkeit von GI-Resolution für die Unerfüllbarkeit von universell-pränexen FO (S)-Satzmengen in Klauselform Resolutionssatz Für FO (S)-Klauselmengen K sind äquivalent: (i) (ii) (iii) K unerfüllbar. GI(K) unerfüllbar. Res (GI(K)). x y ( Rxy Qx Qy ) x y ( Rxy Qx Qy ) x ( Rxx Rxffx ) = Rcffc (iii) (i): (i) (ii): (ii) (iii): C Res (GI(K)) impliziert, dass K = C 0 unerfüllbar. Erfüllbarkeitsäquivalenz (Herbrand). Vollständigkeit von AL Resolution + Reduktion. FGdI II Sommer 2010 M Otto 95/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 96/150

3 allgemeinere Resolution Abschnitt 5.3 Idee: nicht notwendig zu Grundinstanzen absteigen Resolution nach Substitution von Termen mit Variablen Substitutionsinstanz zu σ = (t 1,..., t n ) T (S) n : C σ = {λ σ : λ C} = {λ(t 1 /x 1,..., t n /x n ): λ C} Resolution von C 1 und C 2 zu C falls für geeignete σ 1 und σ 2 : λ C σ 1 1, λ C σ 2 2, C = (C σ 1 1 \ {λ}) (C σ 2 2 \ {λ}) allgemeinere Resolution: Beispiel { Rxy, Qx, Qy} y x { Rxx, Qx} { Rxy, Qx, Qy} y x { Rxx, Qx} { Rxx} {Rxx, Rxffx} {Rxx, Rxffx} {Rxffx} x y ( Rxy Qx Qy ), x y ( Rxy Qx Qy ), x ( Rxx Rxffx ) = xrxffx FGdI II Sommer 2010 M Otto 97/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 98/150 Sequenzenkalküle Abschnitt 6.1 Allgemeingültigkeitsbeweise Gegenstand: FO-Sequenzen Γ für endliche Γ, FO 0 (S) vgl. AL Sequenzenkalkül (für bel. FO-Formeln/Sätze) Γ allgemeingültig wenn Γ = Beweisziel: Ableitung allgemeingültiger Sequenzen Ableitungsschritte: Anwendung von Regeln (zur Erzeugung von Sequenzen) Korrektheit: Vollständigkeit: jede ableitbare Sequenz ist allgemeingültig. jede allgemeingültige Sequenz ist ableitbar. (schwache Form, wird später verschärft) Sequenzenkalkül: Regeln und Korrektheit Format von Sequenzenregeln (wie in AL): Prämissen Konklusion Konklusionen von Regeln ohne Prämisssen: Axiome ableitbare Sequenzen: ausgehend von Axiomen (in endlich vielen Schritten) durch Anwendung von Sequenzenregeln erzeugte Sequenzen Korrektheit: jede ableitbare Sequenz ist allgemeingültig folgt aus der Korrektheit der einzelnen Regeln: die Axiome sind allgemeingültige Sequenzen; für Regeln mit Prämissen: Prämissen allgemeingültig Konklusion allgemeingültig. FGdI II Sommer 2010 M Otto 99/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 100/150

4 Sequenzenkalkül: Regeln FO Sequenzenkalkül SK, drei Gruppen von Regeln: AL Regeln (analog zum AL-Sequenzenkalkül). Quantorenregeln: Einführung von oder links/rechts. ( L), ( R), ( L), ( R). Gleichheitsregeln: Umgang mit Term-Gleichheiten. (=), (Sub-L), (Sub-R). AL + Quantorenregeln: vollständiger Beweiskalkül SK für FO SK + Gleichheitsregeln: vollständiger Beweiskalkül SK für FO Sequenzenkalkül: Quantorenregeln ( L) ( L) Γ, ϕ(t/x) Γ, xϕ(x) Γ, ϕ(c/x) Γ, xϕ(x) falls c nicht in Γ,, ϕ(x) Korrektheit prüfen! ( R) ( R) Γ, ϕ(c/x) Γ, xϕ(x) falls c nicht in Γ,, ϕ(x) Γ, ϕ(t/x) Γ, xϕ(x) Zusätzlich (nicht notwendig aber natürlich) in SK + : Schnittregeln: Kettenschlüsse und Beweise durch Widerspruch. FGdI II Sommer 2010 M Otto 101/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 102/150 Sequenzenkalkül: Gleichheitsregeln Sequenzenkalkül: Schnittregeln (optional) (=) (Sub-L) Γ, t = t Γ Korrektheit prüfen! Γ, ϕ(t/x) Γ, t = t, ϕ(t /x) (Sub-R) Γ, ϕ(t/x) Γ, t = t, ϕ(t /x) und analoge Regeln mit t = t statt t = t (modus ponens) (Kontradiktion) Korrektheit prüfen! Γ, ϕ Γ ϕ Γ, Γ Γ ϕ Γ ϕ Γ, Γ Bem.: Kontradiktionsregel (lokal) mit modus ponens simulierbar beide Regeln lassen sich (nicht lokal) eliminieren (vgl. AL-Sequenzenkalkül) unterscheide schnittfreie Kalküle wie SK von solchen mit Schnittregeln wir SK + FGdI II Sommer 2010 M Otto 103/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 104/150

5 Ziel: Vollständigkeit Abschnitt 6.3 Definitionen: Ableitbarkeit aus Theorie Φ FO 0 : ϕ ableitbar aus Φ [Φ ϕ] gdw. für geeignetes Γ 0 Φ (Voraussetzungen) ist Γ 0 ϕ ableitbar. Φ konsistent (widerspruchsfrei) gdw. nicht Φ. Kurt Gödel ( ) Vollständigkeit (starke Form) Korrektheit Φ = ϕ Φ ϕ Φ ϕ Φ = ϕ Φ konsistent Φ erfüllbar Φ erfüllbar Φ konsistent alles, was wahr ist, ist ableitbar alles, was ableitbar ist, ist wahr der Logiker des 20. Jahrhunderts mit Albert Einstein FGdI II Sommer 2010 M Otto 105/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 106/150 Gödelscher Vollständigkeitssatz (Satz 6.7) (Vollständigkeit & Korrektheit des Sequenzenkalküls) Für jede Satzmenge Φ FO 0 (S) und jeden Satz ϕ FO 0 (S) gelten: Φ = ϕ gdw. Φ ϕ. Φ erfüllbar Zentrale Folgerungen Kompaktheitssatz gdw. Φ konsistent. (wesentlich neuer Zugang) Allgemeingültigkeit rekursiv aufzählbar (später: nicht entscheidbar) Vollständigkeitsbeweise Abschnitt 6.3 zu zeigen: Konsistenz Erfüllbarkeit } nicht-ableitbarkeit Existenz eines Modells best. Sequenzen dazu Ableitbarkeit von Sequenzen aus einer Satzmenge Ableitbarkeit unter gegebenen Voraussetzungen: Γ ableitbar aus Φ gdw. für geeignetes Γ 0 Φ Γ 0, Γ ableitbar ist. FGdI II Sommer 2010 M Otto 107/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 108/150

6 Vollständigkeitsbeweise (Grundideen) Hintikka-Konstruktion (Vollständigkeit von SK bzw. SK) zeige: Γ nicht ableitbar aus Φ Φ Γ erfüllbar Man findet Modell einer induktiv geeignet gewählten Obermenge von Φ Γ ( Hintikka-Menge). Henkin-Konstruktion (Vollständigkeit von SK +, einfacher) zeige: Φ konsistent Φ erfüllbar Man findet Modell einer induktiv geeignet gewählten vollständigen Obermenge von Φ ( Henkin-Menge). in beiden Fällen: Modelle (als Quotient) einer Herbrand-Struktur im Sequenzenkalkül mit Schnittregeln: Satz Für konsistentes Φ: Φ { ϕ} konsistent gdw. nicht Φ ϕ. Begründung: (1) Falls Γ ϕ ableitbar ist, so auch Γ, ϕ mit ( L) (2) Falls Γ, ϕ ableitbar, so auch Γ ϕ: ( R) (mod. pon.) Γ, ϕ Γ ϕ Γ ϕ (Ax) ϕ ϕ ϕ, ϕ ( R) ( L) ϕ ϕ Bem: Ebenso auch Φ {ϕ} konsistent gdw. nicht Φ ϕ. FGdI II Sommer 2010 M Otto 109/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 110/150 Teil 2: FO Unentscheidbarkeit FO 7 Henkin-Mengen: vollständig mit Existenzbeispielen ˆΦ FO 0 (S) Henkin-Menge, falls konsistent und: für jedes ϕ FO 0 (S): ϕ ˆΦ ϕ ˆΦ. (maximale Konsistenz; Vollständigkeit) für jedes ψ(x) FO(S) existiert t T 0 (S) mit ( x ψ(x) ψ(t/x)) ˆΦ. (vgl. xψ(x) ψ(t/x)) (Existenzbeispiele, vgl. Skolemfunktionen) Unentscheidbarkeit Church Turing Henkin-Methode: Zu konsistentem Φ finde Henkin-Menge ˆΦ Φ FO (ohne Gleichheit): FO (mit Gleichheit): Herbrand-Modell aus Henkin-Menge ˆΦ. Quotienten bzgl. der in ˆΦ postulierten Gleichheitsrelation auf T 0 (S). Church ( ) Turing ( ) FGdI II Sommer 2010 M Otto 111/150 FGdI II Sommer 2010 M Otto 112/150