Methoden der KI in der Biomedizin Logische Agenten 2

Transkript

1 ethoden der KI in der iomedizin ogische genten 2 Karl D. Fritscher

2 Übersicht Wissensbasierte genten Wumpus Welt ogik allgemein ussagenlogik Syntax, Semantik Äquivalenz, llgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit Inferenzschemata in der ussagenlogik Vorwärtsverkettung Rückwärtsverkettung Resolution genten basierend auf ussagenlogik

3 ogische Äquivalenz Zwei Sätze sind genau dann logisch (semantisch) äquivalent, wenn Sie in der selben odellmenge wahr sind. α β genau dann, wenn α β und β α Kommutativität von Kommutativität von ssoziativität von ssoziativität von Eliminierung der doppelten Negation Kontraposition Implikationseliminierung ikonditionaleliminierung de organ de organ Distributivität von über Distributivität von über

4 llgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit 1) Ein Satz ist (allgemein)gültig, wenn er in allen odellen wahr (true) ist z.. true,,, ( ( Q)) Q 2) (llgemein)gültigkeit steht zu Inferenz über das Deduktionstheorem in eziehung K α genau, dann wenn (K α) (allgemein)gültig ist 3) Ein Satz ist erfüllbar, wenn er in mindestens einem odell wahr ist z..: Q, R 4) Ein Satz ist unerfüllbar, wenn er in keinem odell wahr ist z..: α ist genau dann unerfüllbar, wenn α allgemeingültig ist 5) Erfüllbarkeit steht zu Inferenz folgendermaßen in eziehung K α genau, dann wenn (K α) unerfüllbar ist (eweis d. Widerspruch)

5 eweismethoden eweismethoden können grob in zwei rten eingeteilt werden: 1) odell-checking - Wahrheitstabelle auflisten (Zeitkomplexität immer exponentiell in n) 2) nwendung von Inferenzregeln: - Korrektes Erzeugen neuer Sätze von alten wahren Sätzen - eweis ist eine Sequenz von nwendungen von Inferenzregeln (an kann Inferenzregeln als Operatoren in Standardsuchalgorithmen verwenden) - enötigt üblicherweise die Transformation von Sätzen in eine Normalform

6 Inferenzregeln odus onens: α β, α β Wenn Sätze der Form α β und α vorgegeben sind, kann β geschlossen werden. z wenn (Wumpushead Wumpuslive) shootund (Wumpushead Wumpuslive) gegeben sind kann shoot geschlossen werden Und-Eliminierung: α β α us einer Konjunktion kann jedes der Konjunkte geschlossen werden eispiel: us (Wumpuslive Wumpushead) kann Wumpuslive geschlossen werden lle logischen Äquivalenzen können als Inferenzregel verwendet werden: α β (α β) (β α) z.. ikonditionalelimierung: und (α β) (β α) α β

7 Inferenz: Wumpus-Welt eispiel Sätze der Wumpus-Welt Wissensbasis K: R1: 1,1 R2: 1,1 1,2 2,1 R3: 2,1 1,1 2,1 3,1 R4: 1,1 R5: 2,1 Wie beweisen wir, dass 1,2? R6: (1,1 (1,2 2,1)) ((1,2 v 2,1) 1,1 ) (ikonditional-elimin. auf R2) R7: (1,2 2,1 ) 1,1 (Und-Eliminierung) R8: ( 1,1 (1,2 2,1)) (Kontraposition) R9: (1,2 2,1) (odus onens auf R8 und R4) R10: 1,2 2,1 (de organ) Weder 1,2 noch 2,1 enthalten eine Falltür

8 Grundlegende nmerkungen Die obige bleitung wird als eweis bezeichnet. Die Suche nach eweisen kann als Ermittlung von ösungen für ein Suchproblem gesehen werden. Die Suche nach eweisen ist eine lternative zur uflistung von odellen Die Suche kann von der anfänglichen Wissensbasis aus vorwärts erfolgen um den Zielsatz abzuleiten oder vom Zielsatz rückwärts (mehr dazu später) Jeder bekannte Inferenzalgorithmus für die ussagenlogik, hat I SCHECHTESTEN Fall eine Zeitkomplexität, die exponentiell zur Eingabegröße ist.

9 Vollständige Inferenz isher gezeigt: Korrektheit der Inferenzregeln Frage: Vollständigkeit von Inferenzalgorithmen? roblem: Suchalgorithmen, wie die iterativ vertiefende Suche ist vollständig in der Hinsicht, dass Sie jedes erreichbare Ziel erreicht. Wenn die verfügbaren Inferenzregeln allerdings ungeeignet sind, ist das Ziel nicht erreichbar (z hätte ein Weglassen der Regel für die ikonditional-eliminierung im letzten eispiel, dazu geführt, dass der eweis nicht erbracht hätte werden können) ösung: Die Inferenzregel Resolution ergibt einen vollständigen Inferenzalgorithmus, wenn sie mit einem beliebigen vollständigen Suchalgorithmus kombiniert wird. Um die Resolution anwenden zu können brauchen wir die sog. konjunktive Normalform

10 Konjunktive Normalform Jeder Satz der ussagenlogik ist logisch äquivalent mit einer Konjunktion von Disjunktionen von iteralen. Ein Satz, der als Konjunktion von Disjunktionen von iteralen ausgedrückt wird, befindet sind in konjunktiver Normalform (KNF) Satz : =D 1 D 2 D n = i=1..n D i mit Disjunktionen D = 1 2 m = i=1..m i Es kann gezeigt werden, dass jeder Satz in einen KNF-Satz umgewandelt werden kann, der eine äquivalente odellmenge besitzt.

11 Resolution Wenn ein Satz in konjunktiver Normalform (KNF) angegeben ist, dann gilt folgende Resolutionsregel (für KNF): wobei li und mj komplementäre iterale sind. z..:

12 eere Klausel Die leere Klausel - eine Disjunktion ohne Disjunkte - ist äquivalent mit false, weil eine Disjunktion nur dann wahr ist, wenn mindestens eines ihrer Disjunkte wahr ist. Eine andere öglichkeit zu erkennen, dass eine leere Klausel einen Widerspruch darstellt, ist die eobachtung, dass sie nur aus der Resolution von zwei komplementären Einheitsklauseln wie etwa α und α entstehen kann. α = KI ist toll R 1 = α R 2 = α

13 Resolutionsalgorithmus eweis durch Widerspruch, d.h. zeige dass K α unerfüllbar ist (K α genau, dann wenn (K α) unerfüllbar ist) eweis ist erbracht wenn einer der folgende Fall eintritt: die Resolutionsregel leitet die leere Klausel ab (dh α ist aus K folgerbar) Der eweis kann nicht erbracht werden wenn eintritt: Es gibt keine neue Klauseln (dh α ist aus K nicht folgerbar)

14 Resolution eispiel

15 Resolution eispiel

16 Vollständige Inferenz mit Resolution Die Resolution ist widerlegungsvollständig, d.h. die Resolution kann immer verwendet werden, um einen Satz zu bestätigen oder zu widerlegen, aber sie kann nicht verwendet werden, um wahre Sätze aufzulisten. Das Vollständigkeitstheorem für die Resolution wird als Resolutionstheorem bezeichnet: Genau dann, wenn eine enge von Klauseln S nicht erfüllbar ist, enthält der Resolutionsschluss RC(S) dieser Klauseln die leere Klausel. Definition Resolutionsschluss RC(S): enge aller duch nwendung der Resolutionsregel auf S erzeugten Klauseln.

17 Vorwärts- und Rückwärtsverkettung Die Vollständigkeit der Resolution macht sie zu einer wichtigen Inferenzmethode. In vielen praktischen Situationen braucht man nicht die ganze eistungsfähigkeit der Resolution. Wissensbasen aus der realen Welt enthalten oft nur eingeschränkte Klauseln, so genannte Horn-Klauseln. Eine Horn-Klausel ist eine Disjunktion von iteralen, von denen höchstens eines positiv ist (=definit (bestimmte) Klausel). eispiel für Horn Klauseln: ( 1,1 reeze 1,1 ) 1,1 gibt die osition des genten an (hier: nicht auf dem Klauselrumpf Quadrat [1,1]) Klauselkopf

18 Horn-Klauseln Drei wichtige Gründe für die Verwendung von Horn-Klauseln 1. Jede Horn-Klausel kann als Implikation geschrieben werden, deren rämisse eine Konjunktion positiver iterale und deren Schluss ein einziges positives iteral ist. eispiel: Die Horn-Klausel 1,1 reeze 1, kann als Implikation (1,1 reeze) 1,1 geschrieben werden. ls Implikation ist der Satz einfacher zu lesen: Wenn ein gent sich auf Quadrat [1,1] befindet und dort ein uftzug zu spüren ist, dann ist [1,1] windig.

19 Horn-Klauseln 2. Inferenz mit Horn-Klauseln kann mit Hilfe von lgorithmen zur Vorwärtsund Rückwärtsverkettung erfolgen, die nachfolgend erklärt werden. Inferenzschritte sind offensichtlich und leicht nachzuvollziehen. 3. Die logische Konsequenz mit Horn-Klauseln kann in einer Zeit ermittelt werden, die linear zur Größe der Wissensbasis ist.

20 Vorwärtsverkettung Idee: Eliminiere jede Regel, deren rämissen in der K erfüllt sind, füge ihre Konsequenz der K hinzu, bis die nfrage gefunden wurde. Vorwärtsverkettung ist korrekt und vollständig für Horn-K.

21 Vorwärtsverkettung eispiel K kann als Und-Oder-Graph dargestellt werden: Konjunktionen werden als Kanten mit ogen dargestellt, Disjunktionen als Kanten ohne ogen

22 Vorwärtsverkettung: eispiel und seien bekannte Fakten Q Zahl unbekannter rämissen

23 Vorwärtsverkettung: eispiel Q

30 Vorwärtsverkettung: lgorithmus Count: Für jede Implikation die Zahl noch unbekannter rämissen genda: ls wahr bekannte, noch nicht verarbeitete Symbole

31 Rückwärtsverkettung Idee: Von nfrage q aus rückwärts arbeiten. eweise q durch Rückwärtsverkettung: rüfe, ob q schon bekannt ist, oder Suche die Implikationen in der K, die q ergeben und beweise durch Rückwärtsverkettung alle rämissen einer dieser Implikationen, aus der q folgt

32 Rückwärtsverkettung eispiel Q

33 Rückwärtsverkettung Q

42 Vorwärts- vs. Rückwärtsverkettung Vorwärtsverkettung und Rückwärtsverkettung sind vollständig korrekt Vorwärtsverkettung ist datengetrieben (=ausgehend von bekanten Fakten (rämissen)), Unter Umständen wird viel ufwand in irrelevante Teilziele gesteckt (Komplexität immer linear zur Größe der K) Rückwärtsverkettung ist zielorientiert, angemessen für roblemlösen: Z.. Wo sind meine Schlüssel?, Wie bring ich KI am schnellsten hinter mich? Komplexität der Rückwärtsverkettung kann durch Optimierungen erheblich kleiner sein als linear zur Größe der K: Vermeide Schleifen: rüfe, ob neues Teilziel bereits auf Ziel Stack ist. Vermeide unnötige rbeit: rüfe, ob neues Teilziel 1. schon als wahr erkannt wurde, oder 2. dieser Versuch fehlgeschlagen ist.

43 genten auf asis der ussagenlogik eispiel Wumpus-Welt: gent beginnt mit einer Wissensbasis die die hysik der Welt beschreibt Startfeld: 1,1,, W1,1 Für jedes weitere Feld: x,y (x,y+1 x,y-1 x+1,y x-1,y) (uftzug) Sx,y (Wx,y+1 Wx,y-1 Wx+1,y Wx-1,y) (Gestank) Wumpus: W1,1 W1,2 W4,4 (es gibt mindestens einen Wumpus) W1,1 W1,2 (es gibt höchstens einen Wumpus) 64 Symbole, 155 Sätze

44 genten auf asis der ussagenlogik lgorithums: Wahrnehmungen werden der Wissensbasis mitgeteilt uswahl welche Randquadrate (=Quadrate neben bereits besuchten Quadraten) als nächstes besucht werden: Ein Quadrat [i,j] ist sicher wenn ( i,j Wi,j) aus der K folgerbar ist. Ein Quadrat [i,j] ist möglicherweise sicher wenn (i,j Wi,j) aus der K nicht folgerbar ist Zeilen in der Wahrheitstabelle (=1.8E19)

45 Grenzen der ussagenlogik Für einen ausschließlich aussagenlogischen genten müssen auch Symbole für die osition des genten wie x,y eingeführt werden. Für jeden Zeitschritt t und osition x,y benötigen wir Sätze wie x,y FacingRight t Forward t x+1,y FacingRight t Turneft t FacingUp t+1 Wir erhalten auch mit einer Obergrenze von vielleicht 100 Zeitschritten Zehntausende Sätze, welche ab einer 100 x 100 Welt die Kapazität derzeitiger Rechner sprengt ussagenlogik ist ausreichend effizient für bestimmte ufgaben innerhalb eines genten, kann jedoch nicht auf Umgebungen unbegrenzter Größe ausgewertet werden. Einfache Formulierung im Rahmen der rädikatenlogik möglich!