Das deduktive System F

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1 Das deduktive System Ziel: Konstruiere ein geeignetes deduktives System = (Ax, R) für die Prädikatenlogik erster Stufe. Geeignet: Korrektheit ( ) und Vollständigkeit ( ) A gdw. = A Σ A gdw. Σ = A Die Definition von System zusammen mit dem Beweis der Vollständigkeit ist ein großer Beitrag von Kurt Gödel ( ). A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

2 Aussagenlogische Tautologien in O und Generalisierung Definition 5.1 Seien A eine aussagenlogische Tautologie, {p 1,...,p n } = V(A), A 1,...,A n O(S) und θ = {p 1 /A 1,...,p n /A n }. Dann heißt Aθ O(S) eine aussagenlogische Tautologien in O(S). Definition 5.2 Seien A O(S) und {x 1,...,x n } V. Die ormel x 1... x n.a ist eine Generalisierung von A. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

3 Sei O 0 (S) die Teilmenge der ormeln aus O(S) über,,,=. Definition 5.3 (Deduktive Systeme ) Das deduktive System = (Ax,R) für O 0 (S) besteht aus den Axiomen, die als Generalisierungen der durch folgende Schemata beschriebenen ormeln gewonnen werden können: Ax1: Aussagenlogische Tautologien in O 0 (S) Ax2: ( x. A) A{x/t} Ax3: ( x. A B) (( x. A) ( x. B)) Ax4: A x. A, falls x / V(A) Ax5: x = x Ax6: x = y (A A ), wobei A aus A durch Ersetzen einiger freier Vorkommen von x durch y entsteht (sofern erlaubt). Das einzige Regelschema ist Modus Ponens: A,A B B A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

4 Deduktionstheorem und Generalisierungstheorem Satz 5.4 Seien Γ O(S) und A,B O(S). a) Deduktionstheorem Γ A B gdw. Γ,A B b) Generalisierungstheorem: alls Γ A und x nicht frei in Γ vorkommt, so Γ x A c) Kontrapositionstheorem: Γ,A B gdw. Γ,B A. Es gelten also für System die für das deduktive System 0 der Aussagenlogik bekannten Sätze. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

5 Konsistenz Definition 5.5 Eine ormelmenge Γ O(S) heißt konsistent, falls es kein A O(S) gibt mit Γ A und Γ A. Bemerkung 5.6 Γ ist konsistent gdw. jede endliche Teilmenge von Γ konsistent ist. Ist Γ inkonsistent, dann gilt Γ A für jede ormel A. Gilt Γ A, dann ist Γ { A} inkonsistent. Ist Γ inkonsistent, so ist Γ nicht erfüllbar. Die Menge der allgemeingültigen ormeln ist konsistent. Die Menge der Theoreme von ist konsistent. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

6 Das deduktive System (ort.) Satz 5.7 (Korrektheit und Vollständigkeit von, Gödel) Seien A O(S) und Σ O(S), dann gilt: a) A gdw. = A. b) Σ A gdw. Σ = A. c) Σ konsistent gdw. Σ erfüllbar. Der Satz der Prädikatenlogik! Beweis: Korrektheit: Ax enthält nur allgemeingültige ormeln und (MP) führt nicht aus der Menge der allgemeingültigen ormeln hinaus. Vollständigkeit: Siehe Enderton. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

7 Theorien erster Stufe Betrachte abgeschlossene ormeln, kurz ormeln in O abg (S). Definition 5.8 Sei S eine Signatur. Eine ormelmenge Γ O abg (S) heißt Theorie erster Stufe, falls Γ abgeschlossen gegenüber logischer olgerung ist: A O abg (S) und Γ = A impliziert A Γ. Nutze T als Bezeichner für Theorien. Alternative Definitionen in der Literatur: Γ Menge an ormeln aus O(S) anstatt O abg (S), abgeschlossen gegen logische olgerung. Γ Theorie, falls Γ abgeschlossen gegen MP und Generalisierung. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

8 Theorien erster Stufe (orts.) Bemerkung 5.9 (und Definition) Sei S eine Signatur. a) T S = {A O abg (S) A allgemeingültig} ist eine Theorie. b) Sei Σ O abg (S). Dann ist T Σ = {A O abg (S) Σ = A} die von Σ erzeugte Theorie oder durch die Axiome Σ definierte Theorie. c) Sei M eine Struktur der Signatur S. Dann ist T M = {A O abg (S) M = A} die Theorie von M. Es ist auch Th(M) als Symbol üblich. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

9 Theorien erster Stufe (orts.) Lemma 5.10 (und Definition) (i) Ist T eine Theorie und A O abg (S), dann gilt T A gdw. A T. (ii) Theorie T heißt inkonsistent, falls es eine ormel A O abg (S) gibt mit T A und T A. In dem all gilt T = O abg (S). (iii) T M ist konsistent für jede Struktur M. (iv) T S ist in jeder Theorie über S enthalten. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

10 Theorien erster Stufe (orts.) Definition 5.11 Sei T eine Theorie erster Stufe über Signatur S. a) T heißt vollständig, falls für jede ormel A O abg (S) gilt: A T oder A T. b) T heißt (endlich, aufzählbar) axiomatisierbar, falls es eine (endliche, aufzählbare) Teilmenge Σ O abg (S) gibt mit T Σ = T. c) T heißt entscheidbar, falls T eine entscheidbare Teilmenge von O abg (S) ist. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

11 Theorien erster Stufe (orts.) Bemerkung 5.12 (a) T M ist vollständig für jede Struktur M. Mit Lemma 5.10 ist T M also konsistent und vollständig. (b) T ist erfüllbar gdw. T ist konsistent. (c) Ist T aufzählbar axiomatisierbar, dann ist T aufzählbar. (d) Ist T vollständig und aufzählbar axiomatisierbar, dann ist T entscheidbar. (e) Ist T vollständig und konsistent, dann T = T M für eine Struktur M. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

12 Axiomatisierung Ziel: inde Axiomatisierungen wichtiger Theorien. Insbesondere: Wann gilt T M = T Σ für Σ aufzählbar. Motivation: Entscheidbarkeit! Problem: Wann ist T Σ vollständig für aufzählbare Σ? A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

13 Axiomatisierung (Presburger) Betrachte die Signatur der Arithmetik ohne Multiplikation: S PA = ({0/ 0,1/ 0,+/ 2 },{=/ 2 }). Die zugehörige Struktur M PA = (N,I PA ) mit der erwarteten Interpretation wird Presburger-Arithmetik genannt. Sei Σ PA die Menge aus folgenden Axiomen und Instantierungen des gegebenen Axiomenschemas (Induktion): x. (x +1 = 0) x. x +0 = x x. y. x +1 = y +1 x = y x. y. x +(y +1) = (x +y)+1 A{z/0} ( x. A{z/x} A{z/x +1}) x. A{z/x}, wobei A O(S PA ) eine ormel mit x V(A) ist. (Null) (Plus Null) (Nachfolger) (Plus Nachfolger) (Induktion) A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

14 Axiomatisierung (Presburger) Satz 5.13 (Vollständige Axiomatisierung der Presburger-Arithmetik) Es gilt T MPA = T ΣPA. Da Σ PA aufzählbar ist, ist T MPA entscheidbar. Vollständigkeit der Axiomatisierung ist anspruchsvoll. Entscheidbarkeit folgt mit Bemerkung 5.12(d). Es lassen sich also geschlossene ormeln aus O(S PA ) automatisch auf Gültigkeit in Presburger-Arithmetik prüfen. Zum Beispiel: w. x. y. z. x +2y +3w = z +13? Man beachte die Quantoren und vergleiche mit Gauß-Elimination. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

15 Axiomatisierung (Gödel und Peano) Betrachte die Signatur der vollen Arithmetik: S Arith = ({0/ 0,1/ 0,+/ 2, / 2 },{=/ 2 }). Die zugehörige Struktur M Arith = (N,I Arith ) mit der erwarteten Interpretation wird (irst-order-)arithmetik genannt. Satz 5.14 (Gödel) T MArith ist nicht entscheidbar. Konsequenz 1: T MArith ist nicht aufzählbar axiomatisierbar. Konsequenz 2: Jedes aufzählbare Axiomensystem für T MArith ist unvollständig. Die Konsequenzen ergeben sich aus Bemerkung 5.12(a) und (d). A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

16 Axiomatisierung (Gödel und Peano) Insbesondere sind die Peano-Axiome Σ Peano keine vollständige Axiomatisierung von T MArith mit A O(S Arith ) und x V(A): x. (x +1 = 0) x. x +0 = x x. y. x +1 = y +1 x = y x. y. x +(y +1) = (x +y)+1 A{z/0} ( x. A{z/x} A{z/x +1}) x. A{z/x} (Null) (Plus Null) (Nachfolger) (Plus Nachfolger) (Induktion) x. x 0 = 0 x. y. x (y +1) = x y +x (Mal Null) (Mal Nachfolger) Es gibt also abgeschlossene ormeln A O(S Arith ) mit M Arith = A, für die T ΣPeano = A nicht gilt. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

17 Axiomatisierung zur Spezifikation von Strukturen Beobachtungen: ragen: In allen Modellen einer vollständigen Theorie (beispielsweise T ΣPA ) gelten die gleichen ormeln. Bei Modellen M einer unvollständigen Theorie T Σ (beispielsweise T ΣPeano ) kann es A O(S) geben mit M = A, aber nicht T Σ = A. Gibt es Theorien mit genau einem Modell? Kann man eine gegebene Struktur durch eine Theorie eindeutig axiomatisieren? Haben T ΣPA und T ΣPeano mehrere Modelle? Satz 5.15 T ΣPA und T ΣPeano haben außer M PA und M Arith weitere Modelle, sogenannte Nicht-Standardmodelle. Beweis: siehe Vorlesung A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194

18 Axiomatisierung (Arrays) Gegeben seien unktionen für Lese- und Schreibzugriffe auf Arrays: S McC = ({read/ 2,write/ 3 },{=/ 2 }). Betrachte McCarthys Array-Axiome Σ McC : x. x = x x. y. x = y y = x x. y. z. x = y y = z x = z (Reflexivität) (Symmetrie) (Transitivität) a. i. j. i = j read(a,i) = read(a,j) (Array-Kongruenz) a. v. i. j. i = j read(write(a,i,v),j) = v (Read-Write 1) a. v. i. j. i j read(write(a,i,v),j) = read(a,j) (Read-Write 2) Satz 5.16 T ΣMcC ist nicht entscheidbar, insbesondere also nicht vollständig. Entscheidbare ragmente sind aktives orschungsgebiet, Aaron Bradley 06. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe / 194