NP-vollst. u. NP-äquiv. Probleme

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1 NP-vollst. u. NP-äquiv. Probleme Literatur: Kapitel K6. Ziel: Weitere Probleme kennen lernen (und damit weitere Basisprobleme für eigene Reduktionen) Weitere Beispiele für NP-Vollständigkeitsbeweise kennen lernen. 235

2 Bisher bewiesen (vgl. Folie 189) Partition p BP SAT = p 3-SAT p p IS = p Clique = p VC DHC = p HC = p TSP 2,,sym NP-vollständig 2-SAT P (Übungen) 236

3 Folgerung Die Optimierungsvarianten von IS, Clique, VC und TSP sind NP-äquivalent. 237

4 Rucksackprobleme [K6.3] Subset Sum Problem (SSS) Eingabe: Zahlen a 1,...,a n, G. Frage: Gibt es eine Menge I {1,...,n}, so dass i I a i = G? Satz K6.3.1: SSS ist NP-vollständig. Beweis: 1. SSS NP. 2. Reduktion von 3-SAT. Reduktion mit verbundenen Komponenten 238

5 3. Angabe der Funktion f. Eingabe für 3-SAT: Variablen x 1,...,x n, Klauseln C 1,...,C m. Zahlen der SSS-Eingabe: - n+m Ziffern in Dezimaldarstellung. - Für jede Variable x i zwei Zahlen a i und b i : C 1 C 2... C j... C m... x i... a i b i x 1 x 2 falls C j x i enthält falls C j x i enthält x n 239

6 Für jede Variable x i : C 1 C 2... C j... C m... x i... a i b i Für jede Klausel C j : d j C 1 C 2... C j... C m e j Summe G: G C 1 3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2... x i... x n x n C 2... C j... C m... x i x n 240

7 C 1 x 4 b a a a d 1 e 1 1 e 2 d C 2 3 C 3 3 C 4 3 x 1 1 x 2 1 x C 1 = x 1 x 2 x 3, C 2 = x 1 x 2 x 4, C 3 = x 1 x 3 x 4, C 4 = x 2 x 3 x

8 Korrektheit : Sei z=(z 1,...,z n ) erfüllende Belegung. Wähle die Zahl a i, falls z i =1, b i, falls z i =0. Summe für Variablenstellen stimmt. Da z erfüllend, sind in jedem C j 1, 2 oder 3 Literale erfüllt. 1 erfülltes Literal: Wähle d j und e j. 2 erfüllte Literale: Wähle d j. Summe für die Klauselstellen stimmt. 242

9 Korrektheit : Sei Auswahl der Zahlen mit Summe G gegeben. Falls a i gewählt: z i =1. Falls b i gewählt: z i =0. Behauptung: Dies ist erfüllende Belegung. a i und b i können nicht beide gewählt sein. Für jede Klausel C j muss mindestens eine 1 von einem a i oder b i kommen Zugehöriges Literal erfüllt. 243

10 Spezialfälle/Restriktionen Allgemein gilt: Sei A NP, sei B NP-vollständig und ein Spezialfall von A. Dann ist auch A NPvollständig. Beweis: Es ist B p A: Spezialfall bedeutet: Eine Eingabe für A entsteht aus einer Eingabe für B durch Konstantsetzen einiger Teile. Diese Abbildung ist als Funktion f der Reduktion geeignet. 244

11 Rucksackproblem Knapsack (KP) Eingabe: n Objekte mit Nutzenwerten a 1,...,a n und Gewichten g 1,...,g n, Gesamtgewicht G, Nutzenschranke B. Frage: Gibt es eine Auswahl der Objekte mit Nutzen mindestens B und Gesamtgewicht höchstens G? KP*: Spezialfall mit G=B und a i =g i. 245

12 Folgerung K6.3.2: KP und KP* sind NP-vollständig. Beweis: KP* und SSS sind äquivalent. KP ist Verallgemeinerung von KP*. Restriktion 246

13 Partition Zur Erinnerung: Eingabe: Natürliche Zahlen a 1,...,a n. Frage: Gibt es I {1,...,n} mit Folgerung K6.3.2: Partition ist NP-vollständig. Problem: Partition ist ein Spezialfall von SSS. Verkehrte Richtung für Restriktion. 247

14 Beweis Reduktion SSS p Partition: Sei X=(a 1,...,a n,g) Eingabe für SSS. Sei S*=a a n. Konstruiere Partition-Eingabe: Y=(a 1,..., a n, a n+1 =2S* G, a n+2 =S*+G) erzwingende Komponenten Beob: a a n + a n+1 + a n+2 = 4S*. 248

15 X=(a 1,...,a n,g) Korrektheit: Y=(a 1,..., a n, a n+1 =2S* G, a n+2 =S*+G) : Sei I Lösung von X, also i I a i =G: Dann ist I {n+1} Lösung von Y. : Sei J Lösung für Y. Falls n+1 J, vertausche J und J={1,...,n+2} J. Dann ist J {n+1} eine Lösung für X. 249

16 Aufteilung u. Lastverteilung [K6.4] Wir haben bereits gezeigt: Partition p BP. Folgerung K6.4.1: BP ist NP-vollständig. BP Eingabe: n Objekte mit Größen a 1,...,a n, Kistengröße b, Zahl k. Aufgabe: Genügen k Kisten der Größe b, um alle Objekte zu verpacken? 250

17 Sequencing with Intervals (SWI) Eingabe: A={a 1,...,a n } Menge v. Aufgaben mit l(a): Bearbeitungsdauer von Aufgabe a, length r(a): frühester Bearbeitungszeitpunkt von a, d(a): Deadline für a release time Frage: Können die Aufgaben von einem Prozessor so bearbeitet werden, dass keine Aufgabe unterbrochen wird und alle Bedingungen eingehalten werden? 251

18 Satz K6.4.2: SWI ist NP-vollständig. Beweis: 1. SWI NP klar. 2. Reduktion Partition p SWI 3. Eingabe f. Partition: X=(s 1,...,s n ). Sei S = s s n, ist o.b.d.a. gerade Zahl. Erzeuge n+1 Aufgaben a 1,...,a n+1. Für 1 i n: l(a i )=s i, r(a i )=0, d(a i )=S+1, l(a n+1 )=1, r(a n+1 )=S/2, d(a n+1 )=S/2+1. a n+1 0 S/2 S/2+1 S+1 252

19 Cliquenprobleme [K6.5] Graphisomorphie (GI) Eingabe: Graphen G 1 =(V 1,E 1 ), G 2 =(V 2,E 2 ). Frage: Sind G 1 und G 2 isomorph, d.h., gibt es eine Funktion f : V 1 V 2 mit {v 1,v 2 } E 1 {f(v 1 ),f(v 2 )} E 2? GI NP klar. Für GI kennt man weder einen polyn. Algo., noch einen NP-Vollst.beweis. 253

20 Teilgraphisomorphie Subgraph Isomorphism (SI) Eingabe: Graphen G 1 =(V 1,E 1 ), G 2 =(V 2,E 2 ). Frage: Gibt es einen Teilgraphen von G 1, der zu G 2 isomorph ist? Teilgraph von G 1 : Knotenmenge V V 1. Kantenmenge: Alle Kanten aus E 1, die zwischen Knoten aus V verlaufen. 254

21 Satz K6.5.1: SI ist NP-vollständig. Beweis: 1. SI NP klar. 2. Reduktion Clique p SI. 3. Eingabe für Cliquenproblem: (G,k). Sei G 1 =G, G 2 =vollständiger Graph auf k Knoten. 4. G enthält k-clique Restriktion G 1 enthält zu G 2 isomorphen Subgraphen. 255

22 Graphfärbbarkeit Graph Colorability (GC) Eingabe: Unger. Graph G=(V,E), Zahl k. Frage: Können die Knoten von G mit k Farben gefärbt werden, so dass benachbarte Knoten verschieden gefärbt werden? 256

23 Bsp: Färben von Landkarten 257

24 Satz K6.5.2: GC ist NP-vollständig. Beweis: 1. GC NP klar. 2. Reduktion von 3-SAT. 3. Sei 3-SAT-Eingabe mit Variablen x 1,...,x n und Klauseln C 1,...,C m gegeben. Wähle k=3 (3 Farben) 258

25 Komponenten für Klauseln: v 1 v 2 w v 3 Beob. (für legale 3-Färbungen): 1.Wenn v 1, v 2 und v 3 dieselbe Farbe haben, dann hat auch w diese Farbe. 2.Wenn einer der v-knoten die Farbe 1 hat, kann auch w die Farbe 1 bekommen. 259

26 x 1 C 1 =x 1 x 2 x n 3 u x 2 x 1 x 2 C 2 w 1 x n x n 2 260

27 Korrektheit Sei erfüllende Belegung gegeben. x i =0: x i -Knoten bekommt Farbe 2, x i -Knoten bekommt Farbe 1. x i =1: x i -Knoten bekommt Farbe 1, x i -Knoten bekommt Farbe 2. Da die Belegung erfüllend ist, kann jede Klauselkomponente so gefärbt werden, dass w die Farbe 1 bekommt. 261

28 Korrektheit Sei legale Färbung gegeben. O.B.d.A.: w hat Farbe 1, u hat Farbe 3. Variablenknoten haben Farben 1 und 2. x i -Knoten hat Farbe 1: Belegung x i =1, x i -Knoten hat Farbe 2: Belegung x i =0. Annahme: C j dadurch nicht erfüllt. Alle v-knoten von C j haben Farbe 2 w hat Farbe 2. Widerspruch. 262

29 Spezialfall: festes k k-gc Eingabe: Graph G Frage: Ist G mit k Farben färbbar? Folgerung K6.5.3: 3-GC ist NP-vollständig. Übungsaufgaben: Zeige, dass 2-GC P. Zeige, dass k-gc für alle k 3 NP-vollständig ist. 263

30 Zusammenfassung Kompl.theorie Betrachtete Rechnermodelle: Turingmaschinen, Registermaschinen Varianten: deterministisch, randomisiert, nichtdeterministisch Komplexitätstheorie für randomisierte Algorithmen Komplexitätsklassen ZPP, RP, BPP, PP Probability Amplification Nichtdeterminismus als Spezialfall von Randomisierung 264

31 Zusammenfassung Kompl.theorie Zentrale Begriffe der NP- Vollständigkeitstheorie Turing-Reduktionen und polynomielle Reduktionen NP-vollständige und NP-schwere Probleme Satz von Cook, Vereinfachung von Beweisen der NP-Vollständigkeit Zahlreiche Reduktionen zwischen verschiedenen Problemen 265

32 Fazit NP-Vollständigkeit Ein Beweis der NP-Vollständigkeit liefert eine starken Hinweis darauf, dass ein Problem keinen polyn. Algo hat. Nutzen Keine Zeit dafür ver(sch)wenden, einen Algo zu suchen, den es wohl nicht gibt. Beweis liefert Hinweise darauf, was an dem Problem schwer ist Überlegen, ob wir das richtige Problem lösen. Fehlgeschlagene Versuche liefern Hinweise auf polynomielle Algos. 266

33 Fazit NP-Vollständigkeit (Forts.) Reduktionen mit verbundenen Komponenten erlauben es, Beziehungen zwischen nicht verwandten Problemen herzustellen. 3-SAT ist häufig ein Ausgangsproblem für Reduktionen. 267