Zusammenfassung. Warum polynomielle Reduktionen? Definition NP-vollständig [K5.1.1] NP-Vollständigkeitstheorie [K5]

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1 Warum polynomielle Reduktionen? erlauben feinere Unterteilungen von Komplexitätsklassen als Turing- Reduktionen, genügen für die betrachteten Probleme, für alle von uns betrachteten Komplexitätsklassen C gilt: A p B und B C A C, für T gilt dies möglicherweise nicht, historisch bedingt. Zusammenfassung 2-DM, NF, Meisterschaft P Partition p BP SAT = p 3-SAT p p IS = p Clique = p VC DHC = p HC = p TSP 2,,sym NP-Vollständigkeitstheorie [K5] Ziel: Finde eine Klasse von Problemen, die viele praktisch relevante Probleme enthält, die außerhalb von P liegt, wenn P NP gilt. Idee: Suche Äquivalenzklasse von = p mit den schwierigsten Problemen in NP. Schwierigste Probleme : diejenigen, auf die sich alle anderen reduzieren lassen. Definition NP-vollständig [K5.1.1] Sei A ein Entscheidungsproblem. A heißt NP-vollständig (bez. p ), falls 1. A NP und 2. L NP: L p A. Analog kann C-vollständig (bez. ) für andere Komplexitätsklassen C und andere Reduktionsbegriffe ( ) definiert werden

2 Definition NP-schwer [K5.1.2] Eigenschaften v. NP-vollst. Probl. Sei A ein Problem. A heißt NP-schwer (NP-hart), falls L NP: L T A. A heißt NP-einfach (NP-leicht), falls L NP: A T L. A heißt NP-äquivalent, falls A NP-einfach und NP-schwer ist. Die NP-vollständigen Probleme bilden eine Äquivalenzklasse von = p. Beweis: 1. Seien A und B NP-vollständig A NP und L NP: L p B A p B. Analog folgt: B p A. 2. Sei A= p B und sei B NP-vollständig A NP und Beachte: Hier T statt p. L NP: L p A (später) Eigenschaften v. NP-vollst. Probl. Falls ein NP-vollständiges oder NPschweres Problem einen polyn. Algorithmus hat, folgt P=NP. Kontraposition: Falls P NP, hat kein NPvollständiges und kein NP-schweres Problem einen polyn. Algorithmus. Ist P NP oder P=NP? Es sind Tausende von NP-vollständigen Problemen bekannt; für keines kennt man einen polyn. Algorithmus. Vermutung: P NP. Beweis schwierig, da man eine Aussage über alle polyn. Algorithmen beweisen muss. Für die Lösung der Frage: Preisgeld von 1 Million Dollar

3 Probleme in NP 1. Schritt eines NP-Vollständigkeitsbeweises: Zeige, dass das Problem in NP. Für alle betrachteten (Entsch.)Probleme ist dies sehr einfach: Sei n die Eingabelänge und l(n) die Länge möglicher Lösungen. Erzeuge l(n) Zufallsbits. Teste in polyn. Zeit, ob diese eine Lösung codieren. 198 Beispiel: TSP dec Eingabe: n Städte, Entfernungsmatrix, Schranke B. Nichtdet. Algorithmus: Erzeuge n log n Zufallsbits. Teste, ob in den n Blöcken mit log n Bits jede Zahl aus 1,...,n genau einmal vorkommt. Interpretiere diese Folge als Permutation, berechne die Kosten der zug. Tour und vergleiche das Ergebnis mit B. 199 Analyse Offensichtlich: Rechenzeit polynomiell. 1. Fall: Eingabe hat Lösung mit Kosten B. Diese Lösung wird mit Wkeit >0 ausgewürfelt. 2. Fall: Eingabe hat keine Lsg. mit Kosten B. Dann wird keine solche Lösung ausgewürfelt. Analoge Vorgehensweise funktioniert für sehr viele weitere Probleme. NP enthält die Entscheidungsprobleme, bei denen die Korrektheit einer gegebenen Lösung in polynomieller Zeit überprüft werden kann. Insgesamt: TSP dec NP

4 2. Schritt eines NP-Vollständigkeitsbeweises: Zeige, dass sich alle Probleme aus NP auf das betrachtete Problem reduzieren lassen. Offensichtlich schwieriger. Überblick: 1. Vorbereitende Schritte: - Alternative Charakterisierung von NP. - Stereotype Turingmaschinen. 2. Satz von Cook: SAT ist NP-vollständig. Alternative Charakt. von NP [K5.3] Beweis von TSP dec NP hatte 2 Phasen: 1. Erzeugung der Zufallsbits ( Raten ). 2. Verifikation, dass diese eine Lösung codieren deterministische Rechnung. Rate-Verifikations-Modus von NTMs Beobachtung: Jeder polyn. zeitbeschränkte randomisierte Algorithmus kann in den Rate-Verifikations-Modus gebracht werden Rate-Verifikations-Modus Umwandlung eines rand. Algorithmus: Bei Eingabelänge n genügen p(n) Zufallsbits, wobei p Polynom. 1. Rate-Phase: Erzeuge p(n) Zufallsbits und speichere diese. 2. Verifikationsphase: Simuliere den geg. Algorithmus. Immer wenn er ein Zufallsbit braucht, nimm ein neues der gespeicherten Zufallsbits. Resultat: Äquivalenter randomisierter Algo. 204 Deterministische Simulation von NP Satz K5.3.1: Jedes Problem aus NP kann deterministisch in Zeit 2 q(n) für ein geeignetes Polynom q gelöst werden. Beweis: Sei L NP und A ein nichtdet. Rate-Verif.-Algo für L mit Rechenzeitschranke p(n). Zähle alle 2 p(n) Strings aus {0,1} p(n) auf und simuliere nacheinander A für diese Wahl von Zufallsbits. Rechenzeit: O(2 p(n) p(n)) 2 q(n). 205

5 Charakterisierung von NP Satz K5.3.2: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1. L NP. 2. Es gibt ein Entscheidungsproblem L P und ein Polynom p, so dass L = {x z {0,1} p(n) : (x,z) L }. Beweis: : Sei L NP und A ein nichtdet. Rate- Verif.-Algo mit Rechenzeitschranke p(n). L : Sprache, die von der (determ.) Verifikationsphase akzept. wird L P. 206 : Seien L und p gemäß 2. gegeben. Konstruktion einer NTM für L: Schreibe zufällig p(n) Bits Vektor z. Simuliere die DTM M für L auf der Eingabe x und dem Zufallsvektor z. Analyse: - x L z {0,1} p(n) : (x,z) L. Dieses z wird mit positiver Wkeit erzeugt. - x L z {0,1} p(n) : (x,z) L. Also wird mit Wkeit 0 akzeptiert. 207 Charakterisierung von co-np Beweis durch Nachrechnen Erinnerung: co-np ist die Menge der Entscheidungsprobleme, deren Komplement in NP ist. Folgerung: Folgende Aussagen sind äquivalent: 1. L co-np. 2. Es gibt ein Entscheidungsproblem L P und ein Polynom p, so dass L = {x z {0,1} p(n) : (x,z) L } 208 L co-np L NP Es gibt L P und ein Polynom p mit L = {x z {0,1} p(n) : (x,z) L } Es gibt L P und ein Polynom p mit L = {x z {0,1} p(n) : (x,z) L } L P 209

6 Ist NP=co-NP? Wir haben gezeigt: L NP Es gibt L P und ein Polynom p mit L = {x z {0,1} p(n) : (x,z) L } L co-np Es gibt L P und ein Polynom p mit L = {x z {0,1} p(n) : (x,z) L } Stereotype Turingmaschinen Noch unrealistischere Variante von Turingmaschinen, die Beweise einfacher macht. Definition: Eine Turingmaschine heißt stereotyp (engl. oblivious), wenn die Kopfposition bis zum Halten der Maschine nur von der Nummer des Rechenschritts abhängt. Vermutung: NP co-np Stereotype Simulation Lemma K5.4.2: Jede TM M kann durch eine stereotype TM M simuliert werden. Für t Schritte von M genügen O(t 2 ) Schritte. Wenn M deterministisch (randomisiert) ist, dann ist es auch M. t=1 t= Schritte 8 Schritte Idee: Zum Zeitpunkt t ist der Kopf von M im Bereich t,...,t. t=3 M probiert alle möglichen Positionen aus. 12 Schritte

7 Ablaufen der möglichen Kopfpos. Setze Markierungen und an Position 0. In jedem simulierten Schritt: Verschiebe um 1 nach rechts. Verschiebe um 1 nach links. Kostet 4j Schritte für die Simulation des j-ten Schritts. Insgesamt Schritte. 214 Simulation von M Verwende weitere Markierung K, um Kopfpos. von M zu merken. Speichere den Zustand q von M. Wenn K gefunden: δ(q,a) berechnen und speichern. Kopfbewegung 0: K nicht verändern. Kopfbewegung 1 und Durchlauf nach rechts: K im nächsten Schritt schreiben. Kopfbewegung 1 und Durchlauf nach links: K beim Rücklauf des Kopfes schreiben. 215 Realisierung der Markierungen Vergrößerung des Bandalphabets. Sei Γ das Bandalphabet der zu sim. TM. Neues Bandalphabet: Γ = Γ {,B} {,B} {K,B} Der Satz von Cook [K5.4] Satz K5.4.3: SAT ist NP-vollständig. Zur Erinnerung: Definition von SAT Eingabe: Formel F in konjunktiver Form. Frage: Gibt es eine Belegung x der Variablen, so dass F (x)=1? Aufwändiger Beweis

8 Nutzen Weitere NP-Vollständigkeitsbeweise werden einfacher. Lemma: Sei A NP-vollständig, A p B und B NP. Dann ist auch B NP-vollständig. Beweis: SAT ist NP-vollständig 1. SAT NP: - Variablenbelegung auswürfeln. - Teste, ob geg. Formel erfüllt. L NP: L p A p B Trans. von p : L NP: L p B B NP B NP-vollständig