Theoretische Informatik 1

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1 Theoretische Informatik 1 Platzkomplexität David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz

2 Platzkomplexität Platzkomplexitätsklassen Zeit vs. Platzbedarf Zeit beschränkt Platz Platz beschränkt Zeit Satz von Savitch Satz von Savitch Konstruktion der Maschine Übersicht Konsequenzen Deterministische vs. nichtdeterministische Platzkomplexitätsklassen Zusammenfassung

3 Häufig gebrauchte Zeitkomplexitätsklassen Deterministische Zeitkomplexitätsklassen: P = DTIME(n k ) k N EXP = k N DTIME(2 nk ) Nichtdeterministische Zeitkomplexitätsklassen: NP = NTIME(n k ) k N NEXP = NTIME(2 nk ) k N

4 Platzkomplexität Komplexität gemessen anhand des verwendeten Platzes/Speichers (Anzahl der besuchten Bandquadrate) Zeit und Platz sind wichtigste Ressourcen Modell zum Messen der Platzkomplexität: wieder TM Platz mächtiger als Zeit: Platz kann wiederverwendet werden Angabe des Platzbedarfes: wieder als Funktion der Inputgröße n

5 DSPACE und NSPACE Definition (Die Platzkomplexitätsklassen DSPACE und NSPACE) Analog zu DTIME und NTIME sind die Platz-Komplexitätsklassen DSPACE und NSPACE definiert als DSPACE(s(n)) = { A Σ DTM T : ft = f A S T (n) = O(s(n)) } NSPACE(s(n)) = { A Σ NTM T : ft = f A S T (n) = O(s(n)) }

6 Sublineare Platzkomplexität Für Platz kann es sinnvoll sein sublineare Platzkomplexität zu betrachten. Damit dies noch sinnvoll möglich ist treffen wir folgende Einschränkung zum Messen von Platz < n: 1) Wir betrachten nur Entscheider-TM. 2) Das erste Band der TM darf nur gelesen werden. 3) Der Lesekopf auf dem ersten Band darf zu keinem Zeitpunkt nach links bewegt werden. Nur wenn diese Regeln eingehalten werden kann die TM zum Messen von Platz < n verwendet werden! (Der Platz auf Band 1 wird vernachlässigt)

7 Häufig gebrauchte Platzkomplexitätsklassen Deterministische Platzkomplexitätsklassen: L = DSPACE(log n) 1 PSPACE = k N EXPSPACE = DSPACE(n k ) k N DSPACE(2 nk ) Nichtdeterministische Komplexitätsklassen: NL = NSPACE(log n) 1 NPSPACE = k N NEXPSPACE = NSPACE(n k ) k N NSPACE(2 nk ) 1 benötigt TM mit separatem Input-Band

8 Zeit beschränkt Platz Gegeben TM T mit Zeitkomplexität T T (n) Was ist der maximale Platzbedarf S T (n) dieser Maschine? Anzahl der besuchten Bandquadrate stets beschränkt durch Anzahl der Zeitschritte Gilt auch für Nichtdeterminismus

9 Zeit beschränkt Platz Anzahl der besuchten Bandquadrate stets beschränkt durch Anzahl der Zeitschritte Satz (Zeit beschränkt Platz) Für jede beliebige TM T gilt: S T (n) T T (n) Daraus folgt, dass in f (n) Platz mehr Sprachen entschieden werden können als in f (n) Zeit und daher: DTIME(f (n)) DSPACE(f (n)) NTIME(f (n)) NSPACE(f (n))

10 Platz beschränkt Zeit Gegeben Entscheider-TM T mit Platzkomplexität S T (n) Was ist der maximale Zeitbedarf dieser Maschine, gegeben dass sie hält? Kann überhaupt eine Aussage getroffen werden?

11 Wiederholung: Konfiguration Definition (Konfiguration einer DTM) Wir definieren die Konfiguration κ einer DTM zu einem beliebigen Zeitpunkt der Berchnug als das Tupel κ = (α, q, β) Γ Q Γ wobei q ist der aktuelle Zustand α ist das Wort links vom Kopf, β ist das Wort unter und rechts vom Kopf, und wird als α q β angeschrieben z.b: q , 100q 1 111, q

12 Maximale Anzahl an Konfiguration Zeitkomplexität bekannt: S T (n) = f (n) κ = (α, q, β) Γ f (n) Q Γ f (n) Beispiel: Γ = {0, 1, }, Q = {s, t}, Platz 3 κ { s t s0 t0 s1 t1 s00 t00 s01 t01 s10 t10 s11 t11 s000 t000 s001 t001 s010 t010 s011 t011 s100 t100 s101 t101 s111 t111 0s 0t 0s0 0t0 0s1 0t1 0s00 0t00 0s01 0t01 0s10 0t10 0s11 0t11 1s 1t 1s0 1t0 1s1 1t1 1s00 1t00 1s01 1t01 1s10 1t10 1s11 1t11 00s 00t 00s0 00t0 00s1 00t1 01s 01t 01s0 01t0 01s1 01t1 10s 10t 10s0 10t0 10s1 10t1 11s 11t 11s0 11t0 11s1 11t1 11s1 11t1 } Anzahl der möglichen Konfigurationen (κ): O( Q Γ f (n) ) = O(2 f (n) )

13 Platz beschränkt Zeit Gegeben Entscheider-TM T mit Platzkomplexität S T (n) Was ist der maximale Zeitbedarf diese Maschine, gegeben dass sie hält? Maximaler Berechnungspfad besucht alle Konfigurationen und hält dann, sonst Endlosschleife! Anzahl der Konfigurationen (κ) = maximaler Zeitbedarf: O( Q Γ f (n) ) = O(2 f (n) )

14 Platz beschränkt Zeit Diese Aussage gilt auch für nichtdeterministische Entscheider-TM. Zwar ist es möglich eine NTM zu bauen, die sowohl Endlosschleifen als auch akzeptierende Pfade besitzt. Laut Definition sind solche Turingmaschinen aber keine gültigen Entscheider mehr! Daher gilt ebenfalls für Entscheider-NTM T : S T (n) = f (n) T T (n) O( Q Γ f (n) ) = O(2 f (n) )

15 Platz beschränkt Zeit Satz (Platz beschränkt Zeit) Für jede beliebige TM T gilt: S T (n) = f (n) T T (n) O(2 f (n) ) daraus folgt: DSPACE(f (n)) DTIME(2 f (n) ) NSPACE(f (n)) NTIME(2 f (n) ) daraus folgt z.b.: L P

16 Satz von Savitch Der Satz von Savitch ist ein wichtiges Resultat für die Platzkomplexität. Er zeigt, dass sich NTM auf DTM mit geringem Mehraufwand an Platz simulieren lassen. Satz (Satz von Savitch) Für jede Funktion f : N R +, wobei f (n) n, gilt NSPACE(f (n)) DSPACE(f 2 (n)) Walter Savitch

17 Vorüberlegungen Beweis durch Konstruktion: Wir konstruieren eine O(f (n) 2 )-platzbeschränkte DTM T, die eine f (n)-platzbeschränkte NTM T simuliert Wenn Platz O(f (n)), dann ist Zeit O(2 f (n) )-beschränkt Naiver Ansatz: Alle Pfade Aufzählen kostet O(2 f (n) ) Platz

18 Vorüberlegungen Wir konstruieren eine O(f (n) 2 )-platzbeschränkte DTM T, die eine f (n)-platzbeschränkte NTM T simuliert Platzbedarf einer Konfiguration: O( Q + f (n)) = O(f (n)) Maximale Anzahl an Konfiguration die auf einmal gespeichert werden können: O(f (n))

19 Vorüberlegungen Eine alternative Art die Berechnung einer TM T zu implementieren: T codiert die Logik, ob eine Konfiguration κ 2 von einem anderen Zustand κ 1 erreicht werden kann Formal wieder ein Entscheidungsproblem ( ja / nein ) YIELDABILITY: Kann κ 2 von Zustand κ 1 in t Schritten erreicht werden?

20 YIELDABILITY YIELDABILITY: Kann κ 2 von Zustand κ 1 in t Schritten erreicht werden? Für t = 1 sehr einfach Wenn Kopfposition um mehr als 1 geändert entscheide mit nein Ansonsten: Überprüfe ob mittels des Programms der TM κ 2 von κ 1 aus erreicht werden kann Wenn ja entscheide mit ja sonst mit nein

21 Beweisidee Wir beweisen den Satz von Savitch durch Lösen von YIELDABILITY Seien κ 1 und κ 2 zwei Konfigurationen einer TM Die Funktion CANYIELD(κ 1, κ 2, t) entscheidet ob κ 2 von κ 1 aus in t schritten erreicht werden kann Wir zeigen eine Version von CANYIELD die mit O(f 2 (n)) Platz läuft

22 Beweis: Satz von Savitch Damit dies funktioniert treffen wir folgende Annahmen für T (keine Einschränkung des Maschinenmodells): Es gibt genau eine Startkonfiguration κ 0 = q 0 w und genau eine Endkonfiguration κ N = h (T räumt auf und hält im Haltezustand h) Nach maximal N = 2 f (n) Schritten wird κ N erreicht

23 4 3 4 CANYIELD Divide & Conquer Rekursiver Aufruf der Funktion CANYIELD In jeder Ebene der Rekursion werden alle Konfigurationen als möglicher Zwischenschritt untersucht Pro Ebene muss nur eine Konfiguration gespeichert werden (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 4 (, ) (, )

24 CANYIELD Divide & Conquer Algorithmus CANYIELD(κ 1, κ 2, t) 1. Wenn t = 1 teste ob κ 1 = κ 2, oder ob κ 2 in einem Schritt von κ 1 aus erreicht werden kann. Berichte ja wenn dies zutrifft, sonst nein. 2. Wenn t > 1 dann iteriere über alle möglichen Konfiguration κ m mit Platzbedarf f (n) 3. rufe CANYIELD(κ 1, κ m, t 2 ) auf 4. rufe CANYIELD(κ m, κ 2, t 2 ) auf 5. wenn beide Aufrufe ja ergaben, gib ja aus. 6. Wenn noch keine Ausgabe, gib nein aus.

25 CANYIELD: Veranschaulichung (, ) 8 (, 4) ( 4, 8) (, 2 ) ( 2, 4) (, ) (, )

26 Platzanalyse Die Rekursionstiefe von CANYIELD ist logarithmisch in t Also: log O(2 f (n) ) = O(f (n)) In jeder Rekursion muss die Konfiguration einer TM gespeichert werden Platzbedarf gesamt: O(f (n)) O(f (n)) = O(f 2 (n)) Simulation einer beliebigen NTM möglich durch Aufruf CANYIELD(κ 0, κ N, 2 f (n) )

27 Konsequenzen Deterministische und nichtdeterministische Platzkomplexitätsklassen sind identisch: NPSPACE = NSPACE(n k ) = DSPACE(n 2 k ) = PSPACE k N NEXPSPACE = EXPSPACE Gilt aber nicht für L: k N k N NSPACE(2 nk ) = k N NL = NSPACE(log n) = DSPACE(log 2 n) L DSPACE(2 2 nk ) =

28 Konsequenzen Anders als bei Zeit wo man annimmt P NP, zeigt der Satz von Savitch, dass NSPACE tatsächlich nicht existiert (i.e. nicht als eigenständige Klasse angesehen werden kann)! Man spricht daher stets nur von den Platzkomplexitätsklassen: PSPACE, EXPSPACE,... Einzige Ausnahme: NL Die Frage ob L = NL, ist nicht entschieden und es gilt daher L NL

29 Zusammenfassung Satz von Savitch: NPSPACE = PSPACE, NEXPSPACE = EXPSPACE,... Zeitkomplexität vs. Platzkomplexität: L P Weiters gilt: NP PSPACE