Theoretische Informatik - Zusammenfassung!

Transkript

1 Theoretische Informatik - Zusammenfassung Foliensatz 1 Notationen und formale Werkzeuge Für die Beschreibung der Komplexität eines Programms ist die Landau-Notation wichtig. Formal beschreibbare Probleme - Probleme in Graphen - Probleme in boolschen Schaltkreise - Formale Sprachen Boolsche Schaltkreise - Ansammlung von Logikgattern gj und Eingängen xj - verbunden durch Leitungen - Zyklen sind nicht erlaubt - erlaubte Logikgatter: UND, ODER, NICHT Probleme in Zusammenhang mit boolschen Schaltkreisen - CIRCUIT-VALUE: Gegeben eine Eingabe x1.. xj, berechne die Ausgabe y. - CIRCUIT-SAT: Ermittle eine Belegung für x1.. xj, für die y wahr wird. Graph Definition: Ein Graph G ist ein Tupel (V, E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten bezeichnet. Definition (Kante) Eine Kante E ist ein Tupel (v1, v2) von Knoten v1, v2 V, wobei v1 den ausgehenden und v2 den eingehenden Knoten repräsentiert. Graph-Erreichbarkeit Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, E) mit n Knoten (n = V ). Gibt es einen Pfad von Knoten 1 zu Knoten n? - Entscheidungsproblem (ja/nein) - REACH ist ein Basisproblem der TI, denn jedes lösbare Entscheidungsproblem kann als gerichteter Graph dargestellt werden. - viele mögliche Lösungsalgorithmen Entscheidungsprobleme - verschiedene Antworten für REACH: ja/nein, liste alle Wege auf, gib einen bestimmten Weg aus - in der Komplexitätstheorie nur Entscheidungsprobleme, da Aussage unabhängig von Kodierung der Antwort sein soll und es keine Einschränkungen gibt (alle relevanten Probleme lassen sich als Entscheidungsproblem darstellen) Lösungsalgorithmus für REACH - Starte bei Knoten 1. Laufe rekursiv über alle ausgehenden Kanten. Markiere alle besuchten Knoten. Am Ende antworten mit ja, wenn Knoten n markiert ist, sonst nein.

2 Komplexität von REACH Im schlimmsten Fall muss jede Kante einmal untersucht werden -> T(n) = O(n^2) Im schlimmsten Fall werden alle Knoten markiert -> S(n) = O( V ) = O(n) -> REACH kann effizient gelöst werden (in polynomieller Zeit) Foliensatz 2 Das Zehnte Hilbert sche Problem Eine diophantische (= ganzzahlige) Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten sei vorgelegt. Man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden lässt, ob die Gleichung in ganzen Zahlen lösbar ist. Algorithmus Hilbert hat also explizit und in definierter abstrakter Form nach einem Entscheidungsalgorithmus gefragt. Er war davon überzeugt, dass es einen solchen prinzipiell immer gibt. Tatsächlich konnte 1970 bewiesen werden, dass es einen solchen Algorithmus nicht geben kann. Turingmaschine von Alan Turing vorgeschlagen - stelle die These auf, dass sich jede intuitiv berechenbare Funktion als Turingmaschine darstellen lässt (-> Church-Turing-These) - Schema eines sequentiellen Rechners - Bestandteile: Eingabe, Prozessor, Ausgabe, Programm, Speicher - einfachste Variante: Eingabe, Ausgabe, Speicher auf einem einzigen Band Definition Turingmaschine Eine DTM (Deterministische Turingmaschine) ist ein 7-Tupel: T = (Q, Σ, Γ, δ, q0,, F) Q eine Menge von Zuständen Σ Eingabealphabet, Σ Γ Bandalphabet, Σ Γ, Γ δ Übergangsfunktion, Q Γ -> Q Γ {,, } q0 Anfangszustand, q0 Q Blanksymbol F Menge von Endzuständen, F Q Definition (Konfiguration einer DTM) Eine Konfiguration ist ein Tupel (q, a, b), wobei q der aktuelle Zustand ist, a das Wort links vom Kopf und b das Wort unter und rechts vom Kopf. Eine Konfiguration wird angeschrieben als aqb, also z.b. q111 oder 110q001. Eingabe Start: Die Eingabe steht auf dem sonst leeren Band. Der Kopf steht auf dem ersten Eingabezeichen.

3 Definition (Konfigurationsrelation) Die schrittweise Abarbeitung der DTM Tau wird durch die Übergangsfunktion δ (das Programm) festgelegt. Daraus leitet sich die Konfigurationsrelation wie folgt ab: Beispiel: Berechnungspfad: - die Berechnung einer DTM erzeugt einen Berechnungspfad - die Berechnung ist endlich - eine im Haltezustand endende Berechnung heißt akzeptierend, eine Berechnung ist verwerfend, wenn für einen gegebenen Zustand kein Übergangszustand gefunden werden kann - das Ergebnis befindet sich am Ende rechts vom Lesekopf - die von einer TM beschriebene Funktion ist eine partielle Funktion (Transducer-TM) - oft ist man nicht an dem Ergebnis der Berechnung interessiert, sondern nur, ob die TM einen Haltezustand erreicht oder nicht (Entscheider-TM) Turing-Berechenbarkeit Definition: Eine (partielle Funktion f : Σ* Σ* ist Turing-berechenbar genau dann, wenn DTM Tau : ftau(w) = f(w)

4 -> Church-Turing-These: Die Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen ist genau die Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen. Kostenmaße bei Eingabe w Definition (Zeitkosten bei Eingabe w) Die Funktion t(w) gibt die Länge des (endlichen) Berechnungspfades der TM Tau bei der Eingabe w an, oder, wenn dieser Berechnungspfad unendlich ist. Definition (Platzkosten bei Eingabe w) Die Funktion s(w) gibt die Anzahl der Bandquadrate an, die während der Berechnung der TM Tau bei der Eingabe von w besucht werden. Satz: Platzkosten sind beschränkt durch Zeitkosten Komplexität einer DTM Definition (Zeitkomplexität) Die Zeitkomplexität einer DTM Tau (in Abhängigkeit der Länge der Eingabe) ist definiert als T(n) = max t(w) Definition (Platzkomplexität) Die Platzkomplexität einer DTM Tau (in Abhängigkeit der Länge der Eingabe) ist definiert als S(n) = max s(w) Satz: Platzkomplexität ist kleiner als Zeitkomplexität Formale Sprachen - bestimmte Menge von Zeichenketten, die aus einem Zeichenvorrat zusammengesetzt werden können Beispiel: Alle Wörter mit Σ = {a, b} der Länge 2: L = {w Σ* w = 2} = {aa, ab, ba, bb} Beispiel (Graph als Zeichenkette):

5 Zusammenhang mit TM - jedes Entscheidungsproblem lässt sich als formale Sprache darstellen - wir bezeichnen mit allgemein eine effiziente Codierung - Entscheidungsgrenze der Sprache kann mit Turingmaschinenprogramm definiert werden Chomsky-Hierarchie - Typ-0: Rekursiv aufzählbare Sprachen (von Turing-Maschine erkennbar) - Typ-1: Kontextsensitive Sprachen - Typ-2: Kontextfreie Sprachen (z.b. Palindrome) - Typ-3: Reguläre Sprachen (von endlichen Automaten erkennbar) Definitionen Foliensatz 3 Mehrband-TM - k Köpfe, also pro Schritt k Symbole lesbar/schreibbar - 1 Schritt = jeder Kopf bewegt sich (oder bleibt stehen) - Übergangsfunktion δ wird aufgeblasen Äquivalenz k-dtm Tau und 1-DTM Tau - Simuliere k-dtm auf 1-DTM - Konkateniere alle k Bandinschriften - Lesekopfpositionen müssen gespeichert werden - Erweitere Bandalphabet Σ für Kopfposition - Simulation eines Schrittes von Tau in 2 Scans: - 1. Scan: Tau merkt sich alle momentan gelesenen Symbole (extra Zustände) - 2. Scan: Tau überschreibt alle Symbole unter Köpfen mit neuem Symbol - Wenn Band vergrößert werden muss: Stelle markieren und alles nach rechts verschieben Analyse der Komplexität - Simulation von 2 Scans je O(k * f(n)) -> insgesamt O(k^2 * f(n)^2) - k ist eine Konstante, daher O(f(n)^2) - Speicher wird nur linear größer, mit Konstante k Satz: TTau(n) = f(n) => TTau (n) = O(f(n)^2) (Simulation bringt quadratischen Zeitverlust) Satz: STau(n) = g(n) => STau (n) = g(n) (Simulation bringt keinen Platzverlust)

6 Erweiterte Church sche These - Jedes sinnvolle Prozessmodell kann mit polynomiellem Zeitverlust auf einer Turing- Maschine simuliert werden. - Diese These ist für alle bekannten Prozessmodelle bewiesen. Polynomielle Zeitbeschränkung - Eine TM Tau ist polynomiell zeitbeschränkt, falls die Kostenfunktion T polynomiell zeitbeschränkt ist, also T(n) = O(poly(n)). Es gibt also ein Polynom p beliebiger endlicher Ordnung, für das gilt: T(n) <= p(n), n N. Klasse P - Definitionen - Definition von P benutzt die Turingmaschine - Aber, Erweiterte Church sche These: Maschinenmodelle beliebig austauschbar mit polynomiellem Zeitverlust - Maschinenmodelle sind gleichwertig innerhalb von P - dadurch ist P unabhängig vom Maschinenmodell - Komplexitätsklasse P gilt als Klasse der effizient lösbaren Probleme/Sprachen - Beispiele: REACH, RELPRIME (Haben zwei Zahlen x und y einen gemeinsamen Primfaktor?), PALINDROME-Entscheider, 3-CLIQUE, CIRCUIT-VALUE - (wahrscheinlich) nicht mehr in P: HAMILTON, k-clique, CIRCUIT-SAT

7 3-CLIQUE Foliensatz 4 Motivation - von sehr vielen Problemen ist nicht bekannt, ob sie in polynomieller Zeit lösbar sind - trifft für viele relevante Probleme zu: TSP, CIRCUIT-SAT, - es können aber polynomielle Algorithmen mit Turingmaschinen gefunden werden -> Nichtdeterministische Turingmaschine (NTM) Nichtdeterminismus - nicht-deterministischer endlicher Automat - im Unterschied zur DTM beliebig viele verschiedene Zustandsübergänge pro Symbol möglich - Definition einer DTM ähnlich der einer NTM, aber δ gibt nun eine Menge der möglichen nächsten Schritte an Entscheidungsprobleme - Leistung der NTM besteht darin, am Ende des Weges zu akzeptieren oder zu verwerfen - JA, falls zumindest ein akzeptierender Pfad vorhanden - NEIN, falls kein akzeptierender Pfad vorhanden - Asymmetrie zwischen JA und NEIN Laufzeitmessung einer NTM - Zeitkosten einer NTM = maximale Tiefe des Berechnungsbaumes Guess & Check - Rate eine Lösung des Problems - Überprüfe, ob diese Lösung die Bedingungen des Entscheidungsproblems erfüllt

8 Definition (Verifizierer) Beispiel: Rundreise-Problem (Travelling salesman problem = TSP) - ist in nichtdeterministisch-polynomieller Zeit lösbar - Beweisskizze: Konstruktion einer NTM, die TSP löst - Rate nichtdeterministisch eine Rundreise (Zertifikat) - Summiere Kosten für alle Kanten der Folge - Wenn Summe <= K, antworte JA, sonst antworte NEIN Beispiel: CLIQUE - gegeben: ungerichteter Graph G = (V, E) und Zahl k - gesucht: Existiert in G eine Clique der Größe k? - CLIQUE ist in NP Beispiel: CIRCUIT-SAT - gegeben: Boolscher Schaltkreis C - gesucht: Gibt es eine Belegung für x, sodass C(x) = 1 liefert? - CIRCUIT-VALUE ist in P, aber CIRCUIT-SAT ist in NP Klasse NP - Definitionen

9 Bedeutung des Nichtdeterminismus - Berechnungsstärke bleibt unverändert (NTM lässt sich auf DTM simulieren) - Zeitkomplexität sinkt wesentlich (exponentiell?) - Platzkomplexität sind unwesentlich P vs. NP - sehr populäres Problem der Informatik - P ist die Klasse von Sprachen, die effizient entschieden werden können - NP ist die Klasse von Sprachen, die effizient verifiziert werden können - polynomielle Verifizierbarkeit scheint ein viel mächtigeres Konzept zu sein als polynomielle Entscheidbarkeit - Trotzdem: für keine einzige Sprache in NP konnte bisher bewiesen werden, dass sie nicht in P liegt Hinweise auf P NP - für keines der vielen Probleme in NP wurde bisher ein effizienter Algorithmus gefunden - Aus P = NP ließen sich Konsequenzen ableiten, von denen im Moment ebenfalls angenommen wird, dass sie nicht zutreffen (z.b. NP = CoNP). - bisher aber kein Beweis CoP und CoNP - Die komplementären Klassen zu P und NP werden CoP und CoNP genannt. - Wir schreiben das Komplement einer Sprache L als L. - P ist abgeschlossen gegenüber dem Komplement, daher gilt: Wenn L in P liegt, liegt auch L in P. - es gilt: P = CoP Beweis: P = CoP - Da L in P liegt, gibt es eine DTM Tau, die L entscheidet - Konstruiere eine DTM Tau, die Tau simuliert - Für jeden verwerfenden Zustand von Tau geht Tau in einen akzeptierenden Zustand und umgekehrt - Zeitverlust für die Berechnung ist konstant, daher liegen T und Tau in der gleichen Komplexitätsklasse - für NP ist ein Beweis in dieser Form nicht möglich - es wird angenommen: NP CoNP Einwegfunktionen - Einwegfunktionen sind Funktionen, die effizient berechenbar sind, deren Umkehrung aber nicht effizient durchgeführt werden kann. - Es ist nicht bekannt, ob Einwegfunktionen überhaupt existieren - Aus deren Existenz würde sofort P NP folgen. - Mit einer Falltür (trap door) bzw. Zusatzinformation lässt sich eine Einwegfunktion f(x, z) leicht umkehren. - spielen eine große Rolle für die Kryptographie - alle modernen kryptographischen Verfahren vertrauten auf die Existenz von Einwegfunktionen

10 Foliensatz 5 Häufig gebrauchte Zeitkomplexitätsklassen Platzkomplexität - Komplexität gemessen anhand des verwendeten Platzes/Speichers - Zeit und Platz sind wichtigste Ressourcen - Modell zum Messen der Platzkomplexität: wieder TM - Platz mächtiger als Zeit: Platz kann wiederverwendet werden - Angabe des Platzbedarfes: wieder als Funktion der Inputgröße n DSPACE und NSPACE - Definitionen

11 Häufig gebrauchte Platzkomplexitätsklassen Zeit beschränkt Platz - für jede beliebige TM Tau gilt: S(n) <= T(n) - daraus folgt: D/NSPACE(f(n)) D/NTIME(f(n)) Platz beschränkt Zeit - gegeben TM Tau mit Platzkomplexität S(n) - Was ist der maximale Zeitbedarf dieser Maschine unter der Voraussetzung, dass sie hält? - Anzahl der möglichen Konfiguration (k): Q Γ f(n) = O(2 f(n) ) - maximaler Berechnungspfad besucht alle Konfigurationen und hält dann, sonst Endlosschleife - für jede beliebige TM Tau gilt: S(n) = f(n) => T(n) O(2 f(n) ) - daraus folgt: D/NTIME(f(n)) D/NSPACE(O(2 f(n) )) - daraus folgt: L P Satz von Savitch - Der Satz von Savitch ist ein wichtiges Resultat für die Platzkomplexität. Er zeigt, dass sich NTM auf DTM mit geringem Mehraufwand an Platz simulieren lassen. - Für jede Funktion f : N -> R +, wobei f(n) >= n, gilt: NSPACE(f(n)) DSPACE(f 2 (n)) YIELDABILITY - Kann k1 von Zustand k2 erreicht werden? - Beweis des Satzes von Savitch durch Lösen von YIELDABILITY - Seien k1 und k2 zwei Konfigurationen einer TM - die Funktion CANYIELD(k1, k2, t) entscheidet, ob k2 von k1 aus in t Schritten erreicht werden kann - Wir zeigen eine Version von CANYIELD, die mit O(f 2 (n)) Platz läuft Beweis: Satz von Savitch - rekursiver Aufruf der Funktion CANYIELD - in jeder Ebene der Rekursion werden alle Konfigurationen als möglicher Zwischenschritt untersucht

12 - pro Ebene muss nur eine Konfiguration gespeichert werden Platzanalyse - die Rekursionstiefe von CANYIELD ist logarithmisch in t - also log(o(2^f(n))) = O(f(n)) - in jeder Rekursion muss die Konfiguration einer TM gespeichert werden - Platzbedarf gesamt: O(f(n)) * O(f(n)) = O(f 2 (n)) - Simulation einer beliebigen NTM möglich durch Aufruf CANYIELD(k1, kn, 2 f(n) ) Konsequenzen - deterministische und nichtdeterministische Platzkomplexitätsklassen sind identisch: Foliensatz 6 Hierarchiesätze - Platzkomplexität - Zeit- und Platzhierarchie Komplexitätstheorie - Probleme, die in endlicher Zeit berechnet werden können - Kategorisierung von Problemen -> Komplexitätsklassen Halteproblem - ist unentscheidbar - nur Probleme, die prinzipiell lösbar sind - es gibt Probleme, für die bewiesen werden kann, dass sie unlösbar sind - Halteproblem eines der fundamentalsten Ergebnisse - automatisierte Verifikation von Software im Allgemeinen unlösbar Universelle Turingmaschine - jede Turingmaschine kann als Zeichenkette dargestellt werden - Maschine, die als Eingabe (M, w) nimmt und dann M auf Eingabe w ausführt Halteproblem - Definition - HALT = {(M, w) M ist eine Turingmaschine und akzeptiert w} - obwohl HALT ein wohldefiniertes Entscheidungsproblem ist, kann bewiesen werden, dass keine TM existierend kann, die es entscheidet - daher: HALT ist nicht entscheidbar

13 Beweis: HALT ist nicht entscheidbar Hierarchie - Platzkomplexität Hierarchie - Zeitkomplexität

14 Zeit- und Platzhierachiesätze - man erwartet: je mehr Ressourcen (Zeit/Platz) einer Turingmaschine zur Verfügung gestellt werden, umso mehr Sprachen können entschieden werden - Hierarchiesätze formalisieren diese Intuition Satz (Hierarchiesatz) - Für jede (zeit/platz-konstruierbare) Funktion f : N N existiert eine Sprache A, die in O(f(n)) Zeit/Platz entscheidbar ist, aber nicht in o(f(n)) Zeit/Platz. Konsequenzen der Hierarchiesätze Einfache Inklusionen der grundlegendsten Klassen

15 Foliensatz 7 Motivation - Beziehungen zwischen Problemen verstehen - wie schwierig ist ein Problem A bezogen auf ein zweites Problem B - Verzicht auf Maschinenmodell - Algorithmen für viele Probleme sehr ähnlich - Wiederverwenden effizienter Algorithmen Reduktion - seien A und B zwei Probleme - für B ist ein Algorithmus bekannt, der es löst - transformiere eine Eingabe x für A in eine Eingabe y = R(x) für ein Problem B, sodass B auf y angesetzt A(x) löst - R(x) wird Reduktion von A nach B genannt Mapping-Reduktion - Definition Eine Sprache A ist mapping (many-one) reduzierbar auf B A B genau dann, wenn eine berechenbare Funktion R : Σ* Σ* existiert, sodass w A R(w) B - Probleminstanz von A wird auf Probleminstanz von B gemapped Beschränkte Reduktion - Zeit- und Platzbedarf einschränken, um Reduktion sinnvoller auf Komplexitätsklassen anzuwenden - je enger die Einschränkung, umso exakter können Klassen getrennt werden - polynomiell zeitbeschränkt P R P - logarithmisch platzbeschränkt L R L - R L ist notwendig, wenn feiner abgestuft werden soll - P: Zeitklassen ab P untersuchbar - L: Zeitklassen ab P und Platzklassen ab L untersuchbar Transitivität der Reduktion - Satz: Die polynomiell zeitbeschränkte Reduktion ist transitiv. - Daher gilt: A P B und B P C folgt A P C - für P einfach zu sehen - gilt auch für L Hierarchie von Problemen - REACH L CIRCUIT-VALUE - CIRCUIT-VALUE L CIRCUIT-SAT (CIRCUIT-VALUE hat keine variablen Eingänge) - CIRCUIT-SAT L 3SAT (CIRCUIT-SAT: Schaltkreis beliebig tief, auf jeder Ebene alle Gatter-Typen möglich; 3SAT = Schaltkreis in KNF)

16 Foliensatz 8 Schwere - Reduktion erlaubt es, Probleme hinsichtlich ihrer Komplexität zu vergleichen - Lassen sich alle Sprachen aus einer Komplexitätsklasse C auf eine bestimmte Sprache (effizient) reduzieren, dann ist diese Sprache gleich schwer oder schwerer zu entscheiden wie/als jede andere Sprache aus C. - Diese Sprachen werden C-schwer genannt. Schwere - Definition - Sei C eine Komplexitätsklasse (z.b. P, NP, ). Eine Sprache A heißt C-schwer, wenn alle Sprachen B C auf A reduziert werden können. A ist C-schwer B C : B L A - im Deutschen: C-Schwere = C-Härte P-Schwere - Satz: CIRCUIT-VALUE ist P-schwer. B P : B L CIRCUIT-VALUE Vollständigkeit - In jeder Komplexitätsklasse C kann man nach C-vollständigen Sprachen suchen. - Diese Sprache bilden die Klasse der schwersten Sprachen innerhalb der Klasse. Vollständigkeit - Definition - Sei C eine Komplexitätsklasse (z.b. P, NP, ). Eine Sprache A heißt C-vollständig, wenn sie C-schwer ist und in C liegt. A ist C-vollständig A C B C : B L A P-Vollständigkeit - Satz: CIRCUIT-VALUE ist P-vollständig. - offensichtlich, da bereits bekannt, dass CIRCUIT-VALUE P-schwer ist und in P liegt NP-Vollständigkeit - Satz von Cook: CIRCUIT-SAT ist NP-vollständig. - Beweis: - bereits bekannt: CIRCUIT-SAT in NP - zu zeigen: CIRCUIT-SAT ist NP-schwer - dann gilt: CIRCUIT-SAT ist NP-vollständig Vollständigkeit durch Reduktion - Satz: 3SAT ist NP-vollständig. - folgt sofort, da bereits bekannt, dass: 1. 3SAT NP und 2. CIRCUIT-SAT L 3SAT Konsequenzen - Satz (Cook-Levin-Theorem): Es gilt [CIRCUIT, 3]SAT P genau dann, wenn weiters gilt P = NP.

17 - Folgt sofort, aus dem Satz von Cook. Daher ließe sich P = NP durch Angabe eines einzigen Algorithmus, der eine einzige NP-vollständige Sprache in P entscheidet, beweisen. Foliensatz 9 Übersicht - CLIQUE ist NP-vollständig (in NP und NP-schwer) - HAMILTON-PATH ist NP-vollständig (in NP und NP-schwer) NP-Vollständigkeit - Satz: CLIQUE ist NP-vollständig. A NP : A P CLIQUE. - Zu zeigen sind (in NP) und NP-Schwere durch Reduktion 3SAT P CLIQUE. Konstruktion eines Graphen für den Beweis - Graph hat 3 * k Knoten, entsprechend den Literalen von ɸ - Knoten von G sind in k Gruppen organisiert - jede Gruppe besteht aus 3 Knoten und entspricht einer Klausel - jedem Knoten wird ein Literal aus der entsprechenden Klausel zugeordnet - die Kanten von G verbinden alle Knoten außer: 1. Knoten innerhalb einer Gruppe 2. Knoten mit widersprechenden Literalen Beweis der Korrektheit - angenommen, ɸ ist erfüllbar - zumindest ein Literal wahr in jeder Klausel - wenn mehr als ein Literal wahr ist, wird zufällig eines gewählt -> in jeder 3er-Gruppe wird ein Knoten gewählt - zwischen jedem Knotenpaar existiert eine Kante, denn 1. alle Knoten sind von unterschiedlichen Gruppen 2. eine erfüllende Variablenbelegung enthält keine Widersprüche -> daher enthält G eine k-clique - angenommen, G enthält eine k-clique - da keine Kanten innerhalb der Gruppe, können nie 2 Knoten aus der gleichen Gruppe gewählt werden - Wahrheitswerte werden den Variablen von ɸ zugewiesen, indem die den gewählten Knoten entsprechenden Literale auf wahr gesetzt werden

18 - das ist immer möglich, da widersprüchliche Zuweisungen nicht mit einer Kante verbunden sind, daher nicht in der Clique - diese Zuweisung ist erfüllend, da sich in jeder Klausel ein erfüllendes Literal befindet - also ist ɸ erfüllbar HAMILTON-PATH - HAMILTON-PATH = {(G, s, T) Hamilton-Pfad von s nach t in G} NP-Vollständigkeit - Satz: HAMILTON-PATH ist NP-vollständig. A NP : A P HAMILTON-PATH - Beweis durch Reduktion: 3SAT P HAMILTON-PATH Konstruktion eines Graphen für den Beweis - L-mal Diamant-Struktur (pro Variable): 2 Eingänge, 2 Ausgänge - kann nur in einer Richtung durchwandert werden - nicht-deterministische Entscheidung (linkst = 1, rechts = 0) - für jede Verwendung der Variable Abzweigung über Klausel-Knoten (k-mal) - Rechts-nach-links, falls Literal negiert - Links-nach-rechts sonst - wenn Klausel-Knoten im Graphen besucht wurde, dann erfüllt - wenn alle Knoten besucht wurden, dann ist ɸ erfüllt Beweis der Korrektheit - angenommen, ɸ ist erfüllbar - wir zeigen die Existenz eines Hamilton-Pfades - zunächst ignorieren wir die Klausel-Knoten - jedes Diamanten-Modul wird von rechts nach links oder von links nach rechts durchlaufen (wahr-oder-falsch-zuweisung) - jeder Klausel-Knoten kann erreicht werden, in einer erfüllenden Belegung - angenommen, G enthält einen Hamilton-Pfad

19 - jeder Links-Rechts-Entscheidung in den Diamanten wird die Variablenbelegung wahr/ falsch zugeordnet - diese Belegung erfüllt ɸ, denn 1. jede Variable muss belegt sein, da sonst ein Knoten übersprungen wurde 2. die Belegung enthält keine Widersprüche, da sonst mindestens ein Klausel- Knoten nicht besucht werden könnte - also ist ɸ erfüllbar HAMILTON-PATH L UHAMILTON-PATH UHAMILTON-PATH - Definition - gegeben: ungerichteter Graph G = (V, E), s, t V - UHAMILTON-PATH = {(G, s, t) Hamilton-Pfad von s nach t in G} - HAMILTON-PATH L UHAMILTON-PATH - Trick: 1 Knoten wird zu 3 Knoten Pfad vs. Kreis - analog zu HAMILTON-PATH bzw. UHAMILTON-PATH gibt es HAMILTON-CIRCLE bzw. UHAMILTON-CIRCLE oder oft einfach HAMILTON bzw. UHAMILTON - zusätzliche Forderung (pm, p1) E (damit ist die Angabe von s und t überflüssig) - aus analogen Überlegungen folgt, dass sowohl HAMILTON als auch UHAMILTON NPvollständig sind Foliensatz 10 Randomisierte Algorithmen - randomisierte Turingmaschine - Monte-Carlo-Algorithmen Motivation - für sehr viele Probleme (> P) ist keine exakte Lösung bekannt, die sich effizient berechnen ließe - exakte Lösung oft gar nicht erforderlich - randomisierte Algorithmen oft einfacher und schneller - liefern in den meisten Fällen gute Lösungen (nicht immer) - Anwendungen: Cryptography, maschinelles Lernen, Netzwerke, - Beispiel: randomisierte Berechnung von pi Probabilistische Turingmaschine - Grundidee: Berechnungsbaum wie bei NTM - NTM: Gibt es (zumindest) ein JA-Blatt? - Weg wird jetzt wirklich zufällig gewählt - JA-Blatt getroffen -> akzeptiere - NEIN-Blatt getroffen ->? Probabilistische Turingmaschine - Definition

20 - Eine probabilistische Turingmaschine M ist eine nichtdeterministische Turingmaschine, in der in jedem nichtdeterministischen Berechnungsschritt zufällig und mit gleicher Wahrscheinlichkeit (z.b. durch Würfeln) der nächste Schritt gewählt wird. - ist ein Maschinenmodell, das real implementiert werden kann (also kein Gedankenmodell wie die NTM) Randomisierte Algorithmen - auch stochastische oder probabilistische Algorithmen R-Klassen, RP Las-Vegas-Algorithmen - halten immer, aber Laufzeit probabilistisch - z.b. Quicksort - JA-Ergebnisse sind sichere Resultate - NEIN-Ergebnisse sind 50/50-Resultate Monte-Carlo-Algorithmen - erben Asymmetrie von NTM - wenn Antwort JA -> sicher JA - wenn Antwort NEIN -> vielleicht NEIN - Fehlerwahrscheinlichkeit Markov-Ketten - seit xt der Zustand eines stochastischen Prozesses - der aktuelle Zustand zum Zeitpunkt t sei abhängig vom Vorgängerzustand - Zustandsübergänge können durch den stochastischen Übergang p(xt xt-1) beschrieben werden - stochastische Prozesse mit dieser Eigenschaft werden Markov-Ketten (markov chains) genannt Beispiel - es gibt einen Monte-Carlo-Algorithmus, der 2SAT mit Guess & Check löst - Satz: 2SAT ist in RP. - 3SAT lässt sich auch randomisieren, aber effizienter Algorithmus unwahrscheinlich (3SAT ist NP-vollständig)

21 - 3SAT ist (vermutlich) nicht in RP Foliensatz 11 <fehlt> Sämtliche Bilder sind nicht von mir, sondern den Folien und Präsentationen von Dipl.-Ing. David Kappel entnommen.