1 Zeit- und Platzklassen. 2 Schaltkreise. Reduktionen Many-One- Reduktionen Turing- Reduktionen und Orakel. Zusammenfassung

Transkript

1 Einführung für das Seminar Komplexität und Kryptologie Übersicht und 30 April 2008 und 3 und und Turingmaschinen als erechnungsmodell Ressourcenverbrauch von Turingmaschinen Erweiterte Church sche These Alle (hinreichend mächtigen) erechnungsmodelle können sich gegenseitig simulieren Dabei treten nur polynomielle Laufzeitunterschiede auf Zeitverbrauch: Anzahl der erechnungsschritte time M : N (einzelnes Wort) time M : N N, time M (n) := m x n time M ( ) Platzverbrauch: Anzahl der verwendeten andfelder sp ce M : N, sp ce M : N N Sprachprobleme: Gegeben: A Wir betrachten Verfahren ƒ, die für entscheiden, ob A gilt ƒ : {0, 1} mit ƒ ( ) = 1 A Turingmaschinen: änder, Lese-/Schreibköpfe, Zustände Deterministisch (DTM): Eindeutige Folgekonfiguration Nichtdeterministisch (NTM): Menge von Folgekonfigurationen Endzustände, akzeptierte Sprache L(M) und Sei ƒ : N N DTIME(ƒ ) := A M DTM : L(M) = A time M O(ƒ ) DSPACE(ƒ ) := A M DTM : L(M) = A sp ce M O(ƒ ) NTIME(ƒ ) := A M NTM : L(M) = A time M O(ƒ ) NSPACE(ƒ ) := A M NTM : L(M) = A sp ce M O(ƒ ) und

2 Wichtige Fakten über Zeitklassen: P = DTIME(n k ) NP = NTIME(n k ) conp = A A NP E = DTIME(2 kn ) NE = NTIME(2 kn ) EXP = DTIME(2 nk ) NEXP = NTIME(2 nk ) : L = DSPACE(log(n)) NL = NSPACE(log(n)) PSPACE = DSPACE(n k ) und DTIME(ƒ ) NTIME(ƒ ) DSPACE(ƒ ) NSPACE(ƒ ) DTIME(ƒ ) DSPACE(ƒ ) NTIME(ƒ ) NSPACE(ƒ ) NTIME(ƒ ) DSPACE(ƒ ) (Spezialfall) (begrenzte Laufweite) (iterieren über erechnungspfade) NSPACE(ƒ ) DSPACE(ƒ 2 ) (vgl Papadimitriou, Computational Complexity, S 150) NPSPACE = PSPACE NSPACE(ƒ ) DTIME(k log(n)+ƒ (n) ) (vgl Papadimitriou, S 149) und Übersicht Syntax von n Ein an Hardware angelehntes erechnungsmodell und und Definition (Syntax oolescher ) Ein oolescher Schaltkreis für Eingaben 1 n {0, 1} n ist ein gerichteter Graph C n = (V, E) mit folgenden Eigenschaften: Die Knoten V = {1,, m} heißen Gatter, denen ein Typ s( ) {tr e, f lse,,, } { 1,, n } zugeordnet ist Gatter der Typen und haben 2 eingehende Kanten, solche des Typs eine, die übrigen keine Nur vorhergehende Knoten können Eingang für ein Gatter sein: (, j) E : < j und sind kompakter als Formeln

3 Semantik von n Schaltkreisfamilien Auswertung bei Eingabe : ev l : V {0, 1} 1 s( ) = tr e 0 s( ) = f lse ev l ( ) = s( ) = ev l ( ) ev l (j) s( ) =, (, ), (j, ) E Wert C n ( ) = ev l (m) (letztes Gatter) und Um beliebige Eingabelängen zulassen zu können, werden Familien von n betrachtet, von denen je einer für eine Eingabelänge zuständig ist: C = (C n ) n N Akzeptierte Sprache: L(C) = {0, 1} C ( ) = 1 Weil die einzelnen vollkommen unabhängig voneinander konstruiert werden können, spricht man von einem nichtuniformen erechnungsmodell Komplexitätsmaße für : size C (n) = V(C n ) + E(C n ) depth C (n) = längster Pfad in C n und Klassen oolescher Fakten über Schaltkreisklassen Klassen von Sprachen, die durch bestimmte entschieden werden können: P/poly: Polynomielle Größe NC k : Polynomielle Größe, depth C (n) O(log k n), logspace-uniform NC = NCk NC k AC k TC k AC k NC k+1 NC P P P/poly (per Definition) (Gatter aum) (generieren + CVP) (advice, Schichten pro erechnungsschritt) AC k : wie NC k, aber beliebig viele Eingänge pro Gatter AC = ACk TC k : Wie AC k, aber zusätzlich Threshold-Gates, die 1 ausgeben wenn mindestens die Hälfte ihrer Eingänge 1 ist und Insgesamt: AC 0 TC 0 NC 1 L NL AC 1 NC 2 NC P P/poly und

4 Übersicht Warum? und und Gegeben: Zwei Sprachen A, Wir wollen Mitgliedschaft in A ist nicht schwerer als Mitgliedschaft in zu entscheiden formal ausdrücken»a kann auf reduziert werden«notation: A r (gleich: unterschiedliche Reduktionsarten) Es soll gelten: A r C A C Außerdem interessant: Gibt es in C Probleme, sodass kein Problem in C schwerer sind? und Vollständigkeit Definition Definition Seien A, Es gilt A p genau dann, wenn es m eine in Polynomialzeit berechenbare Funktion ƒ : gibt, sodass gilt: Sei A eine Sprache und C P( ) eine Sprachklasse A ist C-hart : L C : L p m A A ist C-vollständig : A C und A ist C-hart : A ƒ ( ) Der Name kommt daher, dass ƒ nicht injektiv sein muss Variante: ei log ist ƒ eine logarithmisch m platzbeschränkte Funktion sind eine (partielle) Ordnung auf der Menge der Sprachen und Für Sprachklassen C kleiner als NP wird log m verwendet, denn: A P : A p m {1} eispiel (Vollständige Probleme) NP: SAT, 3SAT, CIRCUIT-SAT, TSP, 3COL, P: CVP, conp: TAUT, UNSAT, NL: s-t-con, und

5 Inklusion durch Reduktion eispiele für Zu zeigen: C D (wobei D-Maschinen P-Algorithmen ausführen können müssen) Es gilt: L 1 C ist p m-vollständig für C (d h A C : A p m L 1 ) L 1 D Dann gibt es für jedes A C einen D-Entscheider: Es gilt A p m L 1, sei ƒ die zugehörige Reduktionsfunktion Es gilt L 1 D, sei M 1 die zugehörige Turingmaschine D-Algorithmus M A zum Entscheiden ob A: 1 Eingabe: 2 erechne y := ƒ ( ) 3 Simuliere M 1 (y), gib das Ergebnis aus A y L 1 y L(M 1 ) L(M A ) Wegen P D ist M A eine D-Maschine und eispiel (Auswertung zu Erfüllbarkeit) EVAL log m SAT via id : Variablenfreie Formeln werden genau dann zu 1 ausgewertet, wenn sie erfüllbar sind eispiel ( zu Formeln) ƒ orm(c) = φ ist polynomialzeit-berechenbar (kurz ƒ orm FP): Teilmenge der Kanten merken Damit: CVP p m EVAL und CIRCUIT-SAT p m SAT Korollar (unnötig umständlich!) Wegen Transitivität gilt CVP p m SAT Da CVP P-vollständig ist und SAT NP, folgt P NP und Definition (-Turingmaschine, OTM) Eine Turingmaschine mit A ist eine TM, der eine zusätzliche Operation zur Verfügung steht: Sie kann ein auf ein spezielles and schreiben und dann in einem Schritt erfahren, ob A (»-Frage«) Notation: C A := L L kann von einer C-TM bzw einem C-Schaltkreis mit A entschieden werden C D := A D CA (nur eine -Sprache!) Definition (Schaltkreis mit ) Ein Schaltkreis mit A ist ein Schaltkreis, dem für jede Wortlänge N ein zusätzlicher Gattertyp zur Verfügung steht: ei Eingabe = 1 geben diese Gatter genau dann 1 aus, wenn A (»-Gatter«) und Definition (Reduktion) Seien A, und C P( ) Es gilt A p T genau dann, wenn A P Es gilt A log T genau dann, wenn A L Es gilt A C T genau dann, wenn A C und

6 Vergleich von Reduktionsarten : Einfache eispiele A m : ja/nein eispiel (UNSAT p T SAT) sind mächtiger als Weiterer Reduktionstyp: Truth-Table- ( p tt ) Keine adaptiven Fragen Formel φ bestimmt, wie die Antworten auf die fragen kombiniert werden A? A tt : ƒ y? φ A? A T : M A ƒ ( )? ja/nein y? ja/nein A? ja/nein M A und UNSAT: Die Menge aller nicht-erfüllbaren Formeln (conp-vollständig) Reduktion: Syntax prüfen, fragen und Antwort negieren eispiel (EXACT-COL p T COL) Frage: Werden für einen Graphen G genau k 0 Farben zum Färben benötigt? Reduktion auf COL (k-färbbarkeit): Es muss (G, k 0 ) COL und (G, k 0 1) COL gelten eide sind nicht adaptiv, es gilt auch UNSAT p tt SAT und EXACT-COL p tt COL UNSAT p m SAT würde conp NP implizieren (unwahrscheinlich) und : Weiteres eispiel Analyse des Algorithmus Problem (FIND-SAT) Eingabe: Eine Formel φ Gesucht: : v r(φ) {0, 1} mit ev l (φ) = 1 Satz FIND-SAT FP T SAT, also FIND-SAT FPSAT Ein FP SAT -Algorithmus für FIND-SAT 1 := 2 for in v r(φ) do 3 if φ ( 0) SAT then 4 := ( 0) 5 else if φ ( 1) SAT then 6 := ( 1) 7 else 8 return fail 9 return und Laufzeit: Polynomiell, da fragen als atomar behandelt werden Korrektheit: Wenn der Algorithmus eine elegung zurückgibt, hat er zuvor geprüft, dass sie erfüllend ist Wenn umgekehrt eine erfüllende elegung existiert, wird diese auch gefunden Es ist keine Truth-Table-Reduktion, da adaptive Fragen verwendet werden Eine Truth-Table-Reduktion ist vermutlich nur mit exponentiell vielen Fragen möglich und

7 Polynomielle Hierarchie Polynomielle Hierarchie Δ P 0 = P 0 = P 0 := P Δ P +1 := P P P +1 := NP P Δ P 3 Δ P 0 = P 0 = P 0 := P Δ P +1 := P P P +1 := NP P P NPNP P +1 := conp P PH := P k P 2 Δ P 2 P 2 und P +1 := conp P PH := P k NP NP P NP conp NP und Es gilt PH PSPACE P 1 P 1 Es gilt PH PSPACE NP P conp P P 0 = ΔP 0 = P 0 = ΔP 1 P Was wir kennengelernt haben: Komplexitätsklassen sind Mengen von Sprachen Übliche Ressourcenschranken: Zeit, Platz bei Turingmaschinen Größe und Tiefe bei n zeigen, dass eine Sprache nicht schwerer als eine andere entscheidbar ist Weiterführende Literatur: Du, Ding-Zhu and Ker-I Ko Theory of Computational Complexity New York: Wiley, 2000 ISN: Papadimitriou, Christos H Computational Complexity Reading, Mass: Addison-Wesley, 1995 ISN: und