Komplexitätsklassen P und NP

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1 Komplexitätsklassen P und Tim Jungnickel Technische Universität Berlin Fachgebiet für Modelle und Theorie Verteilter Systeme 9. Juli 2013 This work is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

2 Agenda 1 Funktionenwachstum Komplexitätsklassen Reduktion -vollständige Probleme Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

3 Funktionenwachstum Funktionenwachstum Beispiel Wir berechnen verschiedene Funktionen auf einem Computer mit einer Geschwindigkeit von 1 µs pro elementarem Rechenschritt. n linear quadratisch exponentiell 1 1 µs 1 µs 2 µs µs 100 µs 1 ms µs 400 µs 1 sec µs 900 µs 18 min µs 2 ms 13 Tage µs 3 ms 36 Jahre µs 10 ms Jahre ms 1 sec... 1 Das Alter des Universums wird auf Jahre geschätzt. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

4 O-Notation Funktionenwachstum Definition: O-Notation Sei FN N N die Menge aller Funktionen auf den Natürlichen Zahlen und g FN Beispiel O(g) {f FN c R +, n 0 N. n n 0. f (n) c g(n)} O(n 2 ) {f FN c R +, n 0 N. n n 0. f (n) c n 2 } Lesart: Die Menge aller Funktionen die (nicht mehr als) quadratisches Wachstum haben. Einige Beispiele: n O(n 2 ), 5n 2 O(n 2 ), n 3 / O(n 2 ) Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

5 Wachstumsklassen Funktionenwachstum O(1) O(n) O(log n) O(n 2 ) O(n 3 ) O(k n ) mit k > 1 konstant linear logarithmisch quadratisch kubisch exponentiell Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

6 Komplexitätsklassen Komplexitätsklasse P P ist eine Menge von Sprachen Das Wortproblem einer Sprache aus P ist entscheidbar (Es ist möglich zu entscheiden, ob ein Wort in der Sprache ist oder nicht) Es gibt einen Algorithmus mit polynomiellem Aufwand, welcher das Wortproblem löst Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

7 Komplexitätsklassen Komplexitätsklasse P P ist eine Menge von Sprachen Das Wortproblem einer Sprache aus P ist entscheidbar (Es ist möglich zu entscheiden, ob ein Wort in der Sprache ist oder nicht) Es gibt einen Algorithmus mit polynomiellem Aufwand, welcher das Wortproblem löst Definition P P ist die Menge aller Sprachen, die sich von einer deterministischen (Turing-) Maschine in polynomialer Zeit entscheiden lassen. P k N{A Σ M DTM. A = L(M) dtime M O(n k )} Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

8 Komplexitätsklassen Nichtdeterminismus Deterministischer Algorithmus: Nichtdeterministischer Algorithmus: Lösung Lösung Laufzeit eines nichtdeterministischen Algorithmus Die Laufzeit eines nichtdeterministischen Algorithmus entspricht der Länge des Pfades der zu Lösung führt. Gibt es keine Lösung, so ist die Laufzeit 0. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

9 Komplexitätsklassen Komplexitätsklasse ist eine Menge von Sprachen Das Wortproblem einer Sprache aus ist entscheidbar (Es ist möglich zu entscheiden, ob ein Wort in der Sprache ist oder nicht) Es gibt einen nichtdeterministischen Algorithmus mit polynomiellem Aufwand, welcher das Wortproblem löst Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

10 Komplexitätsklassen Komplexitätsklasse ist eine Menge von Sprachen Das Wortproblem einer Sprache aus ist entscheidbar (Es ist möglich zu entscheiden, ob ein Wort in der Sprache ist oder nicht) Es gibt einen nichtdeterministischen Algorithmus mit polynomiellem Aufwand, welcher das Wortproblem löst Definition ist die Menge aller Sprachen, die sich von einer nichtdeterministischen (Turing-) Maschine in polynomialer Zeit entscheiden lassen. k N{A Σ M NTM. A = L(M) ntime M O(n k )} Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

11 Reduktion Reduktion Definition: Reduktion Seien A und B zwei Sprachen über dem Alphabet Σ. A ist reduzierbar auf B (geschrieben A B), wenn eine totale und berechenbare Funktion f : Σ Σ existiert, so dass: x Σ. x A f (x) B A ist polynomiell reduzierbar auf B (geschrieben A B), wenn f eine in polynomialer Zeit a berechenbare Funktion ist. a Abhängig von der Eingabegröße werden nur polynomiell viele Schritte ausgeführt, um die Funktion f zu berechnen. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

12 -schwer und -vollständig Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

13 -schwer und -vollständig Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

14 -schwer und -vollständig Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

15 -schwer und -vollständig Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

16 -schwer und -vollständig Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

17 -schwer und -vollständig p Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

18 -schwer und -vollständig p Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

19 -schwer und -vollständig p Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Definition -schwer Eine Sprache A ist -schwer, wenn alle Sprachen aus in polynomialer Zeit auf A reduzierbar sind. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

20 -schwer und -vollständig p Sat Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Definition -schwer Eine Sprache A ist -schwer, wenn alle Sprachen aus in polynomialer Zeit auf A reduzierbar sind. Definition -vollständig Eine Sprache A ist -vollständig, wenn A -schwer ist und A gilt. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

21 -schwer und -vollständig -vollständig Satz von Cook (1971) Alle Sprachen aus lassen sich in polynomialer Zeit auf Sat reduzieren. Sat ist in. Definition -schwer Eine Sprache A ist -schwer, wenn alle Sprachen aus in polynomialer Zeit auf A reduzierbar sind. Definition -vollständig Eine Sprache A ist -vollständig, wenn A -schwer ist und A gilt. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

22 -vollständig Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

23 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

24 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

25 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

26 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) P Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

27 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) P Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

28 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) P Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

29 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) P Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

30 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) P Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

31 -vollständig Variante 1: P (trivial) P (ungelöst) Variante 2: P P P (ungelöst, Tendenz) P Aufgabe: Ein -vollständiges Problem auf ein Problem in P zu reduzieren. Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

32 -vollständige Probleme -vollständige Probleme In der Praxis existieren viele -vollständige Probleme für die es keinen effizienten Lösungsalgorithmus gibt. Graphprobleme [GJ79] Vertex Cover Clique Traveling Salesman Problem Chinese Postman Problem Erfüllbarkeitsprobleme in der Aussagenlogik [GJ79] 3SAT Weighted Monotone 2SAT Spiele Tetris [DHLN02] Minesweeper [Kay00] Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13

33 Literatur Literatur [DHLN02] Erik D. Demaine, Susan Hohenberger, and David Liben-Nowell. Tetris is hard, even to approximate. CoRR, cs.cc/ , [GJ79] [Kay00] Michael R. Garey and David S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of -Completeness. W. H. Freeman & Co., New York, NY, USA, Richard Kaye. Minesweeper ist np-complete, Tim Jungnickel Komplexitätsklassen P und 9. Juli / 13