Wir gewichten die Kanten von G wie folgt: Kante e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 d(e i )

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1 Prof. Dr. U. Faigle J. Voss SS Übung zur Einführung in die Mathematik des Operations Research Dieses Übungsblatt wird nicht mehr gewertet. Aufgabe 1: Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph und x R E eine Zirkulation. Für jede Menge S V gilt: Zeigen Sie: x sv = x tw. s S v V \S t V \S w S Aufgabe 2: Gegeben sei der Graph G: Wir gewichten die Kanten von G wie folgt: Kante e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 d(e i )

2 Und wir erweitern G um die gerichtete Kante e 9 := (t, s) mit Kapazität d(e 9 ) = und erhalten so eine Instanz des (Ford-Fulkerson)-Fluss-Problems. Sei ausserdem der zulässige Fluss x = [1, 3, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2] T R 9 + gegeben. (a) Konstruieren Sie den Hilfsgraphen G(x). Unterscheiden Sie dabei erkennbar zwischen Vorwärts- und Rückwärtskanten. (b) Suchen Sie in G(x) einen augmentierenden Weg von s nach t und verbesseren Sie x mit Hilfe dieses Weges. Entscheiden Sie, ob nach diesem Schritt bereits eine Optimallösung vorliegt. Aufgabe 2: Sei G = (V, E) der Graph auf der Knotenmenge V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} mit den Kanten {1, 2}, {2, 3}, {4, 3}, {5, 4}, {6, 5} und {6, 1}. Formulieren Sie die Aufgabe, ein maximales Matching in G zu bestimmen, als Flussproblem. Geben Sie dazu explizit an: (1) Das Netzwerk, in dem Sie das Flussproblem lösen. (2) Die Kapazitäten, die Sie in Ihrer Problemformulierung benutzen. Aufgabe 3: Wiederholen Sie alle Aufgaben zur Formulierung mathematischer Optimierungsprobleme dieses Semesters! Aufgabe 4: Sei das Optimierungsproblem gegeben. min 2x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 x 1 x 2 1 x 1 1 x 3 0 2

3 (a) Formulieren Sie das zugehörige duale Problem. Stellen Sie nun die nötigen Voraussetzungen (Umformulierung, Startparameter,...) her, um (b) einen Punkt im primal zulässigen Bereich mit der Ellipsoid-Methode zu finden. (c) das Problem mit Hilfe der Simplex-Methode zu lösen. (d) Bestimmen Sie eine Optimallösung x mit Hilfe der Simplex-Methode. (e) Ist diese Optimallösung eindeutig? Wenn ja, bestimmen Sie einen neuen Zielfunktionsvektor, so dass x nach wie vor optimal, aber nicht mehr die einzige Optimallösung ist. Aufgabe 5: (a) Bestimmen und zeichnen Sie für S = {[1, 1] T, [1, 1] T } R 2 die Mengen lin(s), cone(s), aff(s) und conv(s). Was ändert sich, wenn zu S die Punkte [0, 0] T und [2, 0] T hinzugefügt werden? (b) Welche der Relationszeichen,,, und = können an Stelle von and eingesetzt werden, um die folgenden zwei Ausdrücke für alle Mengen A, B R n in wahre Aussagen zu überführen? (i) conv(a B) conv(a) conv(b) (ii) conv(a B) conv(s) conv(b) Überlegen Sie sich eventuelle Gegenbeispiele. (c) Sei P := conv ([1, 2, 1] T, [3, 2, 1] T, [0, 0, 4] T, [ 1, 0, 3] T ). Bestimmen Sie ein Ungleichungssystem Ax b, so dass P = P (A, b) gilt. Aufgabe 5: Sei G = (V, E) der gerichtete Graph 3

4 (a) Stellen Sie die Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix zu G auf. (b) Formulieren Sie das Problem, einen gerichteten Weg von s nach t mit möglichst wenig Kanten zu bestimmen, als lineares Programm. (c) Stellen Sie das zu (b) duale lineare Programm auf und lösen Sie es. Aufgabe 6: Sei R n + der n-dimensionalen Standardkegel {x R n x 0} und n = {x R n x 0, 1 T x = 1} das n-dimensionale Standardsimplex. Zeigen Sie: (a) S R k ist genau dann ein endlich erzeugter Kegel, wenn es ein n und eine lineare Abbildung f : R n R k gibt, so dass S = f(r n +). (b) P R k ist genau dann ein Polytop, wenn es ein n und eine lineare Abbildung f : R n R k gibt, so dass P = f( n ). (c) Erinnern Sie sich in diesem Zusammenhang an die entsprechende Aussage für Ellipsoide von Übungsblatt 9 und wiederholen Sie den Beweis. Aufgabe 7: (a) Zeigen Sie, ohne den Satz von Weyl-Minkowski zu benutzen, dass für Mengen V, W R n conv(v ) + cone(w ). ein Polyeder ist. 4

5 (b) Zeigen Sie, dass die Minkowski-Summe zweier Polyeder, ein Polyeder ist. Aufgabe 8: Zeigen Sie die folgenden Alternativsätze. (a) Für eine Matrix A R m n ist genau eine der beiden Aussagen richtig: (I) Das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 hat eine nichtnegative Lösung x 0. (II) Das System A T y < 0 besitzt eine Lösung. (b) Für Matrizen A R m n, B R k n und Vektoren b R m und c R k ist genau eine der beiden Aussagen richtig: (I) Ax b, Bx < c ist lösbar. (II) (i) u, v 0, v 0 u T A + v T B = 0 ist lösbar, oder: (ii) u 0, u T A = 0 T, u T b < 0 ist lösbar. Aufgabe 9: Nachdem Sie in Aufgabe 3 dieses Blattes alle Formulierungsaufgaben wiederholt haben, dualisieren Sie alle dort auftretenden linearen Programme, formulieren Sie die Probleme um in Gleichungssysteme bei denen eine nichtnegative Lösung gesucht wird (und auch umgekehrt: Gleichungssysteme mit nichtnegativen Lösungen in Ungleichungssysteme). Machen Sie sich dabei explizit die zwei Taschenspielertricks deutlich: (a) Einführen von Schlupfvariablen, (b) Aufspalten einer unbeschränkten Variable in Positiv- und Negativteil. Nehmen Sie sich ihre liebste Formulierungsaufgabe und finden Sie mit den Methoden der Vorlesung, die Ihnen inzwischen zur Verfügung stehen, eine Optimallösung zu dem Problem. 5

6 Aufgabe 10: Viele Ihrer Kommilitonen (Sie vielleicht auch?!) haben Aufgabe 5 von Blatt 9 wie folgt gelöst: Es wurde eine Menge V angegeben, so dass für das Ungleichungssystem P (A, b) = conv(v ) galt. Nun sollte ein Startellipsoid für die Ellipsoidmethode angegeben werden. Also wurde der maximale Abstand eines Elements aus V ermittelt und als Radius angesetzt. Nun wurde die Ellipsoidmethode gestartet, wie in der Aufgabe verlangt. Dieses Vorgehen ist nicht falsch! Überlegen Sie sich die folgenden Punkte: (a) Was wird verwendet, um die Menge V zu bestimmen? (b) Mit Blick auf (a): Warum wird es bei größeren Problemen schwierig, so vorzugehen? (c) Machen Sie sich deutlich, welche Problemstellungen die Ellipsoidmethode lösen kann (und auch tut)! (d) Warum ist das oben beschriebene Vorgehen mehr oder minder sinnfrei, wenn man ein Problem wie in (c) mit der Ellipsoidmethode lösen will? 6