Vorlesung Lineare Optimierung (Sommersemester 2010)

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1 1 Vorlesung Lineare Optimierung (Sommersemester 2010) Kapitel 2: Konvexe Mengen und Kegel Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. April 2010) Gliederung 2 Konvexe Mengen und Polyeder Kegel Polare Kegel Polyedrische Kegel Das Farkas-Lemma

2 Konvexe Mengen Definition 2.1 Eine Menge X R n heißt konvex, falls für alle x, y X 3 λx + (1 λ)y X für alle 0 λ 1 gilt. konvex nicht konvex Eine Menge ist genau dann konvex, wenn sie mit je zwei Punkten auch deren Verbindungstrecke enthält. Konvexe Mengen sind (weg-)zusammenhängend. Konvexe Funktionen auf konvexen Mengen 4 Definition 2.2 Sei X R n konvex. Eine Funktion f : X R heißt konvex/konkav, wenn für alle x, y X und 0 λ 1 gilt. Bemerkung 2.3 f (λx + (1 λ)y) / λf (x) + (1 λ)f (y) Nimmt eine konvexe/konkave Funktion auf einer konvexen Menge in einem Punkt ein lokales Minimum/Maximum an, so nimmt sie dort auch ihr globales Minimum/Maximum an. (Beweis wie Beweis von Bem. 1.8.)

3 5 Niveaumengen Beobachtung 2.4 Ist f : R n R konvex, so ist für jedes α R die Menge {x R n : f (x) α} konvex. 6 Ellipsoide Bemerkung 2.5 Für eine positiv definite symmetrische Matrix Q R n n und z R n ist das von Q definierte Ellipsoid Ell(z, Q) := {x R n (x z) T Q 1 (x z) 1} mit Zentrum z konvex (und kompakt).

4 Ellipsoide und Bälle Das einfachste Ellispoid ist der Ball 7 B(z, ϱ) := Ell(ϱ 2 I n, z) = {x R n x z ϱ} vom Radius ϱ > 0 um z R n. Spalten von C R n n : Mit Quadratwurzeln der Eigenwerte skalierte Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von Q Dann ist Ell(Q, z) = C B(O n, 1) + z (Spalten von C: Halbachsen von Ell(Q, z)). Schnitte konvexer Mengen 8 Beobachtung 2.6 Ist I eine Indexmenge (beliebiger Kardinalität), und sind X i R n konvexe Mengen (i I ), so ist auch ihre Schnittmenge konvex. i I X i

5 Konvexe Hüllen 9 Definition 2.7 Für X R n heißt conv X := {X R n X X, X konvex} die konvexe Hülle von X. Lineare Hülle: lin X := {L R n X L, L linearer Unterraum} Affine Hülle: aff X := {A R n X A, A affiner Unterraum} Kombinationen 10 Für x (1),..., x (r) R n und λ 1,..., λ r R ist r λ i x (i) i=1 eine lineare Kombination von x (1),..., x (r). Falls r i=1 λ i = 1: affine Kombination Falls λ 1,..., λ r 0: konische Kombination Konische affine Kombinationen: konvexe Kombinationen Bemerkung 2.8 Die konvexe / lineare / affine Hülle von X R n ist die Menge aller konvexen /linearen / affinen Kombinationen von (endlich vielen) Punkten aus X.

6 11 Halbräume, Hyperebenen Definition 2.9 Für a R n \ {O n } und β R heißen H (a, β) := {x R n : a, x β} und H = (a, β) := {x R n : a, x = β} der von (a, β) definierte (affine) Halbraum bzw. die von (a, β) definierte (affine) Hyperebene (falls β = 0: linear). Beobachtung 2.10 Halbräume sind konvex (und abgeschlossen). Hyperebenen sind konvex. Affine Unterräume sind konvex. Die Schnittmenge beliebig vieler Halbräume ist konvex. 12 Polyeder Definition 2.11 Eine Teilmenge P R n heißt ein (konvexes) Polyeder, wenn P die Schnittmenge endlich vieler affiner Halbräume ist. P = und P = R n (Schnitt über leerer Indexmenge) sind Polyeder Affine Unterräume sind Polyeder. Beobachtung Polyeder sind konvex und (topologisch) abgeschlossen. 2. Die Menge P (A, b) := {x R n : Ax b} der zulässigen Lösungen eines linearen Optimierungsproblems ist ein Polyeder.

7 13 Polyeder: Beispiele 14 Minkowski-Summen und Skalierungen Definition 2.13 Für Mengen X 1,..., X q R n heisst q X i = X X q := i=1 { q i=1 } x (i) : x (i) X i für alle i [q] die Minkowski-Summe von X 1,..., X q. Bemerkung 2.14 Minkowski-Summen und Skalierungen konvexer Mengen sind konvex. (X R n, α R: αx := {αx x X } Skalierung von X )

8 Trennsätze für konvexe Mengen 15 Satz 2.15 Sind X R n konvex und abgeschlossen und y R n \ X, so gibt es a R n \ {O n } und ε > 0 mit a, x a, y ε für alle x X. Satz 2.16 Sind X, Y R n konvexe Mengen mit X Y =, so gibt es a R n \ {O n } mit a, x a, y für alle x X, y Y. Topologischer Abschluss 16 Bemerkung 2.17 Für jede konvexe Menge X R n ist auch der topologische Abschluss cl(x ) von X konvex. Korollar 2.18 Der topologische Abschluss einer konvexen Menge ist der Schnitt aller sie enthaltenden Halbräume. Bemerkung 2.19 Die Schnittmengen (beliebig vieler) Halbräume sind also genau die abgeschlossenen konvexen Mengen. (Die Schnittmengen endlich vieler Halbräume sind die Polyeder.)

9 17 Kegel Definition 2.20 Eine Teilmenge K R n heißt Kegel, wenn K ist und für alle x K und α 0 auch αx K ist. R n + := {x R n : x O n } konvexer Kegel nicht konvexer Kegel 18 Eigenschaften von Kegeln Bemerkung 2.21 Ist I eine Indexmenge (beliebiger Kardinalität), und sind K i R n Kegel (i I ), so ist auch die Schnittmenge i I K i ein Kegel. Bemerkung 2.22 Eine Menge K R n ist genau dann ein konvexer Kegel, wenn K alle konischen Kombinationen von Elementen aus K enthält.

10 Wichtige Kegel 19 Der nicht-negative Orthant R n + := {x R n x O n }. Der Kegel der positiv-semidefiniten Matrizen S k + := {A S k A positiv semidefinit}, wobei S k der k(k+1) 2 -dimensionale Unterraum der symmetrischen Matizen in R k k ist. R n + und S k + sind konvex und abgeschlossen. Trennsatz für konvexe Kegeln 20 Satz 2.23 Sind K R n ein abgeschlossener konvexer Kegel und y R n \ K ein Punkt außerhalb von K, so gibt es a R n mit a, x 0 für alle x K und a, y = 1.

11 21 Konische Hüllen Definition 2.24 Für X R n ist die konische Hülle von X cone X := {K R n X K, K Kegel}. Bemerkung 2.25 Bemerkung 2.26 cone X = {αx x X, α 0} {O n } Für alle X R n ist cone X ein Kegel. Für konvexe Mengen X ist cone X ein konvexer Kegel. 22 Konvex-konische Hüllen Definition 2.27 Für X R n ist ccone X := {K R n X K, K konvexer Kegel} die konvex-konische Hülle von X. Bemerkung 2.28 Für alle X R n ist ccone X ein konvexer Kegel.... die Menge aller konischen Kombinationen von Elementen aus X.

12 Endlich erzeugte Kegel 23 Definition 2.29 Ein Kegel ist endlich erzeugt, wenn er ccone X = { λ x x λx 0 für alle x X } x X für eine endliche Menge X R n ist. Ist X R n sogar linear unabhängig, so heißt ccone X ein simplizialer Kegel. Bemerkung 2.30 Endlich erzeugte Kegel sind konvex. Satz von Carathéodory 24 Satz 2.31 Sind X R n und x ccone X, so gibt es eine linear unabhängige Teilmenge X X von X mit x ccone X (insbesondere: X n). Satz 2.32 Endlich erzeugte Kegel sind konvex und abgeschlossen.

13 Polare von Kegeln 25 Definition 2.33 Für einen Kegel K R n heißt K := {y R n : y, x 0 für alle x K} der zu K polare Kegel. Eigenschaften von Polaren Bemerkung Für zwei Kegel K 1 K 2 gilt K 1 K 2. Bemerkung 2.35 Für einen Kegel K R n ist cl(k) ein Kegel mit K = (cl(k)). Bemerkung 2.36 Die Polaren von Kegeln sind konvexe abgeschlossene Kegel. Bemerkung 2.37 Für X R n ist (ccone X ) = {y R n x, y 0 für alle x X }. Satz 2.38 Für jeden abgeschlossenen konvexen Kegel K gilt K = K.

14 Polare von Schnitten 27 Satz 2.39 Sind K 1,..., K q R n konvexe Kegel mit ( q K 1 i=2 ) int(k i ), (1) so ist ( q ) K i = i=1 q K i. (2) i=1 (int(x ): Menge der inneren Punkte von X R n ) Polyederische Kegel 28 Definition 2.40 Ein polyedrischer Kegel ist ein Kegel, der ein Polyeder ist.

15 29 Eigenschaften polyedrischer Kegel, Beispiele Bemerkung 2.41 Eine Menge K R n ist genau dann ein polyedrischer Kegel, wenn es eine Matrix A R m n gibt mit K = P (A, O n ). Bemerkung 2.42 Polyedrische Kegel sind konvex und abgeschlossen. Bemerkung 2.43 Die Polaren von endlich erzeugten Kegeln sind polyedrische Kegel. 30 Polyedrische vs. endlich erzeugte Kegel Lemma 2.44 Jeder polyedrische Kegel ist endlich erzeugt. Satz 2.45 Ein Kegel ist genau dann polyedrisch, wenn er endlich erzeugt ist.

16 31 Verstärkung von Lemma 2.44 Definition Für jede Matrix M R m n : δ(m) = {det M I J I [m], J [n], I = J } (M) = { p q p, q δ(m) ( δ(m)), q 0} Lemma 2.44 Für jede Matrix A R m n gibt es X (A) n, X < mit P (A, O) = ccone(x ). 32 Für den Beweis von Lemma 2.44 Per Induktion nach p = 0, 1,... : Für alle) B R p n und C R q n (mit p + q 1, n 1) und A = R (p+q) n, existiert X (A) n, X < mit ( B C K := {x R n Bx O p, Cx = O q } = ccone X. Lemma 2.44a Seien B) R p n, C R q n (mit p + q 1, n 1), A = R (p+q) n und K := {x R n Bx O p, Cx = O q }. ( B C 1. Falls dim(ker(b) ker(c)) dim(ker(c)) 1: Es gibt X (A) n, X < mit K = ccone X. 2. Andernfalls: Es gibt z ker(c) \ {O n } mit z K, z K.

17 Illustration 1 des Beweises von Lemma 2.44a 33 a, y a y ker (C) a 1 a,y y U = ker (C) ker (B) u O u Illustration 2 des Beweises von Lemma 2.44a 34 L ker(c) ker (C) z K B T 1 U = ker (C) ker (B)

18 Illustration des Induktionsschritts (Beweis Lemma 2.44 ) 35 ker (C) x + λ z z x K x + µ ( z) z Polare von polyedrischen Kegeln 36 Satz 2.46 Für den polaren Kegel eines polyedrische Kegels K = P (A, O m ) (mit A R m n ) gilt K = ccone{a 1,,..., A m, }. Insbesondere: Die Polaren von polyedrischen Kegeln sind endlich erzeugt. Korollar 2.47 Sind K 1,..., K q R n polyedrische Kegel, so ist ( q i=1 K i) = q i=1 K i.

19 Farkas-Lemma 37 Lemma 2.48 Sind A R m n und b R m so, dass P (A, b) = gilt, so gibt es λ R m + mit λ T A = O T n und λ, b = 1. Satz 2.49 Für alle A R m n und b R m gilt: Entweder ist oder es ist {x R n Ax b} {y R m A T y = O n, b, y = 1, y O m } (aber nicht beides).