EULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER

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1 MINI-IKM 1998 EULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER Eberhard-Karls-Universität Tübingen, März 1998 Richard Bödi

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3 Inhalt 1. Der euklidische Raum, affine Räume Polyeder Die Euler-Charakteristik Literatur

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5 Kapitel 1: Grundbegriffe 1 KAPITEL 1 Grundbegriffe (1.1) Definition. Der reelle Vektorraum R n = {(x 1,..., x n ) x i R} aller n-tupel reeller Zahlen zusammen mit dem Skalarprodukt x, y = x 1 y x n y n für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) wird der n-dimensionale euklidische Raum genannt. Der Wert x = x, x wird Länge von x genannt. (1.2) Definition. Eine Teilmenge A R n heißt beschränkt, falls es ein M > 0 gibt mit x < M für alle x A. (1.3) Definition. Seien x 1,..., x r R n. Eine Summe der Form a 1 x a r x r R n mit a 1,..., a r R wird Linearkombination der x 1,..., x r genannt. Eine Linearkombination heißt affin, falls r a i = 1 ist. Eine affine Linearkombination heißt konvex, falls a i 0 für alle i = 1,..., r ist. (1.4) Definition. Sei U ein Untervektorraum (linearer Unterraum) von R n und x R n. Jede Menge der Form N = x + U := {x + u u U} wird affiner Unterraum von R n genannt. Wir setzen dim N := dim U als Dimension von N. Bemerkung. Jeder Durchschnitt affiner Unterräume ist entweder leer oder wieder ein affiner Unterraum. (1.5) Definition. Sei A R n eine beliebige nichtleere Teilmenge. (i) Wir setzen lin A als Durchschnitt aller linearen Unterräume von R n, die die Menge A enthalten. Der lineare Unterraum lin A wird die lineare Hülle von A genannt. (ii) Wir setzen aff A als Durchschnitt aller affiner Unterräume von R n, die die Menge A enthalten. Dann ist aff A nach der obigen Bemerkung ein affiner Unterraum, der A enthält und affine Hülle von A genannt wird. Bemerkung. Die lineare (affine) Hülle einer Menge ist der kleinste lineare (affine) Unterraum von R n, der A enthält, und besteht aus allen (affinen) Linearkombinationen von

6 2 Kapitel 1: Grundbegriffe Elementen aus A. Es ist aff A lin A. Für einen Untervektorraum U ist lin U = U und für einen affinen Unterraum A ist aff A = A. (1.6) Definition. Eine Teilmenge K R n heißt konvex, wenn sie alle konvexen Linearkombinationen mit Elementen aus K enthält. Als Dimension einer konvexen Menge verstehen wir die Dimension ihrer affinen Hülle, also dim K := dim aff K. Bemerkung. (i) Sind K 1, K 2 R n konvex, so ist auch die Menge λ 1 K 1 + λ 2 K 2 := {λ 1 k 1 + λ 2 k 2 k 1, k 2 R} konvex. (ii) Jeder Durchschnitt von konvexen Mengen ist konvex. (1.7) Definition. Sei A R n eine beliebige nichtleere Teilmenge. Wir setzen conv A als Durchschnitt aller konvexen Mengen von R n, die die Menge A enthalten. Bemerkung. Die konvexe Hülle einer Menge ist die kleinste konvexe Menge von R n, die A enthält. Sie besteht aus allen konvexen Linearkombinationen von Elementen aus A. Für eine konvexe Menge K ist conv K = K. (1.8) Definition. Sei A R n eine beliebige nichtleere Teilmenge. (i) Die Menge pos A := R >0 A = {λ a λ R, λ > 0, a A} heißt positive Hülle von A. (ii) Eine Teilmenge K von R n heißt Kegel mit Scheitel 0, wenn K = pos K ist. (iii) Eine Teilmenge K von R n heißt Kegel mit Scheitel s, falls K s = {k s k K} ein Kegel mit Scheitel 0 ist. (iv) Eine Teilmenge K von R n heißt Pyramide mit Scheitel 0, wenn K = {λ a λ (0, 1), a A} (v) Eine Teilmenge K von R n heißt Pyramide mit Scheitel s, falls K s eine Pyramide mit Scheitel 0 ist. Bemerkung. (i) Für jede Menge A R n ist pos A ein Kegel mit Scheitel 0, und zwar der kleinste, der die Menge A enthält. (ii) Für jede Menge A R n und jedes s R n ist s + pos (A s) ein Kegel mit Scheitel s, und zwar der kleinste, der die Menge A enthält. (iii) Ein Kegel kann mehr als nur einen Scheitel haben, denn jeder affine Unterraum N etwa ist ein Kegel für jeden Scheitel s N. (1.9) Lemma. Besitzt ein Kegel K zwei Scheitel s und t, so ist K = K + (s t).

7 Kapitel 1: Grundbegriffe 3 Beweis. Aus folgt s + 1 (K s) s + pos (K s) = K 2 t + 2(s + 1 (K s) t) t + pos (K t) = K 2 und somit K + (s t) K. Vertauschen von s und t liefert ebenso K + (t s) K bzw. K K + (s t), also insgesamt K + (s t) = K. (1.10) Lemma. Sei K ein Kegel mit Scheitel s. Dann ist die Menge ein Untervektorraum von R n. T(K) = {t R n K + t = K} Beweis. Natürlich ist 0 T(K). Für t 1, t 2 T(K) ist auch t 1 + t 2 T(K). Für t T(K) ist t T(K). Für t T(K) und λ R >0 ist K + λt = s + λ(k s) + λt = s + λ(k + t s) = s + λ(k s) = K, also λt T(K). Damit haben wir insgesamt gezeigt, daß T(K) mit je zwei Elementen auch eine beliebige Linearkombination davon enthält, d.h. T(K) ist ein Untervektorraum von R n. (1.11) Lemma. Sei K ein Kegel in R n und sei U ein Untervektorraum von R n mit K + U = K. Dann ist U T(K). Beweis. Für u U ist K + u K + U = K, also K K u. Wegen u U folgt ebenso K K + u, also K + u = K für alle u U. Dies zeigt K + U = K. (1.12) Lemma. Sei K ein Kegel in R n mit Scheitel s. Sei t R n. Dann sind folgende Aussagen gleichwertig: (i) K ist ein Kegel mit Scheitel t. (ii) t s + T(K). Also ist s + T(K) die Menge aller Scheitel von K. Beweis. Sei t = s + u mit u T(K). Dann ist t + pos (K t) = s + u + pos (K s) = K + u = K. Also ist K ein Kegel mit Scheitel t. Die Umkehrung folgt sofort aus Lemma (1.9) und der Definition von T(K). (1.13) Definition. Für ε > 0 und x R n heißt K ε (x) := {y R n x y < ε} die offene ε-kugel um x.

8 4 Kapitel 1: Grundbegriffe (1.14) Definition. Sei A R n. Ein Punkt x A heißt innerer Punkt, falls es ein ε > 0 gibt mit K ε (x) A. Die Menge A aller inneren Punkte von A heißt Inneres von A. Die Menge A heißt offen, wenn alle Punkte von A innere Punkte sind. Die Menge A heißt abgeschlossen, wenn das Komplement R n \ A offen ist. Ein Punkt x R n heißt Randpunkt von A, falls jede ε-kugel K ε (x) sowohl A als auch R n \ A schneidet. Die Menge A aller Randpunkte von A heißt Rand von A. Die Menge A := A A heißt der Abschluß von A. Bemerkung. Das Innere einer Menge ist stets eine offene Menge, der Abschluß ist stets abgeschlossen. Der Rand ist stets abgeschlossen. Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen. Endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. (1.15) Lemma. Jede Kugel K ε (x) ist konvex und offen. Beweis. Seien x 1,..., x r K ε (x), also x i x < ε für i = 1,..., r. Seien a 1,..., a r 0 mit r a i = 1. Wir müssen zeigen, daß y := r a ix i K ε (x) ist. Es ist r y x = a i (x i x) r a i x i x < r r a i ε = ε a i = ε, also y K ε (x). Dies zeigt, daß K ε (x) konvex ist. Sei y K ε (x) mit y x = δ < ε. Dann ist K ε δ (y) K ε (x), also ist y ein innerer Punkt von K ε (x). Da y beliebig war, ist somit K ε (x) offen. (1.16) Definition. Eine Menge A R n heißt relativ offen, wenn für jedes ε > 0 und jedes x A die Relation K ε (x) aff A A gilt.

9 Kapitel 2: Polyeder 5 KAPITEL 2 Polyeder (2.1) Definition. Sei f : R n R : (x 1,..., x n ) a 0 + a 1 x a n x n nicht konstant. Eine solche Abbildung heißt affin. (i) Die Menge F 0 := {x R n f(x) = 0} heißt Hyperebene von R n. (ii) Die Mengen F + := {x R n f(x) > 0} und F := {x R n f(x) < 0} heißen offene Halbräume von R n. (iii) Die Mengen F + := F 0 F + und F := F 0 F heißen abgeschlossene Halbräume von R n. (iv) Jeder nichtleere Durchschnitt von Hyperebenen wird als Ebene bezeichnet. Bemerkung. (1) Offene (abgeschlossene) Halbräume sind offene (abgeschlossene) Mengen im Sinne von Definition (1.14). (2) Jeder Punkt p R n und R n = selbst ist eine Ebene. Durch Übergang von f zu f wird F + zu F und umgekehrt. Deshalb genügt es im Folgenden, nur positive Halbräume zu betrachten. (2.2) Lemma. Jede Hyperebene F 0 von R n ist ein affiner Unterraum der Dimension n 1. Damit ist auch jede Ebene ein affiner Unterrraum. Beweis. Sei f : R n R : (x 1,..., x n ) a 0 + a 1 x a n x n nicht konstant und F 0 := {x R n f(x) = 0}. Setze g := f a 0. Dann ist g : R n R eine lineare Abbildung und U := {x R n g(x) = 0} ist ein linearer Unterraum der Dimension n 1. Sei x 0 F 0 mit x 0 0. Wegen f(x 0 + u) = g(x 0 + u) + a 0 = g(x 0 ) + g(u) + a 0 = (f(x 0 ) a 0 ) + g(u) + a 0 = 0 ist F 0 = x 0 + U ein affiner Unterraum der Dimension n 1. (2.3) Lemma. Sei K R n eine nichtleere konvexe Teilmenge mit 0 K. Dann gibt es eine lineare Abbildung g : R n R mit g 0 und g(k) 0 für alle k K. Beweis. Sei L := {U R n g : U R linear, g 0 und g(x) 0 für alle x L K}. Wir zeigen, daß R n L ist.

10 6 Kapitel 2: Polyeder (1) Für K = ist der Satz trivial. Sei also x 0 K. Wegen 0 K folgt aus λx 0 K stets λ > 0. Auf dem eindimensionalen Unterraum U 0 := x 0 := {λx 0 λ R} ist also durch g : U 0 R : λx 0 λ eine lineare Abbildung g 0 mit g(x) 0 für alle x U 0 K gegeben. Also ist L. (2) Wir zeigen, daß zu jedem L L mit L R n ein L L mit L L und dim L = dim L + 1 gibt. Dies beweist das Lemma. Sei also L L mit L R n gegeben, und sei g : L R die zugehörige lineare Abbildung. Sei x 0 R n \ L und setze L := L, x 0 := {x + λx 0 x L, λ R}. Dann ist dim L = dim L + 1. Wir unterscheiden drei Fälle: 1. Fall. Für alle x = x + λx 0 L K ist λ 0. Dann ist g (x ) : L R : x + λx 0 λ eine lineare Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften, d.h. es ist L L. 2. Fall. Für alle x = x + λx 0 L K ist λ 0. Dann setzen wir g (x ) : L R : x + λx 0 λ. 3. Fall. Es existieren x 1 = x 1 +λ 1 x 0 L K mit x 1 L und λ 1 > 0 und x 2 = x 2 λ 2 x 0 L K mit x 2 L und λ 2 > 0. Wir betrachten die beiden folgenden Mengen reeller Zahlen: { M 1 := µ 1 R x 1 L λ 1 > 0 : x 1 + λ 1 x 0 L K µ 1 = g(x } 1) und { M 2 := µ 2 R x 2 L λ 2 > 0 : x 2 λ 2 x 0 L K µ 2 = g(x } 2). Nach Voraussetzung sind diese Mengen nicht leer. Ferner ist µ 1 µ 2 für alle µ 1 M 1 und µ 2 M 2, denn für die zugehörigen x 1, λ 1, x 2, λ 2 ist aufgrund der Konvexität von K 1 λ 1 + λ 1 (λ 1 x 2 + λ 2 x 1 ) L K, also λ 1 g(x 2 ) + λ 2 g(x 1 ) 0 und somit µ 1 = g(x 1) λ 1 g(x 2) λ 2 = µ 2. Wähle eine reelle Zahl µ mit µ 1 µ µ 2 für alle µ 1 M 1 und µ 2 M 2. Definiere g : L R : x + λx 0 g(x) + λµ. Dann ist g 0 und g (x ) 0 für alle x L K. Also ist L L, was zu zeigen war. λ 2 λ 1 (2.4) Folgerung. Seien K, L R n nichtleere disjunkte konvexe Teilmengen. Dann gibt es eine nicht konstante affine Abbildung f : R n R mit f(k) 0 und f(l) 0, d.h. K und L liegen auf verschiedenen Seiten von F 0.

11 Kapitel 2: Polyeder 7 Beweis. Betrachte die konvexe Menge M := K L. Wegen K L = ist 0 M. Nach Lemma (2.3) gibt es eine lineare Abbildung g : R n R mit g 0 und g(m) 0, also g(k) g(l) für alle k K und alle l L. Sei a 0 R mit g(k) a 0 g(l) für alle k K und alle l L. Dann erfüllt f := g a 0 die Behauptung. (2.5) Lemma. Sei A R n eine relativ offene Teilmenge, die auf einer Seite einer Hyperebene F 0 liegt, also etwa A F +. Dann ist entweder A F + oder A F 0. Beweis. Sei A F 0. Angenommen, es wäre A F +. Dann gibt es ein x A F 0 und ein y A F +. Da A relativ offen ist, gibt es ein ε > 0 mit K ε (x) aff A A. Also ε ist y λ := x + λ(y x) A für alle λ ( y x, ε y x ). Sei f : Rn R : (x 1,..., x n ) a 0 + a 1 x a n x n die zu F 0 gehörige affine Abbildung und sei g = f a 0. Dann ist f(y λ ) = g(y λ ) + a 0 = g(x) + λg(y x) + a 0 = f(x) + λg(y x) = 0 + λg(y) λg(x) = λf(y) λf(x) = λf(y), woraus y λ F für λ < 0 folgt. Also ist A F, ein Widerspruch. (2.6) Definition. Sei M eine Ebene in R n und seien F 1 +,..., F + k endlich viele offene Halbräume in R n. Sei C := M k F + i. Ist C, so heißt C eine Zelle in Rn. Die Dimension dim C von C setzen wir als die Dimension der affinen Hülle von C: dim C := dim aff C. Bemerkung. Jede Ebene und damit auch jeder Punkt ist eine Zelle. (2.7) Definition. Jede endliche Vereinigung P = C 1... C k von Zellen in R n wird Polyeder in R n genannt. Das Polyeder P heißt k-dimensional, falls k = max,...,k {dim C i } ist. Polyeder im R n, die genau eine Zelle der Dimension n enthalten, werden eigentlich genannt. (2.8) Lemma. Jedes Polyeder P läßt sich als Vereinigung von endlich vielen paarweise disjunkten Zellen darstellen. Eine solche Darstellung nennt man Zellenzerlegung des Polyeders P. Beweis. Sei P = C 1... C k und C i = M i k i j=1 F + ij. Sei M i = l i j=1 G0 ij. Sei F = { } F1 0,..., Fr 0 die Menge aller Hyperebenen F 0 ij und G 0 ij. Die Menge F wird ein P -Netz genannt. (1) Die nichtleeren Mengen der Form E = r F σ i i mit σ i {+, 0, } bilden eine Partition von R n, d.h. sie sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist R n. Diese Mengen werden Fundamentalzellen bzgl. F genannt.

12 8 Kapitel 2: Polyeder (2) P ist die Vereinigung gewisser Fundamentalzellen: Sei dazu x P und sei E eine Fundamentalzelle mit x E. Wir müssen zeigen, daß E P ist. Wegen x P gibt es ein i {1,..., k} mit x C i. Dann ist x G 0 ij für alle j {1,..., l i} und x F + ij für alle j {1,..., k i }. Diese Mengen müssen natürlich auch in der Darstellung von E als Durchschnitt auftauchen. Dies zeigt E P. Eine wichtige Klasse von Polyedern sind die sog. polyedrischen Mengen: (2.9) Definition. Sei N eine Ebene in R n und seien G + 1,..., G + r endlich viele abgeschlossene Halbräume in R n. Sei P := N r G+ i. Ist P, so heißt P eine polyedrische Menge in R n. Die Mengen der Form S = N r Gσ i i mit σ 1,..., σ r {0, +} werden die Seiten von P genannt. (2.10) Lemma. Jede polyedrische Menge P ist die disjunkte Vereinigung aller ihrer Seiten. Insbesondere ist jede polyedrische Menge ein Polyeder. Beweis. Sei P := N r G+ i = N r (G0 i G+ i ). Wegen (A B) (C D) = (A C) (A D) (B C) (B D) und G 0 i G+ i = folgt, daß P die disjunkte Vereinigung aller seiner Seiten ist. (2.11) Definition. Sei P ein Polyeder in R n und sei F ein P -Netz. Für x R n setze F x := {F F σ F {+, } : x F σ F } und sowie U(x) := U F (x) := F σf, F F x P x := x + pos (P U(x) x). Bemerkung. Es ist U(x) eine offene Menge, die x enthält. (2.12) Lemma. Sei P ein konvexes Polyeder in R n und sei F ein P -Netz. Seien x, y R n. Für λ R sei y λ := x + λ(y x). Sei ε > 0. Ist y P x, so existiert ein λ 0 > 0, so daß y λ P K ε (x) ist für alle λ (0, λ o ]. Beweis. Sei y P x. Dann gibt es ein µ 0 > 0 und ein y P U(x) mit y = x + µ 0 (y x). Entweder ist U(x) eine Fundamentalzelle oder es gibt ein F F mit x F und F F \F x. Im ersten Fall folgt wegen U(x) P schon U(x) P, also x P. Da P konvex ist,

13 Kapitel 2: Polyeder 9 folgt y λ P K ε (x) für alle λ [0, εµ 0 ). Im zweiten Fall ist K ε (x) F σ für alle σ {+, 0, } und alle F F \ F x. Sei E die Fundamentalzelle bzgl. F, welche y enthält. Dann ist E P und x liegt auf dem Rand von E. Insbesondere ist K ε (x) E. Da sowohl E als auch K ε (x) konvex sind, ist y λ P K ε (x) für alle λ (0, εµ 0 ). Setze also λ 0 := εµ 0. (2.13) Lemma. Sei P ein konvexes Polyeder in R n und sei F ein P -Netz. Sei ε > 0, so daß K ε (x) U(x). Dann ist P x = x + pos (P K ε (x) x). Beweis. Setze Q := x + pos (P K ε (x) x). Wegen K ε (x) U(x) ist Q P x. Für die umgekehrte Inklusion sei y P x. Nach Lemma (2.12) existiert ein λ > 0 mit z = x + λ(y x) P K ε (x). Damit folgt y = x + λ 1 (z x) Q. (2.14) Folgerung. Sei P ein konvexes Polyeder in R n und sei F ein P -Netz. Es ist x P genau dann, wenn P x ist. Beweis. Nach Lemma (2.13) ist P x genau dann, wenn jede offene Kugel K ε (x) mit P einen nichtleeren Durchschnitt hat. Dies ist nach Definition genau dann der Fall, wenn x P ist. (2.15) Satz. Jedes abgeschlossene und konvexe Polyeder ist eine polyedrische Menge und umgekehrt. Beweis. Da Hyperebenen und Halbräume konvexe Mengen sind und jeder Durchschnitt konvexer Mengen selbst konvex ist, sind polyedrische Mengen konvex. Dasselbe Argument gilt auch für die Abgeschlossenheit. Also sind polyedrische Mengen abgeschlossene und konvexe Polyeder. Sei umgekehrt P ein abgeschlossenes und konvexes Polyeder. Sei F ein P -Netz und sei E die Menge aller Fundamentalzellen bzgl. F. Für E E setze und F E := {F F σ F {+, } : E F σ F } V (E) := F F E F σf. Damit ist V (E) U(x) für alle x E. Da sowohl P als auch V (E) konvex sind, gibt es im Falle von P V (E) = nach Folgerung (2.4) eine Hyperebene F E in R n mit P F + E und V (E) F E. Da V (E) offen ist, gilt sogar V (E) F E. Setze nun D := F + E. E E,P V (E)=

14 10 Kapitel 2: Polyeder Wir werden zeigen, daß D = P ist. Wegen P F + E ist jedenfalls P D. Sei nun x R n \ P. Da P abgeschlossen ist, ist x P, also P x = nach Folgerung (2.14). Nach Definition von P x ist damit P U(x) =. Ist E x die x enthaltende Fundamentalzelle aus E, so ist auch P V (E x ) =, woraus D F + E x folgt. Wegen x V (E x ) F E ist x D. Dies beweist D P und damit D = P. (2.16) Definition. Eine beschränkte polyedrische Menge wird Polytop genannt.

15 Kapitel 3: Die Euler-Charakteristik 11 KAPITEL 3 Die Euler-Charakteristik In den Arbeiten Elementa doctrinae solidorum und Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita hat Leonhard Euler 1753 den folgenden berühmten Satz veröffentlicht: (3.1) Satz von Euler. In jedem Polytop des 3-dimensionalen euklidischen Raumes R 3 ist die Summe von Ecken- und Flächenzahl um 2 grösser als die Kantenzahl. Diese Formel wurde zuerst von Euler bewiesen, obwohl später bekannt wurde, daß diese schon Descartes ( ) und möglicherweise sogar schon Archimedes (287 v.chr. 212 v.chr.) bekannt gewesen ist. Außerdem war Eulers Beweis nicht stichhaltig. Erst 1794 konnte M. Legendre einen korrekten Beweis liefern. Wir werden vier verschiedene Beweise des Eulerschen Satzes diskutieren. Zuvor noch eine Definition. (3.2) Definition. Besitzt ein Polytop P in R 3 genau e Ecken, k Kanten und f Flächen, so heißt die Zahl χ(p ) := e k + f die Euler-Charakteristik von P. 1. Beweis durch Körperzerlegung (nach Euler). Es wird das Ausgangspolytop P = P 0 sukzessive in andere Polytope P 1,..., P k umgewandelt, so daß die Euler-Charakteristik aller Polytope P 0, P 1,..., P k die gleiche ist, und daß P k das Tetraeder ist. Für das Tetraeder P k wissen wir, daß χ(p k ) = 2 ist. Das Polyeder P habe e 0 Ecken, k 0 Kanten und f 0 Flächen. Betrachte eine Ecke O von P. Seien OA 1,..., OA m die Kanten von P, die O als Ecke besitzen. Wir betrachten das m-eck A 1... A m. Unterteilt man eine Fläche des Polytops durch eine Kante, so erzeugt man eine neue Kante und aus der einen Fläche werden nach der Unterteilung zwei. Also ändert sich durch Hinzufügen einer Kante in eine Seitenfläche die Euler-Charakteristik nicht. Durch Hinzufügen von Kanten können wir also annehmen, daß die Kanten A 1 A 2, A 2 A 3,..., A m A 1 in P schon existieren. Nun werden die m Dreiecke OA i A i+1 ersetzt durch die m 2 Dreiecke A 1 A 2 A 3, A 1 A 3 A 4,..., A 1 A m 1 A m.

16 12 Kapitel 3: Die Euler-Charakteristik A 3 A 3 A 3 A 4 A 4 A 4 O A 2 O A 2 O A 2 A 1 A 1 A 1 Das so erhaltene Polytop P 1 besitzt nun e 1 = e 0 1 Ecken, k 1 = k 0 3 Kanten und f 1 = f 0 2 Flächen. Also ist χ(p 1 ) = e 1 + k 1 + f 1 = (e 0 1) + (k 0 3) + (f 0 2) = e 0 + k 0 + f 0 = χ(p 0 ). Dieses Verfahren können wir so lange fortführen, bis die Eckenzahl des Polytops P m gerade 4 ist. Insbesondere ist also m = e 0 4. Ein eigentliches Polytop im R 3 mit 4 Ecken muß aber das Tetraeder sein und dieses besitzt die Euler-Charakteristik Beweis durch Verwendung der Winkelsumme eines Polgons (nach Lhuilier (1812) und Steiner (1826)). Die Winkelsumme eines ebenen n-ecks ist (n 2)π. Dies zeigt man durch Zerlegung des n-ecks in Dreiecke via Diagonalen (wie in der dritten Figur im ersten Beweis). Der Beweis basiert darauf, daß sich die Summe w aller Winkel der n- Ecke, die durch eine geeignete Projektion der Seitenflächen des Polytops erhalten werden, auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden können. Wir projizieren P von einem Punkt Z außerhalb von P auf eine Ebene E. Dabei wählen wir das Zentrum Z und die Ebene E so, daß alle Ecken von P auf paarweise verschiedene Punkte auf E abgebildet werden. Man erhält so ein äußeres Polygon A 1 A 2... A r, welches auf zwei verschiedene Weisen in Polygone zerlegt wird.

17 Kapitel 3: Die Euler-Charakteristik 13 A 8 A 7 A 9 A 6 A 5 A 2 A 3 A 4 Die Punkte A 1,..., A r stammen dabei von Ecken des Polytops P. Das Bild der Ecken und Kanten von P unter der Projektion ist ein sog. Graph. Zuerst berechnen wir die Winkelsumme w, indem wir alle Winkel der projizierten Seitenflächen aufaddieren. Seien dazu n 1,..., n f die Kantenzahlen der f Flächen von P. Dann ist ( f f ) f w = (n i 2)π = n i 2 π = 2π(k f), denn jede Kante von P wird bei dieser Zählung doppelt gezählt. Nun bestimmen wir w durch Addition der Winkel um die einzelnen Ecken. Natürlich ist die Winkelsumme um innere Punkte des projizierten Polytops P gerade 2π. Es gibt r äußere und damit e r innere Punkte. Also ist w = 2(e r 2)π + 2rπ = 2(e 2)π, woraus χ(p ) = e k + f = 2 folgt. 3. Beweis durch Verwendung sphärischer Geometrie (nach Legendre (1809)). Für ein Dreieck ABC auf der Einheitskugel mit Winkeln α, β und γ ist die Winkelsumme w = α + β + γ stets größer als π und der Flächeninhalt a ist gegeben durch a = w π. Die Winkelsumme w eines sphärischen n-ecks berechnet man wie in den ersten beiden Beweisen durch Unterteilung mit Diagonalen. Sind a 1,..., a n 2 die Flächeninhalte und w 1,..., w n 2 die Winkelsummen der Dreiecke, die das n-eck auf diese Weise zerlegen, so ist der Flächeninhalt a des n-ecks gegeben durch n 2 n 2 n 2 a := a i = (w i π) = w i rπ = w (n 2)π,

18 14 Kapitel 3: Die Euler-Charakteristik Wir denken uns das Polytop P im Inneren der Einheitskugel des R 3, wobei der Mittelpunkt M der Einheitskugel im Inneren von P liege, und projizieren P von M aus radial auf die Kugeloberfläche. Die Summe aller projizierten Seitenflächen von P ist natürlich die gesamte Kugeloberfläche. Die Oberfläche der Einheitskugel beträgt 4π. Seien a 1,..., a f die Flächeninhalte und seien w 1,..., w f die Winkelsummen der projizierten Seitenflächen von P, die n 1,..., n f Kanten besitzen. Dann ist 4π = f a i = f (w i (n i 2)π) = f f w i (n i 2)π = 2πe 2πk + 2πf und wir erhalten damit die Eulersche Formel. 4. Beweis durch Verwendung von Graphen (nach von Staudt (1848)). Wir betrachten den zusammenhängenden Graphen G aus dem zweiten Beweis. Zuerst konstruieren wir zu diesem Graphen einen aufspannenden Baum. Ein Baum ist ein Graph ohne geschlossene Wege. Ein Teilgraph H eines zusammenhängenden Graphen G wird aufspannend genannt, wenn er zusammenhängend ist und alle Ecken von G enthält. Ein aufspannender Baum H von G kann wie folgt konstruiert werden. Wir starten mit dem Graph G. Gibt es in G keine geschlossenen Wege, so ist G selbst ein Baum und es ist H = G. Andernfalls nehmen wir einen geschlossenen Weg in G und entfernen eine Kante dieses Weges. Dadurch bleibt der Graph zusammenhängend. Dieses Verfahren wird so lange fortgeführt, bis keine geschlossenen Wege mehr existieren. Das Resultat ist am Ende der gewünschte aufspannende Baum H von G. Der zusammenhängende Baum H hat e Ecken und e 1 Kanten, sowie eine Fläche, d.h. wir haben χ(h) = e (e 1)+1 = 2. Fügt man nun sukzessive die herausgenommenen Kanten von G zu H wieder hinzu, so erhält man in jedem Schritt eine neue Kante und eine neue Fläche, da bei jedem Hinzufügen einer Kante ein neuer geschlossener Weg, also eine neue Fläche, entsteht. Somit ändert sich bei jedem Schritt die Euler-Charakteristik nicht und wir erhalten χ(g) = 2 wie erwünscht. Alle angeführten Beweise beruhen auf einer naiven Vorstellung eines Polytops und sind deshalb unbefriedigend und zudem nicht auf höhere Dimensionen verallgemeinerbar. Deshalb werden wir eine Formulierung des Eulerschen Satzes für Polytope im R n samt Beweis auf die Begriffe des zweiten Kapitels aufbauen. Zuerst müssen wir die Euler-Formel für Polyeder im R n neu definieren. (3.3) Definition. Sei P ein Polyeder im R n gemäß Definition (2.7). Sei P = r C i eine Zellenzerlegung von P. Wir definieren als Euler-Charakteristik von P die Zahl χ(p ) := r ( 1)dim C i. Außerdem setzen wir χ( ) = 0.

19 Kapitel 3: Die Euler-Charakteristik 15 Ist diese Definition überhaupt sinnvoll, d.h. hängt diese nicht von der gewählten Zellenzerlegung ab? Eine Antwort auf diese Frage geben die beiden nachfolgenden Lemmata. (3.4) Lemma. Sei C eine Zelle in R n und sei F = {F 1,..., F k } eine Menge von Hyperebenen in R n. Sei E die Menge aller Fundamentalzellen bzgl. F. Dann ist χ(c) = E E χ(c E). Ist F ein C-Netz, so gilt χ(c) = χ(e). E E,E C Beweis. Sei F F. Es treten folgende Fälle auf: (1) C F =. (2) C F. (3) C F und C F. In Fall (1) istnach Lemma (2.5) entweder C F + oder C F. Da alle auftretenden Durchschnitte Zellen sind, ist im dritten Fall Damit gilt in allen drei Fällen dim(c F ) = dim(c F ) + 1 = dim(c F + ) = dim C. χ(c) = χ(c F ) + χ(c F ) + χ(c F + ). Durch wiederholte Anwendung dieser Formel bekommen wir χ(c) = E E χ(c E). Die zweite Gleichung erhält man sofort aus der ersten. (3.5) Lemma. Die Euler-Charakteristik χ(p ) ist unabhängig von der gewählten Zellenzerlegung von P. Beweis. Seien P = r C i = s j=1 C j zwei Zellenzerlegungen von P mit zugehörigen P -Netzen F und F. Dann ist auch G := F F ein P -Netz. Sei E die zu G gehörige Menge aller Fundamentalzellen. Nach Lemma (3.4) ist r χ(c i ) = E E,E P χ(e) = s χ(c j), j=1 was das Lemma beweist.

20 16 Kapitel 3: Die Euler-Charakteristik (3.6) Folgerung. Sei P eine polyedrische Menge in R n mit S als Menge aller Seiten von P. Dann ist χ(p ) = χ(s) = n S S S S( 1) dim S = ( 1) i s i, i=0 wobei s i die Anzahl der i-dimensionalen Seiten von P ist. Beweis. Dies folgt sofort aus Definition (3.3) und Lemma (2.10), wonach die Menge aller Seiten einer polyedrischen Menge P eine Zellenzerlegung von P darstellt. (3.7) Satz (Euler-Schläfli, 1950). Für jedes eigentliche Polytop P in R n ist χ(p ) = 1. Beweis. Da P eigentlich ist, besitzt P genau eine Zelle S 0 der Dimension n. Sei S die Menge aller Seiten von P außer S 0. Wir werden die Zelle S 0 geeignet unterteilen. Dazu wählen wir einen Punkt z S 0. Jeder Seite S S ordnen wir die Pyramide S := {y R n y = z + λ(x z), x S, 0 < λ < 1} mit Spitze z und Grundfläche S zu. Dann ist S für jede Seite S S eine Zelle der Dimension dim S + 1. Außerdem ist {S S S} S {z} eine Zellenzerlegung von P. Aus der Definition der Euler-Charakteristik folgt nun χ(p ) = S S χ(s) + S S χ(s ) + χ({z}) = S S(( 1) dim S + ( 1) dim S+1 ) + 1 = 1.

21 Literatur 17 Literatur [1] Boljanksij, V.G., Efremovič, V.A., Anschauliche kombinatorische Topologie, Braunschweig Wiesbaden: Vieweg 1986 [2] Bronsted, A., An Introduction to Convex Polytopes, New York Heidelberg Berlin: Springer 1983 [3] Brückner, M., Elemente der vierdimensionalen Geometrie mit besonderer Berücksichtigung der Polytope, Zwickau: R. Zückler 1894 [4] Gabriel, P., Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Basel: Birkhäuser 1996 [5] Harzheim, E., Einführung in die kombinatorische Topologie, Wissenschftl. Buchgesellschaft Darmstadt 1978 [6] Nef, W., Beiträge zur Theorie der Polyeder, mit Anwendungen in der Computergraphik, Bern: Herbert Lang Verlag 1978 [7] Nef, W., Zur Eulerschen Charakteristik allgemeiner, insbesondere konvexer Polyeder, Rsultate Math. 3 (1980), [8] Nef, W., Zur Einführung der Eulerschen Charakteristik, Monatshefte Math. 92 (1981), [9] Nef, W., Ein einfacher Beweis des Satzes von Euler-Schläfli, Elemente Math. 39 (1984), 1 24 [10] Schoute, P.H., Mehrdimensionale Geometrie, II. Teil, Die Polytope, Leipzig: Göschen 1905 [11] Tóth, L.F., Reguläre Figuren, Leipzig: Teubner Verlag 1965