Zufällige Polytope. Benedikt Liedtke. 18. Januar 2010

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1 Zufällige Polytope Benedikt Liedtke 18. Januar 2010

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Definition zufälliges konvexes Polytop 3 verschiedene Modelle E(K, n) Ef k (K n )

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Definition zufälliges konvexes Polytop 3 verschiedene Modelle E(K, n) Ef k (K n ) 2 Bestimmung von E(K, n) Begriffe Kappe und zugehörige Größen Asymptotisches Verhalten von E(K, n) Beweis der unteren Grenze Macbeath-Regionen Beweis der oberen Grenze Beispiele

4 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Definition zufälliges konvexes Polytop 3 verschiedene Modelle E(K, n) Ef k (K n ) 2 Bestimmung von E(K, n) Begriffe Kappe und zugehörige Größen Asymptotisches Verhalten von E(K, n) Beweis der unteren Grenze Macbeath-Regionen Beweis der oberen Grenze Beispiele 3 Bestimmung von Ef k (K n ) Asymptotisches Verhalten von Ef k (K n )

5 Motivation Sylvestersches 4-Punkte Problem (1865) Sylvester warf 1865 die Frage auf wie hoch die Wahrscheinlichkeit P (R) ist, dass die konvexe Hülle von 4 zufälligen Punkten in einem 2-dimensionalen Bereich R ein Viereck ist. Offensichtlich spielt es eine Rolle, nach welcher Verteilung man die zufälligen Punkte wählt und welche Form die Region R hat.

6 Motivation Sylvestersches 4-Punkte Problem (1865) Sylvester warf 1865 die Frage auf wie hoch die Wahrscheinlichkeit P (R) ist, dass die konvexe Hülle von 4 zufälligen Punkten in einem 2-dimensionalen Bereich R ein Viereck ist. Offensichtlich spielt es eine Rolle, nach welcher Verteilung man die zufälligen Punkte wählt und welche Form die Region R hat.

7 Motivation Es wurde gezeigt (Blaschke 1923, Peyerimhoff 1997), dass in Abhängigkeit der zugrundeliegenden Menge R gilt: P (R) 12π Der minimale Wert wird angenommen falls R ein Dreieck, der maximale falls R ein Ellipsoid ist. Die generalisierten Fragestellungen: Wahrscheinlichkeit, dass die konvexe Hülle von n+2 Punkten in einem Körper B n n+1 Ecken hat.

8 Motivation Es wurde gezeigt (Blaschke 1923, Peyerimhoff 1997), dass in Abhängigkeit der zugrundeliegenden Menge R gilt: P (R) 12π Der minimale Wert wird angenommen falls R ein Dreieck, der maximale falls R ein Ellipsoid ist. Die generalisierten Fragestellungen: Wahrscheinlichkeit, dass die konvexe Hülle von n+2 Punkten in einem Körper B n n+1 Ecken hat. erwartete Anzahl von Ecken

9 Motivation Es wurde gezeigt (Blaschke 1923, Peyerimhoff 1997), dass in Abhängigkeit der zugrundeliegenden Menge R gilt: P (R) 12π Der minimale Wert wird angenommen falls R ein Dreieck, der maximale falls R ein Ellipsoid ist. Die generalisierten Fragestellungen: Wahrscheinlichkeit, dass die konvexe Hülle von n+2 Punkten in einem Körper B n n+1 Ecken hat. erwartete Anzahl von Ecken erwartetes Volumen der konvexen Hülle.

10 Definition zufälliges konvexes Polytop Definition (konvexe Hülle) Wir schreiben [x 1,..., x n ] für die konvexe Hülle der Punktmenge {x 1,..., x n }

11 Definition zufälliges konvexes Polytop Definition (konvexe Hülle) Wir schreiben [x 1,..., x n ] für die konvexe Hülle der Punktmenge {x 1,..., x n } Definition (konvexes Polytop) Ein konvexes Polytop ist die nichtleere konvexe Hülle von endlich vielen Punkten und somit eine kompakte und konvexe Teilmenge des R d

12 Definition zufälliges konvexes Polytop Definition (konvexe Hülle) Wir schreiben [x 1,..., x n ] für die konvexe Hülle der Punktmenge {x 1,..., x n } Definition (konvexes Polytop) Ein konvexes Polytop ist die nichtleere konvexe Hülle von endlich vielen Punkten und somit eine kompakte und konvexe Teilmenge des R d Definition (zufälliges Polytop) Sei P die Menge aller Polytope, dann ist das Bild einer messbaren Abbildung X : Ω P ein zufälliges Polytop.

13 3 verschiedene Modelle Seien x 1,..., x n zufällige Punkte im R d, dann ist K = [x 1,..., x n ] ein zufälliges Polytop im R d

14 3 verschiedene Modelle Seien x 1,..., x n zufällige Punkte im R d, dann ist K = [x 1,..., x n ] ein zufälliges Polytop im R d Sei K R n, n > d, dann ist die orthogonale Projektion von K auf einen zufälligen d-dimensionalen Unterraum ein zufälliges Polytop im R d

15 3 verschiedene Modelle Seien x 1,..., x n zufällige Punkte im R d, dann ist K = [x 1,..., x n ] ein zufälliges Polytop im R d Sei K R n, n > d, dann ist die orthogonale Projektion von K auf einen zufälligen d-dimensionalen Unterraum ein zufälliges Polytop im R d Seien H 1,..., H n zufällige abgeschlossene Halbräume des R d, dann kann K = i=1,..,n H i ein zufälliges Polytop im R d sein falls es die Definition erfüllt

16 E(K, n) ν(k \ K n ): das von K n ausgelassene Volumen

17 E(K, n) ν(k \ K n ): das von K n ausgelassene Volumen und der zugehörige Erwartungswert E(ν(K \ K n )) = E(K, n)

18 E(K, n) ν(k \ K n ): das von K n ausgelassene Volumen und der zugehörige Erwartungswert E(ν(K \ K n )) = E(K, n)

19 Ef k (K n) f k (K n ): die Zahl der k-dimensionalen Seiten von K n

20 Ef k (K n) f k (K n ): die Zahl der k-dimensionalen Seiten von K n und deren Erwartungswert: Ef k (K n )

21 Ef k (K n) f k (K n ): die Zahl der k-dimensionalen Seiten von K n und deren Erwartungswert: Ef k (K n )

22 Begriffe K = K d := { K K R d, K, kompakt und konvex }

23 Begriffe K = K d := { K K R d, K, kompakt und konvex } K 1 := { K K ν(k) = 1 }

24 Begriffe K = K d := { K K R d, K, kompakt und konvex } K 1 := { K K ν(k) = 1 } K n := [x 1,..., x n ], x i U(K) u.i.v, K K

25 Begriffe K = K d := { K K R d, K, kompakt und konvex } K 1 := { K K ν(k) = 1 } K n := [x 1,..., x n ], x i U(K) u.i.v, K K Halbraum: H(a t) = { x R d a, x t } mit a R d Einheitsvektor und t R

26 Begriffe K = K d := { K K R d, K, kompakt und konvex } K 1 := { K K ν(k) = 1 } K n := [x 1,..., x n ], x i U(K) u.i.v, K K Halbraum: H(a t) = { x R d a, x t } mit a R d Einheitsvektor und t R H(a = t) die zugehörige begrenzende Hyperebene

27 Kappe und zugehörige Größen eine Kappe C von K K ist eine Menge der Form C = K H, H abgeschlossener Halbraum

28 Kappe und zugehörige Größen eine Kappe C von K K ist eine Menge der Form C = K H, H abgeschlossener Halbraum Wir definieren die Funktion v : K R v(x) :=min { ν(k H) x H, H ist Halbraum }

29 Kappe und zugehörige Größen eine Kappe C von K K ist eine Menge der Form C = K H, H abgeschlossener Halbraum Wir definieren die Funktion v : K R v(x) :=min { ν(k H) x H, H ist Halbraum } die minimale Kappe von x K ist eine Kappe C(x) mit ν(c(x)) = v(x)

30 Kappe und zugehörige Größen eine Kappe C von K K ist eine Menge der Form C = K H, H abgeschlossener Halbraum Wir definieren die Funktion v : K R v(x) :=min { ν(k H) x H, H ist Halbraum } die minimale Kappe von x K ist eine Kappe C(x) mit ν(c(x)) = v(x) der floating body (Niveaumengen) von K ist definiert durch K(v t) = { x K v(x) t }

31 Kappe und zugehörige Größen eine Kappe C von K K ist eine Menge der Form C = K H, H abgeschlossener Halbraum Wir definieren die Funktion v : K R v(x) :=min { ν(k H) x H, H ist Halbraum } die minimale Kappe von x K ist eine Kappe C(x) mit ν(c(x)) = v(x) der floating body (Niveaumengen) von K ist definiert durch K(v t) = { x K v(x) t } der wet part von K mit Parameter t > 0 ist K(t) = K(v t) = { x K v(x) t }

32 Asymptotisches Verhalten von E(K, n) Satz 1: Es gibt Konstanten c 0, c 1, c 2 > 0, sodass K K 1 und n c 0 gilt: c 1 ν(k(1/n)) E(K, n) c 2 ν(k(1/n)) Man kann also anstelle von E(K, n), das Volumen des wet part von K berechnen und somit das asymptotische Verhalten für E(K, n) bestimmen.

33 Beweis der unteren Grenze Sei x K fest, K n K 1 zufällig und C(x) minimale Kappe von x.

34 Beweis der unteren Grenze Sei x K fest, K n K 1 zufällig und C(x) minimale Kappe von x. Lemma 1: P {x / K n } P {X n C(x) = } = (1 v(x)) n wobei X n eine Stichprobe von n zufälligen Punkten ist.

35 Beweis der unteren Grenze Sei x K fest, K n K 1 zufällig und C(x) minimale Kappe von x. Lemma 1: P {x / K n } P {X n C(x) = } = (1 v(x)) n wobei X n eine Stichprobe von n zufälligen Punkten ist. Mit Lemma 1 erhält man t > 0: E(K, n) (1 t) n ν(k(t)) Dies liefert mit t = 1/n und c 1 = 1/4 die untere Grenze in Satz 1.

36 Macbeath-Regionen Definition Zu einem konvexen Körper K K und einen Punkt x K ist die zugehörige Macbeath-Region gegeben durch: M(x) = M K (x) = K (2x K)

37 Macbeath-Regionen Definition Zu einem konvexen Körper K K und einen Punkt x K ist die zugehörige Macbeath-Region gegeben durch: M(x) = M K (x) = K (2x K) M(x, λ) = M K (x, λ) = x + λ[(k x) (x K)]

38 Macbeath-Regionen Definition Zu einem konvexen Körper K K und einen Punkt x K ist die zugehörige Macbeath-Region gegeben durch: M(x) = M K (x) = K (2x K) M(x, λ) = M K (x, λ) = x + λ[(k x) (x K)] u : K R : u(x) = ν(m(x))

39 Macbeath-Regionen Zusammenhang von Kappe und M-Regionen Für x K, K K 1 und v(x) (d2 d ) 1 gilt: C(x) M(x, 2d)

40 Macbeath-Regionen Zusammenhang von Kappe und M-Regionen Für x K, K K 1 und v(x) (d2 d ) 1 gilt: C(x) M(x, 2d) außerdem gilt: M(x) H(a t) C(x) = K H(a t)

41 Macbeath-Regionen Zusammenhang von Kappe und M-Regionen Für x K, K K 1 und v(x) (d2 d ) 1 gilt: C(x) M(x, 2d) außerdem gilt: M(x) H(a t) C(x) = K H(a t) in der Nähe des Randes gilt v(x) u(x)

42 Macbeath-Regionen Zusammenhang von Kappe und M-Regionen Für x K, K K 1 und v(x) (d2 d ) 1 gilt: C(x) M(x, 2d) außerdem gilt: M(x) H(a t) C(x) = K H(a t) in der Nähe des Randes gilt v(x) u(x) M(x) lässt sich durch C(x) ersetzen

43 Beweis der oberen Grenze Als erstes benötigen wir eine obere Grenze für P {x / K n }: Lemma 2: P {x / K n } 2 d 1 ( n i) ( ) i ( ) n i u(x) 2 1 u(x) 2 i=0

44 Beweis der oberen Grenze Als erstes benötigen wir eine obere Grenze für P {x / K n }: Lemma 2: P {x / K n } 2 d 1 ( n i) ( ) i ( ) n i u(x) 2 1 u(x) 2 i=0 Zum Beweis benötigen wir Wendels Gleichung: Sei K ein zu x symmetrischer d-dimensionaler konvexer Körper und X n eine zufällige Stichprobe mit x i U(K) u.i.v dann gilt: P {x / K n } = 2 n+1 d 1 i=0 ( n 1 ) i

45 Beweis der oberen Grenze Beweis von Lemma 2: Sei x K fest und definiere N(x) = K n M(x). Setze n(x) = X n M(x) dann gilt: P {x / K n } = = 2 2 n P { } x / K n n(x) = m P {n(x) = m} m=0 n P { x / N(x) n(x) = m } P {n(x) = m} m=0 n m=0 n m=0 2 m d 1 2 m d 1 ( m 1 i i=0 ( m 1 i i=0 ) P {n(x) = m} )( n m ) u m (1 u) n m

46 Beweis der oberen Grenze d 1 P {x / K n } = 2 i=0 m=0 d 1 2 d 1 = 2 n ( m 1 n i=0 m=i+1 i=0 d 1 = 2 i=0 d 1 = 2 i=0 ( n i ( n i ( n i i ( m i ) n m=i ) n i )( n m )( n m ) ( u 2 )m (1 u) n m ) ( u 2 )m (1 u) n m ( ) n i ( u m i 2 )m (1 u) n m ( n i k k=0 ) ( u 2 )i (1 u 2 )n i ) ( u 2 )k+i (1 u) n i k

47 Beweis der oberen Grenze Somit erhält man für die obere Grenze: E(K, n) = P {x / K}dx K d 1 2 i=0 ( ) n ( u(x) i K 2 )i (1 u(x) 2 )n i Daraus folgt die obere Grenze, deren Beweis (Barany,Larmann, 1988) hier aber zu weit geht.

48 Beispiele Beispiel 1: Einheitskugel B 2 im R 2 Der wet part B 2 (v t) ist der Ring B 2 \ (1 h)b 2 wobei h vom Grad t 2/(2+1) ist E(B 2, n) ν(b 2 (1/n)) n 2/(2+1)

49 Beispiele Beispiel 1: Einheitskugel B 2 im R 2 Der wet part B 2 (v t) ist der Ring B 2 \ (1 h)b 2 wobei h vom Grad t 2/(2+1) ist E(B 2, n) ν(b 2 (1/n)) n 2/(2+1) Beispiel 2: Einheitsquadrat Q 2 im R 2 E(Q 2, n) (ln(n))2 1 n

50 Asymptotisches Verhalten von Ef k (K n) Satz 2: (Efron,1965) K K 1 gilt: Ef 0 (K n ) = ne(k, n 1) Somit wird Ef 0 (K n ) ebenfalls durch Satz 1 abgeschätzt. Satz 3: (Barany,1989) Für genügend große n und K K 1 und k = 0, 1,..., d 1 c 0, c 1, c 2 > 0 sodass n > c 0 gilt: c 1 nν(k(1/n)) Ef k (K n ) c 2 nν(k(1/n))

51 Asymptotisches Verhalten von Ef k (K n) Literatur R. Schneider, 2008 Recent Results on Random Polytopes I. Barany, 2008 Random points and lattice points in convex bodies Sylvester, 1865 On a Special Class of Questions on the Theory of Probabilities W. Blaschke, 1923 Vorlesungen über Differentialgeometrie, II. Affine Differentialgeometrie N. Peyerimhoff, 1997 Areas and Intersections in Convex Domains. B. Efron, 1965 The Convex Hull of a Random Set of Points.