Proseminar Konvexe Mengen: Der Satz von Carathéodory

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1 Proseminar Konvexe Mengen: Der Satz von Carathéodory Gerrit Grenzebach 26. Otober 2004 In diesem Referat werden der Begriff der onvexen Hülle einer Menge eingeführt und einige Eigenschaften der onvexen Hülle behandelt. Dazu wird nach einer Auflistung wichtiger Begriffe, die bereits beannt sein sollten zunächst der Satz von Carathéodory bewiesen. Speziell werden danach noch die onvexe Hülle endlicher Mengen sowie die onvexe Hülle von offenen oder ompaten Mengen betrachtet. Als Grundlage für dieses Referat ist das Buch Convex sets and their applications von Steven R. Lay (New Yor etc.: John Wiley & Sons, 1982), Seite 16 bis 22, verwendet worden. Einige wichtige Begriffe In diesem Abschnitt werden einige Begriffe und Sätze aufgeführt, die bereits im ersten Referat vorgestellt worden sind. Sie werden aber später benötigt, so daß hier nur daran erinnert werden soll. Eine Anmerung zur Notation: Ein reeller Vetorraum R n mit Salarprodut wird mit E n bezeichnet. Definition (2.14): Eine Linearombination y = i=1 λ ix i von x 1,..., x E n mit reellen Koeffizienten λ i heißt Affinombination, falls i=1 λ i = 1, Konvexombination, falls i=1 λ i = 1 und λ i 0 für alle i. Satz (2.15): Für S E n gilt: Satz (2.16): Für S E n gilt: S onvex Jede Konvexombination von Elementen aus S liegt in S. S affin Jede Affinombination von Elementen aus S liegt in S.

2 Der Satz von Carathéodory Seite 2 Definition (2.17): Eine endliche Menge {x 1,..., x m } heißt affin abhängig, wenn es reelle Koeffizienten λ 1,..., λ m gibt, λ i = 0 für mindestens ein i, so daß m λ i = 0 i=1 und Andernfalls heißt die Menge affin unabhängig. Satz (2.18): Sei S E n. Es gilt: m λ i x i = 0. i=1 S hat (n + 1) Elemente = S ist linear abhängig, S hat (n + 2) Elemente = S ist affin abhängig. Der Satz von Carathéodory Bevor wir den Satz von Carathéodory 1 beweisen, führen wir zunächst die zentralen Begriffe der onvexen und der affinen Hülle ein und zeigen einen etwas allgemeineren Satz. Definition (2.20): Die onvexe Hülle einer Menge S ist der Durchschnitt aller onvexen Mengen, die S enthalten. Man bezeichnet sie als conv S. Definition (2.21): Die affine Hülle einer Menge S ist der Durchschnitt aller affinen Mengen, die S enthalten. Man bezeichnet sie als aff S. Bemerung: Die onvexe (affine) Hülle einer Menge S ist die leinste onvexe (affine) Menge 2, die die Menge S enthält. Es gilt: S onvex S = conv S, und S affin S = aff S. Da nach Satz (2.13) jede affine Menge A E n ein affiner Unterraum von E n ist, önnen wir die Dimension einer Menge S als die Dimension der affinen Hülle von S festlegen: dim S := dim(aff S) Satz (2.22): Für jede Menge S E n besteht die onvexe (affine) Hülle von S aus allen Konvexombinationen (Affinombinationen) von Elementen aus S: { } conv S = λ j x j J endlich, xj S, λ j 0, λ j = 1 j J j J { } aff S = λ j x j J endlich, xj S, λ j = 1 j J j J 1 Constantin Carathéodory: * Berlin, München, deutscher Mathematier griechischer Abstammung. 2 Zur Definition einer onvexen oder affinen Menge sei auf den ersten Vortrag von Norman Wirsi verwiesen.

3 Der Satz von Carathéodory Seite 3 Beweis: Der Beweis wird für onvexe Hüllen geführt. Für affine Hüllen ist der Beweis analog. Sei T := { j J λ j x j J endlich, xj S, λ j 0, j J λ j = 1 } die Menge aller Konvexombinationen von Elementen aus S. Nach Satz (2.15) liegen alle Konvexombinationen von Elementen aus conv S in conv S. Da S conv S, gilt: T convs. Seien x, y T mit x := α jx j und y := l β jy j. Für z xy folgt: Dabei ist: z = λx + (1 λy) für ein 0 λ 1 = λα j x j + l i=1 (1 λ)β i y i. 0 λα j 1 für alle j, 0 (1 λ)β i 1 für alle i, λα j + l i=1 (1 λ)β i = 1. Also ist z T. Da dieses für jedes z T gilt und x, y T beliebig gewählt sind, ist T onvex. Außerdem ist S T, da jedes x p eine Konvexombination ist: x p = λ i x i mit λ p = 1, λ i = 0 für i = p. i I Nach Definition der onvexen Hülle ist damit Insgesamt gilt also: conv S T. conv S = T. Der folgende Satz ist von zentraler Bedeutung für die Untersuchung onvexer Mengen. Während der vorige Satz, nach dem jedes Element in der onvexen Hülle einer Menge S als Konvexombination von endlich vielen Elementen x j aus S dargestellt werden ann, eine obere Schrane angibt für die Anzahl der notwendigen x j, begrenzt der Satz von Carathéodory diese: Für eine n-dimensionale Menge genügen n + 1 Elemente. Satz (2.23 Carathéodory): Sei S E n, S =. Dann gilt: Jedes x conv S läßt sich als Konvexombination von höchstens (n + 1) Elementen aus S darstellen: conv S = { n+1 λ j x j x j S, λ j 0, n+1 } λ j = 1.

4 Der Satz von Carathéodory Seite 4 Beweis: Nach Satz (2.22) läßt sich jedes x conv S als endliche Konvexombination darstellen. Sei x = λ jx j eine Konvexombination mit n + 2, x j S. Nach Satz (2.18) sind dann x 1,..., x affin abhängig, d. h. es gibt Salare α 1,..., α mit: α j x j = 0, j α j = 0, α l = 0 für ein l {1,..., } j Durch Umsortieren (falls notwendig) läßt sich in jedem Fall erreichen: α > 0, λ α λ j α j für alle j mit α j > 0. Für 1 j sei nun β j := λ j λ α α j. Dabei gilt: (I) β = 0 (II) β j = λ j λ α α j = 1 0 = 1 (III) β j 0 für alle j. Denn: Für α j 0 ist β j = λ j λ α α j λ j 0. ( Für α j > 0 ist β j = λ j λ λj α α j = α j Außerdem gilt, da β = 0: 1 β j x j = β j x j = α j ( λ j λ ) α j x j = α λ α 0 ) 0. λ j x j = x λ α α j x j = x. = 0 x conv S läßt sich also als Konvexombination von ( 1) Elementen aus S darstellen: x = 1 β jx j. Obiges Verfahren läßt sich so lange fortsetzen, bis x eine Konvexombination von n + 1 Elementen aus S ist. Dann ann man dieses Verfahren nicht mehr weiterführen, da dann die x 1,..., x n+1 im allgemeinen nicht affin abhängig sind. Damit läßt sich jedes x conv S E n als Konvexombination von höchstens (n + 1) Elementen aus S darstellen. Bemerung: Die onvexe Hülle einer Menge S E n ist die Menge aller Konvexombinationen von Elementen aus S. Damit läßt sich der Satz von Carathéodory wie folgt formulieren: x conv S x ist in der onvexen Hülle von höchstens (n + 1) Punten p S.

5 Die onvexe Hülle einer endlichen Menge Seite 5 Die onvexe Hülle einer endlichen Menge Definition (2.24): Die onvexe Hülle einer endlichen Menge S E n heißt Polytop (oder onvexes Polytop). Die onvexe Hülle einer Menge S = {x 1,..., x }, dim S =, heißt -dimensionales Simplex. Die Punte x 1,..., x werden dann als Ecpunte bezeichnet. x 3 x 4 x 2 x 1 x 1 x 3 x x 1 2 x 2 = 1 S = {x 1, x 2 } = 2 S = {x 1, x 2, x 3 } = 3 S = {x 1, x 2, x 3, x 4 } Abbildung 1: Beispiele für Simplizes von endlichen Mengen S. Im folgenden nehmen wir o. B. d. A. an, daß für eine -dimensionale Menge S = {x 1,..., x } E n gilt: Die Vetoren (x 2 x 1 ), (x 3 x 1 ),..., (x x 1 ) sind linear unabhängig. Satz (2.25): Sei S := {x 1,..., x } eine -dimensionale Menge, S E n. Dann besitzt jedes x im Simplex conv S eine eindeutige Darstellung als Konvexombination x = λ jx j. Beweis: Nach Satz (2.22) ist jedes x conv S als Konvexombination x = α jx j der + 1 Elemente von S darstellbar. Sei x = β jx j eine weitere Konvexombination. Mit λ j := α j β j folgt: Damit folgt: λ j x j = 0 mit 0 = λ j = α j β j = 1 1 = 0 λ 1 = (λ 2 + λ λ ) (1) λ j x j = λ j (x j x 1 ) Da nach obiger Annahme (x 2 x 1 ), (x 3 x 1 ),..., (x x 1 ) linear unabhängig sind, ist dieses nur erfüllt, falls λ j = 0 für 2 j + 1. Nach (1) ist dann λ 1 = 0. Für alle j gilt dann: α j = β j ; jedes x conv S besitzt also eine eindeutige Darstellung als Konvexombination der x j S.

6 Die onvexe Hülle einer endlichen Menge Seite 6 Definition (2.26): Sei T := conv{x 1,..., x } ein -dimensionales Simplex. Sei x T mit der eindeutigen Darstellung x = α jx j. Die Koeffizienten α j bezeichnet man als Schwerpuntoordinaten von x. Der Punt x 0 := 1 (x x ) heißt Zentrum des Simplex. Das relative Innere relint S ist das Innere einer Menge S bezüglich des minimalen affinen Unterraums, der S enthält. Zum Beispiel ist für einen Kreis im E 3 das relative Innere des Kreises die offene (zweidimensionale) Kreisscheibe. Mit Hilfe des Zentrums läßt sich zeigen, daß jede nichtleere onvexe Menge S ein relatives Inneres relint S hat. Dieses zeigen wir zunächst für Simplizes. Satz (2.27): Sei S := conv{x 1,..., x }. Ist S ein -dimensionales Simplex, so gilt: relint S =. Beweis: Für den Beweis werden die zwei Hilfssätze aus dem Anhang benötigt ( Anhang A). Sei S := conv{x 1,..., x } E n ein -dimensionales Simplex. Nach obiger Annahme sind die Vetoren (x 2 x 1 ),..., (x x 1 ) linear unabhängig. Nach dem Hilfssatz (1) sind dann die x 1,..., x affin unabhängig; und nach Hilfssatz (2) hat jedes x aff S eine eindeutige Darstellung als Affinombination der x 1,..., x. Man ann damit eine stetige Abbildung f definieren, die jedem x aff S das ()-Tupel der Koeffizienten der eindeutigen Affinombination von x zuordnet: f : aff S E, f (x) = f (α 1 x α x ) := (α 1,..., α ) Sei x 0 das Zentrum von S. Es gilt dann: ( ) f (x 0 ) = 1,..., 1 mit 1 > 0. Da f stetig ist, gibt es dann ein r > 0, so daß für alle x B(x 0, r) aff S, x = α jx j, gilt 1 : Für alle j ist α j > 0. Damit sind aber alle x B(x 0, r) aff S darstellbar als Konvexombination der x 1,..., x. Nach Satz (2.22) gilt dann: ( B(x 0, r) aff S ) conv S. Da S nach Voraussetzung ein Simplex ist, gilt conv S = S, also ( B(x 0, r) aff S ) S. Wegen x 0 B(x 0, r) und x 0 S aff S ist x 0 ( B(x 0, r) aff S ). Da aff S der leinste affine Unterraum ist, der S enthält, ist x 0 relint S. Korollar (2.28): Sei S E n onvex, dim S =. Dann gilt: relint S =. Beweis: Da dim S =, gibt es () affin unabhängige Punte x 1,..., x S. Die onvexe Hülle dieser Punte ist ein -dimensionales Simplex T. Nach Satz (2.27) gilt: relint T =. Da relint T relint S, ist relint S =. 1 Zur Erinnerung: B(x 0, r) := { x E n x x 0 < r }

7 Die onvexe Hülle offener und ompater Mengen Seite 7 Die onvexe Hülle offener und ompater Mengen Wir betrachten zunächst die onvexe Hülle einer offenen Menge. Satz (2.29): Die onvexe Hülle conv S einer offenen Menge S ist offen. Beweis: Sei S E n eine offene Menge. Dann ist S Rand(conv S) =. Wegen S conv S gilt: S int(conv S). Da conv S die leinste onvexe Menge ist, die S enthält, und da das Innere einer onvexen Menge onvex ist 1, ist conv S int(conv S). Es gilt ebenfalls: int(conv S) conv S. Damit ist insgesamt: conv S = int(conv S), d. h. conv S ist offen. Satz (2.30): Die onvexe Hülle conv S einer ompaten Menge S ist ompat. Beweis: Sei B := { (α 1,..., α n+1 ) n+1 α j = 1, α j 0 j } E n+1. Nach Hilfssatz (3) ( Anhang B) ist B ompat. Wir definieren nun eine stetige Abbildung: f : E n+1 E } n. {{.. E n } = E (n+1)2 E n, (n+1)-mal f (α 1,..., α }{{ n+1, x } 1,1,..., x 1,n,..., x n+1,1,..., x n+1,n ) := E n+1 E n E n n+1 α j (x j,1,..., x j,n ). Sei nun S E n ompat. Nach dem Satz von Carathéodory (2.23) gilt 2 : conv S = {x E n n+1 x = α j x j, x j S, α j 0, n+1 } α j = 1. Wir betrachten nun die Menge B S... S E n+1 E n... E n. Die oben definierte Abbildung f bildet diese Menge ab auf conv S: f : B S... S conv S, da B entsprechend gewählt ist. Da B ompat, S ompat, ist auch B S... S ompat. Da f stetig ist, ist conv S ompat. 1 Korollar (2.10) 2 Beachte: x j S E n, also x j = (x j,1,..., x j,n )

8 Anhang: A Zwei Hilfssätze Seite 8 Anhang A Zwei Hilfssätze Hilfssatz (1): Es gilt: {x 1,..., x } affin abhängig {x 2 x 1,..., x x 1 } linear abhängig. Bemerung: Aus Hilfssatz (1) folgt: {x 1,..., x } affin unabhängig {x 2 x 1,..., x x 1 } linear unabh. Beweis: : Sei {x 1,..., x } affin abhängig. Es gibt dann Salare α j für 1 j + 1 mit: (I) α l = 0 für mindestens ein l {1,..., + 1}, (II) α j = 0 α 1 = α j, (III) α jx j = 0. Aus (II) und (III) folgt: 0 = α 1 x 1 + α j x j = x 1 α j + α j x j = α j (x j x 1 ) Wegen (I) gilt α j = 0 nicht für alle j. Damit ist diese Gleichung nur erfüllt, wenn {x 2 x 1,..., x x 1 } linear abhängig. : Sei {x 2 x 1,..., x x 1 } linear abhängig. Es gibt dann Salare β j für 2 j + 1 mit: (I) β l = 0 für mindestens ein l {2,..., + 1}, (II) β j (x j x 1 ) = 0 x 1 Mit β 1 := β j folgt: β j + β j x j = 0. β j x j = 0 und β j = 0 Damit ist wegen (I) {x 1,..., x } affin abhängig. Hilfssatz (2): Sei S := {x 1,..., x } E n eine -dimensionale Menge. Für jedes x aff S gilt: x hat eine eindeutige Darstellung als Affinombination der x 1,..., x. Der Beweis dieses Hilfssatzes erfolgt analog zum Beweis des Satzes (2.25).

9 Anhang: B Eine ompate Menge Seite 9 B Eine ompate Menge Zum Beweis des Satzes (2.30) benötigen wir den folgenden Hilfssatz: Hilfssatz (3): Die Menge A := { (α 1,..., α n+1 ) n+1 Beweis: Wir zeigen: A ist beschränt und abgeschlossen. ➀ A ist beschränt, denn es gilt: } α j = 1, α j 0 j E n+1 ist ompat. (α 1,..., α n+1 ) A = α n+1 α j = 1 für alle 1 n + 1. ➁ A ist abgeschlossen. Dazu betrachten wir die lineare (und damit stetige) Abbildung f : E n+1 R, f (x) = f (x 1,..., x n+1 ) := n+1 x j. Wir definieren nun zwei Mengen: H := { x E n f (x) = 1 } = f 1 (1), Q := [0, 1]... [0, 1] E n+1. (n+1) mal Da die Menge {1} abgeschlossen ist, ist wegen der Stetigeit von f die Menge H abgeschlossen. Ebenfalls abgeschlossen ist die Menge Q. Es ist nun A = H Q; damit ist A als Durchschnitt zweier abgechlossener Mengen abgeschlossen.