Kapitel III: Vektorräume

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1 apitel III: Vektorräume 6 Vektorräume und Unterräume Definitionen und Beispiele In diesem Paragraphen kommen wir nun endlich zurück auf die in 1 erörterten Beispiele und behandeln diejenige Struktur, die durch die dort herausgestellten Gesetze definiert ist, für die also jene Beispiele odelle liefern. 6.1 Definition: Vektorraum über einem örper Sei (, +, ) ein örper und V eine enge. Ferner seien Verknüpfungen : V V V (Addition) und : V V (S-ultiplikation) definiert. Für diese seien folgende Axiome erfüllt: (V1) (V, ) ist kommutative Gruppe. (V2) Für alle v, w V, λ, µ gelten die gemischten Distributivgesetze : (v w) λ = (v λ) (w λ) und v (λ + µ) = (v λ) (v µ). (V3) Für alle v V, für alle λ, µ gilt das gemischte Assoziativgesetz : v (λ µ) = (v λ) µ. (V4) Für alle v V ist v 1 = v. Dann heißt (V,, ) Vektorraum über, -Vektorraum (Abkürzung: -VR) oder linearer Raum. Da wir uns auf Vektorräume über örpern beschränkt haben (eine analoge Definition von rechten Vektorräumen über Schiefkörpern ist möglich), brauchen wir nicht streng zu unterscheiden, ob wir von links oder von rechts mit den Skalaren multiplizieren. Wir definieren λ v := v λ. Zur Schreibweise: Durch die verwendeten Zeichen +,,, wollen wir (aus didaktischen Gründen) vorläufig zwischen den beiden Additionen (+ in, in V ) und den beiden ultiplikationen ( in und, der so genannten S-ultiplikation) unterscheiden.. Falls keine issverständisse zu befürchten sind, schreiben wir anstelle von ebenfalls +, anstelle von v λ nur v λ oder vλ, verwenden also dieselben Symbole für verschiedene Verknüpfungen. Später schreiben wir statt (V, +, ) auch nur V und weiterhin statt (, +, ) nur. Zur Ersparnis von lammern definieren wir, dass die S-ultiplikation mehr als die Addition binde, also dass z.b. λv + w := (λv) + w gilt. Beispiele: Die enge der Vektoren der Ebene mit den in (1.1) definierten Verknüpfungen (Addition, S- ultiplikation) bildet einen R-Vektorraum. Ähnlich bilden 96

2 die Vektoren des Raumes (vgl. 1.2) die Lösungstripel der linearen homogen Gleichung ( ) von (1.3) die Lösungsfunktionen der linearen homogenen Differenzialgleichung ( ) von (1.4) mit den entsprechenden. Additionen bzw. S-ultiplikationen jeweils einen R-Vektorraum. Die enge der Wörter der Länge 5 über dem Alphabet {0, 1} bildet bzgl. der in (1.5) definierten (komponentenweisen) Addition und S-ultiplikation einen Vektorraum über dem örper GF(2). Fortsetzung der Beispiele von Vektorräumen: (a) Sei (, +, ) ein örper und n N. Wir definieren: V := n = {(ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : ξ 1, ξ 2,..., ξ n }, : (α 1, α 2,..., α n ) (β 1, β 2,..., β n ) := (α 1 + β 1, α 2 + β 2,..., α n + β n ), : (α 1, α 2,..., α n ) λ := (α 1 λ, α 2 λ,..., α n λ) (also Addition und S-ultiplikation sind komponentenweise erklärt). Dann gilt: Spezialfälle: ( n,, ) ist ein -Vektorraum. (1. Standardbeispiele) (1) n = 1: Jeder örper ist auch -Vektorraum. (2) n = 2, = GF(2), V = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) (0, 1) (0, 1) (0, 0) (1, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0) : (α, β) 0 := (0, 0) (α, β) 1 := (α, β) für α, β {0, 1}. (3) n = 5, = GF(2), V = enge der Wörter der Länge 5 über {0, 1};, komponentenweise. (4) R 2 = {(ξ 1, ξ 2 ) : ξ 1, ξ 2 R}; (ξ 1, ξ 2 ) (η 1, η 2 ) := (ξ 1 + η 1, ξ 2 + η 2 ) und. (5) Analog zu (4): (R 3,, R ). (ξ 1, ξ 2 ) λ = (ξ 1 λ, ξ 2 λ) für alle ξ 1, ξ 2, η 1, η 1, λ R Anmerkung. Unter einer Familie (λ i ) i I über mit Index- enge I verstanden wir in die Abbildung I mit i λ i. Damit definieren wir nun Folgendes: (c) Seien (, +, ) ein örper, I nicht-leere enge sowie I := {(λ i ) i I : λ i für alle i I}; 97

3 : (λ i ) i I + (µ i ) i I := (λ i + µ i ) i I ; : (λ i ) i I µ := (λ i µ) i I. Dann gilt ( I,, ) ist ein -Vektorraum. (2.Standardbeispiele; umfassen die 1.Strandardbeispiele) Beweis.... Anmerkung. Jede Familie f = (λ i ) i I ist ja definitionsgemäß eine Abbildung von I in (s.o.!); Umgekehrt lässt sich jede solche Abbildung als Familie schreiben. Also gilt I = Abb(I, ). Für f = (λ i ) i I und g = (µ i ) i I gilt dann f g = (λ i + µ i ) i I und f µ = (λ i µ) i I, also (in Übereinstimmung mit früheren Definitionen): f g : (f g)(i) = λ i + µ i = f(i) + g(i), f µ : (f µ)(i) = λ i µ = f(i) µ. Damit lassen sich die angeführten Beispiele auch in der Form ( Abb(I, ),, ) schreiben. Speziell: Für I = {1, 2,..., n} gilt I = n ; da auch Addition und S-ultiplikation übereinstimmen, sind die Beispiele aus (a) auch unter den eben in (b) definierten. Für I = N und = R erhält man den Vektorraum der reellen Zahlfolgen. (d) Sei (, +, ) örper und I nicht-leere enge. (I) := {(λ i ) i I (λ i ) i I I und λ i = 0 für fast alle i I} ; ( λ i = 0 für fast alle i I bzw. λ i 0 für höchstens endlich viele i I sagen wir, wenn {i I λ i 0} endlich ist; wir sprechen auch von einer Abbildung von I in mit endlichem Träger). Addition und S-ultiplikation definieren wir wie bei I Urbild (I) (I) bzw. (I) und Bild (I) ). Dann gilt (eingeschränkt auf ( (I),, ) ist ein -Vektorraum. Weitere Standardbeispiele Ist speziell I = n N, so gilt (I) = I, im Falle I = {1,..., n} also insbesondere (I) = n. 98

4 6.2 Hilfssatz: Eigenschaften der neutralen und inversen Elemente Sei (V,, ) Vektorraum über dem örper (, +, ), bezeichne ferner 0 das neutrale Element von (, +) (Nullelement des örpers), 1 das neutrale Element von (, ) (Einselement des örpers), λ die additive Inverse von λ, λ, o das neutrale Element von (V, ) (Nullvektor), v das additive Inverse von v, v V. Dann gilt für alle v V und alle λ : (1) v 0 = o, o λ = o; (2) v λ = o v = o λ = 0; (3) ( v) λ = (v λ) = v ( λ); speziell: v = v ( 1). Beweis. (1) o (v 0) = v 0 = v (0+0) = (v 0) (v 0) o = v 0, (V1) (2) (V2) ürzen (V1) o (o λ) = o λ = (o o) λ = (o λ) (o λ) o = o λ. (2) Sei v λ = o und λ 0; dann existiert λ 1 mit λ λ 1 = 1. v = (V4) v 1 = v (λ λ 1 ) = (V3) (v λ) λ 1 = Vor. o λ 1 = (1) o. (3) [v ( λ)] [v λ] = (V2) v [( λ) + λ] = (2) v 0 = (1) o v ( λ) = (v λ). Für λ = 1 ergibt sich v = (v 1) = v ( 1) und damit v ( λ) = v [( 1) λ] = [v ( 1)] λ = ( v) λ. Eigenschaft (V3) von Definition: Unterraum Sei (V, +, ) ein -Vektorraum und U V. Dann heißt U (linearer) Unterraum (UR, Teilraum) von (V, +, ), wenn + bzw. auf U Verknüpfungen + U := + U U U bzw. U = und U U induzieren ( insbesondere also U abgeschlossen bzgl. + und ist ) (U, + U, U) ein -Vektorraum ist. Beispiel. (a) Sei V der Vektorraum der Vektoren der Ebene (s. 1.1). 99

5 Für jedes a V \ {o} ist ar := {ak k R} (s. Figur 6.1!) ein Unterraum von V. Es lässt sich zeigen, dass dies die einzigen von V und {o} verschiedenen Unterräume von V sind. ar Figur 6.1: ar als Gerade (für a o). (b) In einem Vektorraum V sind stets V und {o} Unterräume. {o} heißt Nullraum oder trivialer Unterraum. Ein von V verschiedener Unterraum von V heißt echter Unterraum von V. (c) (I) ist Unterraum des -Vektorraumes ( I, +, ) (vgl. Bsp.(c) und (d) nach (6.1)), allerdings für I < kein echter Unterraum, da dann (I) = I gilt. Um nicht jedesmal sämtliche VR-Eigenschaften eines UR- andidaten nachprüfen zu müssen, zeigen wir 6.4 Satz (Unterraum-riterium) Sei V ein -Vektorraum und U V. Dann gilt (i) U.!! U ist Unterraum von V (ii) U ist abgeschlossen bzgl. Addition und S-ultiplikation. Beweis. U UR (U, + U ) Gruppe o U (also U ) und U abgeschlossen bzgl. +. (per definitionem), also U abgeschlossen bzgl. S-ulti- Ferner ist = U plikation. U U Die Einschränkung von + auf U U U und auf U U ist wegen (ii) möglich. 100

6 (V2) bis (V4) und die ommutativität der Addition gelten für V und damit auch für Teilmengen von V. Zu zeigen bleibt also aus (V1), dass (U, + U ) Gruppe, also Untergruppe von (V, +), ist: Nach (i) ist U ; nach (6.2)(3) gilt u = u ( 1) für jedes u U, wegen (ii) also u U für jedes u U und ebenfalls nach (ii) damit U + ( U) U. Nach dem UG-riterium (3.16) folgt die Behauptung. Fortsetzung der Beispiele zu Unterräumen: (e) V = R 3 ; U = {(x, y, z) x, y, z R 2x + 5y + z = 0} ist Unterraum von R 3. (Vgl. dazu (1.3)!) Beweis. (0, 0, 0) U U ; (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) U 2x 1 + 5y 1 + z 1 = 0 und 2x 2 + 5y 2 + z 2 = 0 2(x 1 +x 2 )+5(y 1 +y 2 )+(z 1 +z 2 ) = 0 und λ R : 2(x 1 λ)+5(y 1 λ)+(z 1 λ) = 0 (x 1, y 1, z 1 )+(x 2, y 2, z 2 ) U und (x 1, y 1, z 1 ) λ U für alle λ R Behauptung. (6.4) (f) C([0, 1], R) (die enge der stetigen reellen Funktionen auf [0, 1]) bildet einen Unterraum von (R [0,1], +, R), des Vektorraumes aller reellen Abbildungen mit Definitionsbereich [0, 1]. (g) Im Vektorraum der Vektoren des Raumes (vgl. 1.2) erzeugen linear unabhängige Vektoren a und b die enge ar + br = {ak + bl k, l R}; diese engen bilden Unterräume, ebenso cr = {ck k R} für jeden Vektor c o. Die Unterräume der ersten Art bestehen jeweils aus den Ortsvektoren einer Ebene durch den Nullpunkt (s. Figur 6.2!), die der zweiten Art aus denen einer Nullpunktsgeraden. Je zwei verschiedene Ebenen durch den Nullpunkt schneiden sich in einer Geraden. Allgemeiner vermuten wir, dass der Durchschnitt zweier Unterräume wieder ein Unterraum ist. Figur 6.2: Schnitt zweier Ebenen durch den Nullpunkt 6.5 Hilfssatz: Durchschnitt von Unterräumen Seien V ein -Vektorraum und (U i ) i I eine nicht-leere Familie von Unterräumen von V. Dann ist auch i I U i ein Unterraum von V. 101

7 Beweis. Für alle i I gilt: o U i, daher o U i und somit U i. i I i I Seien v, w U i und λ. Dann gilt für alle i I zunächst v, w U i und, da i I { } v + w Ui U i Unterraum ist, auch, somit v + w, vλ U vλ U i ; nach (6.4) folgt die i i I Behauptung. Eine wichtige Folgerung ist: 6.6 orollar Seien (V, +, ) ein -Vektorraum und T V. Dann existiert genau ein Unterraum U von V mit (a) T U. (b) Für jeden Unterraum W von V mit T W gilt U W. d.h. U ist (eindeutig bestimmter) kleinster T enthaltender Unterraum. 6.7 Bezeichnung: Erzeugnis, Erzeugendensystem Der Unterraum U der in (6.6) aufgeführten Eigenschaften heißt der von T erzeugte Unterraum, von T aufgespannte Unterraum oder die lineare Hülle von T, in Zeichen U = T. T heißt Erzeugendensystem von T. Beweis von (6.6). (Allgemeineres Beweisprinzip!) Betrachte U := {X X UR von V T X}! Es gilt: V U, also U. Wir definieren: U := X U X V. Behauptung: U hat die geforderten Eigenschaften. Nach (6.5) ist U Unterraum von V, nach onstruktion ist T U. Sei W Unterraum von V mit T W. Dann ist W U und damit U = X U X W. Eindeutigkeit: Seien U 1, U 2 Unterräume der Eigenschaften (a) und (b). Dann gilt U 1 U 2 (mit U = U 1 und W = U 2 ) und U 2 U 1 (mit U = U 2 und W = U 1 ), insgesamt also U 1 = U 2. Beispiel. Sei V = V (vgl. (1.1)), der Vektorraum der Vektoren der Ebene. (i) Setzen wir T = {a} mit a V \ {o}, so erhalten wir a := {a} = ar (geometrische Deutung: Nullpunktsgerade in Richtung von a, s.o.!). 102

8 Beweis. ar ist Unterraum (Bsp. (a), s.o.); ferner gilt r R : ar a (da mit a auch alle skalaren Vielfache von a in einem Unterraum liegen). (ii) Sind a 1 und a 2 linear unabhängige Vektoren aus V, so gilt: a 1, a 2 := {a 1, a 2 } = a 1 R+a 2 R = V. Im Folgenden werden wir versuchen, auch allgemein einen Zusammenhang zwischen dem Erzeugnis von T und den Linearkombinationen von Elementen von T herzustellen und so T direkter zu beschreiben. 6.8 Definition: Linearkombination Sei V ein -Vektorraum! (a) Seien v 1,..., v n V und n N. Dann heißt jeder Vektor v = n v i λ i ( mit λ i für i {1,..., n}) eine Linearkombination (L) der Vektoren v 1,..., v n. (b) Sei T V. Unter einer Linearkombination von (Elementen von) T versteht man eine Linearkombination von endlich vielen Vektoren v 1,..., v n T. (c) Für T V definieren wir: L(T ) := {v V v Linearkombination von T }, falls T, und L( ) := {0}. Beispiele (a) Jeder Vektor von V aus (1.1) ist Linearkombination von e 1 und e 2. (b) Sei örper und V = n ; mit e 1 := (1, 0, 0,..., 0) e 2 := (0, 1, 0,..., 0). e n := (0, 0,..., 0, 1) gilt V = L({e 1,..., e n }) wegen (ξ 1,..., ξ n ) = n e i ξ i. (c) Sei örper und P() die enge der Polynomabbildungen f = n f αi (id ) i. Bei der Einführung von P() ( 5 Bsp. (d)) haben wir, u.a. eine Addition + auf P() 103

9 definiert: f +g : durch die Festsetzung (f +g)(x) := f(x)+g(x). Eine skalare ultiplikation ist gegeben αf = α f : { x α f(x). Es gilt also α = f f α f sowie (α f)(x) = α n f αi (id ) i (x) = α n α i x i = n αα i x i und f = n f αi (id ) i = n α i (id ) i. an kann zeigen, dass (P(), +, ) ein -Vektorraum ist. Es gilt: P() = L{(id ) i i N 0 } (wobei das Produkt von Funktionen wieder argumentweise zu bilden ist). 6.9 Satz (Darstellung des Erzeugnisses) Sei V ein -Vektorraum und T V. Dann gilt T = L(T ). Beweis. 1. Fall T = = U = {o} = L( ), da {o} Unterraum ist und U für jeden 2. Fall T U UR von V Unterraum U von V gilt. (a) T L(T ). t T t = t 1 L(T ). (b) L(T ) ist Unterraum von V. Nach (a) ist L(T ) T. Wir zeigen die Abgeschlossenheit von L(T ) bzgl. Addition und S-ultiplikation: Seien v, w L(T ) und λ. Nach Definition (6.8) (b) haben v und w dann folgende Darstellung: v = r v i λ i und w = s w j µ j mit geeigneten r, s N, j=1 v 1,..., v r, w 1,..., w s T, λ 1,..., λ r, µ 1,..., µ s. Damit gilt r s v + w = ( v i λ i + w j µ j ) L(T ) j=1 104

10 (v 1,..., v r, w 1,..., w s sind ebenfalls nur endlich viele Vektoren aus T ) sowie r v λ = ( v i λ i ) λ = r v i (λ i λ) L(T ). Nach dem UR-riterium (6.4) folgt die Zwischenbehauptung. (c) T L(T ). Diese Tatsache folgt aus (a) und (b), da L(T ) unter den Unterräumen vorkommt, über die der Durchschnitt gebildet wird. (d) L(T ) T. Sei v L(T ); dann existieren n N, v 1,..., v n T, λ 1,..., λ n mit v = n v i λ i. Da v i T für i = 1,..., n und T T (vgl. 6.6!) ist, gilt nach (6.4): v i λ i T für i = 1,..., n und damit v = n v i λ i T. Damit ist die doppelte Inklusion gezeigt. 105