L2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele:
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- Jacob Sachs
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1 L2. Vektorräume Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: Masse, Volumen, Energie, Arbeit, Druck, Temperatur 2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer und einer Beispiele: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Drehmoment, Feldstärken, Verschiebung Übliche Notationen: (Text: fett gedruckt) Beispiele: i) Mondbahn: ii) Wasserstrudel: Geschwindigkeitsfeld: (Geschw. ist Funktion vom Ort) Allgemein: Vektorfeld
2 L2.1 Vektorraum - Motivation Wie lässt sich Küchenplan quantitativ beschreiben, ohne eine Skizze zu machen? Festlegungen eines 'Koordinatensystems': - Wahl v. zwei Richtungen: - Wahl einer Längeneinheit entlang jeder Richtung Küchenplan: Relative Position zwischen zwei Punkten: - wird eindeutig spezifiert durch einen Pfeil, oder Angabe v. zwei Zahlen ('Komponenten'): relativer Abstand entlang Achse relativer Abstand entlang Achse 'Vektor' [Altland-Delft Konvention: Index oben; viele anderen Texte: Index unten] - parallele Pfeile stellen denselben Vektor dar, denn die relative Position zwischen End- und Anfangspunkt ist dieselbe - geometrische Definition von: - Vektoraddition (komponentenweise): - Multiplikation mit Skalar (komponentenweise): L2.2 Standard-Vektorraum n-komponenten-vektor (Spaltennotation) i-komponente: 'transponiert' n-komponenten-vektor (Reihennotation) Vektoraddition: 'komponentweise Addition' Beispiel in Skalare Multiplikation: 'komponentweise Streckung' Beispiel in
3 L2.3 Allgemeine Definition eines Vektorraums Obige Vektoren in haben eine Reihe v. wichtigen Eigenschaften [(siehe (i)-(ix) unten]. Diese werden als Axiome (= 'definierende Eigenschaften') für den Begriff 'Vektorraum' Definition: Ein F-Vektorraum über einem Körper F ist ein Trippel bestehend aus einer Menge V, ausgestattet mit zwei Verknüfungsregeln, Vektoraddition: Skalare Multiplikation: mit folgenden Eigenschaften: (I) ist eine kommutative (Abelsche) Gruppe: i) Abgeschlossenheit: ii) Assoziativität: iii) Neutrales Element: (Nullvektor) iv) Inverses Element von v) Kommutativiät: (II) Eigenschaften der skalaren Multiplikation: vi) Distributivität bzgl. Skalar-Addition: vii) Distributivität bzgl. Vektor-Addition: viii) Assoziativität bzgl. Skalarmultiplikation: ix) Neutrales Element: für gilt: Anmerkungen: - Die allgemeine Def. eines Vektorraums bezieht sich in keiner Weise of 'Koordinaten' auch nicht auf die 'Dimension' der Vektorraums - Für gilt: 'Linearkombination v. Vektoren'
4 L2.4 Vektorräume: Beispiele Beispiel 1: Pfeile in 2 oder 3 Dimensionen (geometrischer Ausgangspunkt für Vektorraum-Axiome) (I) Addition von Pfeilen "+" ist "geometrisch" festgelegt: (Anfang des zweiten Pfeils ans Ende des ersten Pfeils) (i) Abgeschlossenheit: offensichtlich (ii) Assoziativität: (iii) Neutrales Element: 'Nullvektor': (einziger Vektor ohne definierte Richtung) (iv) Additives Inverse: ist antiparallel zu (v) Kommutativität: (II) Skalare Multiplikation "." ist "geometrisch" Streckung Stauchung Richtungsänderung Also: Betrag Richtung parallel zu antiparallel zu falls falls Distributivität bzgl. Skalaraddition: Distributivität bzgl. Vektoraddition: Assoziativität: Neutrales Element:
5 Beispiel 2: Standard-Vektorräume: rationale Zahlen: reelle Zahlen: komplexe Zahlen: Beispiel 3: d-dimensionaler Euklidischer Raum: Vektorraum + Wahl eines Ursprungs (z.b. Raum von Ortsvektoren) Ursprung: Punkt P: Punkt Q: Ursprung Vektor v. P relativ zu O: Vektor v. P relativ zu Q: Beispiel 4. Raum v. Funktionen Raum aller solcher Funktionen heißt: Definiere: Skalare Multiplikation: Addition: ist ein Vektorraum! (siehe Übung)
6 Beispiel 5: Diskretisierte Funktionen Diskretisiere die Zeit: Diskretisierte Funktion: Vektoraddition: Skalarmultiplikation: Vektorraum: Weitere Beispiele von Vektorräumen (Zukunftsmusik): - (Ort,Impuls) im klassischen Phasenraum (T1: Klassische Mechanik) - Zustandsvektoren in der Quantenmechanik (T2: Quantenmechanik) - Matrizen (P1: Experimentalphysik, T2: Quantenmechanik) - Elektrische und Magnetische Felder (T3: Elektrodynamik) - Quantenfelder (T6: Quantenfeldtheorie) Beispiel 6: Polynome Polynom v. Grad Menge aller Polynome v. Grad koeffizientenweise Addition der Funktionswerte: koeffizientenweise Skalarmultiplikation des Funktionswerte: liefert wieder ein Polynom Definiere also zwei Veknüpfungen: Vektoraddition: Skalarmultiplikation: Dann ist ein Vektorraum!
7 L2.5 Basis und Dimension Ausgangsfrage: gegeben Vektorraum, wieviele Komponenten hat Wieviele 'unabhängige' Vektoren sind nötig und ausreichend, um alle anderen Vektoren durch sie ausdrücken zu können? Formaler: was ist die 'Dimension' von Vollständigkeit Lineare Unabhängigkeit Sei S eine Menge von Vektoren: Definition: 'Span' 'lineare Hülle' Wir schreiben Indizes unten, wenn sie Vektoren (nicht Komponenten) unterscheiden! = alle möglichen 'Linearkombination' der Vektoren span(s) ist selbst ein Vektorraum (warum?!) allgemein: ein Vektorraum mit, heisst 'Unterraum' von 'ist eine Teilmenge von, oder ist gleich' 'ist eine Teilmenge von, und nicht gleich' : 'echter Unterraum' von ist ein Unterraum von V.
8 Beispiele v. Unterräumen: Allgemeine Frage: unter welchen Umständen ist Definition: lineare Unabhängigkeit (dient der Verallgemeinerung des Begriffs einer 'Basis') Die Menge der Vektoren heißt 'linear unabhängig', falls es nicht möglich ist, eine nicht-triviale Linearkombination zu finden die Null liefert. M.a.W: falls aus folgt dass Umgekehrt: S ist 'linear abhängig', falls sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lässt: In Skizze: linear unabhängig linear abhängig geometrische Anschauung
9 Beispiel: linear abhängig Aber: Nur möglich falls linear unabhängig Analog gilt auch: Falls S linear abhängig ist, enthält S 'redundante' Vektoren. Span ändert sich nicht, wenn linear abhängige Vektoren weggelassen werden: Falls (Intuitiv: der Vektor die nicht schon in bringt keine Richtung ein, enthalten ist) gilt: (z.b. auf Seite L2.3d) Empfehlung: Redundanzen vermeiden, immer mit linear unabhängigen Vektoren arbeiten! Definition: Vollständigkeit heisst 'vollständig', falls d.h. jeder Vektor in V lässt sich als Linearkombination v. Vektoren in S schreiben.
10 Definition: Basis Falls bildet S eine 'Basis' für V. (i) vollständig und (ii) linear unabhängig ist, Die Anzahl Elemente der Basis heisst die 'Dimension' v. V Konsequenzen: (i): jeder Vektor lässt sich schreiben als Linearkombination der Form: (ii): diese Linearkombination ist eindeutig ('unique'); denn wäre sie nicht eindeutig, d.h., gäbe es auch eine andere Linearkombination für würde gelten: im Widerspruch zur Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit v. S! Einsteinsche Summenkonvention (ES) Summenzeichen verkürzt Formeln! Summationsgrenzen sind ohnehin immer dieselben, lasse sie weg! ES: wenn ein 'Paar von Wiederholten Indizes' auf derselben Seite der Gleichung vorkommt, ist implizit auch eine Summe über diesen Index gemeint! In Altland-Delft-Konvention enthält eine ES-Summe immer einen Index oben, einen unten. Über i wird summiert (wiederholtes Indexpaar auf derselben Seite der Gleichung) Über j wird nicht summiert: j kommt auf jeder Seite der Gleichung nur einmal vor!
11 Man kann zeigen: - für jeden Vektorraum existiert eine Basis - alle Basen bestehen aus gleich vielen Vektoren - alle Basen lassen sich durch einander ausdrücken ("Basistransformation") Standardbasis ('kanonische Basis') in Position i Standardbasis: mit Basisvektoren 'Hut' zeigt an, dass ein 'Einheitsvektor gemeint ist] Kompakte Notation für j-komponente v. 'Kroneckerdelta' Symbol: falls falls Entwicklung eines allgemeinen Vektors nach Standardbasis:
12 L2.6 Bezug zwischen n-dimensionalem Vektorraum V und sei eine Basis für V Entwicklung eines allgemeinen Vektors in dieser Basis: Die Basis definiert eine bijektive Abbildung, die jeden Vektor auf seinen Koordinatenvektor in abbildet: deutet an, dass die Abbildung sich auf die -Basis auf gut Deutsch: schreibe statt dem Vektor nur seine Komponenten bezüglich den Basisvektoren in Spaltennotation Position i Basisvektoren in V werden auf Einheitsvektoren in abgebildet: Die Abbildung Skalarmultiplikation: 'respektiert' die Regeln der Vektoraddition und Erst addieren, dann abbilden = erst abbilden, dann addieren! Beispiel für n=2: Linearkombination in V Linearkombination in Erst multiplizieren, dann abbilden = erst abbilden, dann multiplizieren!
13 Homomorphismus, Isomorphismus A und B seien zwei Mengen, die beide mit Verknüpfnungsregeln ausgestattet sind hier: und Eine Abbildung die diese Regeln 'respektiert', hier: heisst 'Homomorphismus'. Falls sie außerdem bijektiv ist: 'Isomorphismus' 'homo' = 'gleich', 'morph' = 'Form' (6b.1) & (6b.2) bedeuten: ist ein Isomorphismus zwischen und und sind 'isomorph': (sehr starke Identifizierung!) [aber nicht eindeutig, da Basis-abhängig] Beispiel einer Abbildung, die bijektiv ist, aber kein Isomorphismus: denn Zusammenfassung: L2 Vektorräume -Vektorraum: Vektoraddition: Skalare Multiplikation: Axiome: (i)-(v): kommutative Gruppe (vi,vii) distributiv (viii) assoziativ (ix) Identitätselement Wichtigstes Beispiel: Vektoraddition: Skalare Multiplikation:
14 Weiteres Beispiel: Diskretisierte Funktionen: Diskretisierte Funktion: Vektoraddition: Skalarmultiplikation: Vektorraum: Basis und Dimension alle möglichen Linearkombination der Vektoren 'Linear unabhängig', falls S ist 'vollständig', falls S bildet 'Basis', falls S vollständig und linear unabhängig ist. Standardbasis in : i-position j-komponente v. i-tem Basisvektor: 'Kroneckerdelta' Symbol: falls falls
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