Vektoren - Basiswechsel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vektoren - Basiswechsel"

Transkript

1 Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug gleich auf die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems. Die Verwendung einer anderen Basis muss also einen Sinn machen. Als Anwendung kommen Berechnungen in Kristallgittern vor. Dort sind "Elementarzellen" nicht mehr unbedingt rechtwinklig. Wenn man sich dann auf dazu passende nicht mehr orthogonale Basisvektoren bezieht, werden die weiteren Berechnungen deutlich einfacher. Ein anderer Gesichtspunkt ist, dass von der formalen Theorie her eine allgemeine Basis nötig ist. Wir führen daher die Überlegung durch, obwohl sie für rein-geometrische Anwendungen nicht zwingend erforderlich ist. Entscheidend ist nun: Das Objekt "Vektor" muss das gleiche bleiben, auch wenn sich die Basis ändert. Was sich ändert, ist die Darstellung mit Koordinaten! Eine analoge Überlegung: Auf einem Blatt Papier soll ein Pfeil gezeichnet werden soll - mit bestimmter Länge und Orientierung relativ zu den Seiten des Papiers. Dann spielt es keine Rolle, in welchem Winkel der Zeichnende das Papier vor sich hinlegt. Wenn er die Länge berücksichtigt, ist es egal, ob er in cm oder (als Amerikaner) in inch abmisst. Die Basis - Orientierung des Papiers oder Maßstab spielt keine Rolle, das Endergebnis - der Pfeil auf dem Papier ist immer gleich. Beispiel zur Umrechnung der Koordinaten Die Skizze zeigt den Vektor a und drei verschiedene Basissysteme. a = ( 4 ); 1. Die Standardbasis: i = ( 1 0 ); j = (0 1 ). In dieser Basis ist offenkundig a = 4 i + j = ( ) = (4 ) Das ist nur die Wiederholung der Gleichheit der Koordinaten in der Standardbasis und im kartesischen Koordinatensystem. 2. Fritz Schlaumeier hat sich eine andere Basis überlegt: m = ( 4 0 ); n = (0 ).! Die Koordinatendarstellung der Basisvektoren m und n bedeutet eine Angabe bezüglich einer zugrundliegenden, anderen Basis. Welcher? Für die Analytische Geometrie ist das praktisch immer die Standardbasis! V05 Vektoren - Basiswechsel - Seite 1 (von 6)

2 Die Komponenten-Darstellung ist also: m = 4 i + 0 j und n = 0 i + j unter Benutzung der üblichen Standardbasis {i,j}. Damit folgt das "schwierige" Problem, die Komponentendarstellung in dieser Basis zu finden. a = a m m + a n n. Die Koordinatendarstellung des Vektors in dieser Basis ist ( a m an ). "Mit einem Blick" haben wir die Lösung: a m = 1 und a n = 1, weil 1 ( 4 0 )+1 (0 ) = (4 ). Weil die Koordinatendarstellung von m und n sich auf die Standardbasis bezieht, beziehen wir uns in der Linearkombination auch auf diese und berechnen deren Darstellung auch in der Standardbasis. Derselbe Vektor a hat also in der Basis {m,n} die anderen Komponenten (Koordinaten) ( 1 1 )! Ein Vektor hat in verschiedenen Basis-Systemen verschiedene Koordinaten! Es ist aber immer noch derselbe Vektor! Fritz Schlaumeier versteht das auch sofort anschaulich: Der Vektor a gibt einen Weg an, den er gehen muss. Die Koordinatendarstellung schlüsselt das auf. Es werden zwei Hauptrichtungen definiert, mit jeweils einer Einheitslänge. Im Fall der Standardbasis ist der Weg: 4 Einheiten in Richtung i mit der Einheitslänge 1 und dann Einheiten in Richtung j mit der Einheitslänge 1. In seiner Basis ist der Weg 1 Einheit in Richtung m mit der Einheitslänge 4 und dann 1 Einheit in der Richtung n mit der Einheitslänge. Beides beschreibt einen gleich langen Weg.. Friedolin Schlaumeier hat sich etwas Seltsames ausgedacht: Die Basis ist p = ( 2 1 ); q = (1 ). Nun ist die Komponentendarstellung in dieser Basis zu finden. a = a p p + a q q. Und die Koordinatendarstellung des Vektors ist ( a p a q ). Da Raten zu lange dauert, suchen wir eine Lösung über das vorhandene (lineare) Gleichungssystem. Die Linearkombination muss a in der Standardbasis ergeben, wenn für p und q die Koordinatendarstellung in der Standardbasis eingesetzt wird. 4 = a p 2 + a q 1 = a p 1 + a q Mit a p = - a q und damit 4 = 6-6 a q + a q folgt a q = 2/5 und a p = 9/5. In der Basis {p,q} ist also a = ( 9/5 2/5 ). Wir kontrollieren wieder durch Zurückrechnung auf die kartesischen Koordinaten: a = 9/5 ( 2 1 ) + 2/5 (1 ) = ( ) = (4 ) Obwohl die Koordinaten in dieser anderen Basis verschieden sind, folgen stets die gleichen Koordinaten in Bezug auf die Standardbasis und das kartesische Koordinatensystem. V05 Vektoren - Basiswechsel - Seite 2 (von 6)

3 Anschaulich ist der Weg jetzt 9/5 Einheitslängen in Richtung p und dann 2/5 Einheitslängen in Richtung q. Der Zusammenhang mit der Standardbasis ist schwieriger, weil p und q schief relativ zu i und j liegen. Auch dieser Weg führt zum gleichen Endpunkt, beschreibt also den Weg a. (Wichtige) Anmerkung: Die Rechnung zum "schlauen Friedolin" zeigt, dass dies sicher kein eleganter Weg für die Verknüpfung verschiedener Basis-Systeme ist, vor allem wenn für mehrere Vektoren diese Umrechnung der Koordinaten erforderlich ist. Die Umrechnung <Vektor in der Standardbasis> <Vektor in der anderen Basis> erfordert deutlichen Rechenaufwand (Lineares Gleichungssystem; Gleichungen für Unbekannte). Die in Anwendungen häufiger vorkommende Umrechnung <Vektor in der anderen Basis> <Vektor in der Standardbasis> ist noch kurz. Sinnvoller wäre, sich einmal allgemein zu überlegen, wie diese "Basistransformation" geartet ist. Der Zusammenhang wird einmal für die Basisvektoren berechnet und dieses Ergebnis kann dann auf verschiedene Vektoren angewendet werden. Mit "Matrizen" ist dieses Verfahren zweckmäßig durchführbar! Beispiel zum Skalarprodukt (und Betrag) Zwei Vektoren in der Basis {p,q} a = ( 9/5 ), b = ( 8/5 2/5 6/5 ) Gesucht ist der Winkel zwischen a und b. Falls nur nach dem Winkel gefragt ist, ist ein sinnvoller Weg, zuerst in die Standardbasis umzurechnen! und dann in dieser über das Skalarprodukt den Winkel zu berechnen! Hier wollen wir absichtlich die unbequemere Rechnung in der gegebenen Basis durchführen! Die Umrechnung in die Standardbasis ist trotzdem als Rechenkontrolle sinnvoll. Vorarbeit - Rechnung in der Standardbasis: Die Koordinaten von a in der Standardbasis sind schon bekannt. a St.Basis = ( 4 ) b wird umgerechnet: b St.Basis = -8/5 ( 2 1 ) + 6/5 (1 ) = ( 2 ) Damit weiter in der Standardbasis: a = = 5; b = = 8; a b = = -2; cos( ) = -2 / (5 8) - 0,1414; 98,1. V05 Vektoren - Basiswechsel - Seite (von 6)

4 Nun beginnt die eigentliche Arbeit - die Rechnung in der Basis {p,q}! Bekannt ist, dass wir für a b die komplette Formel mit 4 Termen anwenden müssen. Darin kommen auch Produkte der Basisvektoren vor. Auch diese sind zu berechnen. p p = ( 2 1 ) (2 1 ) = = 5? Stimmt das wirklich? Hier wurde doch mit der "verkürzten" Formel gerechnet! In dieser Rechnung werden die Koordinaten von p in der Standardbasis benutzt. Dass p ein Basisvektor der anderen Basis ist, spielt keine Rolle. Wichtig ist, dass die Koordinatendarstellung von p sich auf die Standardbasis bezieht.? Stimmt auch das? Hinterher wird ja in der anderen Basis gerechnet! Das Skalarprodukt ist eine Zahl (ein Skalar). Der Begriff der Basis ist für die Koordinatendarstellung der Vektoren wichtig, aber nicht für Zahlen, die wir damit berechnen. Andere Begründung: Nach der Definition des Skalarprodukts (Länge1 Länge2 Winkel) kommen darin nur Größen vor, die von der Wahl einer Basis unabhängig sind. Die Länge eines Vektors ist als eindeutige Größe unabhängig von der Wahl der Basis, nur die Koordinaten sind davon betroffen. Die restlichen Skalarprodukte der Basisvektoren: q q = ( 1 ) (1 ) = = 10; p q = (2 1 ) (1 ) = 2 + = 5; (q p = p q) a b = a p b p p p + a q b q q q + a p b q p q + a q b p p q ( 9/5 2/5 ) ( 8/5 ) = {(-72) (-16) 5} / 25 = -2 6/5 Für die Berechnung von benötigen wird noch a und b. "Also schnell": a = / 5 1,84 Vorher war der Betrag doch 5? Warum stimmt jetzt die "Formel von Pythagoras" nicht? mehr? Diese Formel hat doch nichts mit der Vektorrechnung zu tun! Formel von Pythagoras? Wir erinnern uns: a 2 + b 2 = c 2. Wo sind hier Vektoren! Diese Formel gilt in einem rechtwinkligen Dreieck! Völlig äquivalent dazu ist eine geometrische Interpretation: Wir betrachten mit den Koordinaten Vielfache von Einheitsstrecken. Damit a 2 + b 2 = c 2 gilt, müssen diese Einheitsstrecken die Länge 1 haben und senkrecht aufeinander stehen. Das ist dann die Standardbasis, und das verdeutlicht nochmals, dass man für Rechnungen Standardbasis und kartesische Koordinaten gar nicht präzise unterscheiden muss. Also auch hier nochmals Skalarprodukte! a 2 = a a, weil = 0. a a = a p a p p p + a q q q q q + 2 a p a q p q ( 9/5 2/5 ) (9/5 ) = { } / 25 = 625 / 25 = 25 a = 5 2/5 b b = ( 8/5 6/5 ) ( 8/5 ) = { (-48) 5} / 25 = 200 / 25 = 8 b = 8 6/5 Damit haben wir dieselben Werte wie oben (mit der Standardbasis) und erhalten auch denselben Winkel zwischen a und b. V05 Vektoren - Basiswechsel - Seite 4 (von 6)

5 Ergänzung: Orthonormal oder orthogonal? Für Koordinaten in der Standardbasis gelten für das Skalarprodukt und den Betrag verkürzte Formeln. Die Standardbasis ist orthonormal. Gelten diese verkürzten Formeln auch für eine orthogonale Basis? Es fallen auch bei der orthogonalen Basis die Terme mit Kreuzprodukten von Basisvektoren weg. ABER: Die Terme mit Produkten gleicher Basisvektoren müssen nicht 1 sein. Nur bei der Orthonormalbasis sind diese 1 und tauchen damit in den Endformeln nicht mehr auf! Beispiel (Basis von "Fritz", s.o.) m = ( 4 0 ); n = (0 ). Darin a = (1 1 ) Falsch ist damit a = { } 1/2 = 2. m m = 16; n n = 9; diese Produkte müssen berücksichtigt werden! Damit richtig: a a = a m 2 m m + a n 2 n n a a = = 25 a = 5. (also der richtige Betrag) Bemerkung zum Vektorprodukt Beim Skalarprodukt haben wir gesehen, dass eine nur orthogonale Basis und erst recht eine allgemeine Basis zu deutlich längeren Formeln führen. Beim Vektorprodukt wird die Sache noch dramatischer. Im allgemeinen Fall sind Kreuzprodukte nicht wieder ein anderer Basisvektor (wie in der Standardbasis z.b. i x j = k). Die Entwicklung der Formeln für die allgemeine Basis ist nicht sinnvoll. Hier ist eine Transformation der Vektoren in die Standardbasis der sinnvolle Weg! Übungen 1) Basis B in R 2 : b 1 = ( 2 6 ); b 2 = ( ) (jeweils Koordinaten in der Standardbasis St) 5 a) a in der Basis B: a B = ( 2 ). Gesucht a in der Standardbasis a St b) c in der Standardbasis: c St = ( ). Gesucht c in der Basis B c B 1) a) a B = ( 2 ) = -2 b b 2 = -2 ( 2 6 ) + 2 ( 5 ) = ( 2 2 ) b) c St = ( ) = 29 i - 11 j = 29 (1 0 ) - 11 (0 1 ) Gesucht ist c B = ( r s ) = r b 1 + s b 2 = r ( 2 6 ) + s ( 5 ) Lösen des Linearen Gleichungssystems für die Koordinaten 2 r + s = 29 6 r + 9 s = 87 6 r - 5 s = r - 5 s = s = 98 s = 7 2 r + 21 = 29 r = 4 c B = ( 4 7 ) V05 Vektoren - Basiswechsel - Seite 5 (von 6)

6 2) Koordinatendarstellung eines Vektors in der Standardbasis und einer anderen Basis B: a St = ( 4 10 ) und a B = ( 6 7 ) Basisvektor b 1 = ( ) (Koordinaten in der Standardbasis); gesucht: b 2 2) Alle Koordinaten werden in der Standardbasis ausgedrückt. a B = 6 b b 2 = 6 ( ) + 7 (x y ) muss gleich sein a St = ( 4 10 ) sein x = y = 10 ) Basis B: b 1 = ( 2 4 x = -2 y = 4 ); b 2 = ( a) a in Basis B: a B = ( 5 4 ); b = ( b) c in der Standardbasis: c St = ( 4 b 2 = ( 4 ) ); ); gesucht a in der Standardbasis, a St 5 0 ); gesucht c in der Basis B, c B ) a) Direktes Einsetzen; jeweils Koordinaten in der Standardbasis. -2 ( 2 4 ) + ( 1 ) -4 ( 4 ) = ( 0 5 ) = a St b) Größerer Rechenaufwand; Lineares Gleichungssystem mit Unbekannten 2 r ( 4 ) + s ( 5 ) + t ( 5 4 ) = ( 0) r s t (rechte Seite) [1] [2] [] [1] [2'] = [1] - [2] ['] = [1] - 2 [] [1] [2'] [''] = [2'] +4 ['] t = 2 4s -8 = -20 s = - 2r = -5 r = 4 c B = ( r 4 s) = ( t 2 ); Kontrolle: 4 ( 2 5 4) - ( ) + 2 ( 4 ) = ( 0) 5 V05 Vektoren - Basiswechsel - Seite 6 (von 6)

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5

Vektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5 Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine

Mehr

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

2.2 Kollineare und koplanare Vektoren . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,

Mehr

Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum

Kapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007

Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007 Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung

Orthonormalbasis. Orthogonalentwicklung Orthonormalbasis Eine Orthogonal- oder Orthonormalbasis des R n (oder eines Teilraums) ist eine Basis {v,..., v n } mit v i = und v i, v j = für i j, d. h. alle Basisvektoren haben Norm und stehen senkrecht

Mehr

Kreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales.

Kreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales. Kreis - Tangente 1. Allgemeines 2. Satz des Thales 3. Tangente an einem Punkt auf dem Kreis 4. Tangente über Analysis (an einem Punkt eines Ursprungkreises) 5. Tangente von einem Punkt (Pol) an den Kreis

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische

Mehr

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften

Mehr

Lineares Gleichungssystem - Vertiefung

Lineares Gleichungssystem - Vertiefung Lineares Gleichungssystem - Vertiefung Die Lösung Linearer Gleichungssysteme ist das "Gauß'sche Eliminationsverfahren" gut geeignet - schon erklärt unter Z02. Alternativ kann mit einem Matrixformalismus

Mehr

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2015/16

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 2015/16 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg. Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Lineare Algebra/Analytische Geometrie I WiSe 25/6 Bearbeiten Sie bitte

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif

Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif 14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte

Mehr

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012 Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen

Mehr

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }. 154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =

Mehr

Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt

Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt a ( b c) bilden. Aus der geometrischen Interpretation von Skalarprodukt und Vektorprodukt ist sofort ersichtlich,

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil

1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil 1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg

Mehr

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung

Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?

Mehr

42 Orthogonalität Motivation Definition: Orthogonalität Beispiel

42 Orthogonalität Motivation Definition: Orthogonalität Beispiel 4 Orthogonalität 4. Motivation Im euklidischen Raum ist das euklidische Produkt zweier Vektoren u, v IR n gleich, wenn die Vektoren orthogonal zueinander sind. Für beliebige Vektoren lässt sich sogar der

Mehr

Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen

Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Aufgaben 1 Vektoren Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Lernziele - einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können. - wissen, was ein Gegenvektor ist. - wissen, wie die Addition zweier

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie

Mathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie

Mehr

Grundlagen der Vektorrechnung

Grundlagen der Vektorrechnung Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:

Mehr

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene

Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen Dorfmeister, Boiger, Langwallner, Pfister, Schmid, Wurtz Vorkurs Mathematik TU München WS / Blatt Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen. In einem kartesischen Koordinatensystem des R sei eine

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung

Mehr

1 lineare Gleichungssysteme

1 lineare Gleichungssysteme Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/lineare-algebra-grundlagen 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II

Mathematik für Naturwissenschaftler II Mathematik für Naturwissenschaftler II Dr Peter J Bauer Institut für Mathematik Universität Frankfurt am Main Sommersemester 27 Lineare Algebra Der mehrdimensionale Raum Vektoren Im Teil I dieser Vorlesung

Mehr

Skalarprodukt und Orthogonalität

Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und Orthogonalität in R n Wir erinnern an das euklidische Skalarprodukt im R 2 : Wir erinnern an das euklidische Skalarprodukt im R 2 : < a, b >:= α 1 β 1

Mehr

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13) Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +

Mehr

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt

Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches

Mehr

Lernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten

Lernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf

Mehr

Basiswechsel. Oder: Wie rechnet man die Koordinaten bzgl. einer Orthonormalbasis in die Koordinaten bzgl. einer anderen Orthonormalbasis um?

Basiswechsel. Oder: Wie rechnet man die Koordinaten bzgl. einer Orthonormalbasis in die Koordinaten bzgl. einer anderen Orthonormalbasis um? Basiswechsel Oder: Wie rechnet man die Koordinaten bzgl. einer Orthonormalbasis in die Koordinaten bzgl. einer anderen Orthonormalbasis um? Unser Beispiel: R 2 1 Das Logo der Stunde: x x e 2 b2 b1 e 1

Mehr

Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 1

Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 1 Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 1 Daniel Weiss 16. Oktober 29 Aufgabe 1 Angaben: Geschwindigkeiten von Peter und Rolf: v = 1 m s Breite des Flusses: b = 1m Flieÿgeschwindigkeit des Wassers:

Mehr

6. Vektor- und Koordinaten-Geometrie.

6. Vektor- und Koordinaten-Geometrie. 6. Vektor- und Koordinaten-Geometrie. Jeder endlichen Menge, etwa der Menge kann man durch M = {,,, }. R 4 (M) = { a 1 + a 2 + a 3 + a 4 a i R } die Menge der formalen Linearkombinationen zuordnen. Es

Mehr

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander: Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Mehr

Mathematik für Chemische Technologie 2

Mathematik für Chemische Technologie 2 Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Lernunterlagen Vektoren in R 2

Lernunterlagen Vektoren in R 2 Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet

Mehr

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der 7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe

Mehr

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander

Mehr

Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren

Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Matrizen und Drehungen

Matrizen und Drehungen Matrizen und Drehungen 20. Noember 2003 Diese Ausführungen sind im wesentlichen dem Skript zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Physik I und II on PD Dr. Horst Fichtner entnommen. Dieses entstand

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

44 Orthogonale Matrizen

44 Orthogonale Matrizen 44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität

Mehr

4 Lineare Abbildungen

4 Lineare Abbildungen 17. November 2008 34 4 Lineare Abbildungen 4.1 Lineare Abbildung: Eine Funktion f : R n R m heißt lineare Abbildung von R n nach R m, wenn für alle x 1, x 2 und alle α R gilt f(αx 1 ) = αf(x 1 ) f(x 1

Mehr

12 Übungen zu Gauß-Algorithmus

12 Übungen zu Gauß-Algorithmus Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k

~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k v 1 v 1 v 2 v 2 W 2 -v (v, v ) 1 1 2 Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽ k in Richtung von v 1,v 2,...,v k 1 und Normierung von w k auf

Mehr

Übungsblatt

Übungsblatt Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen

Mehr

Denition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0

Denition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0 6 Der Vektorraum R n In den folgenden Wochen wenden wir uns der Linearen Algebra zu, die man als eine abstrakte Form des Rechnens mit Vektoren auassen kann. Ein zentrales Thema werden lineare Raume (=

Mehr

Matrizen und Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Analytische Geometrie

Matrizen und Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Analytische Geometrie Regina Gellrich Carsten Gellrich Matrizen und Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorrechnung, Analytische Geometrie Mit zahlreichen Abbildungen, Aufgaben mit Lösungen und durchgerechneten Beispielen

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen

09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen 09. Lineare Abbildungen und Koordinatentransformationen Definition. Seien V und W Vektorräume. Unter einer linearen Abbildung versteht man eine Abbildung F : V W, v F v w mit folgender Eigenschaft: F λ

Mehr

1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung

1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung www.mathebaustelle.de. Einführungsbeispiel Archäologen untersuchen eine neu entdeckte Grabanlage aus der ägyptischen Frühgeschichte. Damit jeder

Mehr

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ

Vektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts

Mehr

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren

Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(

Mehr

Repetitorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen

Repetitorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 5/6 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Dennis Schimmel, Frauke Schwarz, Lukas Weidinger http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/5r/

Mehr

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 ) Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition

Mehr

1 Einführung in die Vektorrechnung

1 Einführung in die Vektorrechnung 3 1 Einführung in die Vektorrechnung Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in

Mehr

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe

Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen? Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten

Mehr

1 Definitionen: 6 Punkte gesamt

1 Definitionen: 6 Punkte gesamt ANTWORTEN zum KOLLOQIUM zur Einführung in die Lineare Algebra Hans G. Feichtinger Sommersemester 2014 Fr., 25. Juli 2014, 10:00, Fakultät f. Mathematik Punktezahl: (1) 6 (2) 9 (3) 5 (4) 10 TOTAL (von 30):

Mehr

Teil II. Geometrie 19

Teil II. Geometrie 19 Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 6 4. Mai 2010 Definition 69. Der Vektor f 3 x 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 x 3 (x 1, x 2, x 3 ) f 3 x 1 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 x

Mehr

14 Skalarprodukt Abstände und Winkel

14 Skalarprodukt Abstände und Winkel 4 Skalarprodukt Abstände und Winkel Um Abstände und Winkel zu definieren benötigen wir einen neuen Begriff. Zunächst untersuchen wir die Länge eines Vektors v. Wir schreiben dafür v und sprechen auch von

Mehr

Das Wichtigste auf einen Blick

Das Wichtigste auf einen Blick Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Der fx-991 DE X im Mathematik- Unterricht Analytische Geometrie Station 1 Schnittgerade zweier Ebenen Da der Taschenrechner nur eindeutige Lösungen eines Gleichungssystems liefert, kann er nur Schnittpunkte

Mehr

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH )

DEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH ) Grundlegende Bemerkungen : Der Begriff des Vektors wurde in den vergangenen Jahren im Geometrieunterricht eingeführt und das mathematische Modell des Vektors wurde vor allem auch im Physikunterricht schon

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,

Mehr

Lösungsvorschlag zum zweiten Übungsblatt

Lösungsvorschlag zum zweiten Übungsblatt Lösungsvorschlag zum zweiten Übungsblatt Aufgabe Wir zeigen, daß die Drehung um den Ursprung um 9 und die Spiegelung an der x-achse nicht kommutieren. Die Matrix für die Drehmatrix lautet in diesem Fall

Mehr

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt

5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt 5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale

Mehr

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07 Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden

Mehr

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:

Skalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen

Mehr

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)

Vektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition) Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz

Mehr