Brückenkurs Mathematik

Transkript

1 Vektorrechnung Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2014

2 Geometrische Vorstellung aus der Schule Abbildung : Vektoren im R 2 Länge + Richtung = Vektor

3 R 2 und R 3 in der Schule R 2 := { ( a1 a 2 ) a 1, a 2 R}. Rechenoperationen: a = (a 1, a 2), b(b 1, b 2) R 2, λ R: ( ) ( ) a1 + b 1 λa1 a + R 2 b := λ R2 a =. a 2 + b 2 λa 2 Betrag ( Länge ): a R 2 := Inneres Produkt (Skalarprodukt): a a2 2. Winkel: Analog: a b = a, b := a 1b 1 + a 2b 2 a, b cosα = a R 2 b R 2 a 1 R 3 := { a 2 a 1, a 2, a 3 R}. a 3

4 Rechenregeln für R n Seien n N, a, b, c R n, λ R. Dann gilt: (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität) a + b = b + a (Kommutativität) a + (0,.., 0) = a (neutrales Element) a + ( a) = 0 R n (inverses Element)

5 Nachteile der Schulvektoren Wo soll man da bloß anfangen? Vektoren sind entweder aus dem R 2 oder dem R 3. Vektoren sind sehr an die geometrische Anschauung gebunden. Die Rechenregeln werden aus der Definition der Addition und Multiplikation hergeleitet.... Macht man in der Schule irgendetwas Sinnvolles damit? Uni: Verallgemeinerte Vektoren. Nicht mehr der einzelne Vektor ist interessant, sondern die Menge der Vektoren (=Vektorraum).

6 Vektorraumaxiome Es seien V eine Menge, (K, +, ) ein Körper, : V V V eine zweistellige Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und : K V V eine zwestellige Verknüpfungen. Man nennt dann (V,, ) einen Vektorraum über dem Körper K, wenn für die Vektoraddition die Eigenschaften V1: u (v w) = (u v) w (Assoziativgesetz) V2: Existenz eines neutralen Elements 0 V V mit v 0 V = 0 V v = v V3: Existenz eines zu v V inversen Elements v V mit v ( v) = ( v) v = 0 V V4: v u = u v (Kommutativgesetz) und weiter für die Skalarmultiplikation die Eigenschaften α (u v) = (α u) (α v) (α + β) v = (α v) (β v) (α β) v = α (β v) Neutralität des Einselements 1 K, also 1 v = v für alle u, v, w V und α, β K erfüllt sind.

7 Beispiele (R n, +, ) ist R Vektorraum. (Abb(R, R), +, ) ist R Vektorraum. (P(R, R), +, ) ist R Vektorraum....

8 Geraden Eindimensionale Teilmenge des R n. Definition Sei ein Vektor v R n \{0 R n} und P ein Punkt im R n. Dann heißt die Menge g := {x R n x = P λv, λ R} Gerade durch den Punkt P mit Richtung v. Wir nennen v den Richtungsvektor von g. Wir schreiben auch schlampig g : X = P + λv und nennen λ den (freien) Parameter.

9 Ein Beispiel Die Gerade g sei gegeben durch ( ) ( ) g = {x R n 3 1 x = λ, λ R} 4 2 Geometrische Darstellung (skizzieren). Parameterdarstellung Geradengleichung: Wir setzen an: x = 3 + 1λ und y = 4 + 2λ und lösen das Gleichungssystem nach λ auf. Wir erhalten: y = kx + d. Geradengleichung Parameterdarstellung: ( ) 1 v = P = (0, d). k Problem: y = 0x

10 Schneiden von Geraden Geometrische Anschauung: 3 mögliche Fälle für g und h i) Genau ein Schnittpunkt. ii) Kein Schnittpunkt. iii) g = h Wie kann eine algebraische Beschreibung erfolgen? Mengentheoretisch!

11 Ebenen Seien v, w R n \{0 R n} Vektoren und v kein Vielfaches von w. Sei P ein Punkt im R n. Dann heißt die Menge E := {x R n x = P (λv + µw), λ, µ R} Ebene durch den Punkt P mit Richtungen v und w. Wir nennen v und w den Richtungsvektoren von E. Wir schreiben auch schlampig E : X = P + λv + µw und nennen λ und µ die (freien) Parameter.

12 Beispiel Bestimmen Sie den Durchschnitt der drei Ebenen E 1 = { x y R 3 2x + 3y z = 1}, E 2 = { x y R 3 3x + 4y 2z = 2}, z z E 3 = { x y R 3 3x + 5y z = 5}. z Ist der Durchschnitt leer / ein Punkt / eine Gerade / eine Ebene? Per Defintion gilt (wir verwenden nun die Assoziativität des Durchschnitts zweier Mengen): E 1 E 2 E3 = { x y R 3 (2x + 3y z = 1) (3x + 4y 2z = 2) (3x + 5y z = 5)}. z Dies führt offensichtlich zur Frage nach der Lösung des linearen Gleichungssystems Wir erhalten beispielsweise die Lösung E 1 E 2 E3 = { x y R 3 x y = λ 2 1 mit λ R}. z z 7 1 Die Lösungsmenge ist in der analystischen Geometrie eine Gerade.