Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 08

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1 Planung Tag 08 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 181

2 Vektoren Analytische Darstellung: Jedem Punkt im Raum kann ein Ortsvektor zugeordnet werden. P: (6; 5) R 2 P(6; 5) a = OP = 6 5 a Vektoren werden als Spaltenvektoren notiert. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 182

3 Vektoren III Spaltenvektoren sind erst einmal nur andere Darstellungen der geordneten n-tupel der Menge n. Spaltenvektoren sind mit Zeilenvektoren über das Skalarprodukt verknüpft b (.) b n 11 1 b b 1 a1,, an a1 b1 an bn n Ein Spaltenvektor zusammen mit dem Skalarprodukt ist eine lineare Abbildung vom n nach. Die Menge aller dieser Abbildungen ist der sogenannte Dualraum zum n. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 183

4 Vektoren Analytische Darstellung: Jeder Verschiebung eines Punktes im Raum kann ein Richtungsvektor zugeordnet werden. B 9; 6 v = AB = Δx Δy = x B x A y B y A v Δy = 4 v = AB = A(2; 2) Δx = 7 v = AB = 7 4 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 184

5 Übung: Vektoren Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 185

6 Rechenoperationen für Vektoren Die skalare Multiplikation (analytisch): Seien der Vektor x im R n (n = 2, 3) und ein Skalar λ R gegeben. λ x = λ x 1 x 2 = λ x 1 λ x 2 ; x R 2 λ x = λ x 1 x 2 x 3 = λ x 1 λ x 2 λ x 3 ; x R 3 Die Multiplikation von einem Vektor mit einem Skalar erfolgt komponentenweise. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 186

7 Rechenoperationen für Vektoren Die Vektoraddition (analytisch): Seien die Vektor x, y im R n (n = 2, 3) gegeben. x + y = x 1 x 2 + y 1 y 2 = x 1 + y 1 x 2 + y 2 ; x, y R 2 x + y = x 1 x 2 x 3 + y 1 y 2 y 3 = x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 ; x, y R 3 Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 187

8 Linearkombination von Vektoren Def. : Linearkombination Seien die Vektoren a 1, a 2,, a m (m N) im R n (n = 2, 3) gegeben. Ein Vektor v im R n heiß Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,, a m falls es Skalare λ 1, λ 2,, λ m R gibt, so dass gilt: v = λ 1 a 1 + λ 2 a λ m a m Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 188

9 Linearkombination von Vektoren Def. : Span (engl.), Spann (deutsch) Seien die Vektoren a 1, a 2,, a m (m N) im R n (n = 2, 3) gegeben. Die Menge span a 1,, a m v v = λ 1 a λ m a m mit λ 1,, λ m R} heiß der Spann der Vektoren a 1, a 2,, a m Bem.: Der Spann ist die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a 1, a 2,, a m. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 189

10 Längenbegriff bei Vektoren Def. : Betrag Sei der Vektor x im R n (n = 2, 3) gegeben, mit x = x 1 x 2 bzw. x = So ist der Betrag von x wie folgt definiert: x 1 x 2 x 3, x = x x 2 2 bzw. x = x x x 3 2 Bem.: Der Betrag eines Vektors gibt im R n die Länge dieses Vektors wieder. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 190

11 Übung: Betrag Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 191

12 Darstellungen von Vektoren 1. Analytische Darstellung Basierend auf der Äquivalenz von Punkten des R n (n = 2, 3) und Ortsvektoren im R n, wird festgelegt: a) Der R 2 ist gleich der Menge aller Vektoren, die sich als Linearkombination der sogenannten kanonischen Einheitsvektoren e x = 1 0, e y = 0 1 darstellen lassen: R 2 = span e x ; e y b) Für den R 3 gilt analog, mit den Einheitsvektoren e x = ; e y = ; e z = 0 0 1, dass: R 3 = span e x ; e y ; e z Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 192

13 Darstellungen von Vektoren 2. Winkeldarstellung Die Komponenten von Vektoren und damit die Vektoren selber, können durch Ihre Lage im Raum bezüglich der Koordinaten-achsen dargestellt werden. a. cos α = F x F cos β = F y F F = F cos(α) F cos β Bem.: Die Winkel α und β heißen Richtungswinkel des Vektors F. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 193

14 Darstellungen von Vektoren 2. Winkeldarstellung b. cos α = F x F cos β = F y F cos γ = F z F F = F cos(α) F cos β F cos γ 1 = cos 2 (α) + cos 2 (β) + cos 2 (γ) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 194

15 Übung: Darstellungen von Vektoren Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 195

16 Produkte von Vektoren 1. Das Skalarprodukt a. Zwei Vektoren x, y R n (n = 2, 3) ordnet man eine Zahl x y wie folgt zu: bzw. R 2 : x y = R 3 : x y = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 R = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 R Diese Abbildung wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren genannt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 196

17 Produkte von Vektoren 1. Das Skalarprodukt b. Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln: Gegeben seien x, y, z R n (n = 2, 3) und λ, μ R (1) symmetrisch : x y = y x (2) pos. definit : x x 0, mit x x = 0 x = 0 (3) bilinear : x λ y + μ z = λ x y + μ x z und λ y + μ z x = λ y x + μ z x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 197

18 Produkte von Vektoren 1. Das Skalarprodukt c. Für zwei Vektoren x, y R n (n = 2, 3) existiert für das Skalarprodukt x y die folgende alternative Formulierung: x y = x y cos φ Hierbei steht φ für den eingeschlossenen Winkel zwischen den beiden Vektoren. Mit cos φ = x y x y lässt sich definieren: Def.: Zwei Vektoren x, y R n (n = 2, 3) werden orthogonal genannt, falls x y = 0 gilt Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 198

19 Übung: Skalarprodukt Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 199

20 Produkte von Vektoren 2. Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a. Im R 3 existiert eine spezielle Multiplikation zwischen Vektoren, das sogenannte Vektor- bzw. Kreuzprodukt. Das Vektorprodukt ist definiert durch: Seien x, y R 3, so gilt: x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 Bem.: Das Vektorprodukt zweier Vektoren x, y R 3 erzeugt einen neuen Vektor v = x y, der orthogonal zu den Vektoren x, und y ist. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 200

21 Produkte von Vektoren 2. Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) b. Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln: Gegeben seien x, y, z R 3 und λ, μ R (1) antisymmetrisch : x y = y x (2) alternierend : x x = 0 (3) bilinear : x λ y + μ z = λ x y + μ x z und λ y + μ z x = λ y x + μ z x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 201

22 Übung: Vektorprodukt Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 202

23 Produkte von Vektoren 2. Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) c. Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln: Gegeben seien w, x, y, z R 3 (1) Jacobi-Identität : x y z + z x y + y z x = 0 (Die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte ist null.) (2) Graßmann- Identität : x y z = x z y x y z (3) Lagrange-Identität : w x y z = w y x z x y w z Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 203

24 Punktemengen im Raum Die Geradengleichung Vektoriell lässt sich eine Gerade g, ausgehend von einem beliebigen Punkt A des Raumes oder der Ebene, durch einen Ortsvektor von A und einen Richtungsvektor beschreiben. g A AF P F FP F, P: bel. Punkte auf g AF: Aufpunktvektor von g FP: Richtungsvektor von g Def.: Bem.: Seien r ein Aufpunktvektor, d ein Richtungsvektor einer Geraden g und λ R. Die Gerade g ist damit wie folgt definiert: g = x R n x = r + λ d; λ R} Für eine Gerade g wird damit oft nur die Bedingungsgleichung g: x = r + λ d angegeben und λ R als bekannt vorausgesetzt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 204

25 Punktemengen im Raum Die Ebenengleichung Analog zu einer Geraden g, lässt sich ausgehend von einem beliebigen Punkt A des Raumes, durch einen Ortsvektor von A und zwei Richtungsvektoren eine Ebene E beschreiben. A AF F FP 1 P1 P FP 2 2 E F, P 1, P 2 : bel. Punkte auf E AF: Aufpunktvektor von E FP 1, FP 2 : Richtungsvektoren von E Def.: Bem.: Seien r ein Aufpunktvektor, d 1 und d 2 zwei Richtungsvektoren einer Ebene E und λ, μ R. Die Ebene E ist damit wie folgt definiert: E = x R n x = r + λ d 1 + μ d 2 ; λ, μ R} Auch für eine Ebene E wird oft nur die Bedingungsgleichung E: x = r + λ d 1 + μ d 2 angegeben mit λ, μ R. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 205

26 Punktemengen im Raum Die Kugel-/Kreisgleichung Eine Kugel K (analog ein Kreis im R 2 ) lässt sich über die Bestimmungsgleichung als Menge aller Punkte mit einem festen Abstand r R 0 + (dem Radius) zu einem vorgegebenen Punkt M (dem Kugelmittelpunkt) darstellen. K M MX X X: bel. Punkt auf K MX: Ortsvektor von X bzgl. M Def.: Bem.: Seien M der Ortsvektor des Kugelmittelpunktes M, und r der Radius der Kugel K. Die Kugel K ist damit wie folgt definiert: K = x R n r 2 = M x 2 Auch für eine Kugel K wird oft nur die Bedingungsgleichung K: r 2 = M x 2 angegeben mit r R und M R n (n = 2, 3). Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 206

27 Punktemengen im Raum Alternative Bedingungsgleichungen für die Punktmengen: Die Gerade: Die Vektorgleichung: x a d = 0 ( a: Aufpunktvektor; d: Richtungsvektor) Die Ebene: Hess sche Normalenform: x n + D = 0 (n: Normaleneinheitsvektor, D: Abstand zum Ursprung) Koordinatengleichung: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + D = 0 ( x = x 1 ; x 2 ; x T 3 ; n = n 1 ; n 2 ; n T 3 ) Die Kugel: Koordinatengleichung: m 1 x m 2 x m 3 x 2 3 = r 2 ( x = x 1 ; x 2 ; x T 3 ; M = m 1 ; m 2 ; m T 3 : Kugelmittelpunkt) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 207

28 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 208

29 Funktionen: Def. und Eigenschaften Def.: Funktion Eine Funktion ist eine Abbildung/Zuordnungsvorschrift zwischen Mengen: f: M N Bem.: 1. M: die Definitionsmenge / der Urbildbereich 2. N: Bildbereich / Bildmenge /Zielbereich 3. f: Durch die Zuordnungsvorschrift wird jedem m M genau ein n N zugeordnet. Bezeichnungen: Abbildungsvorschrift Funktionssymbol f: M N m n = f(m) Bildwert Argument Funktionsterm 4. Bei diskreten Mengen ist oft eine direkte Zuweisung die einzig mögliche. 5. Bei unendlichen Mengen ist die Zuordnungsvorschrift oft durch eine Rechenvorschrift gegeben. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 209

30 Funktionen: Def. und Eigenschaften Def.: Funktion Eine Funktion ist eine Abbildung/Zuordnungsvorschrift zwischen Mengen: f: M N Bem.: 1. M: die Definitionsmenge / der Urbildbereich 2. N: Bildbereich / Bildmenge /Zielbereich 3. f: Durch die Zuordnungsvorschrift wird jedem m M genau ein n N zugeordnet. Bezeichnungen: Abbildungsvorschrift Funktionssymbol f: M N m n = f(m) Bildwert Argument Funktionsterm 4. Bei diskreten Mengen ist oft eine direkte Zuweisung die einzig mögliche. 5. Bei unendlichen Mengen ist die Zuordnungsvorschrift oft durch eine Rechenvorschrift gegeben. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 210

31 Funktionen: Def. und Eigenschaften Es sei im Folgenden f: M N eine Funktion. Def.: Wertebereich von f Die Menge aller Werte (Bilder) von f in N wird der Wertebereich von f genannt und ist definiert als f M f m N m M} =: W f N Def.: surjektiv Eine Funktion f: M N heißt surjektiv, falls f M = N. Def.: injektiv Eine Funktion f: M N heißt injektiv, falls m 1 m 2 f m 1 f(m 2 ). Def.: bijektiv Eine Funktion f: M N heißt bijektiv, falls f surjektiv und injektiv ist. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 211

32 Umkehrfunktion Es sei im Folgenden f: M N eine Funktion. Def.: Die Umkehrfunktion von f Sei f: M W f injektiv f 1 : W f M (M.a.W Jedem Element s W f wird das eindeutig bestimmte Element t M zugeordnet, für welches f t = s gilt.) M N f b a c e 4 f 1 d f Bem.: f 1 : f(m) M ist damit stets bijektiv. W f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 212

33 Verkettung von Funktionen Seien f: M W f N und g: N K zwei Funktionen. Die Verkettung der Funktionen f und g ist damit wie folgt definiert: g f m = g f m m M g f: M K M N K * f g W f f g Bem.: Für f: M f(m) und f 1 : f M M folgt: f f 1 x = f 1 f x = id x = id x (Identität) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 213