Vektoren. Elemente des 2 und 3 mit nur genau einer Spalte oder einer Zeile werden Vektoren genannt: Spaltenvektoren: Zeilenvektoren: u M(1

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Thilo Weiner
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1 Vektoren Elemente des 2 und 3 mit nur genau einer Spalte oder einer Zeile werden Vektoren genannt: Spaltenektoren: M ( n ) n Zeilenektoren: u M( m ) u u u m Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik:

2 Vektoren I Zeilenektoren sind die geordneten n-tupel der Menge n. (n mal) x... x x... n x n : : : : Zahlengerade Zahlenebene / Koordinatenebene Zahlenraum / 3D-Raum Zahlenhyperraum / 4D-Raum (keine unmittelbare geometrische Anschauung) n : Anwendung bei n Werten on n Größen zur Zeit t Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 2

3 Vektoren II Im Zweidimensionalen lassen sich Abbilder on höheren Dimensionen erstellen Punkt Gerade (Linie) Quadrat (Fläche) Zweidimensionale Abbildungen Würfel (Raumolumen) Tesseract Hyperwürfel (Hyperraumolumen) Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 3

4 Vektoren III Spaltenektoren sind erst einmal nur andere Darstellungen der geordneten n-tupel der Menge n. Spaltenektoren sind mit Zeilenektoren über das Skalarprodukt erknüpft b (.) b n b b a an a b an bn n Ein Spaltenektor zusammen mit dem Skalarprodukt ist eine lineare Abbildung. Die Menge aller dieser Abbildungen ist der sogenannte Dualraum zu n. Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 4

5 Vektoren IV Für Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln Komponentenweise Addition on zwei Vektoren a a b b a b a b n n n n Komponentenweise skalare Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl b b b n b n (Jede dieser Darstellungen besitzt eine geometrische Deutung.) Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 5

6 Vektoren grafisch Vektoren z.b.: Kraft ist eine gerichtete Größe (geschrieben: F ) Vektoren sind in der Physik Größen welche eine Maßzahl (Betrag) eine Einheit und eine Richtung besitzen. Darstellung als Pfeil: Fußpunkt F Spitze Betrag (Pfeillänge): F Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Physik: 6

7 Vektoren Grafisch I Grafisches Rechnen mit Vektoren I Skalare Multiplikation: 2 05 (-) 0 0 Nullektor (-2) ( 05) (Skalare sind Größen mit Maßzahl und Einheit aber ohne Richtung.) Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Physik: 7

8 Vektoren Grafisch II Grafisches Rechnen mit Vektoren II Translation: a Vektoraddition: Vektoren erändern sich nicht wenn Sie parallel erschoben werden. a b a b a b Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Physik: 8

9 Vektoren Grafisch III Grafisches Rechnen mit Vektoren III Vektorsubtraktion: a b a b a b a b Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Physik: 9

10 Vektoren müssen aber keine n-tupel sein. Der Vektorraum Vektoren V Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 0 Ein Vektorraum V ist eine Menge über einem Körper (für uns ) mit den Verknüpfungen (siehe Matrizen) Vektoraddition und skalarer Multiplikation welche den folgenden Gesetzen gehorchen ) ( ) ( w w) ( V w ) ( Die Elemente on Vektorräumen nennt man Vektoren V ist bezüglich der Verknüpfungen abgeschlossen.

11 Übung 34: Vektorräume ) 2) A 3) B 4) C 5) D Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: Überprüfen Sie ob die folgenden Mengen Vektorräume über sind. z x z y x z x z y x z y x z y x z y x z y x

12 Vektoren VI Ein Vektor V Linearkombination Sei V ein Vektorraum. heißt Linearkombination der Vektoren a a n V falls es Zahlen n gibt so dass a n a n Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 2

13 Übung 35: Linearkombinationen Gegeben sind die folgenden Vektoren: a 34 b c 03 Berechnen Sie die folgenden Linearkombinationen ) 2) 3) a b 2a 2 3 a 8 3 c 5b b c Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 3

14 Übung 36: Linearkombinationen I Stellen Sie jeweils den Vektor w als Linearkombination der anderen Vektoren dar. ) a 0 b 73 c 258 w 62 2) t 5 u w 2 Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 4

15 Vektoren VII Lineare Unabhängigkeit Sei V ein Vektorraum. Die Vektoren a a n V heißen linear unabhängig falls die Linearkombination 0 a nur die triiale Lösung besitzt: n a n Andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig. n 0 Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 5

16 Vektoren VIII Geometrische Interpretation der linearen Unabhängigkeit Im 3 zeigen drei linear unabhängige Vektoren in unterschiedliche Richtungen c b a Die Menge aller Linearkombinationen der beiden linear unabhängigen Vektoren a und b ist eine zweidimensionale Ebenen im 3. Prof. Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Mathematik: 6

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