16 1 Zahlen und Vektoren. x = 0 γ R : y = γ x. x > 0, y > 0, x y = 0

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1 16 1 Zahlen und Vektoren Zusammenhang mit x y im R : Satz 1..6 Die Vektoren x R und y R sind linear ahängig genau dann, wenn x y = gilt. B e w e i s : Beweisstruktur: x, y R linear ahängig {{ x y =, x y = x, y R linear ahängig {{ 1. Schritt 2. Schritt 1. Schritt: seien x, y R linear ahängig Satz 1..6(ii) x = γ R : y = γ x falls x = x y = falls y = γ x für ein γ R Satz 1..2(i),(iv) x y = (γ y) y = γ ( y y) = x 2. Schritt: sei x y = falls x = oder y = Satz 1..6 falls x und y Satz 1.2.6(i) x, y linear ahängig x >, y >, x y = Folg. 1..(ii) ( x, y) [, π] Satz 1..5 = x y = x y > > ( x, y) = ( x, y) = π Satz (iv) x, y linear ahängig sin ( x, y) sin ( x, y) = λ R : y = λ x Definition 1..7 Das Spatprodukt [ x, y, z ] der Vektoren x, y, z R ist definiert als [ x, y, z] = x ( y z). x = (,, ), y = (y 1, y 2, y ), z = (z 1, z 2, z ) [ x, y, z] = x ( y z) = (,, ) (y 2 z y z 2, y z 1 y 1 z, y 1 z 2 y 2 z 1 ) = (y 2 z y z 2 ) + (y z 1 y 1 z ) + (y 1 z 2 y 2 z 1 ) Bemerkung : = y 2 z y z 2 + y z 1 y 1 z + y 1 z 2 y 2 z 1 y 1 z 1 später: y 2 z 2 y = z 2 1 y y z y z z 1 2 y y z + z 1 y 2 z 2 y 2 z y z 2 y z 1 y 1 z y 1 z 2 y 2 z 1 [ x, y, z ] jetzt nur als Merkregel y 1 y 2 z 1 z 2 y 1 y 2 y z y

2 1.4 Geraden und enen 17 geometrische Interpretation: etrachten das von x, y, z aufgespannte Parallelepiped (Spat) Folg. 1.. Grundfläche A =, Höhe h = x y z V = x y z A h = Def = x ( y z) = [ x, y, z ] x ( y z) x y z y z x y z x z y 1.4 Geraden und enen Vorgehen: Geraden im R 2, dann enen und Geraden im R Definition (Geraden im R 2 ) (i) ine Teilmenge R 2 heißt Gerade (in Koordinatendarstellung), wenn es Zahlen,, R mit (, ) git, so dass gilt = { x = (, ) R 2 : + =. (ii) Seien, R 2 mit. Dann heißt die Menge = + R := { x R 2 : x = + λ, λ R Gerade (in Parameterdarstellung). Der Vektor heißt Ortsvektor, der Vektor Richtungsvektor der Geraden. Bemerkung : (i) = { x R 2 : x =,, R 2, R Beispiel für (i) mit <,, Beispiel für (ii) Umrechnung der Darstellungen ineinander (ii) (i) sei = + R, ( ) ( ) x1 u1 + λv x λ R : = 1 u 2 + λv 2 v 2 + (v 1 ) = u 1 v 2 u 2 v 1 { λ = x1u1 v 1, v 1 λ = x2u2 v 2, v 2 ( u 2 )v 1 = ( u 1 )v 2 = + R = { x R 2 : v 2 v 1 = u 1 v 2 u 2 v 1 (i) (ii) sei = { x = (, ) R 2 : + =, (, ) ; sei z.b: (analog: )

3 18 1 Zahlen und Vektoren = (, ) = (, ) ( ) =, + ( 1, ) {{ = { x = (, ) R 2 : + = ( ) ( ), + R, 1, = ( ) ( ), + R 1, a1, jetzt: R, dann definiert x = + + a =,, eine ene Definition (enen im R ) (i) ine Teilmenge R heißt ene (in Koordinatendarstellung), wenn es Zahlen,, a, R mit (,, a ) git, so dass gilt = { x = (,, ) R : + + a =. (ii) Seien,, R mit, linear unahängig. Dann heißt die Menge = + R + R := { x R : x = + λ + µ, λ, µ R ene (in Parameterdarstellung). Der Vektor heißt Ortsvektor, die Vektoren und Richtungsvektoren der ene. Bemerkung : (i) = { x R : x =,, R, R a Umrechnung der Darstellungen ineinander (i) (ii) sei x = { x R : + + a =, ; sei z.b. a = + x = x 1 1 = a a a a {{ a1 a {{ a2 a {{ woei, linear unahängig Satz 1..6 a 1 = 1 a

4 1.4 Geraden und enen 19 (ii) (i) sei = + R + R, x λ, µ R : x = + λ + µ, setzen = {{ x = ( + λ + µ ) = + λ ( ) +µ =, Satz 1..2(ii) {{ ( ) =, Satz 1..2(ii) = { x R : + + a =, = = Definition 1.4. (Normalenvektor im R ) Sei = + R + R eine ene mit,, R und. Dann heißt ein Vektor n R mit (inheits)normalenvektor von. n = 1 und n ( x ) für alle x Bemerkung : Satz 1..2(ii) ( ) ( x ), x n = ist ein (inheits)normalenvektor von n Definition (Geraden im R ) Seien, R mit. Dann heißt die Menge = + R := { x R : x = + λ, λ R Gerade (in Parameterdarstellung). Der Vektor heißt Ortsvektor, der Vektor Richtungsvektor der Geraden. Bemerkung : Gerade im R ist Schnitt zweier (nicht-paralleler) enen in Koordinatenform nur mit zwei Gleichungen (enen) darstellar d( x, ) x Definition (Astand eines Punktes) (i) Sei = + R eine Gerade im R mit, R und. Der Astand des Punktes x R von ist definiert durch d( x, ) = min x d( x, x ). (ii) Sei = + R + R eine ene im R mit,, R und. Der Astand des Punktes x R von ist definiert durch d( x, ) = min x d( x, x ).

5 2 1 Zahlen und Vektoren Satz (i) Seien = + R,, R und. Dann gilt d( x, ) = ( x ), x R. (ii) Seien = + R + R,,, R und, und n ein inheitsnormalenvektor von. Dann gilt d( x, ) = ( x ) n, x R. Falls (, n) [, π 2 ], so gilt für x =, d = d(, ) = n. Bemerkung : Gleichung in (ii) Hesse 6 sche Normalform der enengleichung = { x R : x n = d denn: x d( x, ) = ( x ) n = n = x n d Herleitungen und weitere geometrische Begriffe (z.b. Astand zweier Gerade, enen, Winkel etc.) siehe z.b. [Pap7a, Kap. II.4] 1.5 Komplexe Zahlen Idee : Zahlereichserweiterung, um z.b. + 1 = lösen zu können Definition Seien a,, c, d reelle Zahlen. Wir etrachten die geordneten Zahlenpaare (a, ) und (c, d) mit folgenden Rechenoperationen : (a, ) + (c, d) = (a + c, + d) (a, ) (c, d) = (ac d, ad + c) z = (a, ) und w = (c, d) heißen komplexe Zahlen, die Menge aller komplexen Zahlen ist C. Beispiele : (2, ) + (, 5) = (1, 5) (, ) + (π, ) = ( + π, ) (, 2) + (, 2 ) = (, 2 2 ) (, ) (π, ) = (π, ) (, 1) (, 1) = (1, ) 6 udwig Otto Hesse ( Königserg München)