Innere Volumina und Integralgeometrie
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- Hede Günther
- vor 6 Jahren
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1 Seminar Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 19. November 2009
2 Inhaltsverzeichnis Grundlagen Mengenoperationen Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik
3 Mengenoperationen Spiegelung\Translation Spiegelung: Ǎ = A = { x : x A} für A R d
4 Mengenoperationen Spiegelung\Translation Spiegelung: Ǎ = A = { x : x A} für A R d Spezialfall: A = Ǎ A ist symmetrisch (zum Ursprung)
5 Mengenoperationen Spiegelung\Translation Spiegelung: Ǎ = A = { x : x A} für A R d Spezialfall: A = Ǎ A ist symmetrisch (zum Ursprung) Translation: A x = A + x = {y + x : y A} für x R d und A R d
6 Mengenoperationen Minkowski Addition Minkowski-Addition: für A, B R d A B = {x + y : x A, y B}
7 Mengenoperationen Minkowski Addition Minkowski-Addition: A B = {x + y : x A, y B} für A, B R d mit A x = A {x}
8 Mengenoperationen Minkowski Addition Minkowski-Addition: A B = {x + y : x A, y B} für A, B R d mit A x = A {x} erhält man die Kommutativität A B = y B A y
9 Mengenoperationen Minkowski Addition Minkowski-Addition: A B = {x + y : x A, y B} für A, B R d mit A x = A {x} erhält man die Kommutativität A B = y B A y = x A B x = B A
10 Mengenoperationen Minkowski Addition Auÿerdem gilt die Assoziativität
11 Mengenoperationen Minkowski Addition Auÿerdem gilt die Assoziativität A (B 1 B 2 ) = (A B 1 ) (A B 2 )
12 Mengenoperationen Minkowski Subtraktion Minkowski-Subtraktion: A B = y B A y
13 Mengenoperationen Minkowski Subtraktion Minkowski-Subtraktion: A B = y B A y oder A B = (A c B) c mit Komplementbildung bzgl. des R d
14 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Bildoperationen Dilatation: A A ˇB
15 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Bildoperationen Dilatation: A A ˇB Erosion: A A ˇB
16 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Dilatation Dilatation: A A ˇB
17 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Dilatation Dilatation: A A ˇB Auswirkungen der Dilatation:
18 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Dilatation Dilatation: A A ˇB Auswirkungen der Dilatation: kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden
19 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Dilatation Dilatation: A A ˇB Auswirkungen der Dilatation: kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden
20 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Dilatation Dilatation: A A ˇB Auswirkungen der Dilatation: kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden es werden Punkte an den Ränder hinzugefügt
21 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: A A ˇB
22 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: Auswirkungen der Erosion: A A ˇB
23 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: A A ˇB Auswirkungen der Erosion: Objekte an den Rändern werden abgetragen
24 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: A A ˇB Auswirkungen der Erosion: Objekte an den Rändern werden abgetragen Lücken werden gröÿer
25 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: A A ˇB Auswirkungen der Erosion: Objekte an den Rändern werden abgetragen Lücken werden gröÿer kleine Objekte verschwinden irreversibel
26 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: A A ˇB Auswirkungen der Erosion: Objekte an den Rändern werden abgetragen Lücken werden gröÿer kleine Objekte verschwinden irreversibel Objekte können gespaltet werden
27 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Erosion Erosion: A A ˇB Auswirkungen der Erosion: Objekte an den Rändern werden abgetragen Lücken werden gröÿer kleine Objekte verschwinden irreversibel Objekte können gespaltet werden Es gilt: Dilatation von Objekt Erosion des Hintergrunds Erosion von Objekt Dilatation des Hintergrunds
28 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Opening und Closing Opening: A A B = (A ˇB) B Opening: Erosion + Dilatation
29 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Opening und Closing Opening: A A B = (A ˇB) B Opening: Erosion + Dilatation Closing: A A B = (A B) ˇB Closing: Dilatation + Erosion
30 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Zusammenhang Minkowski-Addition und -Subtraktion Im Allgemeinen ist die Minkowski-Subtraktion nicht die inverse Operation zur Minkowski-Addition. Es gilt jedoch: ( A ˇB) B A ( A ˇB) B
31 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Beispiel
32 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Die Hausdor-Metrik Die Familie K nichtleerer, kompakter Teilmengen des R d bildet mit der Hausdor-Metrik einen metrischen Raum:
33 Digitale Bildbearbeitung Die Hausdor-Metrik Die Hausdor-Metrik Die Familie K nichtleerer, kompakter Teilmengen des R d bildet mit der Hausdor-Metrik einen metrischen Raum: h (K 1, K 2 ) = inf {r : K 1 K 2 b (o, r) und K 2 K 1 b (o, r)} für K 1, K 2 K
34 Denition eine Abbildung m : x x heiÿt euklidische Isometrie x y = x y = mx my
35 Darstellung jede Isometrie auf einem euklidischen Raum kann in folgender Form dargestellt werden: mx = x = ν + Ax ν R d und Orthogonalmatrix A
36 Darstellung jede Isometrie auf einem euklidischen Raum kann in folgender Form dargestellt werden: echte Isometrie: det(a) = 1 mx = x = ν + Ax ν R d und Orthogonalmatrix A Spiegelungen sind keine echten Isometrien (da det(a) = 1)
37 Grundlagen K R d konvex c x + (1 c) y K x, y K und 0 < c < 1
38 Grundlagen K R d konvex c x + (1 c) y K x, y K und 0 < c < 1 konvexe, kompakte Mengen nennt man konvexe Körper
39 Grundlagen K R d konvex c x + (1 c) y K x, y K und 0 < c < 1 konvexe, kompakte Mengen nennt man konvexe Körper b(o, 1) bezeichne die d-dimensionale Einheitskugel
40 Stützfunktion eine wichtige Charakteristik eines konvexen Körpers ist die Stützfunktion:
41 Stützfunktion eine wichtige Charakteristik eines konvexen Körpers ist die Stützfunktion: s(k, ) : b(o, 1) R
42 Stützfunktion eine wichtige Charakteristik eines konvexen Körpers ist die Stützfunktion: s(k, ) : b(o, 1) R deniert durch s(k, u) = sup < u, x > x K
43 Funktionale auf der Menge der konvexen Körper ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper ist ein reellwertiges Funktional deniert auf C(K):
44 Funktionale auf der Menge der konvexen Körper ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper ist ein reellwertiges Funktional deniert auf C(K): h : K R K C(K)
45 Funktionale auf der Menge der konvexen Körper ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper ist ein reellwertiges Funktional deniert auf C(K): h : K R K C(K) uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale auf konvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
46 Funktionale auf der Menge der konvexen Körper ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper ist ein reellwertiges Funktional deniert auf C(K): h : K R K C(K) uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale auf konvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften: Isometrie-Invarianz: h(mk) = h(k) K C(K) und m eine Isometrie
47 Funktionale auf der Menge der konvexen Körper ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper ist ein reellwertiges Funktional deniert auf C(K): h : K R K C(K) uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale auf konvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften: Isometrie-Invarianz: h(mk) = h(k) K C(K) und m eine Isometrie Monotonie: K 1 K 2 h(k 1 ) h(k 2 )
48 Funktionale auf der Menge der konvexen Körper ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper ist ein reellwertiges Funktional deniert auf C(K): h : K R K C(K) uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale auf konvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften: Isometrie-Invarianz: h(mk) = h(k) K C(K) und m eine Isometrie Monotonie: K 1 K 2 h(k 1 ) h(k 2 ) C-Additivität: h(k 1 ) + h(k 2 ) = h(k 1 K 2 ) + h(k 1 K 2 ) für K 1, K 2 C(K) und K 1 K 2 C(K)
49 Parallelmengen eine Parallelmenge mit Distanz r einer Menge A R d Menge A b(o, r) ist die
50 Parallelmengen eine Parallelmenge mit Distanz r einer Menge A R d Menge A b(o, r) ist die Folgende Eigenschaften bleiben erhalten: Konvexität Kompaktheit
51 Parallelmengen eine Parallelmenge mit Distanz r einer Menge A R d Menge A b(o, r) ist die Folgende Eigenschaften bleiben erhalten: Konvexität Kompaktheit Im eindimensionalen Fall ergibt sich für das Volumen der Parallelmenge: ν 1 (K b (o, r)) = l (K b (o, r)) = l (K) + 2r
52 Steiner Formel die Steiner-Formel dient zur Berechnung der inneren Volumina der Parallelmengen
53 Steiner Formel die Steiner-Formel dient zur Berechnung der inneren Volumina der Parallelmengen ν d (K b(o, r)) = d ( ) d W k (K)r k k k=0
54 Steiner Formel die Steiner-Formel dient zur Berechnung der inneren Volumina der Parallelmengen ν d (K b(o, r)) = d ( ) d W k (K)r k k k=0 dabei ist W k (K) das Minkowski-Funktional dieses ist ein bewegungsinvariantes, monotones, C-additives Funktional auf konvexen Körpern
55 Minkowski-Funktionale W k (K) = b d b d k L k ν d k(p S K)U k (ds)
56 Minkowski-Funktionale W k (K) = b d b d k L k ν d k(p S K)U k (ds) b d = π d Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel Γ(1+ d ) 2
57 Minkowski-Funktionale W k (K) = b d b d k L k ν d k(p S K)U k (ds) b d = ν d k π d Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel Γ(1+ d ) 2 (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
58 Minkowski-Funktionale W k (K) = b d b d k L k ν d k(p S K)U k (ds) b d = ν d k L k π d Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel Γ(1+ d ) 2 (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ Menge aller k-unterräume des R k
59 Minkowski-Funktionale W k (K) = b d b d k L k ν d k(p S K)U k (ds) b d = ν d k L k π d Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel Γ(1+ d ) 2 (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ Menge aller k-unterräume des R k p S K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-unterraum senkrecht zu S L k
60 Minkowski-Funktionale W k (K) = b d b d k L k ν d k(p S K)U k (ds) b d = ν d k L k π d Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel Γ(1+ d ) 2 (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ Menge aller k-unterräume des R k p S K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-unterraum senkrecht zu S L k U k Gleichverteilung auf L k
61 Minkowski-Funktionale - Beispiel R 1 : R 2 : R 3 : W o (K) - Länge von K W 1 (K) = 1 (Euler-Charakteristik) W o (K) - Fläche von K 2W 1 (K) - Umfang von K 1 π W 2(K) = 1 (Euler-Charakteristik) W o (K) - Volumen von K 3W 1 (K) - Oberäche von K 3 2π W 2(K) - mittlere Breite von K 3 4π W 3(K) = 1 (Euler-Charakteristik)
62 Steiner Formel - Beispiel ν d (K b(o, r)) = für d=2 ergibt sich somit: d ( ) d W k (K)r k k k=0
63 Steiner Formel - Beispiel ν d (K b(o, r)) = für d=2 ergibt sich somit: d ( ) d W k (K)r k k k=0 A(K b(o, r)) = A(K) + U(K)r + πr 2
64 Steiner Formel - Beispiel ν d (K b(o, r)) = für d=2 ergibt sich somit: d ( ) d W k (K)r k k k=0 A(K b(o, r)) = A(K) + U(K)r + πr 2
65 Innere Volumina Die Minkowski-Funktionale W d k sind mit den inneren Volumina V k eng verwandt: ( ) d b d kv k (K) = W d k(k) k = 0, 1,..., d k es gilt: V d (K) Volumen von K C(K) 2V d 1(K) Oberäche von K C(K)
66 Hadwiger Theorem Theorem: Jedes nicht-negative, bewegungsinvariante, monotone, C-additive Funktional h auf konvexen Körpern kann wie folgt geschrieben werden: h(k) = d a k W k (K) k=0
67 Denition Der konvexe Ring S ist das System aller Teilmengen A R d die als endliche Vereinigung konvexer Körper dargestellt werden kann: { } n S = A : A = K i C(K) i=1 K i
68 Denition Der konvexe Ring S ist das System aller Teilmengen A R d die als endliche Vereinigung konvexer Körper dargestellt werden kann: { } n S = A : A = K i C(K) i=1 A 1, A 2 S A 1 A 2 S und A 1 A 2 S K i
69 additive Funktionale ein additives Funktional h auf S ist eine Abbildung h : S R mit
70 additive Funktionale ein additives Funktional h auf S ist eine Abbildung h : S R mit h( ) = 0 und h(a 1 A 2 ) + h(a 1 A 2 ) = h(a 1 ) + h(a 2 )
71 Euler-Poincaré Charakteristik Wichtiges Beispiel eines additiven, bewegungsinvarianten Funktionals auf S: für konvexe nicht-leere Mengen K: χ(k) = 1
72 Euler-Poincaré Charakteristik Für n A = i=1 K i K i C(K)
73 Euler-Poincaré Charakteristik Für A = n K i K i C(K) i=1 erhält man mit der Additivitätseigenschaft χ(a) = χ(k i ) χ(k K i 1 i2 )+...+( 1)n 1 χ(k 1... K n ) i i1,i2;i1<i2 in R 2 : χ(a) = # { Flächen } # { Löcher }
74 Euler-Poincaré Charakteristik Beispiel
75 Verallgemeinertes Minkowski-Funktional Die Euler-Poincaré Charakteristik erlaubt es uns das Minkowski-Funktional auf S zu verallgemeinern: W k (A) = b d χ(k S s )ν d k(ds)u k (ds) b d k L k S für k=1,...,d ν d k(p S K) wurde durch S χ(k S s)ν d k(ds) ersetzt S ist die (d-k)-ebene durch den Ursprung von R d S ist orthogonal zu S und S s = S + s
76 Literatur Dietrich Stoyan, Wilfried S. Kendall, Joseph Mecke Stochastic Geometry and its Applications Bernd Jähne, Digitale Bildverarbeitung, Springer Evgueni Spodarev, Berechnung der Minkowski-Funktionale von deterministischen und zufälligen Mengen
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