Volumen und L 2 -Bettizahlen asphärischer Mannigfaltigkeiten

Transkript

1 Volumen und L 2 -Bettizahlen asphärischer Mannigfaltigkeiten Roman Sauer WWU Münster Stuttgart Oktober 2008

2 Topologie und Geometrie von Mannigfaltigkeiten Topologie: Studium von Eigenschaften und Invarianten, die unter Homotopieäquivalenzen oder Homöomorphismen invariant sind. Geometrie: Studium von metrischen Eigenschaften und Invarianten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten Zusammenhänge zwischen topologischen und geometrischen Invarianten? Inwieweit bestimmt die Topologie einer Mannigfaltigkeit die möglichen Geometrien? Roman Sauer 2 / 13

3 Topologie und Geometrie von Mannigfaltigkeiten Topologie: Studium von Eigenschaften und Invarianten, die unter Homotopieäquivalenzen oder Homöomorphismen invariant sind. Geometrie: Studium von metrischen Eigenschaften und Invarianten von Riemannschen Mannigfaltigkeiten Zusammenhänge zwischen topologischen und geometrischen Invarianten? Inwieweit bestimmt die Topologie einer Mannigfaltigkeit die möglichen Geometrien? Roman Sauer 2 / 13

4 Ein klassisches Resultat: Der Satz von Gauß-Bonnet Für eine orientierte, kompakte Riemannsche Fläche Σ gilt χ(σ) = 1 K (x) dvol(x). 2π Σ χ(σ) Z ist die Euler-Charakteristik von Σ. K : Σ R ist die Krümmung von Σ. Roman Sauer 3 / 13

5 Euler-Charakteristik eine topologische Invariante Die Euler-Charakteristik eines zellulären Komplexes K ist definiert als χ(k ) = #(0-Zellen) #(1-Zellen) + #(2-Zellen)... Die Euler-Charakteristik hängt nur vom Homotopietyp, also insbesondere nicht von der Triangulierung ab. Roman Sauer 4 / 13

6 Euler-Charakteristik eine topologische Invariante Die Euler-Charakteristik eines zellulären Komplexes K ist definiert als χ(k ) = #(0-Zellen) #(1-Zellen) + #(2-Zellen)... Die Euler-Charakteristik hängt nur vom Homotopietyp, also insbesondere nicht von der Triangulierung ab. Roman Sauer 4 / 13

7 Bettizahlen eine feinere, topologische Invariante Die Bettizahlen b n (M) N {0}, n 0, eines topologischen Raumes M sind die Dimensionen der Homologiegruppen von M und somit invariant unter Homotopieäquivalenz. Es gilt χ(m) = n 0 ( 1)n b n (M) (Euler-Poincaré-Formel). b 0 = 1 b 0 = 1 b 0 = 1 b 1 = 1 b 1 = 0 b 1 = 2 b 2 = 0 b 2 = 1 b 2 = 1 Roman Sauer 5 / 13

8 L 2 -Bettizahlen eine relativ neue Invariante Die L 2 -Bettizahlen b (2) n (M) R 0, n 0, wurden von Atiyah durch die Wärmeleitungskerne der Laplace-Operatoren auf der universellen Überlagerung von M definiert. π 1 (M) = 1 b (2) n (M) = b n (M). Sie sind Homotopieinvarianten (Dodziuk) und erfüllen χ(m) = n 0 ( 1) n b (2) (M). n Moderne Definition (Lück): Sei Γ = π 1 (M). b (2) n (M) = dim L(Γ) H n ( L(Γ) ZΓ C ( M) ) Hierbei ist L(Γ) B(l 2 Γ) die von-neumann-algebra von Γ. Roman Sauer 6 / 13

9 L 2 -Bettizahlen eine relativ neue Invariante Die L 2 -Bettizahlen b (2) n (M) R 0, n 0, wurden von Atiyah durch die Wärmeleitungskerne der Laplace-Operatoren auf der universellen Überlagerung von M definiert. π 1 (M) = 1 b (2) n (M) = b n (M). Sie sind Homotopieinvarianten (Dodziuk) und erfüllen χ(m) = n 0 ( 1) n b (2) (M). n Moderne Definition (Lück): Sei Γ = π 1 (M). b (2) n (M) = dim L(Γ) H n ( L(Γ) ZΓ C ( M) ) Hierbei ist L(Γ) B(l 2 Γ) die von-neumann-algebra von Γ. Roman Sauer 6 / 13

10 Krümmung eine geometrische Invariante (Schnitt-)Krümmung: Für dim M = 2 ist die Krümmung eine Funktion K : M R mit Länge(S(x; ɛ)) = 2πɛ π 3 K (x)ɛ3 + o(ɛ 3 ). Für dim M = n 2 ist die Krümmung eine Abbildung K : Gr(2, TM) R Die Ricci-Krümmung Ricci : TM R bei v T x M ist die Summe n 1 i=1 K (v, w i), wobei {v, w 1,..., w n } eine ON-Basis von T x M ist. Roman Sauer 7 / 13

11 Krümmung eine geometrische Invariante (Schnitt-)Krümmung: Für dim M = 2 ist die Krümmung eine Funktion K : M R mit Länge(S(x; ɛ)) = 2πɛ π 3 K (x)ɛ3 + o(ɛ 3 ). Für dim M = n 2 ist die Krümmung eine Abbildung K : Gr(2, TM) R Die Ricci-Krümmung Ricci : TM R bei v T x M ist die Summe n 1 i=1 K (v, w i), wobei {v, w 1,..., w n } eine ON-Basis von T x M ist. Roman Sauer 7 / 13

12 Krümmung anschaulich: Vergleichsdreiecke K > 0 S n, RP n, CP n K = 0 R n, S 1 S 1 K 0 SL(n, R)/SO(n, R) K < 0 H n, CH n Jede Mannigfaltigkeit mit K 0 ist asphärisch, d.h. ihre universelle Überlagerung ist zusammenziehbar. Roman Sauer 8 / 13

13 Krümmung anschaulich: Vergleichsdreiecke K > 0 S n, RP n, CP n K = 0 R n, S 1 S 1 K 0 SL(n, R)/SO(n, R) K < 0 H n, CH n Jede Mannigfaltigkeit mit K 0 ist asphärisch, d.h. ihre universelle Überlagerung ist zusammenziehbar. Roman Sauer 8 / 13

14 Volumen und L 2 -Bettizahlen Theorem (Gromov, S.) Sei M eine n-dimensionale, geschlossene, asphärische Mannigfaltigkeit. Falls g eine Riemannsche Metrik mit Ricci(M, g) (n 1)g ist, dann b (2) i (M) const n vol(m, g) für alle i 0. Insbesondere gilt b (2) i (M) const n minvol(m), wobei minvol(m) := inf { vol(m, g); 1 K (g) 1 }. Theorem (S.) Für jedes n N gibt es eine Konstante ɛ n > 0 so, dass für jede n-dimensionale, geschlossene, asphärische Mannigfaltigkeit M gilt: minvol(m) < ɛ n = b (2) i (M) = 0 für alle i 0. Roman Sauer 9 / 13

15 Volumen und L 2 -Bettizahlen Theorem (Gromov, S.) Sei M eine n-dimensionale, geschlossene, asphärische Mannigfaltigkeit. Falls g eine Riemannsche Metrik mit Ricci(M, g) (n 1)g ist, dann b (2) i (M) const n vol(m, g) für alle i 0. Insbesondere gilt b (2) i (M) const n minvol(m), wobei minvol(m) := inf { vol(m, g); 1 K (g) 1 }. Theorem (S.) Für jedes n N gibt es eine Konstante ɛ n > 0 so, dass für jede n-dimensionale, geschlossene, asphärische Mannigfaltigkeit M gilt: minvol(m) < ɛ n = b (2) i (M) = 0 für alle i 0. Roman Sauer 9 / 13

16 Zum Beweis I: Klassische Differentialgeometrie Bishop-Gromov-Ungleichung: Überdeckung U von M durch Bälle von Radius 10 mit Multiplizität < const n. f : M Nerv(U) (n) mit Lipschitz-Konstante < const n. Annahme: U ist äquivariant. Dann trifft f ( M) nur < const n vol(m) äquivariante n-zellen. In diesem Fall ist f ein Homotopieretrakt, was zur behaupteten Ungleichung führen würde. Problem: U kann i.a. nicht äquivariant konstruiert werden. Roman Sauer 10 / 13

17 Zum Beweis I: Klassische Differentialgeometrie Bishop-Gromov-Ungleichung: Überdeckung U von M durch Bälle von Radius 10 mit Multiplizität < const n. f : M Nerv(U) (n) mit Lipschitz-Konstante < const n. Annahme: U ist äquivariant. Dann trifft f ( M) nur < const n vol(m) äquivariante n-zellen. In diesem Fall ist f ein Homotopieretrakt, was zur behaupteten Ungleichung führen würde. Problem: U kann i.a. nicht äquivariant konstruiert werden. Roman Sauer 10 / 13

18 Zum Beweis II: Randomisierung Sei X ein ergodischer π 1 (M)-Wahrscheinlichkeitsraum, und F M ein messbarer π 1 (M)-Fundamentalbereich. Ergodentheorie/Dynamik Konstruktion einer bestimmten, messbaren Familie {U x } x X von Überdeckungen Bällen mit Radius 10 derart, dass U U x γu U γx. Roman Sauer 11 / 13

19 Zum Beweis II: Randomisierung Sei X ein ergodischer π 1 (M)-Wahrscheinlichkeitsraum, und F M ein messbarer π 1 (M)-Fundamentalbereich. Ergodentheorie/Dynamik Konstruktion einer bestimmten, messbaren Familie {U x } x X von Überdeckungen Bällen mit Radius 10 derart, dass U U x γu U γx. Roman Sauer 11 / 13

20 Zum Beweis II: Randomisierung Sei X ein ergodischer π 1 (M)-Wahrscheinlichkeitsraum, und F M ein messbarer π 1 (M)-Fundamentalbereich. Ergodentheorie/Dynamik Konstruktion einer bestimmten, messbaren Familie {U x } x X von Überdeckungen Bällen mit Radius 10 derart, dass U U x γu U γx. Betrachte die Zufallsvariable ω : X N ω(x) = Multiplizität von {U U x ; Mittelpunkt von U F} Der Erwartungswert von ω ist kleiner als const n vol(m). Roman Sauer 11 / 13

21 Zum Beweis III: Nicht-kommutative Geometrie Es gibt analog eine Nerv-Abbildung (äquivariante Bündelabbildung über X) X M {Nerv(U x )} x X. Diese Bündel über X bilden eine interessante Kategorie (Connes), für die es eine Theorie von L 2 -Bettizahlen gibt (Gaboriau, S.). Anderes Beispiel für ein solches Bündel: klassifizierende Räume von Holonomiegruppoiden von Blätterungen. Sei L (X) π 1 (M) L(π 1 (M)) das getwistete Produkt der von-neumann-algebren L (X) und L(π 1 (M)). Es gilt: b (2) n (M) = dim L (X) Γ H n ( L (X) Γ ZΓ C ( M) ) Diese Techniken erlauben es aus der Abschätzung des Erwartungswertes der Multiplizität eine Abschätzung von b (2) n (M) durch vol(m) bekommen. Roman Sauer 12 / 13

22 Zum Beweis III: Nicht-kommutative Geometrie Es gibt analog eine Nerv-Abbildung (äquivariante Bündelabbildung über X) X M {Nerv(U x )} x X. Diese Bündel über X bilden eine interessante Kategorie (Connes), für die es eine Theorie von L 2 -Bettizahlen gibt (Gaboriau, S.). Anderes Beispiel für ein solches Bündel: klassifizierende Räume von Holonomiegruppoiden von Blätterungen. Sei L (X) π 1 (M) L(π 1 (M)) das getwistete Produkt der von-neumann-algebren L (X) und L(π 1 (M)). Es gilt: b (2) n (M) = dim L (X) Γ H n ( L (X) Γ ZΓ C ( M) ) Diese Techniken erlauben es aus der Abschätzung des Erwartungswertes der Multiplizität eine Abschätzung von b (2) n (M) durch vol(m) bekommen. Roman Sauer 12 / 13

23 Zum Beweis III: Nicht-kommutative Geometrie Es gibt analog eine Nerv-Abbildung (äquivariante Bündelabbildung über X) X M {Nerv(U x )} x X. Diese Bündel über X bilden eine interessante Kategorie (Connes), für die es eine Theorie von L 2 -Bettizahlen gibt (Gaboriau, S.). Anderes Beispiel für ein solches Bündel: klassifizierende Räume von Holonomiegruppoiden von Blätterungen. Sei L (X) π 1 (M) L(π 1 (M)) das getwistete Produkt der von-neumann-algebren L (X) und L(π 1 (M)). Es gilt: b (2) n (M) = dim L (X) Γ H n ( L (X) Γ ZΓ C ( M) ) Diese Techniken erlauben es aus der Abschätzung des Erwartungswertes der Multiplizität eine Abschätzung von b (2) n (M) durch vol(m) bekommen. Roman Sauer 12 / 13

24 Offene Fragen Was sind die optimalen Konstanten? Kann man in der bewiesenen Ungleichung das minimale Volumen durch das simpliziale Volumen oder die minimale Entropie ersetzen? Kann auch die L 2 -Torsion durch das minimale Volumen abgeschätzt werden? Roman Sauer 13 / 13