Langlands-Programm. Zahlentheorie = Algebra + Geometrie + Analysis. Torsten Wedhorn. 19. Januar 2012

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1 Zahlentheorie = Algebra + Geometrie + Analysis 19. Januar 2012

2 Inhalt 1 Dreieckszahlen 2 3 4

3 Dreieckszahlen Eine rationale Zahl D > 0 heißt Dreieckszahl (oder Kongruenzzahl), falls D die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen ist. Anders ausgedrückt: D > 0 heißt Dreieckszahl, falls a, b, c Q existieren mit a 2 + b 2 = c 2 und D = ab 2. Frage: Welche rationale Zahlen sind Dreieckszahlen?

4 Einfache Beispiele Beispiel: 6 ist Dreieckszahl: 6 ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen (3, 4, 5). 5 ist Dreieckszahl: 5 ist Flächeninhalts des (20/3, 3/2, 41/6)-Dreiecks. 7 ist Dreieckszahl: Dreieck (35/12, 72/15, 337/60).

5 Einfache Reduktion Bemerkung: D Dreieckszahl, etwa D = ab/2, a 2 + b 2 = c 2 für a, b, c Q. Dann ist auch s 2 D Dreieckszahl für alle s Q, denn s 2 D = (sa)(sb)/2 und (sa) 2 + (sb) 2 = (sc) 2. Hochmultiplizieren von Nennern: Es genügt ganze quadratfreie Zahlen > 0 zu betrachten. (Eine ganze Zahl heißt quadratfrei, falls sie nicht durch eine Quadratzahl > 1 teilbar ist.)

6 Geschichte Vermutung (Fibonacci, ): 1 ist keine Dreieckszahl (äquivalent: Keine Quadratzahl ist eine Dreieckszahl). Beweis: Fermat ( ) Methode des unendlichen Abstiegs Korollar: Es existieren keine r, s, t Q mit t 2 s 2 = s 2 r 2 = 1. Beweis: Angenommen doch. Dann sind t r, t + r, 2s sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und (t r)(t + r)/2 = (t 2 r 2 )/2 = 1, d.h. 1 wäre Dreieckszahl.

7 Beispiel Beispiel (Don Zagier): Die Zahl 157 ist Dreieckszahl. Das einfachste Dreieck mit Fläche 157 ist: a = , b = , c = Satz (G. Kramarz, 1986): Alle ganzen Dreieckszahlen 2000 bekannt.

8 Satz von Tunnel Theorem (Tunnel, 1983): D Z quadratfrei, ungerade. Ist D Dreieckszahl, so gilt {(x, y, z) Z 3 2x 2 + y 2 + 8z 2 = D, z ungerade} ( ) = {(x, y, z) Z 3 2x 2 + y 2 + 8z 2 = D, z gerade}. Umgekehrt: Genügt D der Gleichung ( ) und gilt die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, so ist D Dreieckszahl. Eine ähnliche Aussage gilt für D gerade.

9 Beispiel Beispiel: 1 genügt nicht der Gleichung ( ), denn {(x, y, z) Z 3 2x 2 + y 2 + 8z 2 = 1, z ungerade} =, {(x, y, z) Z 3 2x 2 + y 2 + 8z 2 = 1, z gerade} Also ist 1 keine Dreieckszahl. = {(0, 1, 0), (0, 1, 0)}. Beispiel: Jedes D Z mit D 5 mod 8 (z.b. D = 157) genügt der Gleichung ( ), denn beide Seiten der Gleichung sind 0. Also sind solche quadratfreien D s Dreieckszahlen, falls die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung gilt.

10 Dreieckszahlen und Satz (einfach): Eine quadratfreie ganze Zahl D > 0 ist genau dann eine Dreieckszahl, wenn die Gleichung E D : y 2 = x 3 D 2 x eine Lösung (x, y) Q 2 mit y 0 besitzt. E D ist rationale elliptische Kurve, d.h.:

11 Rationale elliptische Kurven: Gleichungen der Form E : y 2 = P(x), mit P(x) = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ohne mehrfache Nullstellen, a 2, a 1, a 0 Q. Kubische Ergänzung (ersetze x durch x a 2 /3): Ohne Einschränkung E von der Form y 2 = P(x) = x 3 + ax + b, a, b Q. Dann gilt: P(x) ohne mehrfache Nullstelle E := 16(4a b 2 ) 0.

12 Rationale Lösungen einer elliptischen Kurve Setze E(Q) = {(x, y) Q 2 y 2 = P(x)} { }. Dann besitzt E(Q) die Struktur einer kommutativen Gruppe mit als neutrales Element. Theorem (vermutet von Poincaré (ca. 1900), bewiesen von Mordell (1922)): E(Q) = Z r(e) E(Q) tors, wobei E(Q) tors endliche Gruppe und r(e) 0 ganze Zahl.

13 Folgerung für Dreieckszahlen Erinnerung: D Dreieckszahl E : y 2 = x 3 D 2 x besitzt Lösung (x, y) Q 2 mit y 0. Bemerkung: Ist (x, 0) E(Q), so ist (x, 0) E(Q) tors. Beispiel: Für E D : y 2 = x 3 D 2 x gilt: E D (Q) tors = {, (0, 0), (D, 0), ( D, 0)}. Korollar: D Dreieckszahl r(e D ) > 0 E D (Q) =.

14 Langlandsprogramm Langlandsprogramm Gegeben ein System X zahlentheoretischer Gleichungen (z.b. eine elliptische Kurve). Assoziiere zu X ein analytisches Objekt L X ( L-Funktion ), so dass Eigenschaften von L X implizieren Eigenschaften von X. Finde (einfacheres) analytisches Objekt π, so dass L X = L π (etwa π automorphe Darstellung ).

15 L-Funktion einer elliptischen Kurve I Sei E : y 2 = x 3 + ax + b rationale elliptische Kurve, E = 16(4a b 2 ) 0. Zur Vereinfachung seien a, b Z (sonst geschicktes Hochmultiplizieren der Nenner ). 0. Schritt (Lösungen modulo p): Sei p Primzahl, die kein Teiler von E ist. Setze a p := { (x, y) Z/pZ ; y 2 x 3 + ax + b (mod p) } p.

16 L-Funktion einer elliptischen Kurve II Beispiel: E : y 2 = x 3 x ( E = 2 6 ), p = 3. Dann { (x, y) Z/3Z ; y 2 x 3 x (mod 3) } = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}, da x 3 x 0 (mod 3) for all x Z/3Z. Also a 3 = 0. Exkurs: Wie variiert a p mit p: Sato-Tate-Vermutung (bewiesen 2008 von L. Clozel, M. Harris, N. Shepherd-Barron, R. Taylor).

17 L-Funktion einer elliptischen Kurve III Konstruiere L-Funktion L E : Für p teilt nicht E und s C setze: L p (E, s) := 1 1 a p p s + p 1 2s. Für p teilt E und s C setze: L p (E, s) := 1. Setze L E (s) := p prime Produkt konvergiert für Re(s) > 3/2. (Vorsicht: Definition nicht Standard) L p (E, s).

18 Vermutung von Birch, Swinnerton-Dyer Vermutung von B. Birch, P. Swinnerton-Dyer (ca. 1963): L E (1) = 0 r(e) > 0 ( E(Q) = ) Genauer: r(e) ist die Ordnung der Nullstelle von L E (s) bei s = 1. Dies ist eines Millenium-Probleme des Clay-Instituts. Problem: Brauchen dafür, dass L E (s) in s = 1 definiert ist. Vermutung (Hasse, ca. 1950): L E kann auf ganz C fortgesetzt werden (als holomorphe Funktion).

19 Modularität I Eine Modulform f (genauer: rationale Spitzenform) ist eine komplex differenzierbare (holomorphe) Funktion f : H := { z C ; Im(z) > 0 } C so dass f (z + 1) = f (z) for all z H und so dass... (Spezialfall einer automorphen Darstellung). Dann f (z) = n=1 a ne 2πinz (Fourier-Entwicklung) mit a n Q. Setze: a n L f (s) := n s n=1 L f einfacher zu verstehen, z.b. nicht schwierig zu zeigen:

20 Modularität II Satz: L f kann auf ganz C definiert werden. Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung (1957, bewiesen von C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor in 2001): Jede rationale elliptische Kurve E ist modular, d.h. es existiert eine Modulform f = f E mit L E = L f. Insbesondere kann L E auf ganz C definiert werden. Für E = E D : y 2 = x 3 D 2 x zeige: L fe (1) = 0 D erfüllt ( ).

21 Exkurs: Satz von Fermat Letzter Satz von Fermat: Sei n > 2 natürliche Zahl. Dann existieren keine natürlichen Zahlen a, b, c mit a n + b n = c n. Beweisidee: Ohne Einschränkung n = p Primzahl (einfach) und p > 5 (L. Euler 1770, A.-M. Legendre und P. Dirichlet 1825). Angenommen (a, b, c) sei Lösung. Betrachte elliptische Kurve E : y 2 = x(x a p )(x + b p ) (Idee: Y. Hellegouarch (ca. 1968), G. Frey (ca. 1984)). E hat semistabile Reduktion. Zeige: E ist nicht modular (J.P. Serre 1985, K. Ribet 1990). Zeige: Jede elliptische Kurve mit semistabiler Reduktion ist modular (A. Wiles, R. Taylor, A. Wiles 1995).

22 Verteilung von Primzahlen Wieviele Primzahlen gibt es? Unendlich viele! Genauer: Für x R mit x > 0, sei π(x) die Anzahl der Primzahlen p mit p x. Ziel: Beschreibung von π(x). C. F. Gauß glaubt (Brief von 1849), dass π(x) gut durch Li(x) := x 0 1 log t dt (logarithmische Integralfunktion) approximiert wird.

23 Riemannsche ζ-funktion I Riemann (1859) definiert Riemannsche ζ-funktion ζ(s) := n=1 1 n s = p prime 1 1 p s ( L-Funktion des Punktes ). Summe/Produkt konvergieren für s C mit Re(s) > 1. Er zeigt: ζ besitzt komplex differenzierbare Fortsetzung zu ζ : C \ {1} C. Wenn s negative ganze gerade Zahl, dann ζ(s) = 0. Für alle anderen Nullstellen s ( nicht triviale Nullstellen ) von ζ gilt: 0 < Re(s) < 1.

24 Riemannsche ζ-funktion II Riemann beweist: Falls für alle nicht-trivialen Nullstellen s von ζ gilt, dass Re(s) = 1 2, dann existiert C R, C > 0 mit (+) π(x) Li(x) C x log(x) für all x R, x > 1.

25 (1859): Für alle nicht-trivialen Nullstellen s von ζ gilt Re(s) = 1 2. Dies ist das älteste der Millenium-Probleme des Clay-Instituts. Satz (Koch 1901, Schoenfeld 1976): Die Abschätzung (+) π(x) Li(x) C x log(x) ist best-möglichst, und (+) für x 2657 and C = 1 8π ist äquivalent zur Riemannschen Vermutung.

26 Weierstraß-Vorlesung Weierstraß-Vorlesung 2012 Richard Taylor (Harvard) 11. Mai 2012 Auditorium Maximum, Universität Paderborn