24. April Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin. Primzahlen und Chaos. Jürg Kramer. Natürliche Zahlen. Bausteine.
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1 Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 24. April 2008
2 Die natürlichen Operationen Die Menge der natürlichen : N = {0, 1, 2, 3,... } Die Menge der ganzen : Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }
3 Operationen Operationen Addition + n, m Z = n+m Z Multiplikation n, m Z = n m Z Gesetze n+m = m+n Kommutativität von + n m = m n Kommutativität von n+(m+k) = (n+m)+k Assoziativität von + n (m k) = (n m) k Assoziativität von n (m+k) = n m+n k Distributiviät von + und
4 Alle natürlichen lassen sich als Summe von Einsen darstellen, z.b. 5 = Die Zahl 1 ist der additive Baustein. Multiplikative?
5 Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung Definition Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist und nur die Teiler 1 und p hat. Fundamentalsatz der Arithmetik Alle natürlichen lassen sich (bis auf die Reihenfolge eindeutig) als Produkt von darstellen, z.b. 96 = = Die sind die multiplikativen.
6 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung
7 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung
8 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung
9 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung
10 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung
11 Sieb des Eratosthenes Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung
12 Wie viele gibt es? Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung Theorem (Euklid) Es gibt unendlich viele. Beweis. Annahme: Es gibt nur endlich viele p 1, p 2,..., p n. Sei q = p 1 p 2... p n das Produkt dieser. Die Zahl q + 1 ist durch keine der p i teilbar, da bei Division durch p i immer der Rest 1 bleibt. Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Menge der p 1, p 2,..., p n enthalten. Dies widerspricht unserer Annahme.
13 Mersenne sche Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung Dies sind der Form p = 2 n 1, wobei notwendigerweise n selbst auch eine Primzahl ist. n = 2: = 3 n = 3: = 7 n = 5: = 31 Gegenbeispiel: = 2047 = 23 89
14 Fermat sche Dies sind der Form p = 2 n + 1, wobei notwendigerweise n = 2 m mit m N ist. Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung n = 2 0 : p = = 3 n = 2 1 : p = = 5 n = 2 2 : p = = 17 n = 2 3 : p = = 257 n = 2 4 : p = = Gegenbeispiel (Euler): p = = hat den Teiler 641
15 Größte bekannte Primzahl Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung Die derzeit größte bekannte Primzahl (Stand: ) p = Dies ist eine Zahl mit Stellen. Etwa 2500 eng bedruckte DIN-A4 Seiten, beginnend mit
16 Anwendung und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei: Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung Verwendung von EC-Karten Sicheres Kommunizieren Verwendung des Internets...
17 Anwendung Wichtiges Instrument: Kleiner Satz von Fermat Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung R p (a p ) = a R p (a p 1 ) = 1 (p Primzahl, 0 < a < p) R p (b) = Rest von b nach Division durch p
18 Anwendung Wichtiges Instrument: Kleiner Satz von Fermat Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung R p (a p ) = a R p (a p 1 ) = 1 (p Primzahl, 0 < a < p) R p (b) = Rest von b nach Division durch p R 5 (2 1 ) = 2, R 5 (2 2 ) = 4, R 5 (2 3 ) = 3, R 5 (2 4 ) = 1
19 Anwendung Wichtiges Instrument: Kleiner Satz von Fermat Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung R p (a p ) = a R p (a p 1 ) = 1 (p Primzahl, 0 < a < p) R p (b) = Rest von b nach Division durch p R 5 (2 1 ) = 2, R 5 (2 2 ) = 4, R 5 (2 3 ) = 3, R 5 (2 4 ) = 1 R 5 (3 1 ) = 3, R 5 (3 2 ) = 4, R 5 (3 3 ) = 2, R 5 (3 4 ) = 1
20 Anwendung Wichtiges Instrument: Kleiner Satz von Fermat Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung R p (a p ) = a R p (a p 1 ) = 1 (p Primzahl, 0 < a < p) R p (b) = Rest von b nach Division durch p R 5 (2 1 ) = 2, R 5 (2 2 ) = 4, R 5 (2 3 ) = 3, R 5 (2 4 ) = 1 R 5 (3 1 ) = 3, R 5 (3 2 ) = 4, R 5 (3 3 ) = 2, R 5 (3 4 ) = 1 R 5 (4 1 ) = 4, R 5 (4 2 ) = 1, R 5 (4 3 ) = 4, R 5 (4 4 ) = 1
21 Anwendung Sieb des Eratosthenes Euklid Formeln für Anwendung Public Key Kryptographie: R p q (a (p 1)(q 1) ) = 1 (p, q verschiedene ) Sicherheit der Verschlüsselung: Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m = p q in die Primfaktoren p und q
22 Primzahlfunktion π(x) x positive, reelle Zahl π(x) = Anzahl aller kleiner oder gleich x = {p = Primzahl p x}
23 Primzahlfunktion π(x) x positive, reelle Zahl π(x) = Anzahl aller kleiner oder gleich x = {p = Primzahl p x} π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168
24 Primzahlfunktion π(x) x positive, reelle Zahl π(x) = Anzahl aller kleiner oder gleich x = {p = Primzahl p x} π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168
25 Primzahlfunktion π(x) x positive, reelle Zahl π(x) = Anzahl aller kleiner oder gleich x = {p = Primzahl p x} π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168
26 Wie sind die verteilt? Primzahlsatz Für x 0, d.h. x sehr groß, gilt: π(x) x log(x)
27 Wie sind die verteilt? Primzahlsatz Für x 0, d.h. x sehr groß, gilt: f(x) = 10 x y π(x) x log(x) x
28 Wie sind die verteilt? Primzahlsatz Für x 0, d.h. x sehr groß, gilt: π(x) x log(x) f(x) = 10 x y y g(x) = log 10 (x) x x
29 Wie sind die verteilt? Also: Für x 0 gilt: π(x) x log(x) x 1 ɛ (0 < ɛ 1). M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich für x immer mehr an die Funktion x/ log(x) an. D.h. die Funktion π(x) x log(x) wächst für x von niedriger Ordnung als x/ log(x).
30 Milleniumsproblem Die : Es existiert eine Konstante C > 0, so dass die Ungleichung π(x) x log(x) < C x für x besteht.
31 Eulersche Produktentwicklung Komplexwertigkeit Äquivalente Umformulierung ζ(s) = n=1 1 n s = s s + definiert schöne Funktion für s > 1, hat Pol erster Ordnung für s = 1.
32 Eulersche Produktentwicklung Ju rg Kramer Natu rliche Es besteht die Produktentwicklung ζ(s) = p Primzahl Za hlen von Y = ps s s s s Eulersche Produktentwicklung Komplexwertigkeit A quivalente Umformulierung Eulersche Produktentwicklung ist a quivalent zum Fundamentalsatz der Arithmetik. Der Pol erster Ordnung fu r s = 1 ist a quivalent zur Unendlichkeit der Primzahlmenge.
33 Komplexwertigkeit Eulersche Produktentwicklung Komplexwertigkeit Äquivalente Umformulierung Man kann ζ(s) auch als komplexwertige Funktion der komplexen Variablen s = (Re(s), Im(s)) s = Re(s) + i Im(s) auffassen. Sowohl Definitions- als auch Wertebereich sind dann reell 2-dimensional. Im(s) Re(s)
34 Äquivalente Umformulierung Äquivalente Umformulierung der n : Im(s) 40i 30i 20i 10i Eulersche Produktentwicklung Komplexwertigkeit Äquivalente Umformulierung ζ(s) besitzt alle ihre (komplexen) Nullstellen bei s = (1/2, Im(s)) (mit Ausnahme der trivialen Nullstellen bei s = 2, 4, 6,...). -10i -20i -30i -40i Re(s)
35 Graph Graph des Betrags der n auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2, d.h. der Funktion ζ(1/2 + it) für 0 t 50: Eulersche Produktentwicklung Komplexwertigkeit Äquivalente Umformulierung
36 Bewegungsgleichung Bei Angabe der Ausgangslage und der Anfangsgeschwindigkeit sowie der einwirkenden Kräfte kann die Bahnkurve eines Körpers (Lage, Geschwindigkeit) vorausbestimmt werden. Beispiel: Feder Bewegungsgleichung s Chaos m ẍ = k x λ = k/m d 2 x(t) = λ x(t) dt2 g m k
37 s Chaos Kleine Änderungen des Anfangszustands bewirken unvorhersehbare Änderungen des Endzustandes! Beispiel: Billardspiel Nach der 9. Banden-Berührung ist die Endrichtung der Billard-Kugel nicht mehr vorherbestimmbar! Bewegungsgleichung s Chaos
38 Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit,...) und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beeinflusst das Experiment! Konsequenz: Schrödingergleichung Quantenchaos
39 Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit,...) und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beeinflusst das Experiment! Konsequenz: Physikalische Zustände entsprechen Vektoren Ψ in einem unendlich dimensionalen Vektorraum H. Schrödingergleichung Quantenchaos
40 Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit,...) und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beeinflusst das Experiment! Konsequenz: Physikalische Zustände entsprechen Vektoren Ψ in einem unendlich dimensionalen Vektorraum H. Beschreibung der Observablen durch lineare (selbstadjungierte) Operatoren A in H. Schrödingergleichung Quantenchaos
41 Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit,...) und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beeinflusst das Experiment! Konsequenz: Physikalische Zustände entsprechen Vektoren Ψ in einem unendlich dimensionalen Vektorraum H. Beschreibung der Observablen durch lineare (selbstadjungierte) Operatoren A in H. Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen) Eigenwerten λ des Operators A. Schrödingergleichung Quantenchaos
42 Schrödingergleichung Quantenchaos Problem: Es muss zwischen Observablen (Geschwindigkeit,...) und Messwerten unterschieden werden. Messvorgang beeinflusst das Experiment! Konsequenz: Physikalische Zustände entsprechen Vektoren Ψ in einem unendlich dimensionalen Vektorraum H. Beschreibung der Observablen durch lineare (selbstadjungierte) Operatoren A in H. Die physikalischen Messwerte entsprechen den (reellen) Eigenwerten λ des Operators A. Bewegungsgleichung gegeben durch die Schrödingergleichung ih 2π Ψ t = A Ψ, wobei h/2π = 1, erg s.
43 Quantenchaos Betrachte ein Billard-Spiel im Nanobereich ( 10 9 m) Die Messwerte des quantenmechanischen Billard-Spiels sind gegeben durch die Eigenwertgleichung A Ψ = λ Ψ Schrödingergleichung Quantenchaos
44 Quantenchaos Schrödingergleichung Quantenchaos Betrachte ein Billard-Spiel im Nanobereich ( 10 9 m) Die Messwerte des quantenmechanischen Billard-Spiels sind gegeben durch die Eigenwertgleichung A Ψ = λ Ψ : Die Eigenwerte λ entsprechen den Nullstellen der n ζ(s) auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2.
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