Elementare Zahlentheorie. Jörn Steuding (Uni Würzburg) Wintersemester 2016/17

Transkript

1 Elementare Zahlentheorie Jörn Steuding (Uni Würzburg) Wintersemester 2016/17 D C E A B

2 Literaturempfehlungen J. Appell, K. Appell: Mengen - Zahlen - Zahlbereiche, Spektrum 2005 K. Reiss, G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie, Springer 2007, 2. Auflage Nicola Oswald, Jörn Steuding: Elementare Zahlentheorie Ein sanfter Einstieg in die höhere Mathematik, Springer 2015 Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, herausgegeben von Nicola Oswald, Springer 2016

3 II. Teilbarkeitslehre

4 4 Der euklidische Algorithmus Im Folgenden bezeichnen kleine lateinische Buchstaben stets ganze Zahlen. Wir sagen d teilt n oder d ist ein Teiler von n, wenn ein b existiert, so dass n = bd gilt; in Zeichen: d n. Natürlich gilt in diesem Fall auch b n; dabei heißt b der zu d komplementäre Teiler. Ansonsten ist d kein Teiler von n, was wir mit d n notieren. Beispielsweise gelten 2 100, , , 5 21.

5 4 Der euklidische Algorithmus Im Folgenden bezeichnen kleine lateinische Buchstaben stets ganze Zahlen. Wir sagen d teilt n oder d ist ein Teiler von n, wenn ein b existiert, so dass n = bd gilt; in Zeichen: d n. Natürlich gilt in diesem Fall auch b n; dabei heißt b der zu d komplementäre Teiler. Ansonsten ist d kein Teiler von n, was wir mit d n notieren. Beispielsweise gelten 2 100, , , 5 21.

6 4 Der euklidische Algorithmus Zur Teilbarkeit bestehen die folgenden Rechenregeln: 1 1 n und n n und d 0; 2 0 d d = 0; d 1 d = ±1; 3 d n,n m d m; 4 d a,d b d (ax + by) für alle x,y Z; 5 bd bn,b 0 d n (Kürzungsregel); 6 d n,n 0 d n ; 7 d n,n d d = ±n. Hierbei ist der Betrag x definiert als das Maximum von x und x.

13 4 Der euklidische Algorithmus Aus Rechenregel (vi) folgt, dass eine ganze Zahl 0 nur endlich viele Teiler besitzt. Damit besitzen a,b Z, nicht beide gleich Null, sogar einen größten gemeinsamen Teiler ggt(a,b) N, für den also gilt ggt(a,b) a und ggt(a,b) b; wenn d a und d b, dann d ggt(a,b). Wir setzen ggt(0,0) = 0. Gilt ggt(a,b) = 1, so nennen wir a und b teilerfremd. Beispielsweise ist also ggt(11,14) = 1, ggt(21,14) = 7, ggt(210,140) = 70.

17 4 Der euklidische Algorithmus Herr Müller erzählt seinem neuen Nachbarn, dass er drei Töchter habe. Wie alt sind die denn? möchte dieser wissen. Wenn ich ihre Alter multipliziere, so kommt 36 heraus, und wenn ich sie addiere, ergibt sich die Hausnummer dort drüben. Der Nachbar antwortet Schön und gut, aber damit weiß ich jedoch nicht sicher, wie alt Ihre Töchter sind. Daraufhin entgegnet Herr Müller Das stimmt, aber wissen Sie, meine älteste Tochter spielt Cello. Jetzt entgegnet der kluge neue Nachbar Danke, jetzt weiß ich Bescheid. Wie alt sind die Töchter?

21 4 Der euklidische Algorithmus Satz 4.1 (Division mit Rest) Zu a,b Z mit b 0 existieren eindeutig bestimmte ganze Zahlen q,r, so dass a = bq + r mit 0 r < b. Der Beweis ist konstruktiv! Korollar 4.2 Für a,b Z mit b 0 bezeichne d = ggt(a,b). Dann gilt d Z := {dk : k Z} = {ax + by : x,y Z}. Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen a,b lässt sich also als Linearkombination ax + by von a und b schreiben!

24 4 Der euklidische Algorithmus Rechenregeln für den größten gemeinsamen Teiler: 1 ggt(a,b) = ggt(b,a); 2 ggt(a, ggt(b, c)) = ggt(ggt(a, b), c); 3 ggt(ac,bc) = c ggt(a,b). Den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen berechnet man am einfachsten mit dem so genannten euklidischen Algorithmus. Dieses Verfahren besteht aus sukzessiver Division mit Rest. Beispiel: 42 = = = Der letzte nicht verschwindende Rest ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler: 1 = ggt(42, 37).

30 4 Der euklidische Algorithmus Satz 4.3 (Euklidischer Algorithmus) Zu gegebenen natürlichen Zahlen a und b mit a > b seien r 1 := a,r 0 := b und a = q 1 b + r 1, b = q 2 r 1 + r 2,... r j 2 = q j r j 1 + r j,... r n 2 = q n r n 1 + r n, r n 1 = q n+1 r n mit jeweils q j,r j Z und 0 r j < r j 1. Dann gilt für den letzten nicht verschwindenden Rest r n = ggt(a,b). Der euklidische Algorithmus ist eine arithmetische Form der geometrischen Wechselwegnahme.

31 4 Der euklidische Algorithmus Satz 4.3 (Euklidischer Algorithmus) Zu gegebenen natürlichen Zahlen a und b mit a > b seien r 1 := a,r 0 := b und a = q 1 b + r 1, b = q 2 r 1 + r 2,... r j 2 = q j r j 1 + r j,... r n 2 = q n r n 1 + r n, r n 1 = q n+1 r n mit jeweils q j,r j Z und 0 r j < r j 1. Dann gilt für den letzten nicht verschwindenden Rest r n = ggt(a,b). Der euklidische Algorithmus ist eine arithmetische Form der geometrischen Wechselwegnahme.

32 4 Der euklidische Algorithmus Den größten gemeinsamen Teiler bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache von mehr als zwei ganzen Zahlen erklärt man induktiv durch Zurückführen auf einen bereits erklärten größten gemeinsamen Teiler: usw. ggt(a,b,c) = ggt(a,ggt(b,c)) Zahlen a 1,...,a m heißen teilerfremd, wenn ggt(a 1,...,a m ) = 1 gilt; sie heißen paarweise teilerfremd, wenn ggt(a i,a j ) = 1 für alle 1 i,j m mit i j besteht. Letzteres impliziert ihre Teilerfremdheit, die Umkehrung gilt jedoch nicht, wie man sich leicht an folgendem Beispiel verdeutlichen kann: 6 = 2 3, 10 = 2 5, 15 = 3 5.

35 Resümee Division mit Rest ist ein konstruktives Verfahren, den Rest einer ganzen Zahl bei Division durch eine weitere ganze Zahl zu berechnen. Zwei ganze Zahlen besitzen einen eindeutig bestimmten größten gemeinsamen Teiler. Dieser berechnet sich effizient mit dem euklidischen Algorithmus (also iterierte Division mit Rest). Der euklidische Algorithmus erlaubt auch, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen als Linearkombination derselben darzustellen.

36 Resümee Division mit Rest ist ein konstruktives Verfahren, den Rest einer ganzen Zahl bei Division durch eine weitere ganze Zahl zu berechnen. Zwei ganze Zahlen besitzen einen eindeutig bestimmten größten gemeinsamen Teiler. Dieser berechnet sich effizient mit dem euklidischen Algorithmus (also iterierte Division mit Rest). Der euklidische Algorithmus erlaubt auch, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen als Linearkombination derselben darzustellen.

37 5 Lineare diophantische Gleichungen Gegeben sei die Reaktionsgleichung der alkoholischen Gärung (Fermentation) in den Unbekannten X, Y, Z: X C 6 H 12 O 6 Y C 2 H 5 OH+Z CO 2 (Glukose Ethanol + Kohlendioxid). Welche ganzzahligen Werte x, y, z können hier gewählt werden? Offensichtlich liefert jeder auftretende Atomtyp eine separate lineare Gleichung: C : 6X = 2Y + Z H : 12X = 6Y O : 6X = Y + 2Z

38 5 Lineare diophantische Gleichungen Gegeben sei die Reaktionsgleichung der alkoholischen Gärung (Fermentation) in den Unbekannten X, Y, Z: X C 6 H 12 O 6 Y C 2 H 5 OH+Z CO 2 (Glukose Ethanol + Kohlendioxid). Welche ganzzahligen Werte x, y, z können hier gewählt werden? Offensichtlich liefert jeder auftretende Atomtyp eine separate lineare Gleichung: C : 6X = 2Y + Z H : 12X = 6Y O : 6X = Y + 2Z

39 5 Lineare diophantische Gleichungen Bei diophantischen Gleichungen handelt es sich um polynomielle Gleichungen mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten, die in ganzen oder rationalen Zahlen gelöst werden sollen. Diese Fragestellung geht auf den griechischen Mathematiker Diophant zurück. Wir hatten Beispiele linearer diophantischer Gleichungen bereits in 0 kennengelernt: Welche Punkte auf einer Geraden wie etwa haben ganzzahlige Koordinaten? 2X 5Y = 0

40 5 Lineare diophantische Gleichungen Bei diophantischen Gleichungen handelt es sich um polynomielle Gleichungen mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten, die in ganzen oder rationalen Zahlen gelöst werden sollen. Diese Fragestellung geht auf den griechischen Mathematiker Diophant zurück. Wir hatten Beispiele linearer diophantischer Gleichungen bereits in 0 kennengelernt: Welche Punkte auf einer Geraden wie etwa haben ganzzahlige Koordinaten? 2X 5Y = 0

41 5 Lineare diophantische Gleichungen Satz 5.1 (Bézout) Die lineare Gleichung ax + by = c mit ganzen Zahlen a,b,c ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn der ggt(a,b) ein Teiler von c ist; in diesem Fall ist die Menge der ganzzahligen Lösungen gegeben durch (x,y) = (x 0,y 0 )+ wobei (x 0,y 0 ) eine beliebige Lösung ist. m (b, a) für m Z, ggt(a,b)

42 5 Lineare diophantische Gleichungen Was ist zu tun, wenn eine lineare diophantische Gleichung in mehr als zwei Unbekannten zu lösen ist? Ein Beispiel: Wir schreiben 106X 333Y + 5Z = 11. X = αu + 333V und Y = βu + 106V mit neuen Unbekannten U und V sowie irgendwelchen ganzzahligen α, β, welche der Gleichung 106α 333β = 1 genügen. Wir lösen diese lineare diophantischen Gleichung in zwei Unbekannten mit etwa α = 22 und β = 7.

46 5 Lineare diophantische Gleichungen Durch Einsetzen der Substitute X = 22U + 333V,Y = 7U + 106V in die Ausgangsgleichung ergibt sich 11 = 106(22U + 333V) 333(7U + 106V)+5Z = ( }{{} )U +( }{{} )V + 5Z = U + 5Z. =1 =0 Dies ist wiederum eine lineare diophantische Gleichung in zwei Unbekannten; wir lösen diese durch (u,z) = (1,2)+(5, 1)w mit w Z. Damit folgt nun durch Einsetzen unter Berücksichtigung unserer Wahl von α und β x = 22(1+5w)+333v, y = 7(1+5w)+106v, z = 2 w

47 5 Lineare diophantische Gleichungen Durch Einsetzen der Substitute X = 22U + 333V,Y = 7U + 106V in die Ausgangsgleichung ergibt sich 11 = 106(22U + 333V) 333(7U + 106V)+5Z = ( }{{} )U +( }{{} )V + 5Z = U + 5Z. =1 =0 Dies ist wiederum eine lineare diophantische Gleichung in zwei Unbekannten; wir lösen diese durch (u,z) = (1,2)+(5, 1)w mit w Z. Damit folgt nun durch Einsetzen unter Berücksichtigung unserer Wahl von α und β x = 22(1+5w)+333v, y = 7(1+5w)+106v, z = 2 w

48 5 Lineare diophantische Gleichungen bzw. in kurzer Vektorenschreibweise (x,y,z) = (22,7,2) +(110,35, 1)w +(333,106,0)v mit beliebigen w,v Z. Unsere Strategie besteht also darin, die lineare diophantische Gleichung in drei Unbekannten durch geschickte Substitutionen auf lineare diophantische Gleichungen in zwei Unbekannten zurückzuführen!

49 5 Lineare diophantische Gleichungen bzw. in kurzer Vektorenschreibweise (x,y,z) = (22,7,2) +(110,35, 1)w +(333,106,0)v mit beliebigen w,v Z. Unsere Strategie besteht also darin, die lineare diophantische Gleichung in drei Unbekannten durch geschickte Substitutionen auf lineare diophantische Gleichungen in zwei Unbekannten zurückzuführen!

50 Resümee Bei diophantischen Gleichungen werden ganzzahlige Lösungen gesucht. Über die Lösbarkeit entscheidet der Satz von Bézout. Lineare diophantische in zwei Unbekannten löst man mit dem euklidischen Algorithmus rückwärts. Lineare diophantische Gleichungen in drei Unbekannten lassen sich auf lineare diophantische Gleichungen in zwei Unbekannten zurückführen.

51 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Eine natürliche Zahl n > 1 heißt Primzahl oder kurz prim, wenn sie nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (innerhalb der Menge N); ansonsten nennt man n zusammengesetzt. Das Auffinden der ersten Primzahlen ist nicht besonders schwierig: 2,3,5,7,11,13,17,...,30449,... Die größte zur Zeit bekannte Primzahl ist Diese Zahl hat mehr als 22 Millionen Stellen und wurde im Februar 2016 im Rahmen des GIMPS-Projektes gefunden. Die Primzahlen sind die multiplikativen Atome aus denen alle natürlichen Zahlen im Wesentlichen sogar alle ganzen Zahlen aufgebaut sind; z.b.: 2016 = und 2017 ist prim.

55 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Lemma 6.1 (Lemma von Euklid). Teilt eine Primzahl p ein Produkt ganzer Zahlen, so teilt sie mindestens einen der Faktoren: p ab p a oder p b. Die Aussage des euklidschen Lemmas ist falsch für zusammengesetzte Zahlen: Beispielsweise teilt 6 das Produkt 2 3, jedoch keinen der Faktoren. Insofern charakterisiert das Lemma von Euklid sogar Primzahlen!

56 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Lemma 6.1 (Lemma von Euklid). Teilt eine Primzahl p ein Produkt ganzer Zahlen, so teilt sie mindestens einen der Faktoren: p ab p a oder p b. Die Aussage des euklidschen Lemmas ist falsch für zusammengesetzte Zahlen: Beispielsweise teilt 6 das Produkt 2 3, jedoch keinen der Faktoren. Insofern charakterisiert das Lemma von Euklid sogar Primzahlen!

57 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Satz 6.2 (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Exponenten ν p (n) N 0, so dass folgende Produktdarstellung besteht: n = p p νp(n). Diese Produktdarstellung heißt eindeutige Primfaktorzerlegung. Hierbei läuft das Produkt über alle Primzahlen. Höchstens endlich viele Exponenten ν p (n) sind hier verschieden von null und nur aus diesen Primzahlen sind die Teiler von n zusammengesetzt; für n = 1 verschwinden alle Exponenten und das Produkt ist leer. Z.B.: 2016 =

58 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Satz 6.2 (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Exponenten ν p (n) N 0, so dass folgende Produktdarstellung besteht: n = p p νp(n). Diese Produktdarstellung heißt eindeutige Primfaktorzerlegung. Hierbei läuft das Produkt über alle Primzahlen. Höchstens endlich viele Exponenten ν p (n) sind hier verschieden von null und nur aus diesen Primzahlen sind die Teiler von n zusammengesetzt; für n = 1 verschwinden alle Exponenten und das Produkt ist leer. Z.B.: 2016 =

59 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Eine Konsequenz: Für die Zahlen a und b mit jeweiligen Primfaktorzerlegungen a = p p νp(a) bzw. b = p p νp(b) gilt ggt(a,b) = p p min{νp(a),νp(b)}. Z.B.: ggt(2 3 5,3 2 17) = 3

60 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Eine Konsequenz: Für die Zahlen a und b mit jeweiligen Primfaktorzerlegungen a = p p νp(a) bzw. b = p p νp(b) gilt ggt(a,b) = p p min{νp(a),νp(b)}. Z.B.: ggt(2 3 5,3 2 17) = 3

61 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Satz 6.3 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl π(x) der Primzahlen p x bei wachsendem x ungefähr von der Größenordnung π(x) x log x ist. Damit ist die n-te Primzahl p n in etwa p n n log n.

62 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Satz 6.3 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl π(x) der Primzahlen p x bei wachsendem x ungefähr von der Größenordnung π(x) x log x ist. Damit ist die n-te Primzahl p n in etwa p n n log n.

63 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Wir streichen sukzessive die echten Vielfachen der Primzahlen aus einer Liste der natürlichen Zahlen größer eins: / 7 8 9/ 10 \ / x 15/\ / \ 21/ x / 25\ 26 27/ 28 x /\ / 34 35\ x 36 / / 40 \ / x /\ / 49 x 50 \ 51/ / 55\ 56 x 57/ /\ / x 64 65\ 66 / / 70 \ x / /\ x 78 / \ 81/ / x 85\ 86 87/ /\ 91 x 92 93/ 94 95\ 96 / /... Genau die Primzahlen bleiben. Dies ist das Sieb des Eratosthenes.

66 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Die unbewiesene Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es unendlich viele Pärchen von Primzahlen der Form p,p + 2 gibt. Beispiele solcher Primzahlzwillinge findet man schnell: 3 & 5, 5 & 7, 11 & 13, 17 & 19,..., 101 & 103,... Die größten zur Zeit bekannten Primzahlzwillinge sind ± 1. Ebenfalls ungelöst ist die Goldbachsche Vermutung, die besagt, dass jede gerade Zahl 4 sich als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Für explizit gegebene Zahlen ist diese leicht zu verifizieren, z.b. 10 = 3+7, = 5+5. Tatsächlich scheint dieses Problem sogar einfacher zu werden, je größer die Zahl ist, die in Primzahlen zerlegt werden soll; z.b.: 100 = 3+97, = 11+89, = 17+83, = 29+71,....

67 6 Primzahlen die multiplikativen Bausteine Die unbewiesene Primzahlzwillingsvermutung besagt, dass es unendlich viele Pärchen von Primzahlen der Form p,p + 2 gibt. Beispiele solcher Primzahlzwillinge findet man schnell: 3 & 5, 5 & 7, 11 & 13, 17 & 19,..., 101 & 103,... Die größten zur Zeit bekannten Primzahlzwillinge sind ± 1. Ebenfalls ungelöst ist die Goldbachsche Vermutung, die besagt, dass jede gerade Zahl 4 sich als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt. Für explizit gegebene Zahlen ist diese leicht zu verifizieren, z.b. 10 = 3+7, = 5+5. Tatsächlich scheint dieses Problem sogar einfacher zu werden, je größer die Zahl ist, die in Primzahlen zerlegt werden soll; z.b.: 100 = 3+97, = 11+89, = 17+83, = 29+71,....

68 Resümee Primzahlen sind die multiplikativen Atome der ganzen Zahlen. Der Fundamentalsatz der Arithmetik zeigt, dass sich jede natürliche Zahl ein eindeutiges Produkt von Primzahlpotenzen ist. Wie bereits Euklid zeigte, gibt es ihrer unendlich viele und mit dem Sieb des Eratosthenes lassen sie sich lokalisieren. Es gibt zahlreiche unbewiesene Vermutungen zu Primzahlen (z.b. ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt), die oftmals auf einer additiven Verknüpfung dieser multiplikativen Bausteine basieren.

71 7 Algebraische Strukturen Eine Gruppe ist ein Paar (G, ) bestehend aus einer Menge G, versehen mit einer Verknüpfung : G G G, (a,b) a b, die folgenden Axiomen genügt: Assoziativität: (a b) c = a (b c) für alle a,b,c G; Existenz eines neutralen Elementes: Es gibt ein e G mit a e = e a = a für alle a G; Existenz eines inversen Elements: Zu jedem a G existiert ein x G mit a x = x a = e. Eine Gruppe (G, ) heißt kommutativ (bzw. abelsch), wenn zusätzlich gilt a b = b a für alle a,b G. Ist aus dem Kontext klar, um welche Verknüpfung es sich handelt, so notieren wir die entsprechende Gruppe auch kurz mit G.

78 7 Algebraische Strukturen Beispiele und Gegenbeispiele: N ist weder mit der Addition noch mit der Multiplikation eine Gruppe (z.b. besitzt 2 kein Inverses in N). Z ist eine abelsche Gruppe mit der Addition, jedoch keine Gruppe mit der Multiplikation (wiederum besitzt 2 kein multiplikativ Inverses). Q bzw. R sind abelsche Gruppen mit der Addition und Q bzw. R mit der Multiplikation; hierbei bedeutet das angehängte Sternchen, dass wir jeweils die Null entfernen; z.b.: Q := Q\{0}.

81 7 Algebraische Strukturen In einer Gruppe G ist sowohl das neutrale Element e als auch das Inverse eines gegebenen Gruppenelements a eindeutig bestimmt; im Falle einer additiven Gruppe notieren wir dieses Inverse oft mit a und im Fall einer multiplikativen Gruppe mit a 1. Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes zeigt sich (im Falle einer multiplikativen Gruppe) wie folgt: Angenommen, es gibt Elemente e,e G mit a e = e a = a = e a = a e für ein beliebiges a G, so folgte nach Verknüpfung mit einem Inversen a 1 von a sofort e = a 1 a e = a 1 a e = e. Die Eindeutigkeit des Inversen zeigt man mit einem ähnlichen Argument.

82 7 Algebraische Strukturen In einer Gruppe G ist sowohl das neutrale Element e als auch das Inverse eines gegebenen Gruppenelements a eindeutig bestimmt; im Falle einer additiven Gruppe notieren wir dieses Inverse oft mit a und im Fall einer multiplikativen Gruppe mit a 1. Die Eindeutigkeit des neutralen Elementes zeigt sich (im Falle einer multiplikativen Gruppe) wie folgt: Angenommen, es gibt Elemente e,e G mit a e = e a = a = e a = a e für ein beliebiges a G, so folgte nach Verknüpfung mit einem Inversen a 1 von a sofort e = a 1 a e = a 1 a e = e. Die Eindeutigkeit des Inversen zeigt man mit einem ähnlichen Argument.

83 7 Algebraische Strukturen Auf Grund eben dieser Eindeutigkeiten ergeben sich folgende Regeln: (a b) 1 = b 1 a 1, (a 1 ) 1 = a (denn (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1 ) a 1 = a e a 1 = e) sowie a 1 (a 1 ) 1 } = e a 1 und also a = (a 1 ) 1. a = e Im Falle von multiplikativen Verknüpfungen schreiben wir auch ab statt a b. Per Induktion verifiziert man dann die wohlbekannten Potenzregeln: a m+n = a m a n und (a m ) n = a mn für alle m,n Z.

84 7 Algebraische Strukturen Auf Grund eben dieser Eindeutigkeiten ergeben sich folgende Regeln: (a b) 1 = b 1 a 1, (a 1 ) 1 = a (denn (a b) (b 1 a 1 ) = a (b b 1 ) a 1 = a e a 1 = e) sowie a 1 (a 1 ) 1 } = e a 1 und also a = (a 1 ) 1. a = e Im Falle von multiplikativen Verknüpfungen schreiben wir auch ab statt a b. Per Induktion verifiziert man dann die wohlbekannten Potenzregeln: a m+n = a m a n und (a m ) n = a mn für alle m,n Z.

85 7 Algebraische Strukturen Die Anzahl der Elemente einer Gruppe nennt man die Ordnung der Gruppe; besitzt die Gruppe unendlich viele Elemente, so hat sie unendliche Ordnung. Ein Beispiel einer endlichen Gruppe ist gegeben durch die Menge {G,U}, wobei G := {..., 4, 2,0,2,4,6,...}, U := {..., 5, 3, 1,1,3,5,...} die Mengen der geraden bzw. ungeraden Zahlen sind und die Verknüpfung die durch definierte Multiplikation ist. G = G G = U U, U = G U = U G

86 7 Algebraische Strukturen Die Anzahl der Elemente einer Gruppe nennt man die Ordnung der Gruppe; besitzt die Gruppe unendlich viele Elemente, so hat sie unendliche Ordnung. Ein Beispiel einer endlichen Gruppe ist gegeben durch die Menge {G,U}, wobei G := {..., 4, 2,0,2,4,6,...}, U := {..., 5, 3, 1,1,3,5,...} die Mengen der geraden bzw. ungeraden Zahlen sind und die Verknüpfung die durch definierte Multiplikation ist. G = G G = U U, U = G U = U G

87 7 Algebraische Strukturen Ein Ring ist ein Tripel, bestehend aus einer Menge R versehen mit zwei Verknüpfungen + : R R R und : R R R (a,b) a+b (a,b) a b so dass mit den üblichen Rechengesetzen (R,+) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 und (R \{0}, ) eine multiplikativ abgeschlossene Menge ist. Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein multiplikativ neutrales Element 1, so handelt es sich um einen kommutativen Ring mit Einselement.

88 7 Algebraische Strukturen Ein Ring ist ein Tripel, bestehend aus einer Menge R versehen mit zwei Verknüpfungen + : R R R und : R R R (a,b) a+b (a,b) a b so dass mit den üblichen Rechengesetzen (R,+) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0 und (R \{0}, ) eine multiplikativ abgeschlossene Menge ist. Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein multiplikativ neutrales Element 1, so handelt es sich um einen kommutativen Ring mit Einselement.

89 7 Algebraische Strukturen Bzgl. der Addition müssen also die folgenden Regeln erfüllt sein: Für alle a,b,c R ist (i) Assoziativität: (a+b)+c = a+(b + c); (ii) Kommutativität: a+b = b+a; (iii) Existenz der Null: 0+a = a+0 = a; (iv) Existenz der add. Inversen: Zu jedem a R gibt es (genau) ein Element x R mit x + a = 0; wir schreiben hierfür x = a.

93 7 Algebraische Strukturen Und bzgl. der Multiplikation haben die folgenden Regeln zu gelten: Für alle a,b,c R ist (v) Assoziativität: (a b) c = a (b c); (vi) Distributivgesetz: (a+b) c = (a c)+(b c); Und bei einem kommutativen Ring mit Einselement zusätzlich (vii) Kommutativität: a b = b a; (viii) Existenz der Eins: 1 a = a 1 = a.

97 7 Algebraische Strukturen Offensichtlich sind diese Regeln für die Menge der ganzen Zahlen erfüllt, also ist Z bzgl. üblicher Addition + und Multiplikation ein kommutativer Ring. Hingegen ist etwa N 0 kein Ring, da z.b. zu a = 1 kein additives Inverses existiert. Ringe können ungewohnte Eigenschaften haben: So ist es möglich, dass für ein Produkt von Ringelementen a,b die Gleichung ab = 0 besteht, ohne dass notwendig einer der Faktoren a,b gleich null sein muss. Gutartige Ringe R sind jedoch meist nullteilerfrei; dieses Adjektiv wird vergeben, wenn für beliebige a,b R gilt: ab = 0 a = 0 oder b = 0. Ein Beispiel für einen nullteilerfreien, kommutativen Ring ist der Ring der ganzen Zahlen Z.

98 7 Algebraische Strukturen Offensichtlich sind diese Regeln für die Menge der ganzen Zahlen erfüllt, also ist Z bzgl. üblicher Addition + und Multiplikation ein kommutativer Ring. Hingegen ist etwa N 0 kein Ring, da z.b. zu a = 1 kein additives Inverses existiert. Ringe können ungewohnte Eigenschaften haben: So ist es möglich, dass für ein Produkt von Ringelementen a,b die Gleichung ab = 0 besteht, ohne dass notwendig einer der Faktoren a,b gleich null sein muss. Gutartige Ringe R sind jedoch meist nullteilerfrei; dieses Adjektiv wird vergeben, wenn für beliebige a,b R gilt: ab = 0 a = 0 oder b = 0. Ein Beispiel für einen nullteilerfreien, kommutativen Ring ist der Ring der ganzen Zahlen Z.

99 7 Algebraische Strukturen Ein Ring K, in dem K\{0} mit der Multiplikation eine kommutative Gruppe ist und die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation verschieden sind, nennt man Körper; zusätzlich zu den Ringaxiomen (i)-(viii) gilt also dann noch (ix) Für beliebige a,b K, wobei a 0, gibt es (genau) ein Element x K mit a x = b; man schreibt x = ba 1 = a 1 b. Körper zeichnen sich u.a. dadurch aus, dass jedes Element 0 ein multiplikatives Inverses besitzt. Die Menge Z ist also kein Körper, hingegen sind der Quotient Q der rationalen Zahlen und die Menge R der reellen Zahlen Körper.

102 7 Algebraische Strukturen Ein exotisches Beispiel eines Körpers ist gegeben durch die Menge Q( 2) := {a+b 2 : a,b Q} der Linearkombinationen von 1 und 2 mit rationalen Koeffizienten, ausgestattet mit der üblichen Addition und Multiplikation. Damit ist Q( 2) eine Teilmenge von R und enthält Zahlen wie z.b. 2, 3 5, 2, und ( ) 3 und viele mehr. Für diese Zahlen gelten mit beliebigen a,b,c,d Q die Verknüpfungen (a+b 2)+(c + d 2) := a+ c +(b + d) 2 und ((mittels 2 2 = 2) (a+b 2) (c + d 2) := ac + 2bd +(ad + bc) 2.

103 Resümee Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge zusammen mit einer Verknüpfung und einer gewissen Struktur (wie z.b. die Existenz eines Inversen). Aufgrund der Abstraktheit dieses Begriffes treten Gruppen in verschiedenen Kontexten auf. (Bsp.: (Z,+)) Ein Ring ist eine nicht-leere Menge mit zwei Verknüpfungen; bzgl. der Addition liegt eine kommutative Gruppe vor und bzgl. der Multiplikation eine abgeschlossene Menge mit den üblichen Rechengesetzen. Ist die Multiplikation kommutativ und existiert ein multiplikativ neutrales Element, so handelt es sich um einen kommutativen Ring mit Einselement. (Bsp.: (Z,+, )) Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, bei dem alle Elemente bis auf das neutrale Element 0 eine kommutative multiplikative Gruppe bilden. (Bsp.: (Q, +, ))