Von Primzahlen und Pseudoprimzahlen

Transkript

1 1 Von Primzahlen und Pseudoprimzahlen Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 23. Tag der Mathematik 21. April 2018, Technische Universität Berlin

2 Primzahlen 2 Warum sind Primzahlen interessant? Definition: Primzahlen sind natürliche Zahlen größer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Die ersten Primzahlen: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,...} Es gibt unendlich viele Primzahlen (Beweis von Euklid) Eindeutige Faktorisierung: n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k

3 Primzahlen 3 Anwendungen für Primzahlen Public-Key-Verschlüsselungsverfahren Zwei große Primzahlen p und q. Berechnung von n = p q ist einfach Zerlegung (Faktorisierung) von n ist schwer. Information bleibt erhalten, ist aber schwer zugänglich. Im Gegensatz zur Addition zweier Zahlen. Ziel: Berechne schnell viele große Primzahlen. Was ist viel? Am besten alle Primzahlen der Reihe nach. Was ist groß? 256 Binärstellen 80 Dezimalstellen. Was ist schnell? Hunderte pro Sekunde.

4 Primzahlen 4 Interessante Fragen zu Primzahlen Berechnung (schnell) aller Primzahlen der Reihe nach. (Finde eine Primzahlformel.) hoffnungslos! Berechnung von unendlich vielen großen Primzahlen, möglicherweise mit Lücken. Berechnung (schnell) aller Primzahlen der Reihe nach, möglicherweise aber noch weitere Nicht-Primzahlen.

5 Große Primzahlen 5 Euklidische Primzahlen p 1 p n + 1 = x ist Primzahl? = = = = = = = p 1 p n 1 = x ist Primzahl? 2 1 = = = = 209 = Gibt es unter diesen Zahlen unendlich viele Primzahlen? Das ist eins von vielen ungelösten Problemen mit Primzahlen.

6 Große Primzahlen 6 Mersenne Primzahlen Zahlen der Form 2 p 1 mit p P sind einfach zu testen (Binärz.) 2 a b 1 ist stets zusammengesetzt, z.b = (2 3 1)( ) p Nr. von p in P 2 p 1 Faktoren Nr. in M prim prim prim prim prim prim prim prim 8

7 Große Primzahlen 7 Mersenne Primzahlen 2 p 1 M (Fortsetzung) Nr. in M Exp. p Stellen von 2 p 1 Nr. von p in P Jahr ? ? ? Es gibt immer eine aktuell größte bekannte Primzahl, eine Mersennsche.

8 Große Primzahlen 8 Fermatsche Primzahlen Pierre de Fermat ( ) Primzahlen der Form F k = 2 2k + 1, k = 0, 1, 2,... F 0 = = 3, F 1 = = 5 F 2 = = 17, F 3 = = 257 F 4 = = Fermat: 2 2k + 1 ist stets Primzahl. F 5 = = = (L. Euler 1732) F 5 F 11 vollständig faktorisiert F 33 = =... prim??? F = =... = ( ) (Juli 2014) Gauß (1796): Konstruktion eines 2 2k + 1-Ecks (am Beispiel 17)

9 Pseudoprimzahlen 9 Was sind Pseudoprimzahlen? Berechne alle Primzahlen mit ( Theorem)? Satz (Def.): n P k P, k < n : k n Satz von Wilson: n P n (n 1) + 1 Theorem: n P n ( n k ) k = 1,..., n 1 Berechne alle Primzahlen mit (= Theorem)? p P = p erfüllt Eigenschaft A(p) n erfüllt Eigenschaft A(n) = n P Solche n P, die die Eigenschaft A(n) haben heißen Pseudoprimzahlen bezüglich der Eigenschaft A(n). Ziel: Bei einfacher Berechnung möglichst wenig Pseudoprimzahlen.

10 Pseudoprimzahlen 10 Eine Eigenschaft von Binomialkoeffizienten ( ) p p(p 1) (p k + 1) = k 1 2 k ( ) p Satz: Falls p P, dann p für k = 1,..., p 1. k ( ) p Beweis: p k! = p(p 1) (p k + 1) k Lemma: Falls p P: p a b, dann p a oder p b. ( ) ( ) p p Also: p teilt oder k!. Wegen k < p folgt p. k k

11 Pseudoprimzahlen 11 Binomialkoeffizient ( ) p p(p 1) (p k + 1) = k 1 2 k Das Pascalsche Dreieck

12 Pseudoprimzahlen 12 Binomischer Satz (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 (a + b) n = a n + ( n 1 ) a n 1 b + f n = (a + b) n a n b n = Satz: Falls p P, dann p f p ( n 2 ) a n 2 b 2 + ( n 3 ) a n 3 b b n ( ) ( ) n n a n 1 b ab n 1 1 n 1

13 Fermatsche Pseudoprimzahlen n a n a? 13 Kleiner Satz von Fermat f n = (a + b) n a n b n = Satz: Falls p P, dann p f p Beispiel: a = b = 1 = f n = 2 n 2 Folgerung: Falls p P, dann p 2 p 2 ( ) ( ) n n a n 1 b ab n 1 1 n 1 Kleiner Satz von Fermat: p P dann p a p a für alle a N. Gibt es Zahlen, die die Umkehrung nicht erfüllen? Wenn ja, dann hoffentlich nur wenige! D.h. n 2 n 2 aber n P? Solche Zahlen heißen Fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis a = 2

14 Fermatsche Pseudoprimzahlen n a n a? 14 Die Basis a = 2 n 2 n 2 n teilt 2 n 2? n ist Primzahl? 2 2 ja! ja! 3 6 ja! ja! 4 14 nein! nein! 5 30 ja! ja! 6 62 nein! nein! ja! ja! (103 Stellen) ja! nein! 341 = (169 Stellen) ja! nein! 561 = (195 Stellen) ja! nein! 645 = Bis 1000 gibt es drei Pseudoprimzahlen (bei 168 Primzahlen) Bis gibt es 78 Pseudoprimzahlen (bei 9592 Primzahlen). Etwa jede 123-te ist falsch.

15 Fermatsche Pseudoprimzahlen n a n a? 15 Basis a Anzahl Anzahl der PP pro Basis bis n = Basis Anzahl Basis Anzahl

16 Fermatsche Pseudoprimzahlen n a n a? 16 Carmichael-Zahlen Gibt es Nicht-Primzahlen die den Test: n teilt a n a zu allen Basen a bestehen? Ja! 561 ist die kleinste. Bis gibt es 16 Stück. Carmichael-Zahl Primfaktoren Carmichael-Zahl Primfaktoren Heute ist bekannt: Es gibt unendlich viele Carmichael-Zahlen.

17 Lucassche Pseudoprimzahlen 17 Verallgemeinerungen Gibt es Verallgemeinerungen? Wie wissen: Wenn p P, dann teilt p (a + b) p (a p + b p ) = ( ) p a p 1 b + 1 ( ) p a p 2 b ( ) p a p 3 b Wir setzen a = und b = (keine natürlichen Zahlen). Aber (a p + b p ) (a + b) p sollte eine ganze Zahl sein. Es sei L n = ( 1 + ) n ( 5 1 ) n Wenn p P, dann ist (a p + b p ) (a + b) p = L p 1 teilbar durch p.

18 Lucassche Pseudoprimzahlen 18 Die Lucas-Folge Die Folge L n = ( 1 + ) n ( 5 1 ) n heißt Lucas-Folge (nach Edouard Lucas). Die ersten Werte: (L n ) n=0 = 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521,... Wir stellen fest: L n = L n 1 + L n 2 (rekursives Bildungsgesetz). Fibonacci-Folge: Auch F n = F n 1 + F n 2, aber andere F 0, F 1 (F n ) n=0 = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Pseudoprimzahlen? Ja, die kleinste aber erst n = 705 = L = (148-stellige Zahl) ist durch 705 teilbar.

19 Lucassche Pseudoprimzahlen Lucas-Pseudoprimzahlen bis Lucas-Zahl Primfaktoren Lucas-Zahl Primfaktoren

20 Perrinsche Pseudoprimzahlen 20 Noch bessere Folgen? Weitere Verallgemeinerung! (a + b) n = (a + b + c) n (a + b + c) n = a n + b n + c n (i + j + k)! + a i b j c k i! j! k! i+j+k=n Trinomische Formel. Trinomial-/Multinomial-Koeffizienten stehen im/in der Pascalschen Tetraeder/Pyramide. Es seien a, b, c a p + b p + c p (a + b + c) p 0 (mod p) a = b = c =

21 Perrinsche Pseudoprimzahlen 21 Die Perrin-Folge a, b, c seien a = b = c = = a + b + c = 0 Die Folge P n = a n + b n + c n (a + b + c) n = a n + b n + c n heißt Perrin-Folge. Die ersten Werte (alle ganzzahlig!) sind (P n ) n=0 = 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... Einfaches rekursives Bildungsgesetz: P n = P n 2 + P n 3

22 Perrinsche Pseudoprimzahlen 22 Berechnung der Primzahlen n P n n teilt P n? n ist Primzahl? 2 2 ja! ja! 3 3 ja! ja! 4 2 nein! nein! 5 5 ja! ja! 6 5 nein! nein! 7 7 ja! ja! 8 10 nein! nein! 9 12 nein! nein! nein! nein! ja! ja! nein! nein! ja! ja! Unter den ersten Zahlen keine Perrin-Pseudoprimzahlen!

23 Perrinsche Pseudoprimzahlen 23 Gibt es überhaupt Perrin-Pseudoprimzahlen Ja! Die kleinste ist = P hat Dezimalstellen. 17 Perrin-Pseudoprimzahlen bis 10 9 bei Primzahlen = = = = = = = = = = = = = = = = =

24 Perrinsche Pseudoprimzahlen Perrin-Pseudoprimzahlen bis = = = = = = = = = P hat Dezimalstellen. Das sind etwa 5 TByte für eine Zahl.

25 Perrinsche Pseudoprimzahlen 25 Was muß noch geklärt werden? Wann klappt der Trick auch bei reellen oder komplexen Zahlen? Warum sind die P n ganzzahlig? Warum kann man die P n rekursiv berechnen? Wie testet man schnell eine Perrin-Zahl?

26 Perrinsche Pseudoprimzahlen 26 Beweisidee I Wann ist f n = a n + b n + c n (a + b + c) n ganzzahlig? Wenn a, b, c Nullstellen eines Polynoms G(x) mit ganzzahligen Koeffizienten sind. (Satz von Vieta!) G(x) = (x a)(x b)(x c) = x 3 (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x abc = x 3 K 2 x 2 K 1 x K 0 Weil: Dann kann man f n als Funktion der K 0, K 1, K 2 darstellen. Stichwort: Elementarsymmetrische Polynome.

27 Perrinsche Pseudoprimzahlen 27 Beweisidee II Warum ist f p = a p + b p + c p (a + b + c) p durch p teilbar, wenn p Primzahl ist? f n = (a + b + c) n (a n + b n + c n ) = (i + j + k)! a i b j c k i! j! k! i+j+k=n Von den Multinomialkoeffizienten sind viele gleich (entspricht der Spiegelsymmetrie im Pascalschen Dreieck). Faßt man die zusammen, z.b. für i = 2, j = 4, k = 5 (das ergibt p = i + j + k = 11) ist Das ergibt 11! = 6930 = ! 4! 5! 6930(a 2 b 4 c 5 + b 2 c 4 a 5 + c 2 a 4 b 5 + a 2 c 4 b 5 + b 2 a 4 c 5 + c 2 b 4 a 5 ) Das kann man wieder als Funktion der K 0, K 1, K 2 darstellen. Stichwort: Symmetrische Polynome.

28 Perrinsche Pseudoprimzahlen 28 Beweiside III Warum kan man die f n rekursiv berechnen? Sind a, b, c Nullstellen des Polynoms x 3 K 2 x 2 K 1 x K 0, dann läßt sich f n = a n + b n + c n (mit geeigneten Anfangswerten) rekursiv als berechnen. f n+3 = K 2 f n+2 + K 1 f n+1 + K 0 f n Das sieht man, wenn man hier f n = x n setzt. Die geeigneten Anfangswerte der Folge f n sind f 0 = a 0 + b 0 + c 0 (a + b + c) 0 = 2 f 1 = a 1 + b 1 + c 1 (a + b + c) 1 = 0 f 2 = a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c) 2 = 2(ab + bc + ca) = K 2

29 Perrinsche Pseudoprimzahlen 29 Die größte Perrin-Pseudoprimzahl Die größte bekannte PPP (bis jetzt) ist (20-stellig) = Die größte bekannte PPP (ab jetzt) ist (255-stellig)

30 Perrinsche Pseudoprimzahlen 30 Zusammenfassung Siehe Oder Stephan WIAS googeln. Für mathematisch interessierte Schüler Da gibt es eine Listen von Perrin-Pseudoprimzahlen. Da gibt es eine Liste aller Primzahlen bis