Zufällige Tessellationen II :

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1 Zufällige Tessellationen II : David Neuhäuser Seminar: "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" Universität Ulm

2 Wiederholung Inhalt 1 Wiederholung Tessellation Zufällige Tessellation k-facetten 2 Motivation 3 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition normiertes Nesting

3 Wiederholung Tessellation Abbildung: versch. Tessellationen

4 Wiederholung Tessellation Tessellation Eine Tessellation τ im R 2 ist eine Folge von 2-dimensionalen Polytopen p n P = {p : p konvexes, kompaktes Polytop} mit :

5 Wiederholung Tessellation Tessellation Eine Tessellation τ im R 2 ist eine Folge von 2-dimensionalen Polytopen p n P = {p : p konvexes, kompaktes Polytop} mit : int p n1 int p n2 = n 1 n 2

6 Wiederholung Tessellation Tessellation Eine Tessellation τ im R 2 ist eine Folge von 2-dimensionalen Polytopen p n P = {p : p konvexes, kompaktes Polytop} mit : int p n1 int p n2 = n 1 n 2 n=1 p n = R 2

7 Wiederholung Tessellation Tessellation Eine Tessellation τ im R 2 ist eine Folge von 2-dimensionalen Polytopen p n P = {p : p konvexes, kompaktes Polytop} mit : int p n1 int p n2 = n 1 n 2 n=1 p n = R 2 χ(p n C ) <, C kompakte Menge n=1

8 Wiederholung Tessellation Tessellation Eine Tessellation τ im R 2 ist eine Folge von 2-dimensionalen Polytopen p n P = {p : p konvexes, kompaktes Polytop} mit : int p n1 int p n2 = n 1 n 2 n=1 p n = R 2 χ(p n C ) <, C kompakte Menge n=1 Dabei heißt p n τ Zelle der Tessellation τ.

9 Wiederholung Zufällige Tessellation Zufällige Tessellation Sei T die Familie aller Tessellationen im R 2. Eine Folge T = {P n } n 1 von zufälligen Polytopen P n heißt zufällige Tessellation, falls P({P n } n 1 T ) = 1.

10 Wiederholung Zufällige Tessellation Alternative Formulierung: ( als markierter Punktprozess)

11 Wiederholung Zufällige Tessellation Alternative Formulierung: ( als markierter Punktprozess) Assoziierter Punkt Markenraum notwendig : P = {P P : c(p) = 0}, wobei c: P R 2 eine messbare Abbildung mit c(p+x) = c(p)+x P P, x R 2 ; dabei heißt c(p) der zu P assoziierte Punkt

12 Wiederholung Zufällige Tessellation Alternative Schreibweise für eine Tessellation T = {P n } n 1 lässt sich schreiben als : X = {(c(p n ), P }{{} n c(p n ))} }{{} R 2 P

13 Wiederholung k-facetten k-facetten eines Polytops P im R 2

14 Wiederholung k-facetten k-facetten eines Polytops P im R 2 0-Facetten: Ecken von P T (0) = {E n } n 1 Eckenprozess

15 Wiederholung k-facetten k-facetten eines Polytops P im R 2 0-Facetten: Ecken von P T (0) = {E n } n 1 Eckenprozess 1-Facetten: Kanten von P T (1) = {K n } n 1 Kantenprozess

16 Wiederholung k-facetten k-facetten eines Polytops P im R 2 0-Facetten: Ecken von P T (0) = {E n } n 1 Eckenprozess 1-Facetten: Kanten von P T (1) = {K n } n 1 Kantenprozess 2-Facetten: Fläche von P T (2) = {P n } n 1 Zellenprozess

17 Inhalt 1 Wiederholung Tessellation Zufällige Tessellation k-facetten 2 Motivation 3 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition normiertes Nesting

18 Motivation Motivation Strassensysteme werden durch einfache Modelle wie PVT, PLT oder PDT nicht zufriedenstellend repräsentiert

19 Motivation Motivation Strassensysteme werden durch einfache Modelle wie PVT, PLT oder PDT nicht zufriedenstellend repräsentiert Naturparks, Seen, Flüsse usw. verursachen große Freiflächen in manchen Gebieten

20 Motivation Motivation Strassensysteme werden durch einfache Modelle wie PVT, PLT oder PDT nicht zufriedenstellend repräsentiert Naturparks, Seen, Flüsse usw. verursachen große Freiflächen in manchen Gebieten während woanders hingegen z.b. durch Nebenstrassen komplizierte Verästelungen auftreten

21 Motivation Motivation Strassensysteme werden durch einfache Modelle wie PVT, PLT oder PDT nicht zufriedenstellend repräsentiert Naturparks, Seen, Flüsse usw. verursachen große Freiflächen in manchen Gebieten während woanders hingegen z.b. durch Nebenstrassen komplizierte Verästelungen auftreten "Grenzübergänge" von Städten zu ländlichen Umgebungen

22 Motivation Abbildung: Reales Strassennetz in Nantes

23 Definition Iterierte Tessellation: Sei X 0 = {P n } n 1, {X n } n 1 mit X n = {P n,ν } ν 1 eine Folge zufälliger Tessellationen.Dann heißt X = {P n P n,ν : int P n int P n,ν } ν 1,n 1 iterierte zufällige Tessellation mit Ausgangstessellation X 0 und Komponententessellationen {X n } n 1.

24 Definition Iterierte Tessellation: Sei X 0 = {P n } n 1, {X n } n 1 mit X n = {P n,ν } ν 1 eine Folge zufälliger Tessellationen.Dann heißt X = {P n P n,ν : int P n int P n,ν } ν 1,n 1 iterierte zufällige Tessellation mit Ausgangstessellation X 0 und Komponententessellationen {X n } n 1. Wir untersuchen nun 2 grundlegende Modelle: Superposition und Nesting.

25 Superposition Hierfür seien X 0 = {P n } n 1, X 1 = X 2 = X 3 =... d.h. X n = X 1 = {P 1,ν } ν 1 n = 2, 3,... Dann heißt X = {P n P 1,ν : int P n int P 1,ν } X 0 /X 1 Superposition (kurz: X:= (X 0, X 1 ))

26 Superposition Hierfür seien X 0 = {P n } n 1, X 1 = X 2 = X 3 =... d.h. X n = X 1 = {P 1,ν } ν 1 n = 2, 3,... Dann heißt X = {P n P 1,ν : int P n int P 1,ν } X 0 /X 1 Superposition (kurz: X:= (X 0, X 1 )) Interpretation: Einfaches Übereinanderlegen von X 0 und X 1.

27 Abbildung: Superposition von PLT und PVT

28 Nesting Seien X 0, X 1, X 2,... iid.dann heißt X := I(X 0, X ) := {P n P n,ν : int P n int P n,ν } ν 1,n 1 X 0 /X 1 Nesting. Dabei ist X = {X 1, X 2,... }

29 Nesting Seien X 0, X 1, X 2,... iid.dann heißt X := I(X 0, X ) := {P n P n,ν : int P n int P n,ν } ν 1,n 1 X 0 /X 1 Nesting. Dabei ist X = {X 1, X 2,... } Interpretation: Jede Zelle von X 0 wird folgendermaßen weiter unterteilt: die erste durch X 1, die zweite durch X 2, usw.

30 Abbildung: PLT/PVT Nesting

31 Rückblick Anfang Kapitel 2: "Löcher"

32 Rückblick Anfang Kapitel 2: "Löcher" Ausweg: Bernoulli-Thinning bei Nesting

33 Rückblick Anfang Kapitel 2: "Löcher" Ausweg: Bernoulli-Thinning bei Nesting Bernoulli-Thinning bei Nesting Idee: Iteriere nur manche Zellen von X 0.

34 Rückblick Anfang Kapitel 2: "Löcher" Ausweg: Bernoulli-Thinning bei Nesting Bernoulli-Thinning bei Nesting Idee: Iteriere nur manche Zellen von X 0. Seien M 1, M 2,... : Ω {0, 1} iid und unabhängig von X 0, X 1, X 2,... Betrachte nun P(M n = 1) = p bzw. P(M n = 0) = 1 p als Füll- bzw. Löschwahrscheinlichkeiten.

35 Rückblick Anfang Kapitel 2: "Löcher" Ausweg: Bernoulli-Thinning bei Nesting Bernoulli-Thinning bei Nesting Idee: Iteriere nur manche Zellen von X 0. Seien M 1, M 2,... : Ω {0, 1} iid und unabhängig von X 0, X 1, X 2,... Betrachte nun P(M n = 1) = p bzw. P(M n = 0) = 1 p als Füll- bzw. Löschwahrscheinlichkeiten. Bemerkung: Falls p = 1 Ausgangs-Nesting

36 Abbildung: Bernoulli-Thinning bei PLT/PVT mit p = 0.75

37 Theorem Sei X eine iterierte, zufällige Tessellation mit X 0 als Ausgangstessellation und {X n } als Komponententessellationen.Ferner seien X 0, X 1, X 2,... iid und stationär (isotrop).dann ist X stationär (isotrop).

38 Theorem Sei X eine iterierte, zufällige Tessellation mit X 0 als Ausgangstessellation und {X n } als Komponententessellationen.Ferner seien X 0, X 1, X 2,... iid und stationär (isotrop).dann ist X stationär (isotrop). Annahme: Wir setzen ab sofort voraus, dass X 0, X 1, X 2,...

39 Theorem Sei X eine iterierte, zufällige Tessellation mit X 0 als Ausgangstessellation und {X n } als Komponententessellationen.Ferner seien X 0, X 1, X 2,... iid und stationär (isotrop).dann ist X stationär (isotrop). Annahme: Wir setzen ab sofort voraus, dass X 0, X 1, X 2,... stationär und

40 Theorem Sei X eine iterierte, zufällige Tessellation mit X 0 als Ausgangstessellation und {X n } als Komponententessellationen.Ferner seien X 0, X 1, X 2,... iid und stationär (isotrop).dann ist X stationär (isotrop). Annahme: Wir setzen ab sofort voraus, dass X 0, X 1, X 2,... stationär und isotrop sind.

41 Facettenintensitäten einer IRT: Sei im Folgenden:

42 Facettenintensitäten einer IRT: Sei im Folgenden: λ (0) i die jeweilige Eckenintensität,

43 Facettenintensitäten einer IRT: Sei im Folgenden: λ (0) i λ (1) i die jeweilige Eckenintensität, die jeweilige Intensität der Kantenmittelpunkte,

44 Facettenintensitäten einer IRT: Sei im Folgenden: λ (0) i λ (1) i λ (2) i die jeweilige Eckenintensität, die jeweilige Intensität der Kantenmittelpunkte, die jeweilige Intensität der Zellenschwerpunkte und

45 Facettenintensitäten einer IRT: Sei im Folgenden: λ (0) i λ (1) i λ (2) i λ (3) die jeweilige Eckenintensität, die jeweilige Intensität der Kantenmittelpunkte, die jeweilige Intensität der Zellenschwerpunkte und i = λ (1) i erwartete Länge der typ. Kante von X i wobei i {0, 1}.

46 Superposition: λ (0) = λ (0) 0 + λ (0) π λ(3) 0 λ(3) 1 λ (1) = λ (1) 0 + λ (1) π λ(3) 0 λ(3) 1 λ (2) = λ (2) 0 + λ (2) π λ(3) 0 λ(3) 1 λ (3) = λ (3) 0 + λ (3) 1

47 Nesting mit Bernoulli: λ (0) = λ (0) 0 + pλ (0) 1 + 4p π λ(3) 0 λ(3) 1 λ (1) = λ (1) 0 + pλ (1) 1 + 6p π λ(3) 0 λ(3) 1 λ (2) = λ (2) 0 + pλ (2) 1 + 2p π λ(3) 0 λ(3) 1 λ (3) = λ (3) 0 + pλ (3) 1

48 Abbildung: λ (0), λ (1), λ (2), λ (3) in Abhängigkeit von γ

49 Abbildung: λ (0), λ (1), λ (2), λ (3) in Abhängigkeit von γ 0 und γ 1 bei Nesting

50 Nun sind wir in der Lage, ein gutes Modell für die Realität zu bilden:

51 Nun sind wir in der Lage, ein gutes Modell für die Realität zu bilden: Zur Erinnerung: Jede Tessellation hat einen Vektor λ = (λ (0), λ (1), λ (2), λ (3) ) T.

52 Nun sind wir in der Lage, ein gutes Modell für die Realität zu bilden: Zur Erinnerung: Jede Tessellation hat einen Vektor λ = (λ (0), λ (1), λ (2), λ (3) ) T. Betrachte nun ˆλ = (ˆλ 0, ˆλ 1, ˆλ 2, ˆλ 3 ) T = 1 W (n v, n e, n c, l e ) T wobei n v die Ecken in W, n e die Kanten in W, n c die Zellen in W und l e die totale Kantenlänge in W ist.

53 schrittweise durch Spanne von Intensitäten für γ bzw. γ 0 und γ 1 gehen

54 schrittweise durch Spanne von Intensitäten für γ bzw. γ 0 und γ 1 gehen berechnen der Werte nach der Tabelle

55 schrittweise durch Spanne von Intensitäten für γ bzw. γ 0 und γ 1 gehen berechnen der Werte nach der Tabelle bestimme Vektor im Sinne eines minimalen relativen Abstands d(λ, ˆλ) = n ( λ i ˆλ i ) λ 2 i (zwischen dem Vektor der geschätzten Intensitäten in der Realität und dem Vektor derer für das Modell) i=1

56 schrittweise durch Spanne von Intensitäten für γ bzw. γ 0 und γ 1 gehen berechnen der Werte nach der Tabelle bestimme Vektor im Sinne eines minimalen relativen Abstands d(λ, ˆλ) = n ( λ i ˆλ i ) λ 2 i (zwischen dem Vektor der geschätzten Intensitäten in der Realität und dem Vektor derer für das Modell) i=1 wir erhalten so 3 bzw. 9 verschiedene Vektoren

57 schrittweise durch Spanne von Intensitäten für γ bzw. γ 0 und γ 1 gehen berechnen der Werte nach der Tabelle bestimme Vektor im Sinne eines minimalen relativen Abstands d(λ, ˆλ) = n ( λ i ˆλ i ) λ 2 i (zwischen dem Vektor der geschätzten Intensitäten in der Realität und dem Vektor derer für das Modell) i=1 wir erhalten so 3 bzw. 9 verschiedene Vektoren wähle darunter dasjenige Tessellationsmodell mit zugehöriger Intensität aus, das unter den minimalen Werten den kleinsten hat

58 Abbildung: Vergleich: reales Straßennetz (li), simple PVT-Tessellation (mi) und iterierte PLT-PVT Nesting Tessellation (re)

59 Weitere Iteration und Konvergenz Inhalt 1 Wiederholung Tessellation Zufällige Tessellation k-facetten 2 Motivation 3 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition normiertes Nesting

60 Weitere Iteration und Konvergenz Was passiert, wenn man immer weiter iteriert? Grenzwerte? Art der Konvergenz?

61 Weitere Iteration und Konvergenz Was passiert, wenn man immer weiter iteriert? Grenzwerte? Art der Konvergenz? Wiederholung Kapazitätsfunktional T X (C) := P(X (1) C ), C kompakt. Dabei ist X (1) die Vereinigung aller Kanten von X.

62 Weitere Iteration und Konvergenz Was passiert, wenn man immer weiter iteriert? Grenzwerte? Art der Konvergenz? Wiederholung Kapazitätsfunktional T X (C) := P(X (1) C ), C kompakt. Dabei ist X (1) die Vereinigung aller Kanten von X. Konvergenz Sei X, X 1, X 2,... eine Folge von stationären Tessellationen im R 2. Wir sagen: X (1) n X 1, wenn T Xn (C) T X (C) C kompakt (n )

63 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition Intensität bei Superposition von n Tessellationen: Seien X 0,..., X n 1 iid und stationär im R 2 mit Gesamtkantenlänge λ (3)

64 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition Intensität bei Superposition von n Tessellationen: Seien X 0,..., X n 1 iid und stationär im R 2 mit Gesamtkantenlänge λ (3) (X 0,..., X n 1 ) ist eine stationäre Tessellation mit Gesamtkantenlänge nλ (3)

65 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition Intensität bei Superposition von n Tessellationen: Seien X 0,..., X n 1 iid und stationär im R 2 mit Gesamtkantenlänge λ (3) (X 0,..., X n 1 ) ist eine stationäre Tessellation mit Gesamtkantenlänge nλ (3) Normierung für konstante Gesamtkantenlängenintensität:

66 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition Intensität bei Superposition von n Tessellationen: Seien X 0,..., X n 1 iid und stationär im R 2 mit Gesamtkantenlänge λ (3) (X 0,..., X n 1 ) ist eine stationäre Tessellation mit Gesamtkantenlänge nλ (3) Normierung für konstante Gesamtkantenlängenintensität: Definition: (nx0,..., nx n 1 ) heißt normierte Superposition.

67 Weitere Iteration und Konvergenz normierte Superposition Konvergenz-Theorem Sei X 0, X 1,... eine Folge von iid und stationären Tessellationen im R 2 mit 0 < λ (1), λ (3) <. Dann gilt: (nx0,..., nx n 1 ) X wobei X eine stationäre PLT ist.

68 Weitere Iteration und Konvergenz normiertes Nesting Definition Folge normierter Nestings Sei X 0 eine stationäre Tessellation und sei X 1, X 2,... eine Folge von Folgen von Tessellationen, sodass alle Tessellationen inkl. X 0 iid. Dann ist die Folge I 2 (X 0 ), I 3 (X 0 ),... von normierten Nestings rekursiv definiert durch : I 2 (X 0 ) = I(2X 0, 2X 1 ) I n (X 0 ) = I(nX 0, nx 1,..., nx n 1 ) = I(I(nX 0, nx 1,..., nx n 2 ), nx n 1 ), n = 2, 3,...

69 Weitere Iteration und Konvergenz normiertes Nesting Konvergenz Hier ist lediglich die Existenz einer Grenztessellation bekannt!

70 Anhang Literatur Literatur Roland Maier, Volker Schmidt: Stationary Iterated Tessellations Adv. Appl. Prob. (SGSA) 35, (2003) Werner Nagel, Viola Weiss: Limits of Sequences of Stationary Planar Tessellations Adv. Appl. Prob. (SGSA) 35, (2003) C. Gloaguen, F. Fleischer, H. Schmidt, V. Schmidt: Fitting of Stochastic Telecommunication Network Models via Distance Measures and Monte-Carlo Tests, Telecommunication Systems 31 (2006), C. Gloaguen, F. Voss, V. Schmidt: Parametric Distance Distributions for Fixed Access Network Analysis and Planning Proceedings of the 21st Int. Teletraffic Congress, Paris 2009